對一道思考題及其“答案”的思考 論文

Word-6-對一道思考題及其“答案”的思考論文

人教版學(xué)校試驗課本第六冊第１４４頁有這樣一道思量題：

“在釘子板上圍圖形。利用３個釘子可圍幾種不同的外形？利用４個釘子能夠圍幾種不同的外形？”

（附圖{圖}）

對這道題，“教參”（人教版）給的答案（下稱“參考答案”）是：

“利用３個釘子：三角形（直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形。其中可能有等腰三角形，但不行能圍出等邊三角形。）

利用４個釘子：四邊形（普通四邊形、正方形、長方形、平行四邊形等。）

以上每種圖形，因為大小不同，可能會有無數(shù)，只要同學(xué)圍出即可。”

下面談一談，筆者對上述思量題及參考答案的幾點思量。

思量一參考答案對不對？

筆者認(rèn)為，參考答案是有毛病的。由于：第一，學(xué)校三班級同學(xué)還沒有學(xué)習(xí)“直（銳、鈍）角三角形”和“等腰（等邊）三角形”等概念（這些概念是四班級的學(xué)習(xí)內(nèi)容）。因此他們是看不懂上述參考答案的。其次、參考答案對“不同的外形”的含義有曲解之嫌。我們知道，外形相同（或不同）的圖形普通是指相像（或不相像）的圖形，因此，對思量題所提“能夠圍幾種不同的外形”的問題，就應(yīng)當(dāng)理解為“能夠圍幾種不相像的圖形”。而不應(yīng)當(dāng)理解為“能夠圍幾種不同類別的圖形”（由于同類別的圖形不一定同外形。例如，圖１中的３個三角形是同屬“鈍角三角形”這一類圖形的，但卻不相像即不同外形）。簡單看出，參考答案就是這后一種理解的產(chǎn)物，這樣的答案是難以令人置信的。第三、對思量題所提“能夠圍幾種不同的外形”的問題，理當(dāng)以確切的數(shù)據(jù)賦予回答，但參考答案最后卻以“可能會有無數(shù)”一言以蔽之，這也是不妥的。

思量二不同外形知多少？

前述思量題是一個頗為復(fù)雜的問題。下面我們來看，利用３個釘子能夠圍幾種不同外形即不相像的三角形。

為講述便利，我們把釘子板上的釘子記為點Ａ［，ｉｊ］（下標(biāo)ｉ和ｊ分離為行序號和列序號，ｉ＝１，２，…６，ｊ＝１，２，…，６。如點Ａ［，３２］即表示位于第三行其次列的那個釘子），并把同行（列）相鄰兩點間距離設(shè)為“１”。

能夠看出，所圍三角形可分為下列幾類：

（Ⅰ）短邊長為１的三角形

（附圖{圖}）

這類三角形為數(shù)甚多是明顯的。我們關(guān)懷的是：它們共有幾種不同的外形？這能夠利用尋覓“代表”（每一種外形找一個三角形充當(dāng)“代表”）的途徑來解決。這個尋覓“代表”的工作是一項非常細致且設(shè)計性很強的工作（要保證所尋“代表”不漏不重）。此處，我們能夠取以線段Ａ［，１１］Ａ［，２１］為邊、圖２中的任一加圈點“⊙”為頂點的三角形為“代表”。簡單看出，這樣的代表共有１０個，它們是互不相像即外形互不相同的。并且，在短邊長為１的這一類三角形中，已不再存在外形不同于這１０個“代表”的另外三角形了。由此可知，這類三角形共有１０種不同的外形。

（附圖{圖}）

在這類三角形中，不同外形的“代表”一共也能找到１０個（以線段Ａ［，２１］Ａ［，１２］為邊、圖３中任一加圈點“⊙”為頂點的三角形以及△Ａ［，２２］Ａ［，４１］Ａ［，１３］、△Ａ［，２２］Ａ［，６１］Ａ［，１３］、△Ａ［，２３］Ａ［，５１］Ａ［，１４］、△Ａ［，２４］Ａ［，６１］Ａ［，１５］）。因此，這類三角形也有１０種不同的外形。

