線性系統(tǒng)理論.南航講義學習庫

系統(tǒng)分析系統(tǒng)綜合性能指標：系統(tǒng)特性：控制方法：系統(tǒng)分析與系統(tǒng)綜合常用的控制策略－－反饋狀態(tài)反饋，輸出反饋1Ts

1H1Ts

1x

x

2x

3x

0,第一節(jié) 狀態(tài)反饋的特征配置一、狀態(tài)反饋系統(tǒng)的可控性與可觀性BADCKu定理5-1：任何實常值狀態(tài)反饋陣K不改變系統(tǒng)狀態(tài)反饋不改變可控子空間.B

In

0

x

3 4

x

0

u

,

y

3 4

x4

x

0

u

,

y

1 4

x不能控、不能觀不能控、能觀能控不能觀y說明：二、單變量系統(tǒng)的極點配置定理5-2：動態(tài)方程(5-4)的全部極點可以用線性狀態(tài)反饋(5-5)任意配置的充要條件是系統(tǒng)(5-4)完全可控。det(sI

A

bK

)

det(sTIT

1

TAT

1

TbKT

1

)K

KT充分性:由(A

bK

)的可控標準形知,單變量系統(tǒng)極點配置的算法(3)構(gòu)造變換陣T

(p101,公式(3-8))例5-3：給定單變量系統(tǒng)為第三步,構(gòu)造變換陣T為第四步，計算系統(tǒng)原狀態(tài)反饋陣K0

0

1s

k1k

2

1

k

3k1

k2

2

6三、多變量系統(tǒng)的極點配置定理5-3：若系統(tǒng)(5-10)完全可控,其中K

[b

,

Ab

,,

A1

1b

,

b

,

Ab

,,

A2

1b

,b

,

Ab

,,

A

p

1b

]定理5-4：線性系統(tǒng)(5-10)可以利用線性狀態(tài)反饋律u=K

x+v任意配置閉環(huán)系統(tǒng)全部極點的充要條件是系統(tǒng)完全可控。引入第二次線性狀態(tài)反饋，u?

K2xvK2K1BACx多變量系統(tǒng)極點配置的算法第四步由可控對(A+BK1，b1)構(gòu)造變換陣T第五步計算構(gòu)造第一次狀態(tài)反饋陣K2注：如果存在bi使(A，bi)可控，則可省去求K1，直接用(A，bi)構(gòu)造T，計算K＝

K2。例5-4：給定完全可控系統(tǒng)為(1)計算(4)構(gòu)造變換陣T(5)計算K2算法II

（舉例）希望的閉環(huán)特征值為（-1，-2，-3，-4，-5，-6）。算法III由AT

TF

BK

得A

TFT

1

BKT

1算法Ⅳ例5-5:

某飛行控制系統(tǒng)在H=14KM,

M=0.9時的縱向姿態(tài)運動方程為第1步

根據(jù)已知系統(tǒng)狀態(tài)系數(shù)陣計算式由此可得式(5-22)為試選取完全可控對m

(s

),

o

(s2

),

o

(s3

)R(s1

)b,R(s

)b,R(s

)b四、系統(tǒng)的可鎮(zhèn)定問題定理5-5：系統(tǒng)(5-24)可用狀態(tài)反饋使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件是系統(tǒng)的不可控極點均在左半平面?？涉?zhèn)定：不可鎮(zhèn)定：可控系統(tǒng)不可控系統(tǒng)系統(tǒng)按鎮(zhèn)定分類六、狀態(tài)反饋的特征結(jié)構(gòu)配置特征根互異i1

A

BK

iS

0np0

1

0

0

0第1步，列出線性方程組確定線性組合系數(shù)1＝3＝5＝1，

2＝4＝6＝0y

t

3et

1.5e2t

0.5e3t第五章線性系統(tǒng)時域中的反饋控制和第二節(jié)、輸出反饋的特征配置由于狀態(tài)可完全表征系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)信息，一般稱狀態(tài)反饋為全信息反饋。采用狀態(tài)反饋往往可以在理論上得到完美的結(jié)果。BAKC定理5-7：輸出反饋律(5-61)不改變系統(tǒng)的可觀測性,也不改變系統(tǒng)的可控性。記Ｎ1=KerV1,Ｎ2=KerV2分別為系統(tǒng)(5-60)和類似地可證N2

