微分方程一-課件

高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)第六章微分方程高等數(shù)學(xué)第六章第一節(jié)基本概念一、實(shí)例例6-1、6-2例1：一曲線通過點(diǎn)（1，2），曲線上任意點(diǎn)的切線斜率為2x，求曲線方程。解：設(shè)所求曲線為y=f(x),則第一節(jié)基本概念一、實(shí)例例6-1、6-2第一節(jié)基本概念例2：在理想環(huán)境中，某細(xì)菌的增殖速率與它的即時(shí)存在量成正比。試建立細(xì)菌在時(shí)刻的存在量滿足的微分方程。第一節(jié)基本概念例2：在理想環(huán)境中，某細(xì)菌的增殖速率與它的第一節(jié)基本概念例3：自由落體問題第一節(jié)基本概念例3：自由落體問題第一節(jié)基本概念二、常微分方程定義1：含有自變量、未知函數(shù)和未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程稱為微分方程。(Ordinarydifferentialequation)第一節(jié)基本概念二、常微分方程第一節(jié)基本概念常微分方程：未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程。（只有全導(dǎo)數(shù)，沒有偏導(dǎo)數(shù)）偏微分方程：未知函數(shù)為多元函數(shù)，出現(xiàn)偏導(dǎo)數(shù)的方程。本章只討論常微分方程一般形式：第一節(jié)基本概念常微分方程：未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方第一節(jié)基本概念微分方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的最高階數(shù)，叫微分方程的階。(order)三、常微分方程的解定義2：滿足微分方程的函數(shù)，叫作微分方程的解。(solution)第一節(jié)基本概念微分方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的最高第一節(jié)基本概念(1)

通解：含有獨(dú)立的任意常數(shù)、且個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同的解。(generalsolution)(2)

特解：在通解中，利用已知條件（或初始條件initialcondition）確定任意常數(shù)后，所得的解。（particularsolution）第一節(jié)基本概念(1)

通解：含有獨(dú)立的任意常數(shù)、且個(gè)數(shù)第一節(jié)基本概念一般一階微分方程初始條件：二階初始條件：第一節(jié)基本概念一般一階微分方程初始條件：二階初始條件：第二節(jié)一階微分方程一般形式

第二節(jié)一階微分方程第二節(jié)一階微分方程如果方程形式為：

兩邊積分：一、可分離變量的微分方程第二節(jié)一階微分方程一、可分離變量的微分方程第二節(jié)一階微分方程例：p118例6-4—例6-6例1：求微分方程的通解兩邊積分：通解為：第二節(jié)一階微分方程例：p118例6-4—例6-6例1：求第二節(jié)一階微分方程例2：求微分方程滿足初始x=2,y=4條件的特解分離變量：ydy=-xdx兩邊積分得：當(dāng)X=2時(shí),y=4，得C=10特解：第二節(jié)一階微分方程例2：求微分方程滿足初始x=2,y=4條第二節(jié)一階微分方程例3：由物理學(xué)知道，放射性元素鈾在某時(shí)刻的衰變速度與該時(shí)刻鈾的質(zhì)量M成正比。已知t=0時(shí)，鈾的質(zhì)量為M，求在衰變過程中鈾的質(zhì)量隨時(shí)間變化的規(guī)律。解：設(shè)在時(shí)刻t的質(zhì)量是M=M(t)，衰變速度是dM/dt則第二節(jié)一階微分方程例3：由物理學(xué)知道，放射性元素鈾在某時(shí)刻第二節(jié)一階微分方程例4：一容器內(nèi)有100升葡萄糖水，其中含葡萄糖10千克，今以2升/分的速度將凈水注入，并以同樣速度使葡萄糖水流出。有一攪拌器不停的工作，可以認(rèn)為溶液的濃度是均勻的。求（1）t時(shí)刻的葡萄糖含量（2）50分鐘后的葡萄糖的含量。第二節(jié)一階微分方程例4：一容器內(nèi)有100升葡萄糖水，其中含第二節(jié)一階微分方程解：設(shè)t時(shí)刻溶液中的葡萄糖含量為x，則在t,t+dt內(nèi)溶液中葡萄糖含量的變化為葡萄糖含量的增量=流進(jìn)的葡萄糖量-流出的葡萄糖量葡萄糖的增量為dx，流進(jìn)的葡萄糖量為零。t時(shí)刻的濃度x/100為dt內(nèi)的濃度，則流出的葡萄糖量為x/100·2dt,微分方程為第二節(jié)一階微分方程解：設(shè)t時(shí)刻溶液中的葡萄糖含量為x，則第二節(jié)一階微分方程初始條件：t=0,x=10得C=0則：當(dāng)t=50時(shí)，得第二節(jié)一階微分方程初始條件：t=0,x=10得第二節(jié)一階微分方程二、一階齊次方程定義如果一階微分方程，可化為稱這微分方程為齊次微分方程。例：考察方程p119兩邊積分，用u=y/x代入。例：例6-7、6-8、6-9第二節(jié)一階微分方程二、一階齊次方程定義如果一階微分方程三、一階線性微分方程

