(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測專題6.3《平面向量的應(yīng)用》(解析版)

專題6.3平面向量的應(yīng)用新課程考試要求1.會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題．2.會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題.3.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡單的三角形度量問題.核心素養(yǎng)本節(jié)涉及所有的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：邏輯推理（多例）、直觀想象（多例）、數(shù)學(xué)運算（多例）等.考向預(yù)測（1）以平面圖形為載體，借助于平面向量研究平面幾何平行、垂直等問題；也易同三角函數(shù)、解析幾何等知識相結(jié)合，以工具的形式出現(xiàn)．（2）正弦定理或余弦定理獨立命題；（3）正弦定理與余弦定理綜合命題；（4）與三角函數(shù)的變換結(jié)合命題；（5）考查較為靈活，題型多變，選擇題、填空題的形式往往獨立考查正弦定理或余弦定理，解答題往往綜合考查定理在確定三角形邊角中的應(yīng)用，多與三角形周長、面積有關(guān)；有時也會與平面向量、三角恒等變換、立體幾何等結(jié)合考查.【知識清單】知識點1.向量在平面幾何中的應(yīng)用向量在平面幾何中的應(yīng)用主要有以下方面：(1)證明線段相等、平行，常運用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則，有時也用到向量減法的意義．(2)證明線段平行、三角形相似，判斷兩直線(或線段)是否平行，常運用向量平行(共線)的條件：a∥b?a＝λb(或x1y2－x2y1＝0)．(3)證明線段的垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形，判斷兩直線(線段)是否垂直等，常運用向量垂直的條件：a⊥b?a·b＝0(或x1x2＋y1y2＝0)．(4)求與夾角相關(guān)的問題，往往利用向量的夾角公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)．(5)向量的坐標(biāo)法，對于有些平面幾何問題，如長方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐標(biāo)系，把向量用坐標(biāo)表示，通過代數(shù)運算解決幾何問題．知識點2．向量在物理中的應(yīng)用數(shù)學(xué)中對物理背景問題主要研究下面兩類：(1)力向量力向量是具有大小、方向和作用點的向量，它與前面學(xué)習(xí)的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不計作用點的情況下，__可用向量求和的平行四邊形法則，求兩個力的合力__．(2)速度向量速度向量是具有大小和方向的向量，因而__可用求向量和的平行四邊形法則，求兩個速度的合速度__．知識點3．正弦定理正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，其中R是三角形外接圓的半徑．由正弦定理可以變形為：a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)等形式，以解決不同的三角形問題．面積公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB知識點4．余弦定理余弦定理：，，.變形公式cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，osC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)【考點分類剖析】考點一：平面向量在平面幾何中的應(yīng)用【典例1】（2021·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高一期中）已知非零向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為（）A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【答案】C【解析】由SKIPIF1<0推出SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0推出SKIPIF1<0，則可得答案.【詳解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為等腰直角三角形.故選：C【典例2】（2021·吉林吉林市·高三三模（文））已知SKIPIF1<0?SKIPIF1<0為平面上的兩個定點，且SKIPIF1<0，該平面上的動線段SKIPIF1<0的端點SKIPIF1<0?SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則動線段SKIPIF1<0所形成圖形的面積為（）A．36 B．60 C．72 D．108【答案】B【解析】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，得到動點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，進而得到SKIPIF1<0掃過的三角形的面積，再由SKIPIF1<0，同理得到SKIPIF1<0掃過的三角形的面積，兩者求和即可.【詳解】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；∴SKIPIF1<0；∴SKIPIF1<0，∴動點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，即線段CD上，則SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0掃過的三角形的面積為SKIPIF1<0，設(shè)點SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴動點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，即線段MN上，則SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0掃過的三角形的面積為SKIPIF1<0，∴因此和為60，故選：B.【典例3】（2021·濟南市·山東師范大學(xué)附中高一期中）設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0所在平面上一點，且滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的面積為2，則SKIPIF1<0面積為_______________．【答案】3【解析】由已知條件可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則可得SKIPIF1<0，從而可得SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上靠近SKIPIF1<0的三等分點，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，從而有SKIPIF1<0，進而可求得答案【詳解】解：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上靠近SKIPIF1<0的三等分點，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案為：3【總結(jié)提升】1.