(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測專題2.1《不等式的性質(zhì)及常見不等式解法》(解析版)

專題2.1不等式的性質(zhì)及常見不等式解法新課程考試要求1.不等關(guān)系：了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系,了解不等式(組)的實(shí)際背景.2.一元二次不等式：(1)會從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型.(2)通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.(3)會解一元二次不等式.3.會解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式.4.掌握不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|及其應(yīng)用.核心素養(yǎng)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算（例2.3.4）、數(shù)學(xué)建模（例1）、邏輯推理（例2.3.4）等核心數(shù)學(xué)素養(yǎng).考向預(yù)測1.不等式的性質(zhì)及應(yīng)用2．一元二次不等式的解法3．一元二次不等式的恒成立問題【知識清單】1．實(shí)數(shù)的大小(1)數(shù)軸上的任意兩點(diǎn)中，右邊點(diǎn)對應(yīng)的實(shí)數(shù)比左邊點(diǎn)對應(yīng)的實(shí)數(shù)大.(2)對于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a和b，如果a－b是正數(shù)，那么a>b；如果a－b是負(fù)數(shù)，那么a<b；如果a－b等于零，那么a＝b.2．不等關(guān)系與不等式我們用數(shù)學(xué)符號“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些符號的式子，叫做不等式.3．不等式的性質(zhì)(1)性質(zhì)1：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b?b<a.(2)性質(zhì)2：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c?a>c.(3)性質(zhì)3：如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)性質(zhì)4：①如果a>b，c>0那么ac>bc.②如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)性質(zhì)5：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)性質(zhì)6：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)性質(zhì)7：如果a>b>0，那么an>bn，(n∈N，n≥2)．(8)性質(zhì)8：如果a>b>0，那么eq\r(n,a)>eq\r(n,b)，(n∈N，n≥2)．4．一元二次不等式的概念及形式(1)概念：我們把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．(2)形式：①ax2＋bx＋c>0(a≠0)；②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；③ax2＋bx＋c<0(a≠0)；④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．(3)一元二次不等式的解集的概念：一般地，使某個(gè)一元二次不等式成立的x的值叫做這個(gè)不等式的解，一元二次不等式的所有解組成的集合叫做這個(gè)一元二次不等式的解集.5.一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系如下表判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1<x2)有兩相等實(shí)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}{x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}?eq\a\vs4\al(?)6．分式不等式的解法定義：分母中含有未知數(shù)，且分子、分母都是關(guān)于x的多項(xiàng)式的不等式稱為__分式不等式__.eq\f(fx,gx)>0?f(x)g(x)__>__0，eq\f(fx,gx)<0?f(x)·g(x)__<__0.eq\f(fx,gx)≥0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fxgx≥0，,gx≠0.))?f(x)·g(x)__>__0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＝0,gx≠0)).eq\f(fx,gx)≤0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx·gx≤0，,gx≠0))?f(x)·g(x)__<__0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＝0,gx≠0.))7．簡單的高次不等式的解法高次不等式：不等式最高次項(xiàng)的次數(shù)高于2，這樣的不等式稱為高次不等式.解法：穿根法①將f(x)最高次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；②將f(x)分解為若干個(gè)一次因式的積或二次不可分因式的積；③將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，自上而下，從右向左依次通過每一點(diǎn)畫曲線(注意重根情況，偶次方根穿而不過，奇次方根穿過)；④觀察曲線顯現(xiàn)出的f(x)的值的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集．8.不等式恒成立問題1．一元二次不等式恒成立問題(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集為R)時(shí)，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ<0))；(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集為R)時(shí)，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ≤0))；(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集為R)時(shí)，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ<0))；(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集為R)時(shí)，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ≤0)).2．