橢圓及其幾何性質(zhì)

關(guān)于橢圓及其幾何性質(zhì)第1頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五

用一個平面去截一個圓錐面，當(dāng)平面經(jīng)過圓錐面的頂點(diǎn)時，可得到兩條相交直線；

當(dāng)平面與圓錐面的軸垂直時，截線（平面與圓錐面的交線）是一個圓．

當(dāng)改變截面與圓錐面的軸的相對位置時，觀察截線的變化情況，并思考：●用平面截圓錐面還能得到哪些曲線？這些曲線具有哪些幾何特征？第2頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五橢圓雙曲線拋物線第3頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五探究：橢圓有什么幾何特征？活動1：動手試一試數(shù)學(xué)史：第4頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五MQF2PO1O2VF1古希臘數(shù)學(xué)家Dandelin在圓錐截面的兩側(cè)分別放置一球，使它們都與截面相切（切點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2），又分別與圓錐面的側(cè)面相切（兩球與側(cè)面的公共點(diǎn)分別構(gòu)成圓O1和圓O2）．過M點(diǎn)作圓錐面的一條母線分別交圓O1，圓O2與P，Q兩點(diǎn)，因?yàn)檫^球外一點(diǎn)作球的切線長相等，所以MF1=MP，MF2=MQ，MF1+MF2＝MP+MQ

＝

PQ＝定值第5頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五1、橢圓的定義：M

平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。

這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距。橢圓形成演示橢圓定義.gsp第6頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五思考：是否平面內(nèi)到兩定點(diǎn)之間的距離和為定長的點(diǎn)的軌跡就是橢圓？

結(jié)論：（若

PF1＋PF2為定長）１）當(dāng)動點(diǎn)Ｐ到定點(diǎn)F1、F2距離PF1、PF2滿足PF1＋PF2>F1F2時，P點(diǎn)的軌跡是橢圓。２）當(dāng)動點(diǎn)Ｐ到定點(diǎn)F1、F2距離PF1、PF2滿足PF1＋PF2＝F1F2時，P點(diǎn)的軌跡是一條線段F1F2

。３）當(dāng)動點(diǎn)Ｐ到定點(diǎn)F1、F2距離PF1、PF2滿足PF1＋PF2<F1F2時,Ｐ點(diǎn)沒有軌跡。想一想.gsp第7頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五直觀感受第8頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五

神舟六號在進(jìn)入太空后，先以遠(yuǎn)地點(diǎn)347公里、近地點(diǎn)200公里的橢圓軌道運(yùn)行，后經(jīng)過變軌調(diào)整為距地343公里的圓形軌道.太陽系第9頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五

拱橋的橋拱采用基于橢圓的優(yōu)化設(shè)計，無論從力學(xué)原理，還是從施工角度考慮都是優(yōu)越于傳統(tǒng)的圓弧型和拋物線型的。生活中的應(yīng)用中國水利水電科學(xué)研究院研究表明：第10頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五生活中有橢圓，

感受生活中用橢圓。第11頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五求曲線方程的一般步驟？設(shè)點(diǎn)建系列式代坐標(biāo)化簡、證明第12頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五怎樣建立平面直角坐標(biāo)系呢？2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的焦距為2c(c>0)，M與F1、F2的距離的和為2a第13頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五對于含有兩個根式的方程，可以采用移項兩邊平方或者分子有理化進(jìn)行化簡。第14頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五第15頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)在x軸上。

焦點(diǎn)在y軸上，可得出橢圓它也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。12yoFFMx第16頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五12yoFFMxy

xoF2F1M定義圖形方程焦點(diǎn)F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之間的關(guān)系c2=a2-b2|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求法：一定焦點(diǎn)位置；二設(shè)橢圓方程；三求a、b的值.第17頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五例1．橢圓的兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（－4，0）（4，0），橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離之和等于10，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。12yoFFMx.解：∵橢圓的焦點(diǎn)在x軸上∴設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為:∵2a=10,2c=8∴a=5,c=4∴b2=a2－c2=52－42=9∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

第18頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）首先要判斷類型，（2）用待定系數(shù)法求橢圓的定義a2=b2+c2第19頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五第20頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五？思考一個問題:把“焦點(diǎn)在y軸上”這句話去掉，怎么辦？第21頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五

定義法：如果所給幾何條件正好符合某一特定的曲線（圓，橢圓等）的定義，則可直接利用定義寫出動點(diǎn)的軌跡方程.