定義：一階微分方程中的未知函數(shù)y以及它的導(dǎo)數(shù)y都是一次冪，稱為一階線性微分方程。(linearfirst-orderdifferentialequation)一般形式：三、一階線性微分方程

定義：一階微分方程中的未知函數(shù)y以及三、一階線性微分方程線性齊次(homogeneous)方程:

Q(x)=0

線性非齊次(inhomogeneous)方程：

齊次方程的解：分離變量得三、一階線性微分方程線性齊次(homogeneous)方程三、一階線性微分方程三、一階線性微分方程三、一階線性微分方程

非齊次方程的解：常數(shù)變易法(methodofvariationofconstants),將齊次通解中的C=C(x).方程變?yōu)槿?、一階線性微分方程非齊次方程的解：常數(shù)變易法(me三、一階線性微分方程設(shè)想方程的解有形式：三、一階線性微分方程設(shè)想方程的解有形式：三、一階線性微分方程

非齊次方程的通解由兩部分組成：

第一部分是對(duì)應(yīng)齊次方程的通解；第二部分是原來非齊次方程的一個(gè)特解。

例：p122

例6-10、6-11

三、一階線性微分方程非齊次方程的通解由兩部分組成：三、一階線性微分方程例1：求方程的通解先求齊次方程的通解分離變量，得積分得三、一階線性微分方程例1：求方程的通解先求齊次方程的通解分離三、一階線性微分方程再用常數(shù)變易法解。設(shè)方程通解：用公式解：結(jié)果相同三、一階線性微分方程再用常數(shù)變易法解。設(shè)方程通解：用公式解：三、一階線性微分方程例2：求方程通解解：齊次齊次通解：非齊次設(shè)三、一階線性微分方程例2：求方程通解解：齊次齊次通解：非齊次三、一階線性微分方程方程通解：例3：求方程通解解：齊次非齊次三、一階線性微分方程方程通解：例3：求方程通解解：齊次非齊次三、一階線性微分方程例4：通解：求方程滿足初始條件的特解三、一階線性微分方程例4：通解：求方程滿足初始條件的特解三、一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式：齊次方程：通解：常數(shù)變易，設(shè)原方程的解為：代入原方程，有三、一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式：齊次方程：通解：常數(shù)變易，設(shè)原三、一階線性微分方程則通解為：由特解：三、一階線性微分方程則通解為：由特解：三、一階線性微分方程四、伯努利方程定義稱伯努利（Bernoulli）方程。線性微分方程；非線性微分方程三、一階線性微分方程四、伯努利方程定義三、一階線性微分方程例：p123例6-12三、一階線性微分方程例：p123例6-12三、一階線性微分方程三、一階線性微分方程三、一階線性微分方程三、一階線性微分方程三、一階線性微分方程例：求微分方程的通解例：通解為的微分方程為：三、一階線性微分方程例：求微分方程的通解例：通解為三、一階線性微分方程例：曲線y=f(x)過點(diǎn)(0,-1/2)，其上任一點(diǎn)(x,y)的切線斜率為xln(1+x2),求f(x).三、一階線性微分方程例：曲線y=f(x)過點(diǎn)(0,-1/2)三、一階線性微分方程例：求微分方程的通解例：三、一階線性微分方程例：求微分方程的通解例：三、一階線性微分方程三、一階線性微分方程第三節(jié)二階微分方程一、可降階微分方程第三節(jié)二階微分方程一、可降階微分方程第三節(jié)二階微分方程1．

型的微分方程（不顯含函數(shù)和導(dǎo)數(shù)，兩次積分）

2．

代換：設(shè)第三節(jié)二階微分方程1．型第三節(jié)二階微分方程方程變?yōu)椋?/p>

即：

例：p123例6-13

第三節(jié)二階微分方程方程變?yōu)椋杭矗豪旱谌?jié)二階微分方程例：求方程的通解：解：設(shè)y’=p(x)有,y’’=dp/dx兩邊積分得：再積分一次：第三節(jié)二階微分方程例：求方程的通解：解：設(shè)y’=p(x第三節(jié)二階微分方程3．設(shè)第三節(jié)二階微分方程3．設(shè)第三節(jié)二階微分方程