用平面向量解決幾何問題，往往涉及平行、垂直．2.處理幾何問題有兩個角度，一是注意選定基底，用相同的向量表示研究對象；二是通過建立坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運算求解．3.要證明兩線段平行，如AB∥CD，則只要證明存在實數(shù)λ≠0，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))成立，且AB與CD無公共點．4.要證明A、B、C三點共線，只要證明存在一實數(shù)λ≠0，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))．5.要求一個角，如∠ABC，只要求向量eq\o(BA,\s\up6(→))與向量eq\o(BC,\s\up6(→))的夾角即可．6.在解決求長度的問題時，可利用向量的數(shù)量積及模的知識，解題過程中用到的整體代入使問題得到簡捷、明了的解決．【變式探究】1．（2021·河北高一期中）已知SKIPIF1<0是邊長為2的正三角形，點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0所在平面內(nèi)的一點，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0長度的最小值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】通過建立直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)表示結(jié)合基本不等式解決向量模長問題.【詳解】如圖，以SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0為原點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸建立直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0長度的最小值為SKIPIF1<0.故選：B2.（2021·寧夏銀川市·銀川一中高三其他模擬（理））若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0所在平面內(nèi)任意一點，且滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的形狀為______．（填：等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、等腰直角三角形）【答案】等腰三角形【解析】取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，根據(jù)平面向量的線性運算計算SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0．【詳解】取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0SKIPIF1<0的形狀是等腰三角形．故答案為：等腰三角形.考點二：用向量方法探究存在性問題【典例4】在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，M是邊AC上靠近點A的一個三等分點，試問：在線段BM(端點除外)上是否存在點P，使得PC⊥BM?【答案】線段BM上不存在點P使得PC⊥BM．【解析】[思路分析]本題是存在性問題，解題時利用共線向量，把向量eq\o(BP,\s\up6(→))的坐標(biāo)設(shè)出，從而得到eq\o(CP,\s\up6(→))的坐標(biāo)，然后根據(jù)垂直關(guān)系，利用數(shù)量積為零得到問題的答案．解：以B為原點，BC所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴B(0,0)，A(3,4)，C(6,0)，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝(3，－4)．∵點M是邊AC上靠近點A的一個三等分點，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，－eq\f(4,3))，∴M(4，eq\f(8,3))，∴eq\o(BM,\s\up6(→))＝(4，eq\f(8,3))．假設(shè)在BM上存在點P使得PC⊥BM，設(shè)eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BM,\s\up6(→))，且0<λ<1，即eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BM,\s\up6(→))＝λ(4，eq\f(8,3))＝(4λ，eq\f(8,3)λ)，∴eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝(－6,0)＋(4λ，eq\f(8,3)λ)＝(4λ－6，eq\f(8,3)λ)．∵PC⊥BM，∴eq\o(CP,\s\up6(→))·eq\o(BM,\s\up6(→))＝0，得4(4λ－6)＋eq\f(8,3)×eq\f(8,3)λ＝0，解得λ＝eq\f(27,26)．∵λ＝eq\f(27,26)∈/(0,1)，∴線段BM上不存在點P使得PC⊥BM．【規(guī)律總結(jié)】本題若用平面幾何知識解非常復(fù)雜，利用共線向量則能巧妙解決，在今后解題中注意體會和應(yīng)用．【變式探究】△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是邊BC的中點，BE⊥AD，垂足為E，延長BE交AC于F，連接DF，求證：∠ADB＝∠FDC．【答案】【解析】如圖，B為原點，BC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A(0,2)，C(2,0)，則D(1,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，－2)．設(shè)eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝(0,2)＋(2λ，－2λ)＝(2λ，2－2λ)．又eq\o(DA,\s\up6(→))＝(－1,2)，eq\o(BF,\s\up6(→))⊥eq\o(DA,\s\up6(→))，∴eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))＝0，∴－2λ＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝eq\f(2,3)．∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝(eq\f(4,3)，eq\f(2,3))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\f(1,3)，eq\f(2,3))．又eq\o(DC,\s\up6(→))＝(1,0)，∴cos∠ADB＝eq\f(\o(DA,\s\up6(→))·\o(DB,\s\up6(→)),|\o(DA,\s\up6(→))|·|\o(DB,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(5),5)，cos∠FDC＝eq\f(\o(DF,\s\up6(→))·\o(DC,\s\up6(→)),|\o(DF,\s\up6(→))|·|\o(DC,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(5),5)，又∠ADB，∠FDC∈(0，π)，∴∠ADB＝∠FDC．