含參數(shù)的一元二次不等式恒成立．若能夠分離參數(shù)成k<f(x)或k>f(x)形式．則可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域求解．設(shè)f(x)的最大值為M，最小值為m.(1)k<f(x)恒成立?k<m，k≤f(x)恒成立?k≤m.(2)k>f(x)恒成立?k>M，k≥f(x)恒成立?k≥M.9．絕對值不等式的解法1．形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用兩邊平方的形式轉(zhuǎn)化為二次不等式求解．2．形如|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式(1)絕對值不等式|x|>a與|x|<a的解集(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c(c>0)．10．絕對值不等式的應(yīng)用如果a，b是實(shí)數(shù)，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)，等號成立．【常用結(jié)論】1．倒數(shù)性質(zhì)的幾個(gè)必備結(jié)論(1)a>b，ab>0?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(2)a<0<b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(3)a>b>0,0<c<d?eq\f(a,c)>eq\f(b,d).(4)0<a<x<b或a<x<b<0?eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).2．兩個(gè)重要不等式若a>b>0，m>0，則(1)eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)．(2)eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)．【考點(diǎn)分類剖析】考點(diǎn)一：用不等式表示不等關(guān)系例1.用一段長為30SKIPIF1<0的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園,墻長18SKIPIF1<0,要求菜園的面積不小于216SKIPIF1<0,靠墻的一邊長為SKIPIF1<0,其中的不等關(guān)系可用不等式(組)表示為________.

【答案】SKIPIF1<0【解析】矩形菜園靠墻的一邊長為SKIPIF1<0,則另一邊長為SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,根據(jù)已知得SKIPIF1<0【規(guī)律總結(jié)】用不等式(組)表示實(shí)際問題中不等關(guān)系的步驟：①審題．通讀題目，分清楚已知量和待求量，設(shè)出待求量．找出體現(xiàn)不等關(guān)系的關(guān)鍵詞：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超過”“不超過”等．②列不等式組：分析題意，找出已知量和待求量之間的約束條件，將各約束條件用不等式表示．【變式探究】某種雜志原以每本2.5元的價(jià)格銷售，可以售出8萬本．根據(jù)市場調(diào)查，若單價(jià)每提高0.1元，銷售量就可能相應(yīng)減少2000本，若把提價(jià)后雜志的定價(jià)設(shè)為x元，怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元？【答案】見解析【解析】提價(jià)后雜志的定價(jià)為x元，則銷售的總收入為(8－eq\f(x－2.5,0.1)×0.2)x萬元，那么不等關(guān)系“銷售的收入不低于20萬元”用不等式可以表示為：(8－eq\f(x－2.5,0.1)×0.2)x≥20.考點(diǎn)二：比較數(shù)或式子的大小例2.已知x＜y＜0，比較(x2＋y2)(x－y)與(x2－y2)(x＋y)的大?。敬鸢浮恳娊馕觥窘馕觥俊選＜y＜0，xy＞0，x－y＜0，∴(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝－2xy(x－y)＞0，∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．【領(lǐng)悟技法】1.比較大小的常用方法(1)作差法一般步驟：①作差；②變形；③定號；④結(jié)論．其中關(guān)鍵是變形，常采用配方、因式分解、通分、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式．當(dāng)兩個(gè)式子都為正數(shù)時(shí)，有時(shí)也可以先平方再作差．(2)作商法一般步驟：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關(guān)系；④結(jié)論．(3)函數(shù)的單調(diào)性法將要比較的兩個(gè)數(shù)作為一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系．【變式探究】(1)比較x2＋y2＋1與2(x＋y－1)的大??；(2)設(shè)a∈R且a≠0，比較a與eq\f(1,a)的大小．【答案】見解析【解析】(1)x2＋y2＋1－2(x＋y－1)＝x2－2x＋1＋y2－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0，∴x2＋y2＋1＞2(x＋y－1)．(2)由a－eq\f(1,a)＝eq\f(a－1a＋1,a)當(dāng)a＝±1時(shí)，a＝eq\f(1,a)；當(dāng)－1＜a＜0或a＞1時(shí)，a＞eq\f(1,a)；當(dāng)a＜－1或0＜a＜1時(shí)，a＜eq\f(1,a).考點(diǎn)三：不等式性質(zhì)的應(yīng)用例3.【多選題】（2021·河北高三二模）若實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則下列選項(xiàng)中一定成立的有（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AD【解析】根據(jù)條件，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，逐一分析四個(gè)選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A正確；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故B錯誤；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C錯誤；因?yàn)镾KIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D正確.