橢圓標準方程及幾何性質(zhì)

關(guān)于橢圓標準方程及幾何性質(zhì)第1頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五第一節(jié)

橢圓的標準方程第2頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五

2008年9月25日晚21時10分04秒，“神舟七號”載人飛船在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，實現(xiàn)了太空行走，標志著我國航天事業(yè)又上了一個新臺階。第3頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五第4頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五生活中的橢圓第5頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五數(shù)學實驗：新課講解第6頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五結(jié)合實驗以及“圓的定義”,思考討論一下應(yīng)該如何定義橢圓？思考：F1F2M第7頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五F1F2M平面內(nèi)到兩個定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡叫橢圓。這兩個定點F1、F2叫做橢圓的焦點兩焦點之間的距離叫做焦距。1、橢圓的定義

如果設(shè)軌跡上任一點M到兩定點F1、F2的距離和為常數(shù)2a，兩定點之間的距離為2c，則橢圓定義還可以用集合語言表示為：P={M||MF1|+|MF2|=2a（2a>2c）}第8頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五平面內(nèi)到兩個定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡叫橢圓。這兩個定點F1、F2叫做橢圓的焦點兩焦點之間的距離叫做焦距。（1）平面曲線（2）到兩定點F1，F(xiàn)2的距離等于定長2a（3）定長﹥|F1F2|(2a>2c)理解：橢圓上的點要滿足怎樣的幾何條件？第9頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五動點M的軌跡：線段F1F2.

MF1F2動點M的軌跡：不存在.

時，即a=c時當2121FFMFMF=+時，即a<c時當2121FFMFMF<+第10頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五OXYF1F2M步驟一：建立直角坐標系步驟二：設(shè)動點坐標步驟三：列方程步驟四：化簡方程求曲線方程的步驟:2、橢圓的標準方程步驟五：完備性檢驗第11頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五解：取過焦點F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系(如圖).

設(shè)M(x,y)是橢圓上任意一點，橢圓的焦距2c(c>0)，M與F1和F2的距離的和等于正常數(shù)2a(2a>2c)

，則F1、F2的坐標分別是(c,0)、(c,0).（想一想：下面怎樣化簡？）由橢圓的定義，代入坐標OxyMF1F2第12頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五則方程可化為觀察左圖，你能從中找出表示

c、a的線段嗎？即a2-c2有什么幾何意義？（）第13頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五焦點在y軸：焦點在x軸：橢圓的標準方程1oFyx2FM12yoFFMx

F1（-c，0）、F2（c，0）

F1（0，-c）、F2（0，c）

第14頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五注意理解以下幾點：①在橢圓的兩種標準方程中，都有的要求；

②在橢圓的兩種標準方程中，由于，所以可以根據(jù)分母的大小來判定焦點在哪一個坐標軸上；③橢圓的三個參數(shù)之間的關(guān)系是，其中大小不確定．第15頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五思考：（1）將一個底面圓半徑為5的圓柱沿與底面成600角作一個截面，截面為橢圓，求其標準方程。（2）橢圓的中心在點（m,n），標準方程式什么？第16頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五分母哪個大，焦點就在哪個坐標軸上，反之亦然。注意：1.下列方程哪些表示的是橢圓，如果是，判斷它的焦點在哪個坐標軸上？跟蹤練習第17頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五變式一:將上題焦點改為(0，-4)、(0，4)，結(jié)果如何？變式二:將上題改為兩個焦點的距離為8，橢圓上一點P到兩焦點的距離和等于10，結(jié)果如何？

已知兩個焦點的坐標分別是(-4,0)、(4,0)，橢圓上一點P到兩焦點距離的和等于10；2.寫出適合下列條件的橢圓的標準方程當焦點在X軸時，方程為：當焦點在Y軸時，方程為：第18頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五例1.橢圓兩個焦點的坐標是（0，-2）和（0，2），并且經(jīng)過點P，求標準方程。解：法1：因為橢圓的焦點在y軸上，設(shè)它的標準方程為∵c=2，且c2=a2

-b2

∴4=a2-

b2……①又∵橢圓經(jīng)過點P∴……②聯(lián)立①②可求得：∴橢圓的標準方程為

xyF1F2P例題講解第19頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五法2：

設(shè)它的標準方程為由橢圓的定義知，所以所求橢圓的標準方程為求橢圓標準方程的步驟：（1）先判斷焦點的位置，設(shè)出標準方程；（先定位）（2）根據(jù)橢圓定義或待定系數(shù)法求a,b.

