貴州省安順市三年（2020-2022）中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-解答題（Word版含解析）

貴州省安順市三年（2020-2022）中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-解答題一．完全平方公式（共1小題）1．（2021?貴陽）（1）有三個(gè)不等式2x+3＜﹣1，﹣5x＞15，3（x﹣1）＞6，請?jiān)谄渲腥芜x兩個(gè)不等式，組成一個(gè)不等式組，并求出它的解集；（2）小紅在計(jì)算a（1+a）﹣（a﹣1）2時(shí)，解答過程如下：a（1+a）﹣（a﹣1）2＝a+a2﹣（a2﹣1）……第一步＝a+a2﹣a2﹣1……第二步＝a﹣1……第三步小紅的解答從第步開始出錯，請寫出正確的解答過程．二．整式的混合運(yùn)算—化簡求值（共1小題）2．（2022?安順）（1）計(jì)算：（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣|﹣．（2）先化簡，再求值：（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1），其中x＝．三．一元一次不等式的應(yīng)用（共1小題）3．（2022?安順）閱讀材料：被譽(yù)為“世界雜交水稻之父”的“共和國勛章”獲得者袁隆平，成功研發(fā)出雜交水稻，雜交水稻的畝產(chǎn)量是普通水稻的畝產(chǎn)量的2倍．現(xiàn)有兩塊試驗(yàn)田，A塊種植雜交水稻，B塊種植普通水稻，A塊試驗(yàn)田比B塊試驗(yàn)田少4畝．（1）A塊試驗(yàn)田收獲水稻9600千克、B塊試驗(yàn)田收獲水稻7200千克，求普通水稻和雜交水稻的畝產(chǎn)量各是多少千克？（2）為了增加產(chǎn)量，明年計(jì)劃將種植普通水稻的B塊試驗(yàn)田的一部分改種雜交水稻，使總產(chǎn)量不低于17700千克，那么至少把多少畝B塊試驗(yàn)田改種雜交水稻？四．一次函數(shù)的應(yīng)用（共2小題）4．（2021?貴陽）為慶祝“中國共產(chǎn)黨的百年華誕”，某校請廣告公司為其制作“童心向黨”文藝活動的展板、宣傳冊和橫幅，其中制作宣傳冊的數(shù)量是展板數(shù)量的5倍，廣告公司制作每件產(chǎn)品所需時(shí)間和利潤如表：產(chǎn)品展板宣傳冊橫幅制作一件產(chǎn)品所需時(shí)間（小時(shí)）1制作一件產(chǎn)品所獲利潤（元）20310（1）若制作三種產(chǎn)品共計(jì)需要25小時(shí)，所獲利潤為450元，求制作展板、宣傳冊和橫幅的數(shù)量；（2）若廣告公司所獲利潤為700元，且三種產(chǎn)品均有制作，求制作三種產(chǎn)品總量的最小值．5．（2020?安順）第33個(gè)國際禁毒日到來之際，貴陽市策劃了以“健康人生綠色無毒”為主題的禁毒宣傳月活動，某班開展了此項(xiàng)活動的知識競賽．學(xué)習(xí)委員為班級購買獎品后與生活委員對話如下：（1）請用方程的知識幫助學(xué)習(xí)委員計(jì)算一下，為什么說學(xué)習(xí)委員搞錯了；（2）學(xué)習(xí)委員連忙拿出發(fā)票，發(fā)現(xiàn)的確錯了，因?yàn)樗€買了一本筆記本，但筆記本的單價(jià)已模糊不清，只能辨認(rèn)出單價(jià)是小于10元的整數(shù)，那么筆記本的單價(jià)可能是多少元？五．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題（共3小題）6．（2022?安順）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)D在y軸上，A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（4，0），（4，m），直線CD：y＝ax+b（a≠0）與反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象交于C，P（﹣8，﹣2）兩點(diǎn)．（1）求該反比例函數(shù)的解析式及m的值；（2）判斷點(diǎn)B是否在該反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由．7．（2021?貴陽）如圖，一次函數(shù)y＝kx﹣2k（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y＝（m﹣1≠0）的圖象交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)A，過點(diǎn)C作CB⊥y軸，垂足為B，若S△ABC＝3．（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)及m的值；（2）若AB＝2，求一次函數(shù)的表達(dá)式．8．（2020?安順）如圖，一次函數(shù)y＝x+1的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象相交，其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）將一次函數(shù)y＝x+1的圖象向下平移2個(gè)單位，求平移后的圖象與反比例函數(shù)y＝圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）直接寫出一個(gè)一次函數(shù)，使其過點(diǎn)（0，5），且與反比例函數(shù)y＝的圖象沒有公共點(diǎn)．六．二次函數(shù)的應(yīng)用（共2小題）9．（2021?貴陽）甲秀樓是貴陽市一張靚麗的名片．如圖①，甲秀樓的橋拱截面OBA可視為拋物線的一部分，在某一時(shí)刻，橋拱內(nèi)的水面寬OA＝8m，橋拱頂點(diǎn)B到水面的距離是4m．（1）按如圖②所示建立平面直角坐標(biāo)系，求橋拱部分拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）一只寬為1.2m的打撈船徑直向橋駛來，當(dāng)船駛到橋拱下方且距O點(diǎn)O.4m時(shí)，橋下水位剛好在OA處，有一名身高1.68m的工人站立在打撈船正中間清理垃圾，他的頭頂是否會觸碰到橋拱，請說明理由（假設(shè)船底與水面齊平）．（3）如圖③，橋拱所在的函數(shù)圖象是拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0），該拋物線在x軸下方部分與橋拱OBA在平靜水面中的倒影組成一個(gè)新函數(shù)圖象．將新函數(shù)圖象向右平移m（m＞0）個(gè)單位長度，平移后的函數(shù)圖象在8≤x≤9時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，結(jié)合函數(shù)圖象，求m的取值范圍．10．（2020?安順）2020年體育中考，增設(shè)了考生進(jìn)入考點(diǎn)需進(jìn)行體溫檢測的要求．防疫部門為了解學(xué)生錯峰進(jìn)入考點(diǎn)進(jìn)行體溫檢測的情況，調(diào)查了一所學(xué)校某天上午考生進(jìn)入考點(diǎn)的累計(jì)人數(shù)y（人）與時(shí)間x（分鐘）的變化情況，數(shù)據(jù)如下表：（表中9～15表示9＜x≤15）時(shí)間x（分鐘）01234567899～15人數(shù)y（人）0170320450560650720770800810810（1）根據(jù)這15分鐘內(nèi)考生進(jìn)入考點(diǎn)的累計(jì)人數(shù)與時(shí)間的變化規(guī)律，利用初中所學(xué)函數(shù)知識求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果考生一進(jìn)考點(diǎn)就開始測量體溫，體溫檢測點(diǎn)有2個(gè)，每個(gè)檢測點(diǎn)每分鐘檢測20人，考生排隊(duì)測量體溫，求排隊(duì)人數(shù)最多時(shí)有多少人？