（附圖{圖}）

在這類三角形中，不同外形的“代表”一共有１２個（以線段Ａ［，２１］Ａ［，１３］為邊、圖４中任一加圈點“⊙”為頂點的三角形以及△Ａ［，１４］Ａ［，２２］Ａ［，５１］、△Ａ［，１４］Ａ［，２２］Ａ［，６１］、△Ａ［，１６］Ａ［，３１］Ａ［，２４］、△Ａ［，２４］Ａ［，４１］Ａ［，１６］）。因此，這類三角形共有１２種不同的外形。

（附圖{圖}）

在這類三角形中，不同外形的“代表”一共有７個（以線段Ａ［，２１］Ａ［，１４］為邊、圖５中任一加圈點“⊙”為頂點的三角形以及△Ａ［，１５］Ａ［，２２］Ａ［，６１］、△Ａ［，１６］Ａ［，２３］Ａ［，５１］）。因此，這類三角形共有７種不同的外形。

（附圖{圖}）

在這類三角形中，不同外形的“代表”一共有３個（以線段）Ａ［，３１］Ａ［，１４］為邊、圖６中任一加圈點“⊙”為頂點的三角形）。因此，這類三角形共３種不同的外形。

（附圖{圖}）

在這類三角形中，不同外形的“代表”一共也有３個（以線段Ａ［，２１］Ａ［，１５］為邊、圖７中任一加圈點“⊙”為頂點的三角形）。

（Ⅶ）短邊長為５的三角形

（附圖{圖}）

這類三角形惟獨一種外形，圖８中的三角形是它們的“代表”。

簡單看出，利用３個釘子的三角形惟獨上述七類。在這七類三角形中，我們一共找到了（１０＋１０＋１２＋７＋３＋３＋１）即４６個“代表”?，F(xiàn)在的問題是：在這４６個代表中，盡管“同類代表”（產(chǎn)生于上述某一類三角形中的代表）的外形是互異的，但那些“不同類代表”（產(chǎn)生于上述某幾類三角形中的代表）的外形是否互異呢？細細審察能夠發(fā)覺：上述（Ⅲ）中的代表△Ａ［，１３］Ａ［，２１］Ａ［，４２］、△Ａ［，１４］Ａ［，２２］Ａ［，５１］分離與（Ⅰ）中的代表△Ａ［，１１］Ａ［，２１］Ａ［，２２］、△Ａ［，１１］Ａ［，２１］Ａ［，３２］相像；（Ⅴ）中的代表△Ａ［，１１］Ａ［，３１］Ａ［，６３］和（Ⅵ）中的代表△Ａ［，１５］Ａ［，２１］Ａ［，６２］均與（Ⅰ）中的代表△Ａ［，１１］Ａ［，２１］Ａ［，２２］相像。因此，就上述七類三角形之總體而言，不同外形的代表應(yīng)當(dāng)是（４６—４）即４２個。

至此即知，利用３個釘子一共能夠圍４２種不同外形的三角形。

利用４個釘子圍圖形，狀況會更復(fù)雜一些，此處就不細述了。

思量三如何處置這道題

由上述研究顯而易見，將前述思量題編排在學(xué)校三班級課本中是肯定不合適的。那么，這道題畢竟如何處置為宜呢？筆者覺得，下列幾點看法是值得考慮的。

（１）保持原題的文字部分，而將暗示圖中的點由３６個轉(zhuǎn)變?yōu)椋箓€（三行三列）。將這一改編題照舊放在前述課本的第１４４頁作思量題；

（２）不轉(zhuǎn)變暗示圖，而將原題所提問題轉(zhuǎn)變?yōu)椤袄茫常ɑ颍矗﹤€釘子能夠圍出哪幾類三角（或四邊）形？”將這一改編題放在四班級第七冊課本“練習(xí)四十一”的末尾（此時，同學(xué)剛好學(xué)習(xí)了“三角形的分類”