三角函數(shù)最值問(wèn)題的十種常見(jiàn)解法

三角函數(shù)最值問(wèn)題的十種常見(jiàn)解法福州高級(jí)中學(xué)陳錦平三角函數(shù)是重要的數(shù)學(xué)運(yùn)算工具，三角函數(shù)最值問(wèn)題是三角函數(shù)中的根本內(nèi)容，對(duì)三角函數(shù)的恒等變形能力及綜合應(yīng)用要求較高.解決三角函數(shù)最值這類問(wèn)題的根本途徑，一方面應(yīng)充分利用三角函數(shù)自身的特殊性〔如有界性等〕，另一方面還要注意將求解三角函數(shù)最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一些我們所熟知的函數(shù)〔二次函數(shù)等〕最值問(wèn)題.下面介紹幾種常見(jiàn)的求三角函數(shù)最值的方法：一．轉(zhuǎn)化一次函數(shù)在三角函數(shù)中，正弦函數(shù)與余弦函數(shù)具有一個(gè)最根本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的有界性是求解三角函數(shù)最值的最根本方法.例1?求函數(shù)y二2cosx-1的值域［分析］此為y二acosx+b型的三角函數(shù)求最值問(wèn)題，設(shè)t=cosx,由三角函數(shù)的有界性得tg［-1,1］，那么y二2t-1g［-3,1］轉(zhuǎn)化y二Asin（ex+申）+b（輔助角法）觀察三角函數(shù)名和角，先化簡(jiǎn)，使三角函數(shù)的名和角統(tǒng)一.例2.〔2017年全國(guó)II卷〕求函數(shù)f（x）二2cosx+sinx的最大值為.［分析］此為y=asinx+bcosx型的三角函數(shù)求最值問(wèn)題，通過(guò)引入輔助角公式把三角函數(shù)化為y二Asin（①x+Q）+B的形式，再借助三角函數(shù)圖象研究性質(zhì)，解題時(shí)注意觀察角、函數(shù)名、構(gòu)造等特征.一般可利用|asinx+bcosxIS\；'a2+b2求最值.f（x）“2271區(qū)?轉(zhuǎn)化二次函數(shù)（配方法）假設(shè)函數(shù)表達(dá)式中只含有正弦函數(shù)或余弦函數(shù)，且它們次數(shù)是2時(shí)，一般就需要通過(guò)配方或換元將給定的函數(shù)化歸為二次函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)處理.-.word.zl..word.zl..word.zl.例3.求函數(shù)y=—sin2x—3cosx+3的最小值.［分析］利用sin2x+cos2x=1將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=cos2x—3cosx+2，令t=cosx，那么—1那么—1WtW1,y=t2—3t+2，配方，得y=(3)21t——I2)—1<t<1,當(dāng)t=1時(shí)，即cosx=1時(shí)，y=0minsinxcosx的函數(shù)sinxcosx的函數(shù)，運(yùn)用關(guān)系對(duì)于表達(dá)式中同時(shí)含有sinx+cosx，與(sinx土cosx》=1土2sinxcosx,一般都可采用換元法轉(zhuǎn)化為t的二次函數(shù)去求最值,必須要注意換元后新變量的取值范圍.例4.求函數(shù)y=sinx+cosx+sinx.cosx的最大值.［分析］解：令(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx.，設(shè)t=sinx+cosx.那sinxcosx=邛y=字+t，其中t丄?遼J當(dāng)t當(dāng)t=42,sinIx+—=1,y=+max2利用根本不等式法利用根本不等式求函數(shù)的最值，要合理的拆添項(xiàng)，湊常數(shù)，同時(shí)要注意等號(hào)成立的條件否那么會(huì)陷入誤區(qū).例5.xWG,兀)，求函數(shù)y=sinx+的最小值.2sinxa［分析］此題為sinx+型三角函數(shù)求最值問(wèn)題，當(dāng)sinx>0,a>1,不能用均值不等式求最sinx值，適合用函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性來(lái)求解.設(shè)sinx設(shè)sinx=t,(0<t<1),y=t+2-2“=抱'當(dāng)且僅當(dāng)t=子時(shí)等號(hào)成立.2t利用函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性例6.xw(0,兀)，求函數(shù)y=sinX+^—的最小值.slnXa［分析］此題為sinX+型三角函數(shù)求最值問(wèn)題，當(dāng)sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最sinX值，適合用函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性來(lái)求解.設(shè)sinX二t,G<t<1),y二t+-，在〔0,1〕上為減函數(shù)，當(dāng)t=1時(shí)，y.=3.tmin轉(zhuǎn)化局部分式,,,2cosX+1例7?求函數(shù)y=的值域2cosX_1acosX+b［分析］此為y二型的三角函數(shù)求最值問(wèn)題，分子、分母的三角函數(shù)同名、ccosX_d同角,這類三角函數(shù)一般先化為局部分式,再利用三角函數(shù)的有界性去解.或者也可先用反解法,再用三角函數(shù)的有界性去解.2解法,再用三角函數(shù)的有界性去解.2解法一：原函數(shù)變形為y=1+2cosX_1，丁|cosX<1，可直接得到:y>3或y<3.解法一：原函數(shù)變形為cosx二?/解法一：原函數(shù)變形為cosx二?/|cosx|<1,.?.廠1