全部考生都完成體溫檢測需要多少時(shí)間？（3）在（2）的條件下，如果要在12分鐘內(nèi)讓全部考生完成體溫檢測，從一開始就應(yīng)該至少增加幾個(gè)檢測點(diǎn)？七．二次函數(shù)綜合題（共1小題）11．（2022?安順）在平面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱點(diǎn)P為和諧點(diǎn)．例如：點(diǎn)（1，1），（，），（﹣，﹣），……都是和諧點(diǎn)．（1）判斷函數(shù)y＝2x+1的圖象上是否存在和諧點(diǎn)，若存在，求出其和諧點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若二次函數(shù)y＝ax2+6x+c（a≠0）的圖象上有且只有一個(gè)和諧點(diǎn)（，）．①求a，c的值；②若1≤x≤m時(shí)，函數(shù)y＝ax2+6x+c+（a≠0）的最小值為﹣1，最大值為3，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．八．全等三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）12．（2022?安順）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC邊上的一點(diǎn)，以AD為直角邊作等腰Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，連接CE．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）若∠BAD＝22.5°時(shí)，求BD的長．九．矩形的性質(zhì)（共1小題）13．（2021?貴陽）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足為N．（1）求證：△ABN≌△MAD；（2）若AD＝2，AN＝4，求四邊形BCMN的面積．一十．四邊形綜合題（共3小題）14．（2022?安順）如圖1，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝8，E是AD邊上的一點(diǎn)，連接CE，將矩形ABCD沿CE折疊，頂點(diǎn)D恰好落在AB邊上的點(diǎn)F處，延長CE交BA的延長線于點(diǎn)G．（1）求線段AE的長；（2）求證四邊形DGFC為菱形；（3）如圖2，M，N分別是線段CG，DG上的動點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），且∠DMN＝∠DCM，設(shè)DN＝x，是否存在這樣的點(diǎn)N，使△DMN是直角三角形？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．15．（2021?貴陽）（1）閱讀理解我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中．漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．根據(jù)“趙爽弦圖”寫出勾股定理和推理過程；（2）問題解決勾股定理的證明方法有很多，如圖②是古代的一種證明方法：過正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，將它分成4份，所分成的四部分和以BC為邊的正方形恰好能拼成以AB為邊的正方形．若AC＝12，BC＝5，求EF的值；（3）拓展探究如圖③，以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程就可以得到“勾股樹”的部分圖形．設(shè)大正方形N的邊長為定值n，小正方形A，B，C，D的邊長分別為a，b，c，d．已知∠1＝∠2＝∠3＝α，當(dāng)角α（0°＜α＜90°）變化時(shí)，探究b與c的關(guān)系式，并寫出該關(guān)系式及解答過程（b與c的關(guān)系式用含n的式子表示）．16．（2020?安順）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)O為對角線AC的中點(diǎn)．（1）問題解決：如圖①，連接BO，分別取CB，BO的中點(diǎn)P，Q，連接PQ，則PQ與BO的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）問題探究：如圖②，△AO'E是將圖①中的△AOB繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到的三角形，連接CE，點(diǎn)P，Q分別為CE，BO'的中點(diǎn)，連接PQ，PB．判斷△PQB的形狀，并證明你的結(jié)論；（3）拓展延伸：如圖③，△AO'E是將圖①中的△AOB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到的三角形，連接BO'，點(diǎn)P，Q分別為CE，BO'的中點(diǎn)，連接PQ，PB．若正方形ABCD的邊長為1，求△PQB的面積．一十一．扇形面積的計(jì)算（共1小題）17．（2021?貴陽）如圖，在⊙O中，AC為⊙O的直徑，AB為⊙O的弦，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作AB的垂線，交AB于點(diǎn)M，交⊙O于點(diǎn)N，分別連接EB，CN．（1）EM與BE的數(shù)量關(guān)系是；（2）求證：＝；（3）若AM＝，MB＝1，求陰影部分圖形的面積．一十二．作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖（共1小題）18．（2020?安順）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按下列要求畫三角形．（1）在圖①中，畫一個(gè)直角三角形，使它的三邊長都是有理數(shù)；（2）在圖②中，畫一個(gè)直角三角形，使它的一邊長是有理數(shù)，另外兩邊長是無理數(shù)；（3）在圖③中，畫一個(gè)直角三角形，使它的三邊長都是無理數(shù)．一十三．相似三角形的判定與性質(zhì)（共3小題）19．（2022?安順）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E是劣弧BD上一點(diǎn)，∠PAD＝∠AED，且DE＝，AE平分∠BAD，AE與BD交于點(diǎn)F．（1）求證：PA是⊙O的切線；（2）若tan∠DAE＝，求EF的長；（3）延長DE，AB交于點(diǎn)C，若OB＝BC，求⊙O的半徑．20．（2020?安順）如圖，四邊形ABCD是矩形，E是BC邊上一點(diǎn)，點(diǎn)F在BC的延長線上，且CF＝BE．（1）求證：四邊形AEFD是平行四邊形；（2）連接ED，若∠AED＝90°，AB＝4，BE＝2，求四邊形AEFD的面積．21．（2020?安順）如圖，AB為⊙O的直徑，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC，BD交于點(diǎn)E，⊙O的切線AF交BD的延長線于點(diǎn)F，切點(diǎn)為A，且∠CAD＝∠ABD．（1）求證：AD＝CD；（2）若AB＝4，BF＝5，求sin∠BDC的值．一十四．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共3小題）22．（2022?安順）隨著我國科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，5G移動通信技術(shù)日趨完善，某市政府為了實(shí)現(xiàn)5G網(wǎng)絡(luò)全覆蓋，2021～2025年擬建設(shè)5G基站3000個(gè)，如圖，在斜坡CB上有一建成的5G基站塔AB，小明在坡腳C處測得塔頂A的仰角為45°，然后他沿坡面CB行走了50米到達(dá)D處，D處離地平面的距離為30米且在D處測得塔頂A的仰角53°．