故選：AD例4.若a＝eq\f(ln3,3)，b＝eq\f(ln4,4)，c＝eq\f(ln5,5)，則()A．a(chǎn)＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜a＜c【答案】B【解析】方法一易知a，b，c都是正數(shù)，eq\f(b,a)＝eq\f(3ln4,4ln3)＝log8164＜1，所以a＞b；eq\f(b,c)＝eq\f(5ln4,4ln5)＝log6251024＞1，所以b＞c.即c＜b＜a.方法二對于函數(shù)y＝f(x)＝eq\f(lnx,x)，y′＝eq\f(1－lnx,x2)，易知當(dāng)x＞e時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減．因?yàn)閑＜3＜4＜5，所以f(3)＞f(4)＞f(5)，即c＜b＜a.例5.設(shè)f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4”，則f(－2)的取值范圍是．【答案】[5,10]【解析】方法一(待定系數(shù)法)設(shè)f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n為待定系數(shù))，則4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b，于是得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝4，,n－m＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝1.))所以f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．又因?yàn)?≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，所以5≤3f(－1)＋f(1)≤10，即5≤f(－2)≤10.方法二(解方程組法)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1＝a－b，,f1＝a＋b，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)[f－1＋f1]，,b＝\f(1,2)[f1－f－1].))所以f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．又因?yàn)?≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，所以5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.【規(guī)律總結(jié)】1．判斷不等式的真假．(1)首先要注意不等式成立的條件，不要弱化條件．(2)解決有關(guān)不等式選擇題時(shí)，也可采用特值法進(jìn)行排除，注意取值要遵循以下原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡單，便于驗(yàn)證計(jì)算．(3)若要判斷某結(jié)論正確，應(yīng)說明理由或進(jìn)行證明，推理過程應(yīng)緊扣有關(guān)定理、性質(zhì)等，若要說明某結(jié)論錯誤，只需舉一反例．2．證明不等式(1)要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用．(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推證時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則．3．求取值范圍(1)建立待求范圍的代數(shù)式與已知范圍的代數(shù)式的關(guān)系，利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，求得待求的范圍．(2)同向(異向)不等式的兩邊可以相加(相減)，這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形，如果在解題過程中多次使用這種轉(zhuǎn)化，就有可能擴(kuò)大其取值范圍．4．掌握各性質(zhì)的條件和結(jié)論．在各性質(zhì)中，乘法性質(zhì)的應(yīng)用最易出錯，即在不等式的兩邊同時(shí)乘(除)以一個(gè)數(shù)時(shí)，必須能確定該數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零，否則結(jié)論不確定．【變式探究】已知12<a<60,15<b<36，求a－b及eq\f(a,b)的取值范圍．【錯解】∵12<a<60,15<b<36，∴12－15<a－b<60－36，eq\f(12,15)<eq\f(a,b)<eq\f(60,36)，∴－3<a－b<24，eq\f(4,5)<eq\f(a,b)<eq\f(5,3).【辨析】錯解中直接將12<a<60,15<b<36相減得a－b的取值范圍，相除得eq\f(a,b)的取值范圍而致錯．【正解】∵15<b<36，∴－36<－b<－15.∴12－36<a－b<60－15，即－24<a－b<45.又15<b<36，∴eq\f(1,36)<eq\f(1,b)<eq\f(1,15).又12<a<60，∴eq\f(12,36)<eq\f(a,b)<eq\f(60,15)，即eq\f(1,3)<eq\f(a,b)<4.綜上，－24<a－b<45，eq\f(1,3)<eq\f(a,b)<4.【易錯警示】錯用不等式的性質(zhì)致錯.考點(diǎn)四：一元二次不等式的解法例6.（2020·全國高考真題（文））已知集合SKIPIF1<0則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得SKIPIF1<0，得到結(jié)果.【詳解】由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：D.【規(guī)律方法】1.解一元二次不等式的一般步驟(1)化：把不等式變形為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式．(2)判：計(jì)算對應(yīng)方程的判別式．(3)求：求出對應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程有沒有實(shí)根．(4)寫：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集．2．含有參數(shù)的不等式的求解，往往需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論．(1)若二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)，首先確定二次項(xiàng)系數(shù)是否為正數(shù)，再考慮分解因式，對參數(shù)進(jìn)行分類討論，若不易分解因式，則可依據(jù)判別式符號進(jìn)行分類討論．