(完整版)2018年全國卷理科數(shù)學(xué)真題及答案

選擇題（共12小題）1=A.0+2i，則=().11-1+2i=-i+2i=i,+2i=1+i則=1.故選：.？2.已知集合A={x|xx20}-->，則A=()R2.-vv.-ww.<-U>.<-UA{x|1x2}B{x|1x2}C{xX1}{x|x2}D{xX1}>{x|x2}【解答】解：集合A={x|x--2>0},2可得=<-1或>2},則：？wW=—1x2}.RA故選：.3.某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構(gòu)成比種則也收入例，得到如下餅圖:則下面結(jié)論中不正確的是（A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半【解答】解：設(shè)建設(shè)前經(jīng)濟收入為,建設(shè)后經(jīng)濟收入為2a.xA項，種植收入37%2a-=14%a>,1第頁（共頁）故建設(shè)后，種植收入增加，故A項錯誤.xB項，建設(shè)后，其他收入為5%2a=,建設(shè)前，其他收入為4%a,故10%a-4%a=2.5>,故B項正確.xC項，建設(shè)后，養(yǎng)殖收入為30%2a=60%a,建設(shè)前，養(yǎng)殖收入為30%a,故60%a30%a=2,故C項正確.D項，建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入總和為()x=x,30%+28%2a58%2a經(jīng)濟收入為2a,x故(58%2a)-2a=58%>50%,故D項正確.因為是選擇不正確的一項，故選：.4.記S為等差數(shù)n列｛a的前n項和.若3S=S+S,a=,貝a=()n324iU5A.-12B.-10.10.12【解答】解：S為等差數(shù)列｛a的前n項和，3S=S+S,a=2,nn3241.3X24X3、沁S]r-d)a+a+d+4a+^^d,=111把a=,代入得d=-31=X(-)=-.a2+43105故選：.325.設(shè)函數(shù)f()=x+(a-)x.若f()為奇函數(shù)，則曲線=f()在點(0,)處的切線方程為(A.=-2x)B.=-x.=2x.=x【解答】解：函數(shù)f()=3+(a-)x+ax，若f()為奇函數(shù)，f(-)=-f(),2-3+(a-1)xaxx+(a-1))=-xa1x-.-=-((-)232x3_2第頁（共頁）所以：(a-1)/=—(-1)22第頁（共頁）+x，可得f'()=3+1,曲線y=f)在點(0,0)處的切線的斜率X26ABC中，AD為BC邊上的中線,)答】解：在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點,點為,圓柱表面上的點N在左視圖上的對應(yīng)點為，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的M在正視圖上的對應(yīng)7.某圓柱的高為,底面周長為16,其三視圖如圖.圓柱表面上的點故選：..16,高為:,答】解：由題意可知幾何體是圓柱，底面周長路徑中，最短路徑的長度為(直觀圖以及側(cè)面展開圖如圖:圓柱表面上的點N在左視圖上的對應(yīng)點為，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中,A最短路徑的長度:設(shè)拋物線:y4x=的焦點為，過點(-,)且斜率為的直線與交于,兩CF202MN23點，則丨F'?N=()NB4第頁(共頁)A.5B.6.7.8【解答】解：拋物線C:y=4x的焦點為F(,)，過點(-,0)且斜率為2的直線2|3為：=2x+4,聯(lián)立直線與拋物線:y=,消去x可得：y-6y+8=0,22))解得y=,y=4，不妨M(,),N(,4麗二2，麗=(百4i2則山？；；」=(,2)?(3,)=.故選：.9.已知函數(shù)f()=|°,g()=f()+x+ag()存在2個零點，貝aU的取值范圍是().-,)A[10.,s)B[0+.-,s)C[1+.,s)D[1+【解答】解：由g()=0得f()=-x-a,作出函數(shù)f()和=--a的圖象如圖：當(dāng)直線=--a的截距-a<，即a>-1時，兩個函數(shù)的圖象都有2個交點，即函數(shù)g()存在2個零點，s)故實數(shù)a的取值范圍是-,+,故選：.5第頁(共頁)10如圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓在整個圖形中隨機取一點，此點取自I,n,域記為，黑色部分記為其余部分記為川.的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊,直角邊,AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)A.p=p2B.p=p3.p=p3D.p=P+Pii2i23【解答】解：如圖：設(shè)=2r,AB=2r,i2=2r,3n,川的概率分別記為p,p,pi23222「「r+=222222231「n-,S=x=,=2rr2324r2rrSi22323mIL2=x22Sn一冗rX—冗r冗「xn=,+2rr2rr232323+2-—i2.S=S,nI5.P=P,i2-y=i,O為坐標(biāo)原點,2F為C的右焦點，過F的直線與C的兩條ii.