（后定量)第20頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五1．寫出適合下列條件的橢圓的標準方程：（1）a=4,b=3,焦點在x軸；（2）a=5,c=2,焦點在y軸上．2．橢圓的焦距是

，焦點坐標為

；的弦，則的周長為

．若CD為過左焦點跟蹤練習第21頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五分母哪個大，焦點就在哪個軸上

標準方程相同點焦點位置的判斷不同點

圖形

焦點坐標探究定義a、b、c的關(guān)系xyF1F2MOxyF1F2MOa2-c2=b2(a>b>0)P={M||MF1|+|MF2|=2a（2a>2c）}．知識總結(jié)第22頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五例1.求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)兩個焦點的坐標分別為(－4,0)和(4,0)，且橢圓經(jīng)過點(5,0)；(2)焦點在y軸上，且經(jīng)過兩個點(0,2)和(1,0)．一、求橢圓的標準方程例題講解第23頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五解：(1)由于橢圓的焦點在x軸上，

∴設(shè)它的標準方程為x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．

∴2a＝(5＋4)2＋(5－4)2＝10∴a＝5.又c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.

故所求橢圓的方程為x225＋y29＝1.

第24頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五(2)由于橢圓的焦點在y軸上，∴設(shè)它的標準方程為y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)由于橢圓經(jīng)過點(0,2)和(1,0)∴???í??ì4a2＋0b2＝10a2＋1b2＝1??íìa2＝4，b2＝1.故所求橢圓的方程為y24＋x2＝1.第25頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五1.根據(jù)下列條件，求橢圓的標準方程

(1)坐標軸為對稱軸，并且經(jīng)過兩點A(0,2)和B(12，3)；

(2)經(jīng)過點(2，－3)且與橢圓9x2＋4y2＝36有共同的焦點．

跟蹤練習第26頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五解：(1)設(shè)所求橢圓的方程為x2m＋y2n＝1(m＞0，n＞0且m≠n)．

∵橢圓經(jīng)過兩點A(0,2)、B(12，3)，

∴???í??ì

0m＋4n＝1，14m＋3n＝1，解得?íì

m＝1，n＝4.

∴所求橢圓方程為x2＋y24＝1.

第27頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五(2)∵橢圓9x2＋4y2＝36的焦點為(0，±5)則可設(shè)所求橢圓方程為x2m＋y2m＋5＝1(m＞0)．

又橢圓經(jīng)過點(2，-3)

則有4m＋9m＋5＝1.

解得m＝10或m＝－2(舍去)．

∴所求橢圓的方程為x210＋y215＝1.

第28頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五例2.已知動圓M過定點A(－3,0)，并且內(nèi)切于定圓B：(x－3)2＋y2＝64，求動圓圓心M的軌跡方程．二、利用橢圓的定義求軌跡方程例3.已知圓B:(x+1)2+y2=16，A(1,0)，C為圓上任意一點，AC中垂線與CB交于點P，求點P的軌跡方程。第29頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五解：

設(shè)動圓M的半徑為r，則|MA|＝r，|MB|＝8－r，

∴|MA|＋|MB|＝8，且8>|AB|＝6，

∴動點M的軌跡是橢圓，且焦點分別是A(－3,0)，B(3,0)，且2a＝8，∴a＝4，c＝3＝a2－c2＝16－9＝7.

∴所求動圓圓心M的軌跡方程是x216＋y27＝1.

∴b2第30頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五例4.有一顆地球衛(wèi)星沿地球中心為一個焦點的橢圓軌道運行，衛(wèi)星近地點約200公里，遠地點約500公里，地球半徑R約6400公里，求運行軌道方程。xoFF1ABy規(guī)律：近地點和遠地點一定是長軸的兩個端點。第31頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五1.已知動圓M和定圓C1：x2＋(y－3)2＝64內(nèi)切，而和定圓C2：x2＋(y＋3)2＝4外切．求動圓圓心M的軌跡方程．跟蹤練習第32頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五解：設(shè)動圓M的半徑為r，圓心M(x，y)，兩定圓圓心C1(0,3)，C2(0，3），半徑r1＝8，r2＝2.

則|MC1|＝8－r，|MC2|＝r＋2.

∴|MC1|＋|MC2|＝(8－r)＋(r＋2)＝10.

又|C1C2|＝6，∴動圓圓心M的軌跡是橢圓，且焦點為C1(0,3)，C2(0，－3)，且2a＝10，

∴a＝5，c＝3，

∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.

∴動圓圓心M的軌跡方程是y225＋x216＝1.

－第33頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五2.設(shè)點A,B的坐標分別為(-5,0)，(5,0)。直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積為，求點M的軌跡方程。思考：斜率之積為m(m<0)?。第34頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五三、橢圓的應(yīng)用例6.已知P為橢圓x216＋y29＝1上的點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面積S.