考點三：平面向量在物理中的應(yīng)用【典例5】（2021·全國高一課時練習(xí)）空間作用在同一點的三個力SKIPIF1<0兩兩夾角為SKIPIF1<0，大小分別為SKIPIF1<0，設(shè)它們的合力為SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0，且與SKIPIF1<0夾角余弦為SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0，且與SKIPIF1<0夾角余弦為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，且與SKIPIF1<0夾角余弦為SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0，且與SKIPIF1<0夾角余弦為SKIPIF1<0【答案】C【解析】設(shè)三個力對應(yīng)的向量分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為過同一個頂點的三條棱，作平行六面體如圖，再以平面SKIPIF1<0為SKIPIF1<0平面，SKIPIF1<0為原點、SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系．分別算出點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的坐標(biāo)，運用向量的加法法則，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．最后利用向量模的公式算出SKIPIF1<0，并且利用向量夾角公式算出SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角余弦，即得解.【詳解】設(shè)向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為過同一個頂點的三條棱，作平行六面體SKIPIF1<0，如圖所示則可得向量SKIPIF1<0，以平面SKIPIF1<0為SKIPIF1<0平面，SKIPIF1<0為原點，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示可得SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，3，SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，3，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦之值為SKIPIF1<0.故選：C．【典例6】（2021·全國高一課時練習(xí)）如圖，重為SKIPIF1<0的勻質(zhì)球，半徑SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，放在墻與均勻的SKIPIF1<0木板之間，SKIPIF1<0端鎖定并能轉(zhuǎn)動，SKIPIF1<0端用水平繩索SKIPIF1<0拉住，板長SKIPIF1<0，與墻夾角為SKIPIF1<0，如果不計木板的重量，則SKIPIF1<0為何值時，繩子拉力最??？最小值是多少？【答案】SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有最小值SKIPIF1<0．【解析】設(shè)木板對球的支持力為SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，繩子的拉力為SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，利用三角函數(shù)的基本性質(zhì)和基本不等式，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)木板對球的支持力為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)繩子的拉力為SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由動力矩等于阻力矩得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有最小值SKIPIF1<0．【總結(jié)提升】1.求幾個力的合力，可以用幾何法，通過解三角形求解，也可用向量法求解．2．如果一個物體在力G的作用下產(chǎn)生位移為s，那么力F所做的功W＝|F||s|cosθ，其中θ是F與s的夾角．由于力和位移都是向量，所以力所做的功就是力與位移的數(shù)量積．【變式探究】1．【多選題】（2021·浙江高一期末）在水流速度為SKIPIF1<0的河水中，一艘船以SKIPIF1<0的實際航行速度垂直于對岸行駛，則下列關(guān)于這艘船的航行速度的大小和方向的說法中，正確的是（）A．這艘船航行速度的大小為SKIPIF1<0B．這艘船航行速度的大小為SKIPIF1<0C．這艘船航行速度的方向與水流方向的夾角為SKIPIF1<0D．這艘船航行速度的方向與水流方向的夾角為SKIPIF1<0【答案】BD【解析】根據(jù)題意作出圖示，結(jié)合向量的平行四邊形法則計算出船的速度以及船的航行方向和水流方向的夾角.【詳解】設(shè)船的實際航行速度為SKIPIF1<0，水流速度為SKIPIF1<0，船的航行速度為SKIPIF1<0，根據(jù)向量的平行四邊形法則可知：SKIPIF1<0，設(shè)船的航行方向和水流方向的夾角為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：BD.2.（2021·云南昆明市·高三三模（理））兩同學(xué)合提一捆書，提起后書保持靜止，如圖所示，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0大小之比為___________．【答案】SKIPIF1<0【解析】物體處于平衡狀態(tài)，所以水平方向的合力為0，然后可算出答案.【詳解】物體處于平衡狀態(tài)，所以水平方向的合力為0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0考點四：正弦定理【典例7】（2019·全國高考真題（文））的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsinA+acosB=0，則B=___________.【答案】.【解析】由正弦定理，得．，得，即，故選D．【典例8】（2021·濟南市·山東師范大學(xué)附中高一期中）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角SKIPIF1<0；（2）在平面四邊形SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算律得到SKIPIF1<0，再根據(jù)SKIPIF1<0計算可得；（2）由SKIPIF1<0，再根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算律求出SKIPIF1<0，再利用正弦定理求出SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0，從而得解；【詳解】（1）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0邊的長度為SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，由正弦定理可得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0【總結(jié)提升】已知兩角一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．已知兩邊和一邊對角，解三角形時，利用正弦定理求另一邊的對角時要注意討論該角，這是解題的難點，應(yīng)引起注意．已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形時，注意解的情況．