待定系數(shù)法：所求曲線方程的類型已知，則可以設(shè)出所求曲線的方程，然后根據(jù)條件求出系數(shù).用待定系數(shù)法求橢圓方程時，要“先定型，再定量”.~求曲線方程的方法：第22頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五第23頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五第24頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五第25頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五

代入法：或中間變量法，利用所求曲線上的動點(diǎn)與某一已知曲線上的動點(diǎn)的關(guān)系，把所求動點(diǎn)轉(zhuǎn)換為已知動點(diǎn)滿足的曲線的方程，由此即可求得動點(diǎn)坐標(biāo)x,y之間的坐標(biāo)。~求曲線方程的方法：第26頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五第27頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五變式題組一第28頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五變式題組二第29頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五1、方程表示________。2、方程表示________。3、方程表示________。4、方程的解是________。登高望遠(yuǎn)第30頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五鞏固練習(xí)14DD第31頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五C第32頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五一、二、二、三一個概念；二個方程；三個意識：求美意識，

求簡意識，猜想的意識。小結(jié)二個方法：去根號的方法；求標(biāo)準(zhǔn)方程的方法|MF1|+|MF2|=2a第33頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五橢圓的簡單幾何性質(zhì)第34頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五一、復(fù)習(xí)回顧：1.橢圓:

到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和為常數(shù)（大于|F1F2|）的動點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：3.橢圓中a,b,c的關(guān)系:a2=b2+c2當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時第35頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五二、橢圓簡單的幾何性質(zhì)1.范圍：x≤≤≤≤,≤1,≤1得：oyB2B1A1A2F1F2第36頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五≤≤≤≤第37頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五2.對稱性

根據(jù)橢圓的圖形，觀察它有何對稱性？第38頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五2.對稱性：從圖形上看，橢圓關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對稱。如何從方程來分析這些對稱性呢？（1）把y換成-y方程不變，橢圓關(guān)于x軸對稱；（2）把x換成-x方程不變，橢圓關(guān)于y軸對稱；（3）把x換成-x，同時把y換成-y方程不變，橢圓關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱。第39頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五練習(xí)2.第40頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五3.橢圓的頂點(diǎn)*頂點(diǎn)：橢圓與它的對稱軸的四個交點(diǎn)，叫做橢圓的頂點(diǎn)。*長軸、短軸：線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸。*

分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。這四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)是什么？oF1F2B2B1A1A2第41頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五練習(xí)3第42頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五練習(xí)4.畫出下列橢圓的草圖（1）（2）B1

123-1-2-3-44yA1

A2

B2

12345-1-5-2-3-4x0123-1-2-3-44yB2

A2

B1

A1

12345-1-5-2-3-4x0第43頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五4.橢圓的離心率離心率：橢圓的焦距與長軸長的比叫做橢圓的離心率。（1）離心率的取值范圍：（2）離心率對橢圓形狀的影響：0<e<11）離心率e越大，橢圓就越扁（瘦）；2）離心率e越小，橢圓就越圓（胖）；第44頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五練習(xí)5第45頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五標(biāo)準(zhǔn)方程范圍對稱性頂點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)半軸長離心率

關(guān)于x軸、y軸成軸對稱；---對稱軸關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱-----對稱中心a2=b2+c2≤≤≤≤,第46頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五標(biāo)準(zhǔn)方程圖形范圍對稱性頂點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)半軸長離心率關(guān)于x軸、y軸成軸對稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱a2=b2+c2同左同左同左同左≤≤≤≤,≤b,≤≤≤y-第47頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五練習(xí)6.已知橢圓方程為則它的長軸長是：

;短軸長是：

;焦距是：

;離心率等于：

;焦點(diǎn)坐標(biāo)是：

＿＿＿;頂點(diǎn)坐標(biāo)是：

＿＿＿＿＿＿＿;

外切矩形的面積等于：

。

2第48頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五解：由題意得:當(dāng)焦點(diǎn)在軸時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是當(dāng)焦點(diǎn)在軸時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是第49頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五練習(xí)7.若橢圓經(jīng)過點(diǎn)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。第50頁，共54頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)57分，星期五標(biāo)準(zhǔn)方程圖形范圍對稱性頂點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)半軸長離心率同左同左同左同左≤≤≤≤,≤b,≤≤≤y-關(guān)于x軸、y軸成軸對