方程變?yōu)椋?/p>

通解：

分離變量后再積分，通解：

例：p124例6-14、6-15第三節(jié)二階微分方程方程變?yōu)椋旱谌?jié)二階微分方程六、二階常系數(shù)線性微分方程第三節(jié)二階微分方程六、二階常系數(shù)線性微分方程第三節(jié)二階微分方程二階線性微分方程一般形式(scondorderlineardifferentialequstion)

若f(x)=0,方程是齊次的；否則是非齊次的。當(dāng)P(x),Q(x)都是常數(shù)時(shí)，稱為二階常系數(shù)(constantcoefficient)線性微分方程。即：若f(x)=0,方程是齊次的，否則是非齊次的。第三節(jié)二階微分方程二階線性微分方程一般形式(scond

第三節(jié)二階微分方程二、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)

定理若函數(shù)

是方程

的兩個(gè)解，則

也是方程的解，其中C1C2是任意常數(shù)。（線性方程特有的，稱為線性迭加原理

principleofsuperposition）第三節(jié)二階微分方程二、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定

第三節(jié)二階微分方程Y=C1y1+C2y2是否是方程的通解呢？這個(gè)問題要看C1和

C2是不是互相獨(dú)立，即C1和

C2能否合并。這又和y1、y2有關(guān)。如果y2=ky1即那么表明y實(shí)際上只有一個(gè)任意常數(shù)，

Y=C1y1+C2y2就不是方程的通解。第三節(jié)二階微分方程Y=C1y1+C2y2是否是方程的

第三節(jié)二階微分方程只有當(dāng)才彼此獨(dú)立才是方程的通解定義：設(shè)函數(shù)y1(x),y2(x)在區(qū)間I上有定義，若存在兩個(gè)不全為零的常數(shù)k1,k2使對(duì)一切X∈I都有則稱y1(x),y2(x)

在區(qū)間I上線性相關(guān)，否則稱為線性無關(guān)。

第三節(jié)二階微分方程只有當(dāng)才彼此獨(dú)立才是方程的通解定義：

第三節(jié)二階微分方程例如：第三節(jié)二階微分方程例如：第三節(jié)二階微分方程定理1：設(shè)

是二階線性微分方程的兩個(gè)

線性無關(guān)的特解，則齊次方程的通解是：其中

是兩個(gè)任意常數(shù)。通解結(jié)構(gòu)定理.第三節(jié)二階微分方程定理1：設(shè)是二階線性微分方程的兩個(gè)第三節(jié)二階微分方程定理2（通解結(jié)構(gòu)定理）若是二階非線性齊次方程的一個(gè)特解，是對(duì)應(yīng)齊次方程的通解，則是非齊次方程的通解。第三節(jié)二階微分方程定理2（通解結(jié)構(gòu)定理）若第三節(jié)二階微分方程例1求方程的通解。直觀可知：是方程的兩個(gè)特解，且線性無關(guān)。所以方程的通解為：例2求方程的通解。第三節(jié)二階微分方程例1求方程的通解。直觀可知：是方程的兩第三節(jié)二階微分方程有例1知，對(duì)應(yīng)齊次方程的通解是：由直觀知它的一個(gè)特解是：因此非齊次通解為：第三節(jié)二階微分方程有例1知，對(duì)應(yīng)齊次方程的通解是：由直觀第三節(jié)二階微分方程三、二階常系數(shù)線性齊次微分方程

尋找兩個(gè)線性無關(guān)的特解，假設(shè)方程具有的形式為，代入方程有：特征方程:

(characteristicequation)

其根是特征根(characteristicroot)第三節(jié)二階微分方程三、二階常系數(shù)線性齊次微分方程第三節(jié)二階微分方程（1）

，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根

r1r2。則

通解為：

第三節(jié)二階微分方程（1），方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根r1第三節(jié)二階微分方程（2）

，方程有兩相同的實(shí)根，

一個(gè)特解：

求另一個(gè)與線性無關(guān)的特解。

設(shè)

將

代入原方程，有通解為：

第三節(jié)二階微分方程（2），方程有兩相同的實(shí)根，一個(gè)特第三節(jié)二階微分方程（3）

，方程有一對(duì)共軛復(fù)根，

兩個(gè)線性無關(guān)的復(fù)數(shù)形式特解為：不便于應(yīng)用，為了得到實(shí)數(shù)解，利用歐拉公式：第三節(jié)二階微分方程（3），方程有一對(duì)共軛復(fù)根，第三節(jié)二階微分方程將y1y2寫成:根據(jù)線性迭加原理也是方程的解，且線性無關(guān)。通解為：第三節(jié)二階微分方程將y1y2寫成:根據(jù)線性迭加原理也是第三節(jié)二階微分方程解題步序：(1)寫出特征方程