如已知a，b，A，則A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的個數(shù)無解一解兩解一解一解無解【變式探究】1.（2019·北京高考模擬（理））在ΔABC中，已知BC=6，AC=4，sinA=3【答案】π【解析】∵BC=6，AC=4，sinA=34，由正弦定理BC∵AC＜BC，∴得B為銳角，所以B=π6故答案為：π62.（2018·北京高考真題（理））在△ABC中，a=7，b=8，cosB=–17（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC邊上的高．【答案】(1)∠A=π3(2)AC邊上的高為【解析】（1）在△ABC中，∵cosB=–17，∴B∈（π2，π），∴sinB=1?cos2B=437．由正弦定理得asinA=bsinB?7sinA=8（2）在△ABC中，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=32×(?1如圖所示，在△ABC中，∵sinC=?BC，∴h=BC?sinC=7×33考點五余弦定理【典例9】（2020·全國高考真題（文））SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知B=150°.（1）若a=SKIPIF1<0c，b=2SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積；（2）若sinA+SKIPIF1<0sinC=SKIPIF1<0，求C.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）已知角SKIPIF1<0和SKIPIF1<0邊，結(jié)合SKIPIF1<0關(guān)系，由余弦定理建立SKIPIF1<0的方程，求解得出SKIPIF1<0，利用面積公式，即可得出結(jié)論；（2）將SKIPIF1<0代入已知等式，由兩角差的正弦和輔助角公式，化簡得出有關(guān)SKIPIF1<0角的三角函數(shù)值，結(jié)合SKIPIF1<0的范圍，即可求解.【詳解】（1）由余弦定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【典例10】（2021·濟南市·山東省實驗中學(xué)高一期中）在平面四邊形ABCD中，AB=4，AD=2SKIPIF1<0，對角線AC與BD交于點E；E是BD的中點，且SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0，求cos∠AED的值；（2）若SKIPIF1<0，求BD的長.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；【解析】（1）利用正弦定理得SKIPIF1<0，接著在直角三角形中利用邊長求解即可.（2）利用中線的向量表示，結(jié)合向量的數(shù)量積得到SKIPIF1<0，最后利用余弦定理進行解題即可.【詳解】（1）由題意可知：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,由正弦定理可知：SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為直角三角形，由勾股定理可知：SKIPIF1<0,又因為E是BD的中點，所以SKIPIF1<0,則在直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2）因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為E是BD的中點，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0,解得：SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，利用余弦定理得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.【規(guī)律方法】應(yīng)用余弦定理解答兩類問題：【變式探究】1.（2021·四川雅安市·雅安中學(xué)高一期中）已知SKIPIF1<0的角SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0，設(shè)向量SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0，求證SKIPIF1<0為等腰三角形；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積.【答案】（1）證明見解析；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）根據(jù)平面向量共線的條件以及正弦定理可得結(jié)果；（2）根據(jù)平面向量垂直的坐標(biāo)表示得SKIPIF1<0，根據(jù)余弦定理求出SKIPIF1<0，再根據(jù)三角形的面積公式可求出結(jié)果.【詳解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等腰三角形.（2）由題意可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理可知SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），SKIPIF1<0.2.（2019·北京高考真題（文））在△ABC中，a=3，，cosB=．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B+C）的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由余弦定理可得，因為，所以；因為，所以解得.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以；因為為的內(nèi)角，所以.因為.【總結(jié)提升】已知三邊，由余弦定理求，再由求角，在有解時只有一解.已知兩邊和夾角，余弦定理求出對邊.考點六正弦定理與余弦定理的綜合運用【典例11】（2020·江蘇省高考真題）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在邊BC上取一點D，使得，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由余弦定理得，所以.由正弦定理得.（2）由于，，所以.由于，所以，所以.所以.由于，所以.所以.【典例12】（2021·天津濱海新區(qū)·高一期末）在SKIPIF1<0中，已知內(nèi)角SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0.（1）求角SKIPIF1<0的大小；（2）若SKIPIF1<0SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的取值范圍；（3）若SKIPIF1<0的內(nèi)切圓的周長為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0的值最小時，求SKIPIF1<0的面積.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0.【解析】（1）由SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，從而可求得角SKIPIF1<0的大?。