Lagrange中值定理幾種證法

Lagrange中值定理幾種證法摘要：在解決微積分的問(wèn)題中，很多時(shí)候要用到Lagrange中值定理，但對(duì)于Lagrange中值定理的證明，書本上只給了一種方法，為了更好地摸清Lagrange中值定理的“底”，特提供以下幾種方法。關(guān)鍵詞：Lagrange中值定理；輔助函數(shù)；坐標(biāo)系轉(zhuǎn)軸；閉區(qū)間套定理。Lagrange中值定理：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間屋b］上連續(xù)，在開區(qū)間Qb)上可微，至少存在一點(diǎn)&e偵b)，使 尸(提=業(yè)二￡四b-a幾種不同的證法是：證法1,作輔助函數(shù)中(x)=f(x)-f(a)-f(")f(a)(x-a),xgla,blb-a由于函數(shù)f(x)在閉區(qū)間偵b］連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)上可微，因此函數(shù)中(x)也在閉區(qū)間偵b］連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)上可微，并且有中(a)=中(b)=0于是由Rolle定理，至少存在一點(diǎn)&e(a,b)，使得中代)=0，對(duì)的表達(dá)式求導(dǎo)并令0(g)=0，整理后得"=f(b)-f(a)b-a證法2,作輔助函數(shù).(X)=f(x)-f竺4)xb-a由于函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b］連續(xù)，在開區(qū)間偵b)上可微，因此函數(shù)中⑴也在閉區(qū)間a,b］連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)上可微，并且有

于是由Rolle定理，至少存在一點(diǎn)&eQb),使得中代)=0，對(duì)的表達(dá)式求導(dǎo)并令0(g)=0，整理后得"=f(b)—f(a)b-a證法3,坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)在高等代數(shù)第四章第一節(jié)中的引例中提到了坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，在這里我們也可以把原來(lái)標(biāo)系進(jìn)行逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，新得到的X軸與x軸的夾角是9，令tan9盤(b)-f(a)，b-a平面直角變換后的公式是平面直角變換后的公式是x=x'cos9-Vsiin9y=x'sin9+y'cos9整理后得x'=ysin9+xcos9y'=-xsin9+ycos9=g(x)由于函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,n連續(xù)，在開區(qū)間偵b)上可微，所以y'在閉區(qū)間a,b]連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)上可微f(b)sin9f(b)sin9+bsin9)=g(f(a)sin9+acos9所以存在一點(diǎn)門e(f(a)sin9+acos9,f(b)sin9+bcos9)使g'(q)=0，*、dy' -sin9+f'(x)cos9g0)=二= ±--—-_—=0dx' f'(x)sin9+cos9

f，f，(x)=tan0=f(b)-f(a)b-a存在一點(diǎn)&e(a,b),使得f，(&)=f(b)-f(a)b-a證法4,利用閉區(qū)間套定理設(shè)x<xe(a,b)與向量點(diǎn)(x,f(x)),(x,f(x))所構(gòu)成的向量(x-x,f(x)-f(x))與向量1 1 2 2 2 1 2 1(b-a,f(b)-f(a))是一對(duì)平行向量，由此得f(x)-f(x) f(b)-f(a)2 1=x-x b一a設(shè)(x,x)U(x,x)U(x,x)2n-1 2n x2n-3 2n一2 2n-5 2n-4根據(jù)閉區(qū)間套定理可知，存在唯一實(shí)數(shù)&￡(七「七根據(jù)閉區(qū)間套定理可知，存在唯一實(shí)數(shù)&￡(七「七x2n-1ns=limxznns至少存在一點(diǎn)&至少存在一點(diǎn)&e(a,b)使得x2L2n-1.?.f'(&)=f(x2.1一f(x2"=f(x2)-fb=f(b)-f(。)x2L2n-1f，(g)=f(b)-f(a)證法5,利用面積法設(shè)h(x)表示的三角形設(shè)h(x)表示的三角形ABC的面積，A,B,C的坐標(biāo)分別是(a,f(a)),(b,f(b)),(x,f(x))線段AB所在的直線方程l是y=f(b)一f(a)(x-a)+f(a)b-a\AB=<(b—a)2+(f(b)-f(a))2- f(x)-f(b)-f(a)(x-a)-f(a)點(diǎn)C到直線l的距離是d= h(x)=1^AB=1f(x)-f⑺—f(")-f(a)(b-a)2i2 b-a(x-a)h(a)=h(b)由Rolle定理，至少存在一點(diǎn)&e(a,b),使得h(&)=0，對(duì)的表達(dá)式求導(dǎo)并令h低)=0，整理后得"=f(b)—f(a)b一a參考文獻(xiàn) ：1］數(shù)學(xué)分析陳紀(jì)修，於崇華.M1北京：高等教育