(2)若二次項(xiàng)系數(shù)為參數(shù)，則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，確定不等式是不是二次不等式，然后再討論二次項(xiàng)系數(shù)不為零的情形，以便確定解集的形式．(3)對方程的根進(jìn)行討論，比較大小，以便寫出解集．【易錯警示】忽視二次項(xiàng)系數(shù)的符號致誤【變式探究】1．（2021·江西九江市·高三三模（文））已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0．故選：B．2.（2021·陜西省漢中中學(xué)高三其他模擬（理））已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.故選：A.考點(diǎn)五：絕對值不等式的解法例7.（2021·浙江高三其他模擬）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】先化簡SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即得解.【詳解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.反之，也成立.所以“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充分必要條件.故選：C例8.（廣東高考真題（理））不等式的解集為.【答案】.【解析】令，則，（1）當(dāng)時(shí)，由得，解得，此時(shí)有；（2）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等式無解；（3）當(dāng)時(shí)，由得，解得，此時(shí)有；綜上所述，不等式的解集為.【規(guī)律方法】形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三種解法：(1)分段討論法：利用絕對值號內(nèi)式子對應(yīng)方程的根，將數(shù)軸分為(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此處設(shè)a<b)三個(gè)部分，在每個(gè)部分上去掉絕對值號分別列出對應(yīng)的不等式求解，然后取各個(gè)不等式解集的并集．(2)幾何法：利用|x－a|＋|x－b|>c(c>0)的幾何意義：數(shù)軸上到點(diǎn)x1＝a和x2＝b的距離之和大于c的全體，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|.(3)圖象法：作出函數(shù)y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的圖象，結(jié)合圖象求解．【變式探究】1.（2017天津，文2）設(shè)，則“”是“”的（）（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件【答案】【解析】，則，，則，，據(jù)此可知：“”是“”的的必要的必要不充分條件，本題選擇B選項(xiàng).2.不等式|x?3|?|x+1|<1的解集為_______________．【答案】{x|x>1【解析】當(dāng)x<?1時(shí)，原不等式可化為?(x?3)+(x+1)<1，無解；當(dāng)?1≤x<3時(shí)，原不等式可化為?(x?3)?(x+1)<1，即x>12，所以12<x<3；當(dāng)x≥3時(shí)，原不等式可化為(x?3)?(x+1)<1，即?4<1，所以考點(diǎn)六：絕對值不等式的應(yīng)用如果a，b是實(shí)數(shù)，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)，等號成立．例9.（2020·陜西省西安中學(xué)高二期中（文））若關(guān)于x的不等式有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．或 B． C． D．【答案】A【解析】分析：利用絕對值的幾何意義求得最小值為，再由不等式有解可得實(shí)數(shù)的取值范圍．詳解：由于表示數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)到和對應(yīng)點(diǎn)的距離之差，其最小值為，最大值為，因?yàn)殛P(guān)于的不等式有實(shí)數(shù)解，可得，即，解得或.故選：A.【總結(jié)提升】1.兩類含絕對值不等式的證明問題一類是比較簡單的不等式，往往可通過平方法、換元法去掉絕對值符號轉(zhuǎn)化為常見的不等式證明題，或利用絕對值三角不等式性質(zhì)定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通過適當(dāng)?shù)奶?、拆?xiàng)證明；另一類是綜合性較強(qiáng)的函數(shù)型含絕對值的不等式，往往可考慮利用一般情況成立，則特殊情況也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法來證明．2.含絕對值不等式的應(yīng)用中的數(shù)學(xué)思想(1)利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；(2)利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．3.求f(x)＝|x＋a|＋|x＋b|和f(x)＝|x＋a|－|x＋b|的最值的三種方法(1)轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)進(jìn)而利用分段函數(shù)的性質(zhì)求解.(2)利用絕對值三角不等式進(jìn)行“求解”，但要注意兩數(shù)的“差”還是“和”的絕對值為定值.(3)利用絕對值的幾何意義.【變式探究】1.（2020·廣東省高三其他（理））已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若不等式對任意恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】（1）或或或或即不等式的解集為.（2）考點(diǎn)七：不等式恒成立問題例10.（2020·浙江高考真題）已知a，bSKIPIF1<0R且ab≠0，對于任意x≥0均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，則（）A．a(chǎn)<0 B．a(chǎn)>0 C．b<0 D．b>0【答案】C【解析】對SKIPIF1<0分SKIPIF1<0與SKIPIF1<0兩種情況討論，結(jié)合三次函數(shù)的性質(zhì)分析即可得到答案.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的零點(diǎn)為SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0，必有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0，必有SKIPIF1<0.