高考數(shù)學(理數(shù))一輪復習教案：8.2《兩條直線的位置關系》(含解析)

8.2兩條直線的位置關系典例精析題型一兩直線的交點【例1】若三條直線l1：2x＋y－3＝0，l2：3x－y＋2＝0和l3：ax＋y＝0不能構成三角形，求a的值.【解析】①l3∥l1時，－a＝－2?a＝2；②l3∥l2時，－a＝3?a＝－3；③由?將(－1，－1)代入ax＋y＝0?a＝－1.綜上，a＝－1或a＝2或a＝－3時，l1、l2、l3不能構成三角形.【點撥】三條直線至少有兩條平行時或三條直線相交于一點時不能構成三角形.【變式訓練1】已知兩條直線l1：a1x＋b1y＋1＝0和l2：a2x＋b2y＋1＝0的交點為P(2,3)，則過A(a1，b1)，B(a2，b2)的直線方程是.【解析】由P(2,3)為l1和l2的交點得故A(a1，b1)，B(a2，b2)的坐標滿足方程2x＋3y＋1＝0，即直線2x＋3y＋1＝0必過A(a1，b1)，B(a2，b2)兩點.題型二兩直線位置關系的判斷【例2】已知兩條直線l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求滿足下列條件的a，b的值.(1)l1⊥l2，且l1過點(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐標原點到兩條直線的距離相等.【解析】(1)由已知可得l2的斜率存在，所以k2＝1－a，若k2＝0，則1－a＝0，即a＝1.因為l1⊥l2，直線l1的斜率k1必不存在，即b＝0，又l1過點(－3，－1)，所以－3a＋b＋4＝0，而a＝1，b＝0代入上式不成立，所以k2≠0.因為k2≠0，即k1，k2都存在，因為k2＝1－a，k1＝eq\f(a,b)，l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即eq\f(a,b)(1－a)＝－1，又l1過點(－3，－1)，所以－3a＋b＋4＝0，聯(lián)立上述兩個方程可解得a＝2，b＝2.(2)因為l2的斜率存在，又l1∥l2，所以k1＝k2，即eq\f(a,b)＝(1－a)，因為坐標原點到這兩條直線的距離相等，且l1∥l2，所以l1，l2在y軸的截距互為相反數(shù)，即eq\f(4,b)＝b，聯(lián)立上述方程解得a＝2，b＝－2或a＝eq\f(2,3)，b＝2，所以a，b的值分別為2和－2或eq\f(2,3)和2.【點撥】運用直線的斜截式y(tǒng)＝kx＋b時，要特別注意直線斜率不存在時的特殊情況.求解兩條直線平行或垂直有關問題時，主要是利用直線平行和垂直的充要條件，即“斜率相等”或“斜率互為負倒數(shù)”.【變式訓練2】如圖，在平面直角坐標系xOy中，設三角形ABC的頂點分別為A(0，a)，B(b,0)，C(c,0).點P(0，p)是線段AO上的一點(異于端點)，這里a，b，c，p均為非零實數(shù)，設直線BP，CP分別與邊AC，AB交于點E，F(xiàn)，某同學已正確求得直線OE的方程為(eq\f(1,b)－eq\f(1,c))x＋(eq\f(1,p)－eq\f(1,a))y＝0，則直線OF的方程為.【解析】由截距式可得直線AB：eq\f(x,b)＋eq\f(y,a)＝1，直線CP：eq\f(x,c)＋eq\f(y,p)＝1，兩式相減得(eq\f(1,c)－eq\f(1,b))x＋(eq\f(1,p)－eq\f(1,a))y＝0，顯然直線AB與CP的交點F滿足此方程，又原點O也滿足此方程，故所求直線OF的方程為(eq\f(1,c)－eq\f(1,b))x＋(eq\f(1,p)－eq\f(1,a))y＝0.題型三點到直線的距離【例3】已知△ABC中，A(1,1)，B(4,2)，C(m，eq\r(m))(1＜m＜4)，當△ABC的面積S最大時，求m的值.【解析】因為A(1,1)，B(4,2)，所以|AB|＝eq\r((4－1)2＋(2－1)2)＝eq\r(10)，又因為直線AB的方程為x－3y＋2＝0，則點C(m，eq\r(m))到直線AB的距離即為△ABC的高，設高為h，則h＝eq\f(|m－3\r(m)＋2|,\r(12＋(－3)2))，S＝eq\f(1,2)|AB|·h＝eq\f(1,2)|m－3eq\r(m)＋2|，令eq\r(m)＝t，則1＜t＜2，所以S＝eq\f(1,2)|m－3eq\r(m)＋2|＝eq\f(1,2)|t2－3t＋2|＝eq\f(1,2)|(t－eq\f(3,2))2－eq\f(1,4)|，由圖象可知，當t＝eq\f(3,2)時，S有最大值eq\f(1,8)，此時eq\r(m)＝eq\f(3,2)，所以m＝eq\f(9,4).【點撥】運用點到直線的距離時，直線方程要化為一般形式.求最值可轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，用處理代數(shù)問題的方法解決.【變式訓練3】若動點P1(x1，y1)與P2(x2，y2)分別在直線l1：x－y－5＝0，l2：x－y－15＝0上移動，求P1P2的中點P到原點的距離的最小值.【解析】方法一：因為P1、P2分別在直線l1和l2上，所以(①＋②)÷2，得eq\f(x1＋x2,2)－eq\f(y1＋y2,2)－10＝0，所以P1P2的中點P(eq\f(x1＋x2,2)，eq\f(y1＋y2,2))在直線x－y－10＝0上，點P到原點的最小距離就是原點到直線x－y－10＝0的距離d＝eq\f(10,\r(2))＝5eq\r(2).所以，點P到原點的最小距離為5eq\r(2).方法二：設l為夾在直線l1和l2之間且和l1與l2的距離相等的直線.令l：x－y－c＝0，則5＜c＜15，且eq\f(|c－5|,\r(2))＝eq\f(|c－15|,\r(2))，解得c＝10.所以l的方程為x－y－10＝0.由題意知，P1P2的中點P在直線l上，點P到原點的最小距離就是原點到直線l的距離d＝eq\f(10,\r(2))＝5eq\r(2)，所以點P到原點的最小距離為5eq\r(2).總結提高1.求解與兩直線平行或垂直有關的問題時，主要是利用兩直線平行或垂直的條件，即“斜率相等”或“互為負倒數(shù)”.若出現(xiàn)斜率不存在的情況，可考慮用數(shù)形結合的方法去研究.2.學會用分類討論、數(shù)形結合、特殊值檢驗等基本的數(shù)學方法和思想.特別是注意數(shù)形結合思想方法