N1。因此必有N1＝N2

。因為可觀測子空間是不可觀測子空間的正交靜態(tài)輸出反饋不改變系統(tǒng)的可觀測性。證法2：輸出反饋不能任意改變系統(tǒng)極點。輸出反饋和狀態(tài)反饋的區(qū)別設A為n

n常數(shù)陣，若rank[b,Ab,

An1b]

n循環(huán)矩陣的最小多項式與它的特征多項式一致。循環(huán)矩陣A的若當形中一個特征值只有一個若當塊。定理5-9:

若(A,C)完全可觀測,A為循環(huán)矩陣,1例5-11:

設系統(tǒng)(A,B,C)為二、常值輸出反饋配置極點的基本定理設A和A+BKC特征方程式分別為△o(s)和△c(s)，這時閉環(huán)系統(tǒng)矩陣為c

T

KT

a

a無法利用輸出反饋任意地配置n個極點?？膳渲脳l件：對于給定的d，上式有解的條件是它們相容，亦即當C

的秩為q

時，q

個方程的唯一解應滿足剩下的nq個方程。這時，這nq個等式給出了加在a

0

,a

1

,

,a

n

1

上的約束，這意味著K

l

m注意到A+BKC與其對偶系統(tǒng)(AT

,CT

,BT

)例5-12:

設多變量線性定常系統(tǒng)(A,

B,

C)為不難驗證系統(tǒng)(A,

B,

C)完全可控、可觀,其次,選定于是c

(s)

det(sI

A

BKC)a

tr(RT

AT

)

61

3

幾乎所有(１)

rankB2

min(

p,

n

t)rankB2

min(

p,

n

t),

rankm2C2

1例5-13：給定系統(tǒng)(A,B,

C)為三、常值輸出反饋配置極點的算法第1步

將系統(tǒng)(A,

B,

C)的(p

-

1)個極點配置在s1,s2

,

sp1

處。由式(5-75)有并通過K1，使系統(tǒng)(p-1)個極點配置在預先指定的s1,s2

,

sp1（c

s）

（o

s）m2W（2s）l2W21

(s1

)l2

0所以，選定l2中的任一元素，如l21，通過方程(5-80)可求的l2中剩余的(p-1)個元素。從而求得向量l2。為了使系統(tǒng)另外q個極點配置在指定的sp，例5-14：給定系統(tǒng)(A,B,C)為可以驗證，系統(tǒng)完全可控、可觀測。且rank

B

+rankC-1=4。所以可以通過輸出反饋配置系統(tǒng)的所有極點?，F(xiàn)設計K1=l1m1，使系統(tǒng)有p

-1=2個極點配置在0 0

（2）對系統(tǒng)（A+BK1C，B，C)，再按-

公式得再設計K2=l2m2,有為了使另外兩個極點配置在－2，－4，則依式

0

0第五章線性系統(tǒng)時域中的反饋控制和第三節(jié)、動態(tài)輸出反饋補償器B

0D1A0C

0C

1B1A1考慮到則方程(5-113)可寫成BeAeKeCev

u

0

0I

0定理5-17:動態(tài)方程(5-114)所表示的充要條件定理5-18:定理5-19:任何一個完全可控、可觀測系統(tǒng)，如果需要設計動態(tài)補償器來構(gòu)成輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)，那么，總可以將動態(tài)補償器的設計轉(zhuǎn)化為等效靜態(tài)輸出反饋陣的設計。且動態(tài)補償器的維數(shù)l可由下式確定。則等效的開環(huán)系統(tǒng)為如此,得等效的閉環(huán)系統(tǒng)陣為第3步直接計算A+BKC的特征多項式得b1b1b1b1直接比較c

(s)和c

(s)s同次冪的系數(shù)得第五章第四節(jié)、解耦控制問題第四節(jié) 解耦控制問題一、解耦控制問題的提法p

=

qu

Kx

HvHBCK(sIA)1x解耦系統(tǒng)使得控制器的設計大大簡化?？梢詫γ恳粋€變量的控制單獨進行。二、系統(tǒng)狀態(tài)反饋解耦的充要條件(sI

A

BK

)

BK又因為(sI

A

BK

)1

(sI

A

BK

)傳遞函數(shù)陣的特征量例如，對于如下的G(s)因為Gi(s)中各元分母、分子階次差的最小值為di+1，所以上式中sn-1,…,sn-di項的系數(shù)應為零。即，對于閉環(huán)傳遞函數(shù)陣GKH·(s)同樣可以定義引理5-3:

對于式(5-143)中任意的K和非奇異的H,有k

di定理5-23:

傳遞函數(shù)陣為G(s)的系統(tǒng),可以用充要條件證明:

必要性.