唬?）SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0為鈍角，即SKIPIF1<0，再利用正弦定理表示出SKIPIF1<0，從而有SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0可求出SKIPIF1<0的取值范圍；（3）由余弦定理得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0的內(nèi)切圓的周長為SKIPIF1<0，可得內(nèi)切圓半徑SKIPIF1<0，設(shè)圓SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的內(nèi)切圓圓心，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為切點，則可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再由切線長定理可得SKIPIF1<0，結(jié)合前的式子可得SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，從而可得當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的值最小，進而可求出SKIPIF1<0的面積【詳解】解：（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0為鈍角，從而SKIPIF1<0由正弦定理，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（3）由余弦定理得：SKIPIF1<0，由題意可知：SKIPIF1<0的內(nèi)切圓周長SKIPIF1<0，所以內(nèi)切圓半徑SKIPIF1<0如圖，設(shè)圓SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的內(nèi)切圓圓心，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為切點，可知SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由切線長定理可知從圓外一點引圓的兩條切線長相等，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0(當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時取等號)即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的值最小為24，此時SKIPIF1<0的面積：SKIPIF1<0【總結(jié)提升】應(yīng)熟練掌握正、余弦定理及其變形．解三角形時，有時可用正弦定理，也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個定理更方便、簡捷就用哪一個定理．【變式探究】1.（2020·天津高考真題）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c．已知a=22（Ⅰ）求角C的大??；（Ⅱ）求sinA（Ⅲ）求sin2A+【答案】（Ⅰ）C=π4；（Ⅱ）sinA=【解析】（Ⅰ）在△ABC中，由a=22cosC=又因為C∈(0,π)，所以C=π（Ⅱ）在△ABC中，由C=π4，a=22,c=13（Ⅲ）由a<c知角A為銳角，由sinA=21313，可得進而sin2A=2所以sin(2A+π42．（2019·全國高考真題（理））的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)．（1）求A；（2）若，求sinC．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）即：由正弦定理可得：（2），由正弦定理得：又，整理可得：解得：或因為所以，故.（2）法二：，由正弦定理得：又，整理可得：，即由，所以.專題6.3平面向量的應(yīng)用練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·重慶九龍坡區(qū)·高三二模）已知等邊SKIPIF1<0的邊長為SKIPIF1<0為它所在平面內(nèi)一點，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．SKIPIF1<0 B．7 C．5 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，并延長到SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，從而將SKIPIF1<0轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以結(jié)合圖形可得答案【詳解】解：取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，并延長到SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為等邊三角形，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,因為等邊SKIPIF1<0的邊長為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0取得最大值，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線且同向，所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，故選：B2．（2021·浙江高一期末）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．5∶3∶4 B．5∶4∶3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】利用兩個向量的數(shù)量積的定義可得SKIPIF1<0，由此求得SKIPIF1<0的值，利用正弦定理可得SKIPIF1<0的值.【詳解】由題意，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，利用向量的數(shù)量積的定義可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以由正弦定理可得SKIPIF1<0.故選:D.3．【多選題】（2021·浙江高一期末）已知SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊上的高，以下結(jié)論：其中正確的選項是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0為銳角三角形C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】畫出圖形，利用向量的數(shù)量積公式，三角形中余弦定理及向量的運算法則對各命題進行判斷，看出每一個命題的正誤【詳解】解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A正確；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為銳角，無法得到其他角的關(guān)系，故無法判斷SKIPIF1<0的形狀，故B錯誤；SKIPIF1<0而SKIPIF1<0，故C正確SKIPIF1<0由余弦定理有SKIPIF1<0故有SKIPIF1<0，故D正確故選：ACD．4．【多選題】（2021·麻城市實驗高級中學(xué)高三其他模擬）已知點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0外接圓的圓心，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BD【解析】根據(jù)垂徑定理先求出SKIPIF1<0，再求SKIPIF1<0即可.