已知雙曲線:故選：.漸近線的交點分別為M,NOMN為直角三角形，則=（）5i6第頁（共頁）IC.2.■:67第頁（共頁）y=漸近線的夾角為:2360°,不妨設(shè)過F（,）的直線為：=.上-_,aa所成的角都相等，則截此正方體所12.已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面),得截面面積的最大值為（）【解答】解：正方體的所有棱中，實際上是3組平行的棱，每條棱所在直線與平面a截此正方體所成的角都相等，如圖：所示的正六邊形平行的平面，并且正六邊形時,得截面面積的最大，此時正六邊形的邊長_',6孚爭普.a截此正方體所得截面最大值為:\-2y-2<013若,y滿足約束條件x-y+l>0，則=3x+2y的最大值為y<o【解答】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖:由z=3x+2y得y=—-—x+__z,2268第頁（共頁）22z最大,X故答案為：614S為數(shù)列a的前nS=2a，則S=-63【解答】解：Si為數(shù)列｛a的nnnnsn前n項和，S=2a,①nn當(dāng)n=1時，a=2a，解得a=-1,iii當(dāng)n2時，S=2a+1n1n1--2a-2a,由①-②可得=nnn1---=,2aann1--IX(1-2)6S==-63,1-26二｛a是以-1為首項，以2為公比的等比數(shù)列,n故答案為：-6315從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有16種.（用數(shù)字填寫答案）【解答】解：方法一：直接法，1女2男，有242=12,2女1男，有C』=4根據(jù)分類計221數(shù)原理可得，共有12+4=16種，方法二，間接法：C-C=20-4=16種,6433故答案為：1616.已知函數(shù)f()=,則f()的最小值是2—【解答】解：由題意可得=2是f()=2sinx+sin2x的一個周期,n)故只需考慮f()=2sinx+sin2x在0,2上的值域,f'()=2cosx+2cos2x求導(dǎo)數(shù)可得2(2cosx-1)=2(2cosx-1)cosx+1),=2cosx+2=0可解得=丄或=-,令f'()2可得此時x=-l5兀???=2sinx+sin2x的最小值只能在點=x0和邊界點=中取到,)=-^-,f0)=o,2計算可得f(—)=；,f(n)0f=,(3/3三解答題5小題)17.在平面四邊形ABCD中，/ADC=90°,/A=45°,=2,BD=.(1cos/ADB;(2DC=2.)v/=°,/==,=.1ADC90A45AB2BD5【解答】解：由正弦定理得：——些Z，即----——》^,ADB：AsinZ^AEBsin45SIEL?/=二亠」sinADB」55n)先來求該函數(shù)在0,2上的極值點,函數(shù)的最小值為-2?/<，/ADB</,?/DC=2:'：,BC?="■-■：":：■■:.'T「.-：■：8第頁(共頁)第頁(共頁)F分別為AD,BC的中點，以DF為折痕把厶DFC折起，使點C到達點P的位置，且PF丄BF.【解答】(1)證明：由題意，點、F分別是、BC的中點,111，，則扯tADB卩號BC由于四邊形ABCD為正方形，所以EF丄.由于PF丄,EFAPF=,貝UBF丄平面PEF.又因為BF?平面，所以：平面PEF丄平面ABFD.(2)在平面PEF中，過P作PH丄EF于點，連接DH,由于EF為面ABCD和面PEF的交線，PH丄EF,貝UPH丄面，故PH丄DH.在三棱錐-DEF中，可以利用等體積法求PH,因為DE//BF且PF丄,(1)證明：平面PEF丄平面ABFD;所以PF丄DE,又因為△PDFCDF,所以/FPD=FCD=90Z第頁(共頁)所以PF丄,因為BFDA且BF丄面PEF,II所以DA丄面PEF,設(shè)正方形邊長為2aUPD=2a,DE=a所以由于DEAPD=，貝UPF丄平面PDE,3FPDE-=FPDE-又因為'VVPD322所以PH所以在△PHD中，sin/PDH=PD過F的直線I與C交于,B兩點，點M的坐標(biāo)(1)當(dāng)I與x軸垂直時，求直線AM的方程;(20為坐標(biāo)原點，證明：/OMA=OMB.Z即/為與平面A所成角的正弦值為：：pDHDPBFD答】解：()c='=1,二F(,0),/x軸垂直,=1,第頁(共頁)，或(1,-???A(1._V2'-----2直線AM的方程為=-世2x忖#E,丫直線,MB的斜率之和為k,k之和為k+kMAMBMAMBH1-2-2七|s(jc)2L2由y=kx-,y=kx-k得k+kii22MAMB)Gg-2)+/=1可得()x-4kx+2k-2=0,將y=k(-1222…X+x=,XX=12123‘..33二2kxx(4k-4k-12k+8k+4k)=02k+122Z證明：(2I與x軸重合時，/OMA=OMB=0°,Z當(dāng)I與x軸垂直時，0M為AB的垂直平分線，/OMA=OMB,z當(dāng)I與x軸不重合也不垂直時，設(shè)I的方程為y=k(-),k0,VV.