（點(diǎn)A、B、C、D、E均在同一平面內(nèi)，CE為地平線）（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）（1）求坡面CB的坡度；（2）求基站塔AB的高．23．（2021?貴陽）隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步，無人機(jī)被廣泛應(yīng)用到實(shí)際生活中，小星利用無人機(jī)來測量廣場B，C兩點(diǎn)之間的距離．如圖所示，小星站在廣場的B處遙控?zé)o人機(jī)，無人機(jī)在A處距離地面的飛行高度是41.6m，此時(shí)從無人機(jī)測得廣場C處的俯角為63°，他抬頭仰視無人機(jī)時(shí)，仰角為α，若小星的身高BE＝1.6m，EA＝50m（點(diǎn)A，E，B，C在同一平面內(nèi)）．（1）求仰角α的正弦值；（2）求B，C兩點(diǎn)之間的距離（結(jié)果精確到1m）．（sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）24．（2020?安順）脫貧攻堅(jiān)工作讓老百姓過上了幸福的生活．如圖①是政府給貧困戶新建的房屋，如圖②是房屋的側(cè)面示意圖，它是一個(gè)軸對稱圖形，對稱軸是房屋的高AB所在的直線，為了測量房屋的高度，在地面上C點(diǎn)測得屋頂A的仰角為35°，此時(shí)地面上C點(diǎn)、屋檐上E點(diǎn)、屋頂上A點(diǎn)三點(diǎn)恰好共線，繼續(xù)向房屋方向走8m到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，又測得屋檐E點(diǎn)的仰角為60°，房屋的頂層橫梁EF＝12m，EF∥CB，AB交EF于點(diǎn)G（點(diǎn)C，D，B在同一水平線上）．（參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，≈1.7）（1）求屋頂?shù)綑M梁的距離AG；（2）求房屋的高AB（結(jié)果精確到1m）．一十五．扇形統(tǒng)計(jì)圖（共1小題）25．（2020?安順）2020年2月，貴州省積極響應(yīng)國家“停課不停學(xué)”的號召，推出了“空中黔課”．為了解某中學(xué)初三學(xué)生每天聽空中黔課的時(shí)間，隨機(jī)調(diào)查了該校部分初三學(xué)生．根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制出了如圖統(tǒng)計(jì)圖表（不完整），請根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：部分初三學(xué)生每天聽空中黔課時(shí)間的人數(shù)統(tǒng)計(jì)表時(shí)間/h1.522.533.54人數(shù)/人26610m4（1）本次共調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為，在表格中，m＝；（2）統(tǒng)計(jì)的這組數(shù)據(jù)中，每天聽空中黔課時(shí)間的中位數(shù)是，眾數(shù)是；（3）請就疫情期間如何學(xué)習(xí)的問題寫出一條你的看法．一十六．條形統(tǒng)計(jì)圖（共1小題）26．（2021?貴陽）2020年我國進(jìn)行了第七次全國人口普查，小星要了解我省城鎮(zhèn)及鄉(xiāng)村人口變化情況，根據(jù)貴州省歷次人口普查結(jié)果，繪制了如下的統(tǒng)計(jì)圖表．請利用統(tǒng)計(jì)圖表提供的信息回答下列問題：貴州省歷次人口普查城鎮(zhèn)人口統(tǒng)計(jì)表年份1953196419821990200020102020城鎮(zhèn)人口（萬人）11020454063584511752050城鎮(zhèn)化率7%12%19%20%24%a53%（1）這七次人口普查鄉(xiāng)村人口數(shù)的中位數(shù)是萬人；（2）城鎮(zhèn)化率是一個(gè)國家或地區(qū)城鎮(zhèn)人口占其總?cè)丝诘陌俜致剩呛饬砍擎?zhèn)化水平的一個(gè)指標(biāo)．根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表提供的信息，我省2010年的城鎮(zhèn)化率a是（結(jié)果精確到1%）；假設(shè)未來幾年我省城鄉(xiāng)總?cè)丝跀?shù)與2020年相同，城鎮(zhèn)化率要達(dá)到60%，則需從鄉(xiāng)村遷入城鎮(zhèn)的人口數(shù)量是萬人（結(jié)果保留整數(shù)）；（3）根據(jù)貴州省歷次人口普查統(tǒng)計(jì)圖表，用一句話描述我省城鎮(zhèn)化的趨勢．一十七．加權(quán)平均數(shù)（共1小題）27．（2022?安順）國務(wù)院教育督導(dǎo)委員會辦公室印發(fā)的《關(guān)于組織責(zé)任督學(xué)進(jìn)行“五項(xiàng)管理”督導(dǎo)的通知》指出，要加強(qiáng)中小學(xué)生作業(yè)、睡眠、手機(jī)、讀物、體質(zhì)管理．某校數(shù)學(xué)社團(tuán)成員采用隨機(jī)抽樣的方法，抽取了七年級部分學(xué)生，對他們一周內(nèi)平均每天的睡眠時(shí)間t（單位：小時(shí)）進(jìn)行了調(diào)查，將數(shù)據(jù)整理后得到下列不完整的統(tǒng)計(jì)表：睡眠時(shí)間頻數(shù)頻率t＜730.067≤t＜8a0.168≤t＜9100.209≤t＜1024bt≥1050.10請根據(jù)統(tǒng)計(jì)表中的信息回答下列問題．（1）a＝，b＝；（2）請估計(jì)該校600名七年級學(xué)生中平均每天的睡眠時(shí)間不足9小時(shí)的人數(shù)；（3）研究表明，初中生每天睡眠時(shí)間低于9小時(shí)，會影響學(xué)習(xí)效率．請你根據(jù)以上調(diào)查統(tǒng)計(jì)結(jié)果，向?qū)W校提出一條合理化的建議．一十八．列表法與樹狀圖法（共1小題）28．（2020?安順）“2020第二屆貴陽市應(yīng)急科普知識大賽”的比賽中有一個(gè)抽獎活動，規(guī)則是：準(zhǔn)備3張大小一樣，背面完全相同的卡片，3張卡片的正面所寫內(nèi)容分別是《消防知識手冊》《辭?！贰掇o海》，將它們背面朝上洗勻后任意抽出一張，抽到卡片后可以免費(fèi)領(lǐng)取卡片上相應(yīng)的書籍．（1）在上面的活動中，如果從中隨機(jī)抽出一張卡片，記下內(nèi)容后不放回，再隨機(jī)抽出一張卡片，請用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好抽到2張卡片都是《辭?！返母怕?；（2）再添加幾張和原來一樣的《消防知識手冊》卡片，將所有卡片背面朝上洗勻后，任意抽出一張，使得抽到《消防知識手冊》卡片的概率為，那么應(yīng)添加多少張《消防知識手冊》卡片？請說明理由．