(2)求出兩個(gè)特征根(3)

根據(jù)特征根的情況，按表寫出方程的通解第三節(jié)二階微分方程解題步序：(1)寫出特征方程(2第三節(jié)二階微分方程例：p128例6-17、6-18、6-19第三節(jié)二階微分方程例：p128例6-17、6-18、第三節(jié)二階微分方程例1：求方程的通解。解：兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根r1=-1,r2=5,通解為例2：求方程滿足初始條件的特解。第三節(jié)二階微分方程例1：求方程的通解。解：兩個(gè)不相等的實(shí)第三節(jié)二階微分方程特征方程：r2+2r+1=0,兩根相同r1=r2=-1通解為由初始條件得：C1=4,C2=2.特解為例3：求方程的通解。特征根：通解：第三節(jié)二階微分方程特征方程：r2+2r+1=0,兩根相同第三節(jié)二階微分方程方程y’’+9y=0的一條積分曲線通過點(diǎn)(π,-1)，且在該點(diǎn)和直線y+1=x-π相切，求此曲線。例4：解：特征方程通解：初始條件，通過點(diǎn)(π,-1)得，C1=1y’=-3sin3x+3C2cosx得C2=-1/3第三節(jié)二階微分方程方程y’’+9y=0的一條積分曲線第三節(jié)二階微分方程四、二階常系數(shù)線性非齊次微分方程一般形式：通解：Y是齊次方程的通解，關(guān)鍵是特解。例：求方程的通解。解：齊次方程通解：第三節(jié)二階微分方程四、二階常系數(shù)線性非齊次微分方程一般形第三節(jié)二階微分方程第三節(jié)二階微分方程第三節(jié)二階微分方程非齊次通解：第三節(jié)二階微分方程非齊次通解：第三節(jié)二階微分方程特解形式：代入方程第三節(jié)二階微分方程特解形式：第三節(jié)二階微分方程1、如果r不是特征根因?yàn)镻m(x)是m,次多項(xiàng)式Q(x)必須是m次多項(xiàng)式.2、如果r是特征方程的單根Q’(x)必須是m次多項(xiàng)式，即Q(x)必須是m+1次多項(xiàng)式。第三節(jié)二階微分方程1、如果r不是特征根因?yàn)镻m(x)是m第三節(jié)二階微分方程3、如果r是特征方程的重根Q’’(x)必須是m次多項(xiàng)式，即Q(x)必須是m+2次多項(xiàng)式。特解形式：r不是特征根k＝0；單根k＝1；重根k＝2例：p130例6-20、6-21、6-22第三節(jié)二階微分方程3、如果r是特征方程的重根Q’’(x)

第三節(jié)二階微分方程例：設(shè)二階常系數(shù)微分方程的一個(gè)特解為確定。第三節(jié)二階微分方程例：設(shè)二階常系數(shù)微分方程

第三節(jié)二階微分方程例：解：這里r=0,m=2，r不是特征根k=0，設(shè)例：第三節(jié)二階微分方程例：解：這里r=0,m=2，r不是第五節(jié)微分方程的應(yīng)用一、化學(xué)反應(yīng)速率模型

對(duì)化學(xué)反應(yīng)、生物生長、藥物在體內(nèi)分布、吸收、代謝、排泄（SBNE）等研究中，常常會(huì)遇到復(fù)雜的速率過程。最基本的是一級(jí)和二級(jí)速率。它們是化學(xué)反應(yīng)中一級(jí)反應(yīng)和二級(jí)反應(yīng)概念的推廣。

零級(jí)速率過程設(shè)時(shí)刻t未起反應(yīng)的量為C=C(t),起反應(yīng)量（生成物的量）x=x(t),則x(t)=C0-C(t)第五節(jié)微分方程的應(yīng)用一、化學(xué)反應(yīng)速率模型第五節(jié)微分方程的應(yīng)用生成物濃度的速率：反應(yīng)物濃度的速率：反應(yīng)速度：零級(jí)反應(yīng)：化學(xué)反應(yīng)速度與反應(yīng)物濃度無關(guān)。零級(jí)速率過程：一個(gè)量在某個(gè)過程中的變化速率始終保持常數(shù)。第五節(jié)微分方程的應(yīng)用生成物濃度的速率：反應(yīng)物濃度的速率：第五節(jié)微分方程的應(yīng)用例題：