|,A(X,y),BX,y),則X近,X211221從而k+k=0,MAMB第頁(共頁)故MA,MB的傾斜角互補,/=Z,OMAOMBZ綜上/OMA=OMB.20.付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交20件作檢驗，再根如檢驗出不合格品，則更換為合格品檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0vvp1),且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立.(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(),求f()的最大值點P.0(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p作為p0的值已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.第頁(共頁),求(i)若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為;以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？【解答】解：120件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(),則)夠嚇々戸)退3=1-f???令f'(p)=0p=0.1,當(dāng)p(,0.1)時，f'(p)>0,(p)二C務(wù)［鄧-lSp(l-p)18門］2C和(，1-p)(l-10p)17￡(,)'()v,當(dāng)p0.11時，fp0???f()的最大值點p=0.1.o(2)i)由(1p=0.1,丫令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品數(shù)，依題意知B180,),=X,=,X202+25Y即X40+25Y()=()=()=XX=.EXE40+25Y40+25EY40+251800.1490(ii)如果對余下的產(chǎn)品作檢驗，由這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為/E()=490>400,400元，應(yīng)該對余下的產(chǎn)品進行檢驗.)=221.已知函數(shù)f(x-.x(1)討論f()的單調(diào)性；(2)右f()存在兩個極值點X,X12^"va-2.),R,【解答】解：1函數(shù)的定義域為(0+函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'()=-—--乂,22vXX設(shè)g()=x-ax+1,2w)v當(dāng)a0時，g()>0恒成立，即f'(x0恒成立，此時函數(shù)f()在(0,+^)第頁(共頁)上是減函數(shù)，當(dāng)0時，判別式厶=a-4,2第頁(共頁)幻f(在(0,vwOa2①當(dāng)0gx時，，即()>fx0即卩'()<恒成立，此時函數(shù)0),f()的變化如下表:(0,((m)+f'()f()遞減遞增遞減w綜上當(dāng)a2時，f(,)(0+上是減函數(shù),m~T當(dāng)a>2時，在(,+,)上是減函數(shù),)，和(mm)+上是減函數(shù),則()上是增函數(shù).vvv(2)由(ia2,0xix,xx=,i2i2則f(X)—f(X)=(X—X)(i+i22i)+a(Inx-InX)=2(X-X)+aInx-InX),i221i2a.tini苴=—2+v則問題轉(zhuǎn)為證明即證明Inx—1即可,iInx>x—x,2i21I則Inx—I>—xii即Inx+Inx>x—----,iii即證2lnx>x,)上恒成立,(0iiiVv設(shè)h()=2lnx——0xi,(),其中()=,hi0^-2--121KZIv,求導(dǎo)得'()0—i—2I2Xi3i6第頁(共頁)乂則h（）在（,）上單調(diào)遞減,/h()>h1),即2lnx-x故>x->,0va-2成立.-alnx=-f(),（2）另解：注意到f（丄）=-即f()+f(二)=0,kvvv由韋達定理得Xx=,X+X=a2，得0x1x,x=1212121可得fx)+f(，即f(x)+f(x)=0,)=212-fCx)-f(v2-2要證即證2alnx-ax+-v0x1,(>),2222構(gòu)造函數(shù)h()=2alnx-—乂）h（）在（,+上單調(diào)遞減,()v()=,???hxh10v???2alnx-ax+-L0成立，即2alnx-axv0x1,(>)成立.