貴州省安順市三年（2020-2022）中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-解答題參考答案與試題解析一．完全平方公式（共1小題）1．（2021?貴陽）（1）有三個(gè)不等式2x+3＜﹣1，﹣5x＞15，3（x﹣1）＞6，請?jiān)谄渲腥芜x兩個(gè)不等式，組成一個(gè)不等式組，并求出它的解集；（2）小紅在計(jì)算a（1+a）﹣（a﹣1）2時(shí)，解答過程如下：a（1+a）﹣（a﹣1）2＝a+a2﹣（a2﹣1）……第一步＝a+a2﹣a2﹣1……第二步＝a﹣1……第三步小紅的解答從第一步開始出錯，請寫出正確的解答過程．【解答】（1）解：第一種組合：，解不等式①，得x＜﹣2，解不等式②，得x＜﹣3∴原不等式組的解集是x＜﹣3；第二種組合：，解不等式①，得x＜﹣2，解不等式②，得x＞3，∴原不等式組無解；第三種組合：，解不等式①，得x＜﹣3，解不等式②，得x＞3，∴原不等式組無解；（任選其中一種組合即可）；（2）一，解：a（1+a）﹣（a﹣1）2＝a+a2﹣（a2﹣2a+1）＝a+a2﹣a2+2a﹣1＝3a﹣1．故答案為一．二．整式的混合運(yùn)算—化簡求值（共1小題）2．（2022?安順）（1）計(jì)算：（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣|﹣．（2）先化簡，再求值：（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1），其中x＝．【解答】解：（1）（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣|﹣＝1+1+2×+﹣1﹣2＝2++﹣1﹣2＝1；（2）（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1）＝x2+6x+9+x2﹣9﹣2x2﹣2x＝4x，當(dāng)x＝時(shí)，原式＝4×＝2．三．一元一次不等式的應(yīng)用（共1小題）3．（2022?安順）閱讀材料：被譽(yù)為“世界雜交水稻之父”的“共和國勛章”獲得者袁隆平，成功研發(fā)出雜交水稻，雜交水稻的畝產(chǎn)量是普通水稻的畝產(chǎn)量的2倍．現(xiàn)有兩塊試驗(yàn)田，A塊種植雜交水稻，B塊種植普通水稻，A塊試驗(yàn)田比B塊試驗(yàn)田少4畝．（1）A塊試驗(yàn)田收獲水稻9600千克、B塊試驗(yàn)田收獲水稻7200千克，求普通水稻和雜交水稻的畝產(chǎn)量各是多少千克？（2）為了增加產(chǎn)量，明年計(jì)劃將種植普通水稻的B塊試驗(yàn)田的一部分改種雜交水稻，使總產(chǎn)量不低于17700千克，那么至少把多少畝B塊試驗(yàn)田改種雜交水稻？【解答】解：（1）設(shè)普通水稻的畝產(chǎn)量是x千克，則雜交水稻的畝產(chǎn)量是2x千克，依題意得：﹣＝4，解得：x＝600，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝600是原方程的解，且符合題意，則2x＝2×600＝1200．答：普通水稻的畝產(chǎn)量是600千克，雜交水稻的畝產(chǎn)量是1200千克；（2）設(shè)把y畝B塊試驗(yàn)田改種雜交水稻，依題意得：9600+600（﹣y）+1200y≥17700，解得：y≥3．答：至少把3畝B塊試驗(yàn)田改種雜交水稻．四．一次函數(shù)的應(yīng)用（共2小題）4．（2021?貴陽）為慶?！爸袊伯a(chǎn)黨的百年華誕”，某校請廣告公司為其制作“童心向黨”文藝活動的展板、宣傳冊和橫幅，其中制作宣傳冊的數(shù)量是展板數(shù)量的5倍，廣告公司制作每件產(chǎn)品所需時(shí)間和利潤如表：產(chǎn)品展板宣傳冊橫幅制作一件產(chǎn)品所需時(shí)間（小時(shí)）1制作一件產(chǎn)品所獲利潤（元）20310（1）若制作三種產(chǎn)品共計(jì)需要25小時(shí)，所獲利潤為450元，求制作展板、宣傳冊和橫幅的數(shù)量；（2）若廣告公司所獲利潤為700元，且三種產(chǎn)品均有制作，求制作三種產(chǎn)品總量的最小值．【解答】解：（1）設(shè)制作展板數(shù)量為x件，橫幅數(shù)量為y件，則宣傳冊數(shù)量為5x件，由題意得：，解得：，答：制作展板數(shù)量10件，宣傳冊數(shù)量50件，橫幅數(shù)量10件；（2）設(shè)制作三種產(chǎn)品總量為w件，展板數(shù)量m件，則宣傳冊數(shù)量5m件，橫幅數(shù)量（w﹣6m）件，由題意得：20m+3×5m+10（w﹣6m）＝700，解得：w＝m+70，∵，解得：0＜m＜20，∵w，m是整數(shù)，∴m的最小值為2，∴w是m的一次函數(shù)，∵k＝，∴w隨m的增加而增加，∵三種產(chǎn)品均有制作，且w，m均為正整數(shù)，∴當(dāng)m＝2時(shí)，w有最小值，則wmin＝75，答：制作三種產(chǎn)品總量的最小值為75件．5．（2020?安順）第33個(gè)國際禁毒日到來之際，貴陽市策劃了以“健康人生綠色無毒”為主題的禁毒宣傳月活動，某班開展了此項(xiàng)活動的知識競賽．學(xué)習(xí)委員為班級購買獎品后與生活委員對話如下：（1）請用方程的知識幫助學(xué)習(xí)委員計(jì)算一下，為什么說學(xué)習(xí)委員搞錯了；（2）學(xué)習(xí)委員連忙拿出發(fā)票，發(fā)現(xiàn)的確錯了，因?yàn)樗€買了一本筆記本，但筆記本的單價(jià)已模糊不清，只能辨認(rèn)出單價(jià)是小于10元的整數(shù)，那么筆記本的單價(jià)可能是多少元？【解答】解：（1）設(shè)單價(jià)為6元的鋼筆買了x支，則單價(jià)為10元的鋼筆買了（100﹣x）支，根據(jù)題意，得：6x+10（100﹣x）＝1300﹣378，解得x＝19.5，因?yàn)殇摴P的數(shù)量不可能是小數(shù)，所以學(xué)習(xí)委員搞錯了；（2）設(shè)筆記本的單價(jià)為a元，根據(jù)題意，得：6x+10（100﹣x）+a＝1300﹣378，整理，得：x＝，因?yàn)?＜a＜10，x隨a的增大而增大，所以19.5＜x＜22，∵x取整數(shù)，∴x＝20，21．當(dāng)x＝20時(shí)，a＝4×20﹣78＝2；當(dāng)x＝21時(shí)，a＝4×21﹣78＝6，所以筆記本的單價(jià)可能是2元或6元．五．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題（共3小題）6．（2022?安順）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)D在y軸上，A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（4，0），（4，m），直線CD：y＝ax+b（a≠0）與反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象交于C，P（﹣8，﹣2）兩點(diǎn)．（1）求該反比例函數(shù)的解析式及m的值；（2）判斷點(diǎn)B是否在該反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由．【解答】解：（1）把P（﹣8，﹣2）代入y＝得：﹣2＝，解得k＝16，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝，∵C（4，m）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴m＝＝4；∴反比例函數(shù)的解析式為y＝，m＝4；（2）B在在反比例函數(shù)的圖象上，理由如下：連接AC，BD交于H，如圖：把C（4，4），P（﹣8，﹣2）代入y＝ax+b得：，解得，∴直線CD的解析式是y＝x+2，在y＝x+2中，令x＝0得y＝2，∴D（0，2），∵四邊形ABCD是菱形，∴H是AC中點(diǎn)，也是BD中點(diǎn)，由A（4，0），C（4，4）可得H（4，2），設(shè)B（p，q），∵D（0，2），∴，解得，∴B（8，2），在y＝中，令x＝8得y＝2，∴B在反比例函數(shù)的圖象上．7．（2021?貴陽）如圖，一次函數(shù)y＝kx﹣2k（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y＝（m﹣1≠0）的圖象交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)A，過點(diǎn)C作CB⊥y軸，垂足為B，若S△ABC＝3．（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)及m的值；（2）若AB＝2，求一次函數(shù)的表達(dá)式．