例5.方程表示橢圓，求k的范圍。第35頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五解：在橢圓x216＋y29＝1中，a＝4，b＝3所以c＝7.因為點P在橢圓上，所以|PF1|＋|PF2|＝8，①

在△PF1F2中，∵∠F1PF2＝60°，根據(jù)余弦定理可得：

|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝|F1F2|2

＝28，②

∴|PF1||PF2|＝12.

∴S△F1PF2

＝12|PF1||PF2|sin600＝33.第36頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五1.本例中其他條件不變，∠F1PF2＝60°改為∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面積．解：因x216＋y29＝1，∴a＝4，b＝3，c＝7.

點P在橢圓上，所以|PF1|＋|PF2|＝8.

在△PF1F2中

，∵∠F1PF2＝90°，

∴|F1F2|2＝|PF1|2＋|2|2，

∴|F1F2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|，

∴28＝64－2|PF1||PF2|，

∴|PF1||PF2|＝18.

∴S△F1PF2

＝12|PF1||PF2|＝9.

PF跟蹤練習第37頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五OxyMF1F2思考：當∠F1PF2＝時，焦點三角形面積S=?第38頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五第二節(jié)

橢圓的幾何性質(zhì)第39頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離之和為常數(shù)2a(2a>2c)的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點之間的距離叫做橢圓的焦距(2c)。1、橢圓的定義注意“常數(shù)2a”的條件：2a=2c等于——線段

2a<2c小于——無軌跡知識回顧第40頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五按照坐標法的基本步驟推導，注意帶根號的式子的化簡。當焦點在x軸上時，橢圓的標準方程為：焦點坐標為：F1(c,0)，F(xiàn)2(-c,0)其中2、橢圓的標準方程xyF1F2MO第41頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五當橢圓的焦點在y軸上時，橢圓的標準方程為：依然成立。焦點坐標為：F1(0,c)，F(xiàn)2(0,-c)xyF1F2MO第42頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五１、范圍對于橢圓：（a>b>0)為例由標準方程可知，橢圓上點的坐標(x,y)都適合不等式≤1,即x2≤a2,y2≤b2，

∴∣x∣≤a,∣y∣≤b.≤1,橢圓的幾何性質(zhì)新課講解第43頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五x這說明橢圓位于直線x=±a和y=±b所圍成的矩形里。oya-ab-b第44頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五

在橢圓上，任取一點(x,y),其關(guān)于x軸、y軸和坐標原點對稱的點仍在橢圓上。所以橢圓關(guān)于x軸、

y軸和坐標原點都是對稱的。xo(x,y)(x,﹣y)(﹣x,y)(﹣x,﹣y)y２、對稱性

其中坐標軸是橢圓的對稱軸,原點是橢圓的對稱中心.橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心.第45頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五３、頂點

橢圓與它的對稱軸有四個交點，這四個交點叫做橢圓的頂點．線段A1A2，B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長xo(a,0)(0,b)(-a,0)(0,-b)yA1A2B1B2第46頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五4、離心率【定義】焦距與長軸長的比【范圍】0<e<1.【幾何意義】e→1,橢圓越扁,e→0,橢圓越趨近于圓..【變形公式】第47頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五5、準線方程右準線的方程是左準線的方程是如圖所示:xyo第48頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五xyo6、橢圓第二定義平面內(nèi)到定點F(C,0)距離與到定直線L:的距離之比為的點的軌跡是橢圓。FdMM(2)任何橢圓上的點到其焦點和對應(yīng)準線距離之比一定是其離心率。注：(1)平面內(nèi)動點到定點與定直線距離之比為定值的軌跡一定是橢圓。但不一定是標準方程形式，要化簡求得。第49頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五圖象方程性質(zhì)范圍頂點離心率F1F2xyF1F2xy對稱性︱x︱≤a︱y︱≤b關(guān)于x軸、y軸、都對稱﹙±a,0﹚﹙0,±b﹚︱y︱≤a︱x︱≤b坐標原點關(guān)于x軸、y軸、都對稱坐標原點﹙0,±a﹚﹙±b,0﹚﹙a﹥b﹥0﹚﹙a﹥b﹥0﹚e=e=準線知識總結(jié)第50頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五例1.求橢圓16x2+25y2=400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標.例2.求適合下列條件的橢圓的標準方程:(1)經(jīng)過點P(﹣3,0)、Q(0,﹣2);(2)長軸的長等于20，離心率等于0.6例題講解第51頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五例3.點M(x,y)與定點F(4,0)的距離和它到直線l:的距離之比是常數(shù)，求點M的軌跡方程。第52頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五第三節(jié)