綜上一定有SKIPIF1<0.故選：C例11.（2020·江蘇省太湖高級中學(xué)高一期中）已知函數(shù)SKIPIF1<0，關(guān)于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0.（1）求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值；（2）求關(guān)于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0的解集；（3）若不等式SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】（1）SKIPIF1<0，（2）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，解集為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，不等式無解，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，解集為SKIPIF1<0，（3）SKIPIF1<0【解析】（1）由題意得不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，由根與系數(shù)的關(guān)系得SKIPIF1<0，從而可求出實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值；（2）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，然后分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0求解即可；（3）令SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，然后分對稱軸在SKIPIF1<0軸左側(cè)和右側(cè)兩種情況求解即可【詳解】（1）因?yàn)殛P(guān)于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，即不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，（2）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則不等式無解，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，解集為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，不等式無解，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，解集為SKIPIF1<0（3）令SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，對稱軸在SKIPIF1<0軸左側(cè)，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，即對稱軸在SKIPIF1<0軸右側(cè)，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，綜上SKIPIF1<0【規(guī)律方法】(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含義求解參數(shù)的值(或范圍)．(2)轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題，即已知函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇m，n]，則f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a，即n≤a.【變式探究】函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋3.(1)當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)≥a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)x∈[－2,2]時(shí)，f(x)≥a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－6,2]．(2)實(shí)數(shù)a的取值范圍為[－7,2]．【解析】(1)∵當(dāng)x∈R時(shí)，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－6,2]．(2)對于任意x∈[－2,2]，f(x)≥0恒成立．即x2＋ax＋3－a≥0對任意x∈[－2,2]恒成立，令g(x)＝x2＋ax＋3－a.則有①Δ≤0或②SKIPIF1<0或③SKIPIF1<0解①得－6≤a≤2，解②得a∈?，解③得－7≤a<－6.綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[－7,2]．【總結(jié)提升】解決不等式恒成立問題的兩種思路(1)轉(zhuǎn)化成含有參數(shù)的不等式,借助對應(yīng)函數(shù)圖象,找到滿足題目要求的條件,構(gòu)造含參數(shù)的不等式(組),求得參數(shù)范圍.(2)分離參數(shù),通過求函數(shù)的最值,進(jìn)而確定參數(shù)的范圍.專題2.1不等式的性質(zhì)及常見不等式解法練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·山西高三三模（理））已知全集SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下圖陰影部分表示的集合是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由圖可知陰影部分表示的集合是集合A與集合B的補(bǔ)集的交集，所以求出集合A和集合B的補(bǔ)集，再求交集即可【詳解】解：由圖可知陰影部分表示的集合是SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：C2．（2020·黑龍江省大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三一模（文））已知集合，集合，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)榧匣?，集合，所?故選：A3．（2020·陜西省西安中學(xué)高二期中（理））已知不等式SKIPIF1<0對一切SKIPIF1<0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0根據(jù)題意可得SKIPIF1<0.故選：A4．