【解答】解：（1）令y＝0，則kx﹣2k＝0，∴x＝2，∴A（2，0），設(shè)C（a，b），∵CB⊥y軸，∴B（0，b），∴BC＝﹣a，∵S△ABC＝3，∴，∴ab＝﹣6，∴m﹣1＝ab＝﹣6，∴m＝﹣5，即A（2，0），m＝﹣5；（2）在Rt△AOB中，AB2＝OA2+OB2，∵，∴b2+4＝8，∴b2＝4，∴b＝±2，∵b＞0，∴b＝2，∴a＝﹣3，∴C（﹣3，2），將C（﹣3，2）代入到直線解析式中得，∴一次函數(shù)的表達(dá)式為．8．（2020?安順）如圖，一次函數(shù)y＝x+1的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象相交，其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）將一次函數(shù)y＝x+1的圖象向下平移2個(gè)單位，求平移后的圖象與反比例函數(shù)y＝圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）直接寫出一個(gè)一次函數(shù)，使其過點(diǎn)（0，5），且與反比例函數(shù)y＝的圖象沒有公共點(diǎn)．【解答】解：（1）將x＝2代入y＝x+1＝3，故其中交點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3），將（2，3）代入反比例函數(shù)表達(dá)式并解得：k＝2×3＝6，故反比例函數(shù)表達(dá)式為：y＝①；（2）一次函數(shù)y＝x+1的圖象向下平移2個(gè)單位得到y(tǒng)＝x﹣1②，聯(lián)立①②并解得：，故交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣3）和（3，2）；（3）設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式為：y＝kx+5③，聯(lián)立①③并整理得：kx2+5x﹣6＝0，∵兩個(gè)函數(shù)沒有公共點(diǎn)，故△＝25+24k＜0，解得：k＜﹣，故可以取k＝﹣2（答案不唯一），故一次函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣2x+5（答案不唯一）．六．二次函數(shù)的應(yīng)用（共2小題）9．（2021?貴陽）甲秀樓是貴陽市一張靚麗的名片．如圖①，甲秀樓的橋拱截面OBA可視為拋物線的一部分，在某一時(shí)刻，橋拱內(nèi)的水面寬OA＝8m，橋拱頂點(diǎn)B到水面的距離是4m．（1）按如圖②所示建立平面直角坐標(biāo)系，求橋拱部分拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）一只寬為1.2m的打撈船徑直向橋駛來，當(dāng)船駛到橋拱下方且距O點(diǎn)O.4m時(shí)，橋下水位剛好在OA處，有一名身高1.68m的工人站立在打撈船正中間清理垃圾，他的頭頂是否會觸碰到橋拱，請說明理由（假設(shè)船底與水面齊平）．（3）如圖③，橋拱所在的函數(shù)圖象是拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0），該拋物線在x軸下方部分與橋拱OBA在平靜水面中的倒影組成一個(gè)新函數(shù)圖象．將新函數(shù)圖象向右平移m（m＞0）個(gè)單位長度，平移后的函數(shù)圖象在8≤x≤9時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，結(jié)合函數(shù)圖象，求m的取值范圍．【解答】解：（1）如圖②，由題意得：水面寬OA是8m，橋拱頂點(diǎn)B到水面的距離是4m，結(jié)合函數(shù)圖象可知，頂點(diǎn)B（4，4），點(diǎn)O（0，0），設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝a（x﹣4）2+4，將點(diǎn)O（0，0）代入函數(shù)表達(dá)式，解得：a＝﹣，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣（x﹣4）2+4，即y＝﹣x2+2x（0≤x≤8）；（2）工人不會碰到頭，理由如下：∵打撈船距O點(diǎn)0.4m，打撈船寬1.2m，工人直立在打撈船中間，由題意得：工人距O點(diǎn)距離為0.4+×1.2＝1，∴將x＝1代入y＝﹣x2+2x，解得：y＝＝1.75，∵1.75m＞1.68m，∴此時(shí)工人不會碰到頭；（3）拋物線y＝﹣x2+2x在x軸上方的部分與橋拱在平靜水面中的倒影關(guān)于x軸成軸對稱．如圖所示，新函數(shù)圖象的對稱軸也是直線x＝4，此時(shí)，當(dāng)0≤x≤4或x≥8時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，將新函數(shù)圖象向右平移m個(gè)單位長度，可得平移后的函數(shù)圖象，如圖所示，∵平移不改變圖形形狀和大小，∴平移后函數(shù)圖象的對稱軸是直線x＝4+m，∴當(dāng)m≤x≤4+m或x≥8+m時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，∴當(dāng)8≤x≤9時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，結(jié)合函數(shù)圖象，得m的取值范圍是：①m≤8且4+m≥9，得5≤m≤8，②8+m≤8，得m≤0，由題意知m＞0，∴m≤0不符合題意，舍去，綜上所述，m的取值范圍是5≤m≤8．10．（2020?安順）2020年體育中考，增設(shè)了考生進(jìn)入考點(diǎn)需進(jìn)行體溫檢測的要求．防疫部門為了解學(xué)生錯峰進(jìn)入考點(diǎn)進(jìn)行體溫檢測的情況，調(diào)查了一所學(xué)校某天上午考生進(jìn)入考點(diǎn)的累計(jì)人數(shù)y（人）與時(shí)間x（分鐘）的變化情況，數(shù)據(jù)如下表：（表中9～15表示9＜x≤15）時(shí)間x（分鐘）01234567899～15人數(shù)y（人）0170320450560650720770800810810（1）根據(jù)這15分鐘內(nèi)考生進(jìn)入考點(diǎn)的累計(jì)人數(shù)與時(shí)間的變化規(guī)律，利用初中所學(xué)函數(shù)知識求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果考生一進(jìn)考點(diǎn)就開始測量體溫，體溫檢測點(diǎn)有2個(gè)，每個(gè)檢測點(diǎn)每分鐘檢測20人，考生排隊(duì)測量體溫，求排隊(duì)人數(shù)最多時(shí)有多少人？全部考生都完成體溫檢測需要多少時(shí)間？（3）在（2）的條件下，如果要在12分鐘內(nèi)讓全部考生完成體溫檢測，從一開始就應(yīng)該至少增加幾個(gè)檢測點(diǎn)？【解答】解：（1）由表格中數(shù)據(jù)的變化趨勢可知，①當(dāng)0≤x≤9時(shí)，y是x的二次函數(shù)，∵當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，∴二次函數(shù)的關(guān)系式可設(shè)為：y＝ax2+bx，由題意可得：，解得：，∴二次函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣10x2+180x，②當(dāng)9＜x≤15時(shí)，y＝810，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝；（2）設(shè)第x分鐘時(shí)的排隊(duì)人數(shù)為w人，由題意可得：w＝y(tǒng)﹣40x＝，①當(dāng)0≤x≤9時(shí)，w＝﹣10x2+140x＝﹣10（x﹣7）2+490，∴當(dāng)x＝7時(shí)，w的最大值＝490，②當(dāng)9＜x≤15時(shí)，w＝810﹣40x，w隨x的增大而減小，∴210≤w＜450，∴排隊(duì)人數(shù)最多時(shí)是490人，要全部考生都完成體溫檢測，根據(jù)題意得：810﹣40x＝0，解得：x＝20.25，答：排隊(duì)人數(shù)最多時(shí)有490人，全部考生都完成體溫檢測需要20.25分鐘；（3）設(shè)從一開始就應(yīng)該增加m個(gè)檢測點(diǎn)，由題意得：12×20（m+2）≥810，解得m≥，∵m是整數(shù)，∴m≥的最小整數(shù)是2，∴一開始就應(yīng)該至少增加2個(gè)檢測點(diǎn)．