)2(y_1)<1,.y>3或y<八．?dāng)?shù)形結(jié)合由于sin2X+COS2x=1，所以從圖形考慮，點(diǎn)(cosx,sinx)在單位圓上，這樣對(duì)一類既含有正弦函數(shù),又含有余弦函數(shù)的三角函數(shù)的最值問(wèn)題可考慮用幾何方法求得.Si^lX()例8.求函數(shù)y二(0<X<兀丿的最小值.2_cosX0Sl^lX［分析］法一：將表達(dá)式改寫成y=，y可看成連接兩點(diǎn)A(2,0)與點(diǎn)(cosx,sinx)的2_cosX直線的斜率.由于點(diǎn)(cosx,sinx)的軌跡是單位圓的上半圓〔如圖〕所以求y的最小值就是在這個(gè)半圓上求一點(diǎn)，使得相應(yīng)的直線斜率最小.設(shè)過(guò)點(diǎn)A的切線與半圓相切與點(diǎn)B,那么k<y<0.AB可求得k=tan竺=—竺AB632121.word.zl.所以y的最小值為—3〔此時(shí)x二上〕.33法二：該題也可利用關(guān)系式asinx+bcosx=Ja2+b2sin(x+0)〔即引入輔助角法〕和有界性來(lái)求解.九．判別式法tan2x—tanx+1例9.求函數(shù)y=的最值.tan2x+tanx+1［分析］同一變量分子、分母最高次數(shù)齊次，常用判別式法和常數(shù)別離法.tan2x—tanx+1y=tan2x+tanx+1解：?(y—1)tan2x+(y+1)tanx+(y—1)=0y=1,tanx=0,x=k兀(kg兀)yh1時(shí)此時(shí)一元二次方程總有實(shí)數(shù)解???A=(y+1)2—4(y—1》>0,??上y—1)(y—3)<0???3<y<3.兀()由y=3,tanx=-1，/.X=k兀+kGZJ,4J117兀由y=,tanx=1,Ax=k兀+,y34十．分類討論法miny=3max_1-3含參數(shù)的三角函數(shù)的值域問(wèn)題，需要對(duì)參數(shù)進(jìn)展討論.(\a1(兀例10.設(shè)f'x丿=—cos2x+asinx—才一一0<x<—，用a表示f(x)的最大值M(a).解：fC)=—sin2X+asinx一—+-?令sinx=t,那么0<t<1,42.word.zl..word.zl.gC)二f(x)a1=—t2+at—+=42a2a1+——+—.442⑴當(dāng)->1,即a>2,gC）在［0,1］上遞增，MC）=g（l）=3a—-；242⑵當(dāng)0<-<1,即0<a<2時(shí)，gC）在［0,1］上先增后減，2M(a)=g—a2a1——+—4423）當(dāng)2<0,即a<0,gC）在［0,1］上遞減，M(a)=g(0)=1a24???M(a)=a2a1T—4+2,0<a<2以上幾種方法中又以配方法和輔助角法及利用三角函數(shù)的有界性解題最為常見(jiàn).解決這類問(wèn)題最關(guān)鍵的在于對(duì)三角函數(shù)的靈活應(yīng)用及抓住題目關(guān)鍵和本質(zhì)所在.挑戰(zhàn)自我：1.求函數(shù)y=5sinx+cos2x的最值2.函數(shù)y=^cos2x+3sinx-cosx+1(xeR)當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí),22求自變量x3.的集合.函數(shù)f(x)=2sinx(sinx+cosx)求函數(shù)f（x）的最小正周期和最大值.參考答案：1.［分析］：觀察三角函數(shù)名和角,其中一個(gè)為正弦,一個(gè)為余弦,角分別是單角和倍角,所以先化簡(jiǎn),使三角函數(shù)的名和角到達(dá)統(tǒng)一.

y=5sinx+i-y=5sinx+i-2sin2x-2sin2x+5sinx+1=-2sinx-—I4丿兀81-1<sinx<1,「.sinx=-1,x=2k兀一一,kez,y=-2x+—2min16兀133%sinx=1?x=2傾+—,kez,y=-2x+=42max168233+-833=-682.［分析］此類問(wèn)題為y二asin2x+bsinx-233+-833=-681=—sin2Jl"1+cos2x3sin2x.13+-1=—sin2Jl"1+cos2x3sin2x.13+-+1=cos2x+-22244512122x+—+—,2x+—=—+2k兀,?x=—+k兀(kez)y4626maxsin2x+丄=丄—co