一定劑量的藥物（丹參、青霉素注射液）做恒速靜脈滴注的過程是零級(jí)速率過程。設(shè)時(shí)刻t，瓶內(nèi)藥量為x，滴注速率為k。則初始：t=0,x=x0→c=x0有藥量與時(shí)間呈線性關(guān)系。第五節(jié)微分方程的應(yīng)用例題：一定劑量的藥物（丹第五節(jié)微分方程的應(yīng)用1、一級(jí)反應(yīng)單分子反應(yīng)，若化學(xué)反應(yīng)速率與反應(yīng)物的量成正比，稱為一級(jí)反應(yīng)（一級(jí)速率過程）。

一級(jí)速率過程：某個(gè)變化過程中一個(gè)量的變化率與當(dāng)時(shí)的量成正比，這種動(dòng)力學(xué)過程稱為一級(jí)速率過程，如鐳的衰變過程。例題：鐳的初始量x0，求殘存量x與時(shí)間的關(guān)系。據(jù)題意：第五節(jié)微分方程的應(yīng)用1、一級(jí)反應(yīng)例題：鐳的初始量x0，求第五節(jié)微分方程的應(yīng)用tox0x第五節(jié)微分方程的應(yīng)用tox0x第五節(jié)微分方程的應(yīng)用2、二級(jí)反應(yīng)

稱二級(jí)反應(yīng)。一定溫度時(shí)等容反應(yīng)的速率與各反應(yīng)物濃度的乘積成正比

第五節(jié)微分方程的應(yīng)用2、二級(jí)反應(yīng)第五節(jié)微分方程的應(yīng)用第五節(jié)微分方程的應(yīng)用第五節(jié)微分方程的應(yīng)用二、醫(yī)學(xué)模型（腫瘤生長模型）設(shè)V表示在時(shí)刻t腫瘤的大?。w積、重量、細(xì)胞數(shù)等）。由實(shí)踐得知：腫瘤在時(shí)刻t增長的速率與當(dāng)時(shí)V的大小成正比，比例系數(shù)為k（不是常數(shù)），它隨時(shí)間t減小，其減小的速率與當(dāng)時(shí)k的大小成正比，此比例系數(shù)α為常數(shù)。得如下數(shù)學(xué)模型：第五節(jié)微分方程的應(yīng)用二、醫(yī)學(xué)模型（腫瘤生長模型）第五節(jié)微分方程的應(yīng)用（1）如果由此可見，腫瘤按指數(shù)生長，生長速率為A第五節(jié)微分方程的應(yīng)用（1）如果由此可見，腫瘤按指數(shù)生長，第五節(jié)微分方程的應(yīng)用(2)如果將上式代入dV/dt=kV方程，得這是描述腫瘤生長的數(shù)學(xué)關(guān)系，稱為高帕茨Gompertz（德國數(shù)學(xué)家）函數(shù)。第五節(jié)微分方程的應(yīng)用(2)如果將上式代入dV/dt=kV第五節(jié)微分方程的應(yīng)用研究幾種腫瘤生長情況：第五節(jié)微分方程的應(yīng)用研究幾種腫瘤生長情況：第五節(jié)微分方程的應(yīng)用這是腫瘤生長的理論上限。當(dāng)dV/dt>0,則V單調(diào)遞增，當(dāng)t→+∞時(shí)，V→Vmax第五節(jié)微分方程的應(yīng)用這是腫瘤生長的理論上限。當(dāng)dV/dt第五節(jié)微分方程的應(yīng)用（3）通常將腫瘤體積增大一倍所需的時(shí)間稱為腫瘤的倍增時(shí)間，記為td.由情況(1)可得，顯然，td不是常數(shù)，它隨t的增大而增大。第五節(jié)微分方程的應(yīng)用（3）通常將腫瘤體積增大一倍所需的時(shí)第五節(jié)微分方程的應(yīng)用三、藥學(xué)模型快速靜脈注射消除D0-kxVx(t)一室模型近似將機(jī)體看成是一個(gè)動(dòng)力學(xué)單元，給藥后瞬時(shí)分布到血液和器官。例1快速靜脈注射模型設(shè)體內(nèi)為一個(gè)室（動(dòng)力學(xué)一室模型），V表觀容積。第五節(jié)微分方程的應(yīng)用三、藥學(xué)模型快速靜脈注射消除D0-k第五節(jié)微分方程的應(yīng)用設(shè)藥物消除是一級(jí)速率，一次快速靜脈注射劑量為D0,求血藥濃度變化。設(shè)設(shè)t時(shí)刻藥量為x，則第五節(jié)微分方程的應(yīng)用設(shè)藥物消除是一級(jí)速率，一次快速靜脈注第五節(jié)微分方程的應(yīng)用血藥濃度血藥濃度消除率第五節(jié)微分方程的應(yīng)用血藥濃度血藥濃度消除率第五節(jié)微分方程的應(yīng)用例2恒速靜脈注射一室模型