（2020·黑龍江省佳木斯一中高一期中（理））對于任意實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，下列正確的結(jié)論為（）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0； B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0； D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【答案】D【解析】A：根據(jù)不等式的基本性質(zhì)可知：只有當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，才能由SKIPIF1<0推出SKIPIF1<0，故本選項(xiàng)結(jié)論不正確；B：若SKIPIF1<0時(shí)，由SKIPIF1<0推出SKIPIF1<0，故本選項(xiàng)結(jié)論不正確；C：若SKIPIF1<0時(shí)，顯然滿足SKIPIF1<0，但是SKIPIF1<0沒有意義，故本選項(xiàng)結(jié)論不正確；D：SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以本選項(xiàng)結(jié)論正確.故選：D5．（2020·江西省崇義中學(xué)高一開學(xué)考試（文））下列結(jié)論正確的是（）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】C【解析】對于A選項(xiàng)，若SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，A選項(xiàng)錯誤；對于B選項(xiàng)，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0滿足，但SKIPIF1<0，B選項(xiàng)錯誤；對于C選項(xiàng)，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由不等式的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，D選項(xiàng)錯誤.故選：C.6．（2020·山西省高三其他（理））已知集合，，則()A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)榛?，，所以，，，故選：A7．（2020·山東省高三二模）已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，因此，.故選：D.8．（2021·寧夏石嘴山市·高三二模（理））已知SKIPIF1<0，下列不等式一定成立的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】利用特殊值法，可排除A、B、C，利用函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)性，可得判斷D正確.【詳解】當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，A、C均不成立；當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，B不成立；由于函數(shù)SKIPIF1<0在R上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D正確.故選：D9．【多選題】（2021·湖北高三月考）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為正數(shù)，且SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【解析】先根據(jù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為正數(shù)，且SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，A.利用基本不等式判斷；B.由SKIPIF1<0，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷；C.利用“1”的代換轉(zhuǎn)化結(jié)合基本不等式判斷；D.利用基本不等式判斷.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0均為正數(shù)，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，A.因?yàn)镾KIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，故錯誤；B.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故正確；C.因?yàn)镾KIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，取等號，故正確；D.因?yàn)镾KIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，取等號，故錯誤；故選：BC10．（2020·周口市中英文學(xué)校高二月考（文））(1)求不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集；(2)若關(guān)于x的不等式|ax－2|<3的解集為SKIPIF1<0，求a的值.【答案】(1){x|x≤－3或x≥2}(2)a＝－3【解析】(1)當(dāng)x<－2時(shí),不等式等價(jià)于－(x－1)－(x＋2)≥5,解得x≤－3；當(dāng)－2≤x<1時(shí),不等式等價(jià)于－(x－1)＋(x＋2)≥5,即3≥5,無解；當(dāng)x≥1時(shí),不等式等價(jià)于x－1＋x＋2≥5,解得x≥2.綜上,不等式的解集為{x|x≤－3或x≥2}.(2)∵|ax－2|<3,∴－1<ax<5.當(dāng)a>0時(shí),SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0無解；當(dāng)a＝0時(shí),x∈R,與已知條件不符；當(dāng)a<0時(shí),SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,解得a＝－3.練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·湖南高三二模）若相異兩實(shí)數(shù)x，y滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0之值為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】根據(jù)已知條件求得SKIPIF1<0，由此求得所求表達(dá)式的值.【詳解】兩式作差消元得：SKIPIF1<0，反代回去得：SKIPIF1<0，同理可得：SKIPIF1<0，由同構(gòu)及韋達(dá)定理有：SKIPIF1<0繼而有：SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：D2．