七．二次函數(shù)綜合題（共1小題）11．（2022?安順）在平面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱點(diǎn)P為和諧點(diǎn)．例如：點(diǎn)（1，1），（，），（﹣，﹣），……都是和諧點(diǎn)．（1）判斷函數(shù)y＝2x+1的圖象上是否存在和諧點(diǎn)，若存在，求出其和諧點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若二次函數(shù)y＝ax2+6x+c（a≠0）的圖象上有且只有一個(gè)和諧點(diǎn)（，）．①求a，c的值；②若1≤x≤m時(shí)，函數(shù)y＝ax2+6x+c+（a≠0）的最小值為﹣1，最大值為3，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解答】解：（1）存在和諧點(diǎn)，理由如下，設(shè)函數(shù)y＝2x+1的和諧點(diǎn)為（x，x），∴2x+1＝x，解得x＝﹣1，∴和諧點(diǎn)為（﹣1，﹣1）；（2）①∵點(diǎn)（，）是二次函數(shù)y＝ax2+6x+c（a≠0）的和諧點(diǎn)，∴＝a+15+c，∴c＝﹣a﹣，∵二次函數(shù)y＝ax2+6x+c（a≠0）的圖象上有且只有一個(gè)和諧點(diǎn)，∴ax2+6x+c＝x有且只有一個(gè)根，∴Δ＝25﹣4ac＝0，∴a＝﹣1，c＝﹣；②由①可知y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣3）2+3，∴拋物線的對稱軸為直線x＝3，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣1，當(dāng)x＝3時(shí)，y＝3，當(dāng)x＝5時(shí)，y＝﹣1，∵函數(shù)的最大值為3，最小值為﹣1；當(dāng)3≤m≤5時(shí)，函數(shù)的最大值為3，最小值為﹣1．八．全等三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）12．（2022?安順）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC邊上的一點(diǎn)，以AD為直角邊作等腰Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，連接CE．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）若∠BAD＝22.5°時(shí)，求BD的長．【解答】（1）證明：∵∠BAC＝90°＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，∴BC＝，∠B＝∠ACB＝45°，∵∠BAD＝22.5°，∴∠ADC＝67.5°＝∠CAD，∴AC＝CD＝1，∴BD＝﹣1．九．矩形的性質(zhì)（共1小題）13．（2021?貴陽）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足為N．（1）求證：△ABN≌△MAD；（2）若AD＝2，AN＝4，求四邊形BCMN的面積．【解答】（1）證明：在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，∴∠BAN＝∠AMD，∵BN⊥AM，∴∠BNA＝90°，在△ABN和△MAD中，，∴△ABN≌△MAD（AAS）；（2）解：∵△ABN≌△MAD，∴BN＝AD，∵AD＝2，∴BN＝2，又∵AN＝4，在Rt△ABN中，AB＝＝＝2，∴S矩形ABCD＝2×2＝4，S△ABN＝S△MAD＝×2×4＝4，∴S四邊形BCMN＝S矩形ABCD﹣S△ABN﹣S△MAD＝4﹣8．一十．四邊形綜合題（共3小題）14．（2022?安順）如圖1，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝8，E是AD邊上的一點(diǎn)，連接CE，將矩形ABCD沿CE折疊，頂點(diǎn)D恰好落在AB邊上的點(diǎn)F處，延長CE交BA的延長線于點(diǎn)G．（1）求線段AE的長；（2）求證四邊形DGFC為菱形；（3）如圖2，M，N分別是線段CG，DG上的動點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），且∠DMN＝∠DCM，設(shè)DN＝x，是否存在這樣的點(diǎn)N，使△DMN是直角三角形？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．【解答】（1）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠B＝∠ADC＝90°，CD＝BD＝10，BC＝AD＝8，在Rt△BCF中，CF＝CD＝10，BC＝8，∴BF＝6，∴AF＝AB﹣BF＝4，設(shè)AE＝x，則EF＝DE＝8﹣x，在Rt△AEF中，由勾股定理得，EF2﹣AE2＝AF2，∴（8﹣x）2﹣x2＝42，∴x＝3，∴AE＝3；（2）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴△AGE∽△DCE，∴，由（1）得：AE＝3，∴DE＝8﹣3＝5，∴，∴AG＝6，∴FG＝AF+AG＝4+6＝10，∴FG＝CD，∴四邊形DGFC是平行四邊形，∵CD＝CF，∴?DGFC是菱形；（3）解：∵四邊形FGDC是菱形，∴∠DGC＝∠DCG＝∠FGC＝，DG＝CD＝10，在Rt△BCG中，BC＝8，BG＝BF+FG＝6+10＝16，∴tan∠FGC＝，CG＝＝＝8，∴sin∠FCG＝＝，如圖1，當(dāng)∠MDN＝90°時(shí)，在Rt△GDM中，DM＝DG?tan∠DGM＝10?tan∠FGC＝10×＝5，在Rt△DMN中，DN＝DM?tan∠DMN，∵∠DMN＝∠DCM，∠DCM＝∠FGC，∴DN＝DM?tan∠FGC＝5×＝，如圖2，當(dāng)∠MND＝90°時(shí)，∠DMN+∠GDM＝90°，∵∠DMN＝∠DCM＝∠DGM，∴∠DGM+∠GDM＝90°，∴∠DMG＝90°，∴DM＝DG?sin∠DGM＝10×＝2，在Rt△DMN中，DN＝DM?sin∠DMN＝DM?sin∠FGC＝2×＝2，綜上所述：DN＝或2．15．（2021?貴陽）（1）閱讀理解我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中．漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．根據(jù)“趙爽弦圖”寫出勾股定理和推理過程；（2）問題解決勾股定理的證明方法有很多，如圖②是古代的一種證明方法：過正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，將它分成4份，所分成的四部分和以BC為邊的正方形恰好能拼成以AB為邊的正方形．若AC＝12，BC＝5，求EF的值；（3）拓展探究如圖③，以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程就可以得到“勾股樹”的部分圖形．設(shè)大正方形N的邊長為定值n，小正方形A，B，C，D的邊長分別為a，b，c，d．已知∠1＝∠2＝∠3＝α，當(dāng)角α（0°＜α＜90°）變化時(shí)，探究b與c的關(guān)系式，并寫出該關(guān)系式及解答過程（b與c的關(guān)系式用含n的式子表示）．