K0-kxVX(t)K0恒速注射，體內(nèi)變化速率為輸入藥量速率與消除藥量速率之差。齊次方程解常數(shù)變易代入原方程第五節(jié)微分方程的應(yīng)用例2恒速靜脈注射一室模型K0-第五節(jié)微分方程的應(yīng)用血藥濃度劑量D0在時(shí)間T內(nèi)恒速k0=D0/T滴注第五節(jié)微分方程的應(yīng)用血藥濃度劑量D0在時(shí)間T內(nèi)恒速k0=第五節(jié)微分方程的應(yīng)用第五節(jié)微分方程的應(yīng)用微分方程一-課件高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)第六章微分方程高等數(shù)學(xué)第六章第一節(jié)基本概念一、實(shí)例例6-1、6-2例1：一曲線通過點(diǎn)（1，2），曲線上任意點(diǎn)的切線斜率為2x，求曲線方程。解：設(shè)所求曲線為y=f(x),則第一節(jié)基本概念一、實(shí)例例6-1、6-2第一節(jié)基本概念例2：在理想環(huán)境中，某細(xì)菌的增殖速率與它的即時(shí)存在量成正比。試建立細(xì)菌在時(shí)刻的存在量滿足的微分方程。第一節(jié)基本概念例2：在理想環(huán)境中，某細(xì)菌的增殖速率與它的第一節(jié)基本概念例3：自由落體問題第一節(jié)基本概念例3：自由落體問題第一節(jié)基本概念二、常微分方程定義1：含有自變量、未知函數(shù)和未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程稱為微分方程。(Ordinarydifferentialequation)第一節(jié)基本概念二、常微分方程第一節(jié)基本概念常微分方程：未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程。（只有全導(dǎo)數(shù)，沒有偏導(dǎo)數(shù)）偏微分方程：未知函數(shù)為多元函數(shù)，出現(xiàn)偏導(dǎo)數(shù)的方程。本章只討論常微分方程一般形式：第一節(jié)基本概念常微分方程：未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方第一節(jié)基本概念微分方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的最高階數(shù)，叫微分方程的階。(order)三、常微分方程的解定義2：滿足微分方程的函數(shù)，叫作微分方程的解。(solution)第一節(jié)基本概念微分方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的最高第一節(jié)基本概念(1)

通解：含有獨(dú)立的任意常數(shù)、且個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同的解。(generalsolution)(2)

特解：在通解中，利用已知條件（或初始條件initialcondition）確定任意常數(shù)后，所得的解。（particularsolution）第一節(jié)基本概念(1)

通解：含有獨(dú)立的任意常數(shù)、且個(gè)數(shù)第一節(jié)基本概念一般一階微分方程初始條件：二階初始條件：第一節(jié)基本概念一般一階微分方程初始條件：二階初始條件：第二節(jié)一階微分方程一般形式