（2021·新疆高三其他模擬（理））若關(guān)于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．5 B．SKIPIF1<0 C．6 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以將問題轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故選：C.3．（2021·四川南充市·高三三模（文））已知SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的以SKIPIF1<0為周期的偶函數(shù)，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】先利用函數(shù)的周期性和奇偶性可得SKIPIF1<0，從而將SKIPIF1<0轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0，進(jìn)而可求出SKIPIF1<0的取值范圍【詳解】解：因?yàn)镾KIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的以SKIPIF1<0為周期的偶函數(shù)，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0，故選：C4．（2021·河南商丘市·高三月考（文））已知函數(shù)SKIPIF1<0，若關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】方程SKIPIF1<0有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0，作出函數(shù)圖像，即轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有兩個(gè)不等實(shí)根，可得答案.【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，該直線恒過點(diǎn)SKIPIF1<0，方程SKIPIF1<0有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根如圖作出函數(shù)SKIPIF1<0的圖像，結(jié)合函數(shù)圖象，則SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有兩個(gè)不等實(shí)根，令SKIPIF1<0，實(shí)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.故選：D.5．（2021·湖南高三一模）已知關(guān)于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為________________．【答案】SKIPIF1<0【解析】由一元二次不等式的解集與一元二次方程根的關(guān)系，應(yīng)用韋達(dá)定理把SKIPIF1<0用SKIPIF1<0表示，化待求式為一元函數(shù)，再利用基本不等式得結(jié)論．【詳解】由不等式解集知SKIPIF1<0，由根與系數(shù)的關(guān)系知SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)取等號．故答案為：SKIPIF1<0．6．（2021·四川攀枝花市·高三一模（理））定義在R上的奇函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，不等式SKIPIF1<0的解為___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)及條件求得函數(shù)周期，從而求得SKIPIF1<0時(shí)對應(yīng)的函數(shù)解析式，然后解一元二次不等式即可.【詳解】SKIPIF1<0，函數(shù)周期為2；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0則不等式SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<07．（2020·寧夏回族自治區(qū)高三其他（理））已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；(2)若對于任意實(shí)數(shù)x，不等式SKIPIF1<0恒成立，求實(shí)數(shù)a的值范圍．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0【解析】(1)由題，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0恒成立，解得SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.綜上有SKIPIF1<0.故實(shí)數(shù)x的取值范圍為SKIPIF1<0(2)因?yàn)镾KIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故實(shí)數(shù)a的值范圍為SKIPIF1<08．已知函數(shù)f(x)＝log2(|x－1|＋|x－5|－a).(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值；(2)當(dāng)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)1.(2)a的取值范圍是(－∞，4).【解析】(1)函數(shù)的定義域滿足|x－1|＋|x－5|－a>0，即|x－1|＋|x－5|>a.設(shè)g(x)＝|x－1|＋|x－5|，由|x－1|＋|x－5|≥|x－1＋5－x|＝4，當(dāng)a＝2時(shí)，∵g(x)min＝4，∴f(x)min＝log2(4－2)＝1.(2)由(1)知，g(x)＝|x－1|＋|x－5|的最小值為4.∵|x－1|＋|x－5|－a>0，∴a<g(x)min時(shí)，f(x)的定義域?yàn)镽.∴a<4，即a的取值范圍是(－∞，4).9．（2019·河南省高三一模（理））已知函數(shù)SKIPIF1<0.（1）解不等式SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0對任意SKIPIF1<0恒成立，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）SKIPIF1<0，解SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以解集為SKIPIF1<0.（2）由（1）知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0時(shí)取得最小值SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.10．（2020·江蘇蘇州市·星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一月考）已