【解答】解：（1）a2+b2＝c2（直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方），證明如下：∵如圖①是由直角邊長分別為a，b的四個(gè)全等的直角三角形與中間一個(gè)邊長為（b﹣a）的小正方形拼成的一個(gè)邊長為c的大正方形，∴4△ADE的面積+正方形EFGH的面積＝正方形ABCD的面積，即4×ab+（b﹣a）2＝c2，整理得：a2+b2＝c2；（2）由題意得：正方形ACDE被分成4個(gè)全等的四邊形，設(shè)EF＝a，F(xiàn)D＝b，分兩種情況：①a＞b時(shí)，∴a+b＝12，∵正方形ABIJ是由正方形ACDE被分成的4個(gè)全等的四邊形和正方形CBLM拼成，∴E'F'＝EF，KF'＝FD，E'K＝BC＝5，∵E'F'﹣KF'＝E'K，∴a﹣b＝5，∴，解得：a＝，∴EF＝；②a＜b時(shí)，同①得：，解得：a＝，∴EF＝；綜上所述，EF為或；（3）c+b＝n，理由如下：如圖③所示：設(shè)正方形E的邊長為e，正方形F的邊長為f，∵∠1＝∠2＝∠3＝α，∠PMQ＝∠D'OE'＝∠B'C'A'＝90°，∴△PMQ∽△D'OE'∽△B'C'A'，∴＝，＝，即＝，＝，∴e2＝cn，f2＝bn，在Rt△A'B'C'中，由勾股定理得：e2+f2＝n2，∴cn+bn＝n2，∴c+b＝n．16．（2020?安順）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)O為對角線AC的中點(diǎn)．（1）問題解決：如圖①，連接BO，分別取CB，BO的中點(diǎn)P，Q，連接PQ，則PQ與BO的數(shù)量關(guān)系是PQ＝BO，位置關(guān)系是PQ⊥BO；（2）問題探究：如圖②，△AO'E是將圖①中的△AOB繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到的三角形，連接CE，點(diǎn)P，Q分別為CE，BO'的中點(diǎn)，連接PQ，PB．判斷△PQB的形狀，并證明你的結(jié)論；（3）拓展延伸：如圖③，△AO'E是將圖①中的△AOB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到的三角形，連接BO'，點(diǎn)P，Q分別為CE，BO'的中點(diǎn)，連接PQ，PB．若正方形ABCD的邊長為1，求△PQB的面積．【解答】解：（1）∵點(diǎn)O為對角線AC的中點(diǎn)，∴BO⊥AC，BO＝CO，∵P為BC的中點(diǎn)，Q為BO的中點(diǎn)，∴PQ∥OC，PQ＝OC，∴PQ⊥BO，PQ＝BO；故答案為：PQ＝BO，PQ⊥BO．（2）△PQB的形狀是等腰直角三角形．理由如下：連接O'P并延長交BC于點(diǎn)F，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵將△AOB繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到△AO'E，∴△AO'E是等腰直角三角形，O'E∥BC，O'E＝O'A，∴∠O'EP＝∠FCP，∠PO'E＝∠PFC，又∵點(diǎn)P是CE的中點(diǎn)，∴CP＝EP，∴△O'PE≌△FPC（AAS），∴O'E＝FC＝O'A，O'P＝FP，∴AB﹣O'A＝CB﹣FC，∴BO'＝BF，∴△O'BF為等腰直角三角形．∴BP⊥O'F，O'P＝BP，∴△BPO'也為等腰直角三角形．又∵點(diǎn)Q為O'B的中點(diǎn)，∴PQ⊥O'B，且PQ＝BQ，∴△PQB的形狀是等腰直角三角形；（3）延長O'E交BC邊于點(diǎn)G，連接PG，O'P．∵四邊形ABCD是正方形，AC是對角線，∴∠ECG＝45°，由旋轉(zhuǎn)得，四邊形O'ABG是矩形，∴O'G＝AB＝BC，∠EGC＝90°，∴△EGC為等腰直角三角形．∵點(diǎn)P是CE的中點(diǎn)，∴PC＝PG＝PE，∠CPG＝90°，∠EGP＝45°，∴△O'GP≌△BCP（SAS），∴∠O'PG＝∠BPC，O'P＝BP，∴∠O'PG﹣∠GPB＝∠BPC﹣∠GPB＝90°，∴∠O'PB＝90°，∴△O'PB為等腰直角三角形，∵點(diǎn)Q是O'B的中點(diǎn)，∴PQ＝O'B＝BQ，PQ⊥O'B，∵AB＝1，∴O'A＝，∴O'B＝＝＝，∴BQ＝．∴S△PQB＝BQ?PQ＝×＝．一十一．扇形面積的計(jì)算（共1小題）17．（2021?貴陽）如圖，在⊙O中，AC為⊙O的直徑，AB為⊙O的弦，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作AB的垂線，交AB于點(diǎn)M，交⊙O于點(diǎn)N，分別連接EB，CN．（1）EM與BE的數(shù)量關(guān)系是BE＝EM；（2）求證：＝；（3）若AM＝，MB＝1，求陰影部分圖形的面積．【解答】解：（1）∵AC為⊙O的直徑，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴∠ABE＝45°，∵AB⊥EN，∴△BME是等腰直角三角形，∴BE＝EM，故答案為BE＝EM；（2）連接EO，∵AC是⊙O的直徑，E是的中點(diǎn)，∴∠AOE＝90°，∴∠ABE＝∠AOE＝45°，∵EN⊥AB，垂足為點(diǎn)M，∴∠EMB＝90°∴∠ABE＝∠BEN＝45°，∴＝，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴＝，∴＝，∴﹣＝﹣，∴＝；（3）連接AE，OB，ON，∵EN⊥AB，垂足為點(diǎn)M，∴∠AME＝∠EMB＝90°，∵BM＝1，由（2）得∠ABE＝∠BEN＝45°，∴EM＝BM＝1，又∵BE＝EM，∴BE＝，∵在Rt△AEM中，EM＝1，AM＝，∴tan∠EAB＝＝，∴∠EAB＝30°，∵∠EAB＝∠EOB，∴∠EOB＝60°，又∵OE＝OB，∴△EOB是等邊三角形，∴OE＝BE＝，又∵＝，∴BE＝CN，∴△OEB≌△OCN（SSS），∴CN＝BE＝又∵S扇形OCN＝＝，S△OCN＝CN×CN＝×＝，∴S陰影＝S扇形OCN﹣S△OCN＝﹣．一十二．作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖（共1小題）18．（2020?安順）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按下列要求畫三角形．（1）在圖①中，畫一個(gè)直角三角形，使它的三邊長都是有理數(shù)；（2）在圖②中，畫一個(gè)直角三角形，使它的一邊長是有理數(shù)，另外兩邊長是無理數(shù)；（3）在圖③中，畫一個(gè)直角三角形，使它的三邊長都是無理數(shù)．【解答】解：（1）如圖①中，△ABC即為所求．（2）如圖②中，△ABC即為所求．（3）△ABC即為所求．一十三．相似三角形的判定與性質(zhì)（共3小題）19．（2022?安順）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E是劣弧BD上一點(diǎn)，∠PAD＝∠AED，且DE＝，AE平分∠BAD，AE與BD交于點(diǎn)F．（1）求證：PA是⊙O的切線；（2）若tan∠DAE＝，求EF的長；（3）延長DE，AB交于點(diǎn)C，若OB＝BC，求⊙O的半徑．【解答】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠ABD＝90°，∵∠PAD＝∠AED，∠AED＝∠ABD，∴∠PAD＝∠ABD，∴∠DAB+∠PAD＝90°，即∠ABP＝90°，∴AB⊥PB，∵AB是⊙O的直徑，∴BP是⊙O的切線；（2）解：連接BE，如圖：∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴＝，∠DAE＝∠BAE＝∠DBE，∴BE＝DE＝，tan∠DAE＝tan∠BAE＝tan∠DBE＝＝，∴＝，∴EF＝1；（3）解：連接OE，如圖：∵OE＝OA，∴∠AEO＝∠OAE，∵∠OAE＝∠DAE，∴∠AEO＝∠DAE，∴OE∥AD，∴＝，∵OA＝OB＝BC，∴＝2，∴＝2，∵DE＝，∴CE＝2，CD＝CE+DE＝3設(shè)BC＝OB＝OA＝R，∵∠BDC＝∠BAE，∠C＝∠C，∴△CBD∽△CEA，∴＝，即＝，∴R＝2，∴⊙O的半徑是2．