第二節(jié)一階微分方程第二節(jié)一階微分方程如果方程形式為：

兩邊積分：一、可分離變量的微分方程第二節(jié)一階微分方程一、可分離變量的微分方程第二節(jié)一階微分方程例：p118例6-4—例6-6例1：求微分方程的通解兩邊積分：通解為：第二節(jié)一階微分方程例：p118例6-4—例6-6例1：求第二節(jié)一階微分方程例2：求微分方程滿足初始x=2,y=4條件的特解分離變量：ydy=-xdx兩邊積分得：當(dāng)X=2時(shí),y=4，得C=10特解：第二節(jié)一階微分方程例2：求微分方程滿足初始x=2,y=4條第二節(jié)一階微分方程例3：由物理學(xué)知道，放射性元素鈾在某時(shí)刻的衰變速度與該時(shí)刻鈾的質(zhì)量M成正比。已知t=0時(shí)，鈾的質(zhì)量為M，求在衰變過程中鈾的質(zhì)量隨時(shí)間變化的規(guī)律。解：設(shè)在時(shí)刻t的質(zhì)量是M=M(t)，衰變速度是dM/dt則第二節(jié)一階微分方程例3：由物理學(xué)知道，放射性元素鈾在某時(shí)刻第二節(jié)一階微分方程例4：一容器內(nèi)有100升葡萄糖水，其中含葡萄糖10千克，今以2升/分的速度將凈水注入，并以同樣速度使葡萄糖水流出。有一攪拌器不停的工作，可以認(rèn)為溶液的濃度是均勻的。求（1）t時(shí)刻的葡萄糖含量（2）50分鐘后的葡萄糖的含量。第二節(jié)一階微分方程例4：一容器內(nèi)有100升葡萄糖水，其中含第二節(jié)一階微分方程解：設(shè)t時(shí)刻溶液中的葡萄糖含量為x，則在t,t+dt內(nèi)溶液中葡萄糖含量的變化為葡萄糖含量的增量=流進(jìn)的葡萄糖量-流出的葡萄糖量葡萄糖的增量為dx，流進(jìn)的葡萄糖量為零。t時(shí)刻的濃度x/100為dt內(nèi)的濃度，則流出的葡萄糖量為x/100·2dt,微分方程為第二節(jié)一階微分方程解：設(shè)t時(shí)刻溶液中的葡萄糖含量為x，則第二節(jié)一階微分方程初始條件：t=0,x=10得C=0則：當(dāng)t=50時(shí)，得第二節(jié)一階微分方程初始條件：t=0,x=10得第二節(jié)一階微分方程二、一階齊次方程定義如果一階微分方程，可化為稱這微分方程為齊次微分方程。例：考察方程p119兩邊積分，用u=y/x代入。例：例6-7、6-8、6-9第二節(jié)一階微分方程二、一階齊次方程定義如果一階微分方程三、一階線性微分方程

定義：一階微分方程中的未知函數(shù)y以及它的導(dǎo)數(shù)y都是一次冪，稱為一階線性微分方程。(linearfirst-orderdifferentialequation)一般形式：三、一階線性微分方程

定義：一階微分方程中的未知函數(shù)y以及三、一階線性微分方程線性齊次(homogeneous)方程:

Q(x)=0

線性非齊次(inhomogeneous)方程：

齊次方程的解：分離變量得三、一階線性微分方程線性齊次(homogeneous)方程三、一階線性微分方程三、一階線性微分方程三、一階線性微分方程

非齊次方程的解：常數(shù)變易法(methodofvariationofconstants),將齊次通解中的C=C(x).方程變?yōu)槿?、一階線性微分方程非齊次方程的解：常數(shù)變易法(me三、一階線性微分方程設(shè)想方程的解有形式：三、一階線性微分方程設(shè)想方程的解有形式：三、一階線性微分方程

非齊次方程的通解由兩部分組成：

第一部分是對(duì)應(yīng)齊次方程的通解；第二部分是原來非齊次方程的一個(gè)特解。

例：p122

例6-10、6-11

三、一階線性微分方程非齊次方程的通解由兩部分組成：三、一階線性微分方程例1：求方程的通解先求齊次方程的通解分離變量，得積分得三、一階線性微分方程例1：求方程的通解先求齊次方程的通解分離三、一階線性微分方程再用常數(shù)變易法解。設(shè)方程通解：用公式解：結(jié)果相同三、一階線性微分方程再用常數(shù)變易法解。設(shè)方程通解：用公式解：三、一階線性微分方程例2：求方程通解解：齊次齊次通解：非齊次設(shè)三、一階線性微分方程例2：求方程通解解：齊次齊次通解：非齊次三、一階線性微分方程方程通解：例3：求方程通解解：齊次非齊次三、一階線性微分方程方程通解：例3：求方程通解解：齊次非齊次三、一階線性微分方程例4：通解：求方程滿足初始條件的特解三、一階線性微分方程例4：通解：求方程滿足初始條件的特解三、一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式：齊次方程：通解：常數(shù)變易，設(shè)原方程的解為：代入原方程，有三、一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式：齊次方程：通解：常數(shù)變易，設(shè)原三、一階線性微分方程則通解為：由特解：三、一階線性微分方程則通解為：由特解：三、一階線性微分方程四、伯努利方程定義稱伯努利（Bernoulli）方程。線性微分方程；非線性微分方程三、一階線性微分方程四、伯努利方程定義三、一階線性微分方程例：p123例6-12三、一階線性微分方程例：p123例6-12三、一階線性微分方程三、一階線性微分方程三、一階線性微分方程三、一階線性微分方程三、一階線性微分方程例：求微分方程的通解例：通解為的微分方程為：三、一階線性微分方程例：求微分方程的通解例：通解為三、一階線性微分方程例：曲線y=f(x)過點(diǎn)(0,-1/2)，其上任一點(diǎn)(x,y)的切線斜率為xln(1+x2),求f(x).三、一階線性微分方程例：曲線y=f(x)過點(diǎn)(0,-1/2)三、一階線性微分方程例：求微分方程的通解例：三、一階線性微分方程例：求微分方程的通解例：三、一階線性微分方程三、一階線性微分方程第三節(jié)二階微分方程一、可降階微分方程第三節(jié)二階微分方程一、可降階微分方程第三節(jié)二階微分方程1．