若G(s)可解耦,則GＫ·Ｈ(s)是對角非奇異陣。故充分性.式中

E1FE1對此解耦系統(tǒng)有例5-20:

設動態(tài)系統(tǒng)為第1步求該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣和特征量第2步判斷可否解耦,并構(gòu)成解耦控制律。由第1步,顯然構(gòu)成解耦控制律uC

C

11s1s211s1s3

1s1s

1s本節(jié)介紹的解耦方式，由于其對角元都是積分器，故被稱為積分器解耦系統(tǒng)。它不滿足穩(wěn)定性要求，故在實際中不能使用。但是在理論上，它提供了可解耦系統(tǒng)的一種中間形式，可供進一步研究解耦問題時使用。四、穩(wěn)態(tài)解耦問題非穩(wěn)態(tài)解耦只適用于參考輸入為單位階躍的情況。定理5-25:系統(tǒng)(5-140)能穩(wěn)態(tài)解耦的充要條件是該系統(tǒng)可用狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定,并且成立有證明:

充分性。因為系統(tǒng)鎮(zhèn)定，必有Re

(A

BK

)

0

及(A

BK

)1det

A+

BK

B例5-22：給定動態(tài)系統(tǒng)為經(jīng)計算系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣G(s)為可見矩陣不能動態(tài)解耦第五章線性系統(tǒng)時域中的反饋控制和第六節(jié)、狀態(tài)觀測器和帶狀態(tài)觀測器的動態(tài)系統(tǒng)第六節(jié) 狀態(tài)觀測器和帶觀測器的動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)反饋相對于輸出反饋有明顯的優(yōu)越性。系統(tǒng)的任意極點配置、鎮(zhèn)定、解耦控制、無靜差等，均有賴于引入適當?shù)臓顟B(tài)反饋方能實現(xiàn)。但一般說來，直接獲得（測量）全部的狀態(tài)變量是 的，這使得狀態(tài)反饋的物理實現(xiàn)成為問題。狀態(tài)重構(gòu)狀態(tài)觀測器狀態(tài)漸近估計器漸近等價全維觀測器和降維觀測器。u致，因此，很難1)模型系統(tǒng)的A、B

難與真實系滿足誤差開環(huán)估值一、全維狀態(tài)觀測器CCAGABBuCAGAGCBBu定理

5-30：

(觀測器存在定理)

線性定常系統(tǒng)(A,B,C)的全維狀態(tài)觀測器存在充要條件是(A,C)可檢測。另一方面,對x2

(A21

G2C1)x1

A22

x2定理5-31：（觀測器極點任意配置的條件）充要條件算法：設計方法Ⅱx?

T

1

z充要條件充分性。記e

x

x?

x

T

1zFTA

FT

GCTB

H必要條件也是充分條件算法例5-26:

給定動態(tài)系統(tǒng)為第3步列寫矩陣方程TA

FT

GC二、降維狀態(tài)觀測器令

x

Txy

Iq

0

x（2）x222

2212

A

x

(

A

y

B

u)(A22,A12)完全可觀測的充要條件是(A,C)完全可觀測。（3）對(n-q)維子系統(tǒng)(5-232)構(gòu)造全維觀測器，觀測器方程為引入變換z

(A22

G2

A12

)z

[(A22

G2

A12

)G2

(A21

G2

A11)]y

(B2

G2B1)u1

2

2x?G21IC

1

(I

C

G

)C

1C

2

z

y例5-27:

給定動態(tài)系統(tǒng)為1

0

00

1

1z

(1

g2

)z

g1u1

(1

2g2

)u2

(2g

g

g

)

y

g

y設計方法Ⅱ充要條件(1).

Re

i

(F

)

0,

i

1,2,,

(n

q)定理5-36:若A和F不具有公共特征值,則方程TA-FT=GC存在滿秩矩陣解T,使必要條件也是充分條件第4步構(gòu)成矩陣P。z

Fz

Gy

Hu結(jié)論1分離特性結(jié)論2：觀測器的引入不改變系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。結(jié)論3：帶觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的魯棒性較直接狀態(tài)反饋為差，所以，在設計閉環(huán)系統(tǒng)時通常使觀測器的特征值的負實部較直接狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的特征值遠2

～3倍。即0

0

01

0001

k

1

k

2

k

3

k

4

10

14

51

5,

2

6A

G

A

G

A

G

A

0Gs

C

sI

A1

Bz

Fz

Gy

Hux?

Q1y

Q2zKv

G(s)

C(sI

A)1

BG1

(s)G2

(s)v

G

sG1

sG2