20．（2020?安順）如圖，四邊形ABCD是矩形，E是BC邊上一點(diǎn)，點(diǎn)F在BC的延長線上，且CF＝BE．（1）求證：四邊形AEFD是平行四邊形；（2）連接ED，若∠AED＝90°，AB＝4，BE＝2，求四邊形AEFD的面積．【解答】（1）證明：∵∠四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵BE＝CF，∴BE+EC＝EC+CF，即BC＝EF，∴AD＝EF，∴四邊形AEFD是平行四邊形；（2）解：連接DE，如圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，在Rt△ABE中，AE＝＝2，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EAD，∵∠B＝∠AED＝90°，∴△ABE∽△DEA，∴AE：AD＝BE：AE，∴AD＝＝10，∵AB＝4，∴四邊形AEFD的面積＝AB×AD＝4×10＝40．21．（2020?安順）如圖，AB為⊙O的直徑，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC，BD交于點(diǎn)E，⊙O的切線AF交BD的延長線于點(diǎn)F，切點(diǎn)為A，且∠CAD＝∠ABD．（1）求證：AD＝CD；（2）若AB＝4，BF＝5，求sin∠BDC的值．【解答】解：（1）證明：∵∠CAD＝∠ABD，又∵∠ABD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠CAD，∴AD＝CD；（2）∵AF是⊙O的切線，∴∠FAB＝90°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝∠ADB＝∠ADF＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝∠BAD+∠FAD＝90°，∴∠ABD＝∠FAD，∵∠ABD＝∠CAD，∴∠FAD＝∠EAD，∵AD＝AD，∴△ADF≌△ADE（ASA），∴AF＝AE，DF＝DE，在Rt△ADE中，AB＝4，BF＝5，∴AF＝，∴AE＝AF＝3，∵，∴，∴DE＝，∴BE＝BF﹣2DE＝，∵∠AED＝∠BEC，∠ADE＝∠BCE＝90°，∴△BEC∽△AED，∴，∴，∴，∵∠BDC＝∠BAC，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°∴．法二、如圖，連接OD，AC交于點(diǎn)H，∵AD＝CD，∴OD⊥AC，設(shè)OH為x，則HD為2﹣x，∵AF與⊙O相切，∴∠BAF＝90°，∵AB＝4，BF＝5，∴AF＝3，OA＝2，∵AD⊥BF，∴AD＝＝，∴OA2﹣OH2＝AD2﹣HD2，即22﹣x2＝（）2﹣（2﹣x）2，解得x＝，∴sin∠BDC＝＝．一十四．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共3小題）22．（2022?安順）隨著我國科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，5G移動通信技術(shù)日趨完善，某市政府為了實(shí)現(xiàn)5G網(wǎng)絡(luò)全覆蓋，2021～2025年擬建設(shè)5G基站3000個(gè)，如圖，在斜坡CB上有一建成的5G基站塔AB，小明在坡腳C處測得塔頂A的仰角為45°，然后他沿坡面CB行走了50米到達(dá)D處，D處離地平面的距離為30米且在D處測得塔頂A的仰角53°．（點(diǎn)A、B、C、D、E均在同一平面內(nèi)，CE為地平線）（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）（1）求坡面CB的坡度；（2）求基站塔AB的高．【解答】解：（1）如圖，過點(diǎn)D作AB的垂線，交AB的延長線于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DM⊥CE，垂足為M．由題意可知：CD＝50米，DM＝30米．在Rt△CDM中，由勾股定理得：CM2＝CD2﹣DM2，∴CM＝40米，∴斜坡CB的坡度＝DM：CM＝3：4；（2）設(shè)DF＝4a米，則MN＝4a米，BF＝3a米，∵∠ACN＝45°，∴∠CAN＝∠ACN＝45°，∴AN＝CN＝（40+4a）米，∴AF＝AN﹣NF＝AN﹣DM＝40+4a﹣30＝（10+4a）米．在Rt△ADF中，∵DF＝4a米，AF＝（10+4a）米，∠ADF＝53°，∴tan∠ADF＝，∴＝，∴解得a＝，∴AF＝10+4a＝10+30＝40（米），∵BF＝3a＝米，∴AB＝AF﹣BF＝40﹣＝（米）．答：基站塔AB的高為米．23．（2021?貴陽）隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步，無人機(jī)被廣泛應(yīng)用到實(shí)際生活中，小星利用無人機(jī)來測量廣場B，C兩點(diǎn)之間的距離．如圖所示，小星站在廣場的B處遙控?zé)o人機(jī)，無人機(jī)在A處距離地面的飛行高度是41.6m，此時(shí)從無人機(jī)測得廣場C處的俯角為63°，他抬頭仰視無人機(jī)時(shí)，仰角為α，若小星的身高BE＝1.6m，EA＝50m（點(diǎn)A，E，B，C在同一平面內(nèi)）．（1）求仰角α的正弦值；（2）求B，C兩點(diǎn)之間的距離（結(jié)果精確到1m）．（sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）【解答】解：（1）如圖，過A點(diǎn)作AD⊥BC于D，過E點(diǎn)作EF⊥AD于F，∵∠EBD＝∠FDB＝∠DFE＝90°，∴四邊形BDFE為矩形，∴EF＝BD，DF＝BE＝1.6m，∴AF＝AD﹣DF＝41.6﹣1.6＝40（m），在Rt△AEF中，sin∠AEF＝＝＝，即sinα＝．答：仰角α的正弦值為；（2）在Rt△AEF中，EF＝＝＝30（m），在Rt△ACD中，∠ACD＝63°，AD＝41.6m，∵tan∠ACD＝，∴CD＝＝≈21.22（m），∴BC＝BD+CD＝30+21.22≈51（m）．答：B，C兩點(diǎn)之間的距離約為51m．24．（2020?安順）脫貧攻堅(jiān)工作讓老百姓過上了幸福的生活．如圖①是政府給貧困戶新建的房屋，如圖②是房屋的側(cè)面示意圖，它是一個(gè)軸對稱圖形，對稱軸是房屋的高AB所在的直線，為了測量房屋的高度，在地面上C點(diǎn)測得屋頂A的仰角為35°，此時(shí)地面上C點(diǎn)、屋檐上E點(diǎn)、屋頂上A點(diǎn)三點(diǎn)恰好共線，繼續(xù)向房屋方向走8m到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，又測得屋檐E點(diǎn)的仰角為60°，房屋的頂層橫梁EF＝12m，EF∥CB，AB交EF于點(diǎn)G（點(diǎn)C，D，B在同一水平線上）．（參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，≈1.7）（1）求屋頂?shù)綑M梁的距離AG；（2）求房屋的高AB（結(jié)果精確到1m）．【解答】解：（1）∵房屋的側(cè)面示意圖，它是一個(gè)軸對稱圖形，對稱軸是房屋的高AB所在的直線，EF∥BC，∴AG⊥EF，EG＝EF，∠AEG＝∠ACB＝35°，在Rt△AGE中，∠AGE＝90°，∠AEG＝35°，∵tan∠AEG＝tan35°＝，EG＝6，∴AG＝6×0.7＝4.2（米）；答：屋頂?shù)綑M梁的距離AG約為4.2米；（2）過E作EH⊥CB于H，設(shè)EH＝x，在Rt△EDH中，∠EHD＝90°，∠EDH＝60°，∵tan∠EDH＝，∴DH＝，在Rt△ECH中，∠EHC＝90°，∠ECH＝35°，∵tan∠ECH＝，∴CH＝，∵CH﹣DH＝CD＝8，∴﹣＝8，解