直線與橢圓的位置關(guān)系第53頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五一、橢圓中常見的量：1、離心率：2、焦半徑：設(shè)左焦半徑：右焦半徑：3、通徑：4、焦點三角形MF1F2面積：xoF2M(x0,y0)F1PQy第54頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五1.橢圓上有一點M（1）若MF1與MF2垂直，求三角形MF1F2面積及對應(yīng)的兩條焦半徑長。（2）若角F1MF2為600，求三角形MF1F2面積及點M坐標。（3）若點P(2,-1),求|MP|+|MF2|的最小值及此時點M坐標。xoF2M(x0,y0)F1y第55頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五2.正六邊形ABCDEF的頂點A、D為一橢圓的兩個焦點，其余四個頂點B、C、E、F均在橢圓上，求橢圓離心率。xoFBAyDEC第56頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五3.橢圓中心在原點，F(xiàn)是左焦點，直線AC與BF交于D，且BDC=900，求橢圓的離心率。xoFCAByD第57頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五4.橢圓上有一點P，PF1與x

軸垂直xoF2F1PQAB(1)若PF2//AB,求e；(2)若PO//AB,求e。yxoF2F1PQABy第58頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五5.以橢圓的右焦點F為圓

心,FO為半徑作圓與橢圓的一個交點為M,且

|MF|=|MO|，求e.xoFF1AMy第59頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五6.橢圓的焦點三角形

MF1F2中，兩底角分別為150和750，求e.xoF2F1My規(guī)律：焦點三角形兩底角為，則第60頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五7.橢圓上一點M，F(xiàn)1，F(xiàn)2為

兩焦點(1)求證：M為短軸頂點B時，最大；(2)若存在一點M，使，求離心率e的范圍。xoF2F1My規(guī)律：存在一點M使則第61頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五8.橢圓F1（-c,0)，F(xiàn)2(c,0)

為兩焦點，若橢圓上存在一個點P，使

成立，求e范圍。xoF2F1Py第62頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五9.橢圓F1（-c,0)，F(xiàn)2(c,0)

為兩焦點，在直線存在一個點P，使線段

PF1中垂線經(jīng)過點F2，求e范圍。xoF2F1Py第63頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五二、直線與橢圓的位置關(guān)系：（一）直線與橢圓相切1.若點P(x0,y0)與圓（1）若點P在圓內(nèi)，滿足什么條件？圓外？（2）若點P在圓上，過P的切線方程是什么？（3）若點P在圓外，直線l:與圓的位置關(guān)系？點P在圓內(nèi)呢？第64頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五2.若點P(x0,y0)與橢圓（1）若點P在橢圓內(nèi)，滿足什么條件？橢圓外？（2）若點P在圓上，過P的切線方程是什么？3.直線l:y=kx+1與橢圓C:總有交點，求m范圍。第65頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五4.P為橢圓C:上一點，求點P到直線3x-2y-16=0的最值。5.求以(-2,0),(2,0)為焦點，且與直線x+y-4=0相切

的橢圓方程。第66頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五（二）直線與橢圓相交1.過橢圓的左焦點作傾斜角為60°的弦AB，求AB弦長。2.已知橢圓被直線l截的弦的中點為()，求直線l的方程。第67頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五3.已知斜率為1的直線l與橢圓x24＋y2＝1交橢圓于A、B兩點，若弦，求l方程。4.已知橢圓4x2＋y2＝1及直線y＝x＋m.（1）當直線和橢圓有公共點時，求實數(shù)m的取值范圍；（2）求弦長的最值。第68頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五5.橢圓中心在原點，焦點在x軸上，直線y=x+1與橢圓交于兩點P,Q,且求橢圓方程。xoPQy6.直線l:y=x-1與橢圓C:交于A，B,以AB為直徑的圓過橢圓左焦點F,求m。第69頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五1.橢圓一個頂點A(0,-1),焦點在x軸上，其右焦點到直線距離為3(1)求橢圓方程；(2)若橢圓與直線y=kx+m(k不為0）交于不同兩點M,N且|AM|=|AN|,求m范圍。（三）綜合應(yīng)用第70頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五2.橢圓C:(1)若橢圓與斜率為2的直線交于A,B，求AB中點M的軌跡方程；(2)若橢圓與過定點P(0,2)的直線交于A,B，求AB中點M的軌跡方程；(4)若橢圓存在兩點關(guān)于直線l:y=2x+b對稱，求b范圍；(5)若橢圓存在兩點關(guān)于直線l:y=kx+1對稱，求k范圍.(3)若橢圓與過定點P(0,2)的直線交于A,B，求t=|PA|:|PB|的范圍；第71頁，共78頁，2022年，5月20日，2點16分，星期五xoAByP(1,1/2)解(1)（法一）：顯然l斜率存在，設(shè)l：y-1/2=k(x-1)即y=kx-k+1/2代入橢圓方程x2