【詳解】令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（舍）或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：BD.5．（2021·河北高一期中）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“勾股圓方圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”.類比趙爽弦圖，由3個全等的小三角形拼成如圖所示的等邊SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的邊長為SKIPIF1<0﹐且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積為___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】先根據(jù)圖形的構(gòu)成判斷出SKIPIF1<0，利用余弦定理解出AF，利用面積公式即可求出SKIPIF1<0的面積.【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.6．（2021·蘇州市第三中學(xué)校高一期中）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0內(nèi)（包括邊界）的一動點，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值是_________．【答案】SKIPIF1<0【解析】取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，由平行四邊形法則可得SKIPIF1<0點軌跡，確定所求最大值為SKIPIF1<0；利用平面向量數(shù)量積的定義和余弦定理可求得所需邊長，利用勾股定理可求得結(jié)果.【詳解】取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0內(nèi)（包含邊界）的一動點且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0根據(jù)平行四邊形法則可知：點SKIPIF1<0的軌跡為線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.7．（2021·河南商丘市·高一月考）在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，非零向量SKIPIF1<0，在圓SKIPIF1<0上存在點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是______．【答案】SKIPIF1<0【解析】由條件得SKIPIF1<0，代入坐標(biāo)形式進行運算，得到SKIPIF1<0，從而求得范圍.【詳解】設(shè)點SKIPIF1<0，由條件可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0是非零向量，所以SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<08．（2021·浙江高三月考）已知平面向量SKIPIF1<0夾角為SKIPIF1<0，且平面向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0SKIPIF1<0記SKIPIF1<0為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的最小值，則SKIPIF1<0的最大值是__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】將條件轉(zhuǎn)化，然后用數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，依題意可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故點SKIPIF1<0在△SKIPIF1<0的外接圓SKIPIF1<0上.其半徑SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，顯然，當(dāng)SKIPIF1<0運動到點SKIPIF1<0處時，SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.9．（2021·江蘇蘇州市·高一月考）我們知道，“有了運算，向量的力量無限”.實際上，通過向量運算證明某些幾何圖形的性質(zhì)比平面幾何的“從圖形的己知性質(zhì)推出待證的性質(zhì)”簡便多了.下面請用向量的方法證明“三角形的三條高交于一點”.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的三條高，求證：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于一點.【答案】證明見解析.【解析】結(jié)合向量的數(shù)量積即可證明.【詳解】如圖，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0①-②得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點共線，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相較于一點.10．（2021·浙江高一期末）甲船在靜水中的速度為40海里/小時，當(dāng)甲船在點A時，測得海面上乙船擱淺在其南偏東SKIPIF1<0方向的點P處，甲船繼續(xù)向北航行0.5小時后到達點B，測得乙船P在其南偏東SKIPIF1<0方向，（1）假設(shè)水流速度為0，畫出兩船的位置圖，標(biāo)出相應(yīng)角度并求出點B與點P之間的距離．（2）若水流的速度為10海里/小時，方向向正東方向，甲船保持40海里/小時的靜水速度不變，從點B走最短的路程去救援乙船，求甲船的船頭方向與實際行進方向所成角的正弦值．【答案】（1）點B與點P之間的距離為SKIPIF1<0海里，（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）畫出圖形，利用余弦定理求解即可；（2）利用向量的加法的平行四邊形法則畫出圖形，然后利用正弦定理求解即可.【詳解】（1）兩船的位置圖如下：由圖可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以由余弦定理可得SKIPIF1<0所以點B與點P之間的距離為SKIPIF1<0海里（2）如圖，SKIPIF1<0的方向為水流的方向，SKIPIF1<0的方向為船頭的方向，SKIPIF1<0的方向為實際行進的方向，其中SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，由正弦定理可得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0即甲船的船頭方向與實際行進方向所成角的正弦值為SKIPIF1<0練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2020·江蘇高考真題）在△ABC中，SKIPIF1<0D在邊BC上，延長AD到P，使得AP=9，若SKIPIF1<0（m為常數(shù)），則CD的長度是________．【答案】SKIPIF1<0或0【解析】根據(jù)題設(shè)條件可設(shè)SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0與SKIPIF1<0三點共線，可求得SKIPIF1<0，再根據(jù)勾股定理求出SKIPIF1<0，然后根據(jù)余弦定理即可求解.【詳解】∵SKIPIF1<0三點共線，∴可設(shè)SKIPIF1<0，∵