型的微分方程（不顯含函數(shù)和導(dǎo)數(shù)，兩次積分）

2．

代換：設(shè)第三節(jié)二階微分方程1．型第三節(jié)二階微分方程方程變?yōu)椋?/p>

即：

例：p123例6-13

第三節(jié)二階微分方程方程變?yōu)椋杭矗豪旱谌?jié)二階微分方程例：求方程的通解：解：設(shè)y’=p(x)有,y’’=dp/dx兩邊積分得：再積分一次：第三節(jié)二階微分方程例：求方程的通解：解：設(shè)y’=p(x第三節(jié)二階微分方程3．設(shè)第三節(jié)二階微分方程3．設(shè)第三節(jié)二階微分方程

方程變?yōu)椋?/p>

通解：

分離變量后再積分，通解：

例：p124例6-14、6-15第三節(jié)二階微分方程方程變?yōu)椋旱谌?jié)二階微分方程六、二階常系數(shù)線性微分方程第三節(jié)二階微分方程六、二階常系數(shù)線性微分方程第三節(jié)二階微分方程二階線性微分方程一般形式(scondorderlineardifferentialequstion)

若f(x)=0,方程是齊次的；否則是非齊次的。當(dāng)P(x),Q(x)都是常數(shù)時(shí)，稱為二階常系數(shù)(constantcoefficient)線性微分方程。即：若f(x)=0,方程是齊次的，否則是非齊次的。第三節(jié)二階微分方程二階線性微分方程一般形式(scond

第三節(jié)二階微分方程二、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)

定理若函數(shù)

是方程

的兩個(gè)解，則

也是方程的解，其中C1C2是任意常數(shù)。（線性方程特有的，稱為線性迭加原理

principleofsuperposition）第三節(jié)二階微分方程二、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定

第三節(jié)二階微分方程Y=C1y1+C2y2是否是方程的通解呢？這個(gè)問題要看C1和

C2是不是互相獨(dú)立，即C1和

C2能否合并。這又和y1、y2有關(guān)。如果y2=ky1即那么表明y實(shí)際上只有一個(gè)任意常數(shù)，

Y=C1y1+C2y2就不是方程的通解。第三節(jié)二階微分方程Y=C1y1+C2y2是否是方程的

第三節(jié)二階微分方程只有當(dāng)才彼此獨(dú)立才是方程的通解定義：設(shè)函數(shù)y1(x),y2(x)在區(qū)間I上有定義，若存在兩個(gè)不全為零的常數(shù)k1,k2使對(duì)一切X∈I都有則稱y1(x),y2(x)

在區(qū)間I上線性相關(guān)，否則稱為線性無關(guān)。

第三節(jié)二階微分方程只有當(dāng)才彼此獨(dú)立才是方程的通解定義：

第三節(jié)二階微分方程例如：第三節(jié)二階微分方程例如：第三節(jié)二階微分方程定理1：設(shè)

是二階線性微分方程的兩個(gè)

線性無關(guān)的特解，則齊次方程的通解是：其中

是兩個(gè)任意常數(shù)。通解結(jié)構(gòu)定理.第三節(jié)二階微分方程定理1：設(shè)是二階線性微分方程的兩個(gè)第三節(jié)二階微分方程定理2（通解結(jié)構(gòu)定理）若是二階非線性齊次方程的一個(gè)特解，是對(duì)應(yīng)齊次方程的通解，則是非齊次方程的通解。第三節(jié)二階微分方程定理2（通解結(jié)構(gòu)定理）若第三節(jié)二階微分方程例1求方程的通解。直觀可知：是方程的兩個(gè)特解，且線性無關(guān)。所以方程的通解為：例2求方程的通解。第三節(jié)二階微分方程例1求方程的通解。直觀可知：是方程的兩第三節(jié)二階微分方程有例1知，對(duì)應(yīng)齊次方程的通解是：由直觀知它的一個(gè)特解是：因此非齊次通解為：第三節(jié)二階微分方程有例1知，對(duì)應(yīng)齊次方程的通解是：由直觀第三節(jié)二階微分方程三、二階常系數(shù)線性齊次微分方程

尋找兩個(gè)線性無關(guān)的特解，假設(shè)方程具有的形式為，代入方程有：特征方程:

(characteristicequation)

其根是特征根(characteristicroot)第三節(jié)二階微分方程三、二階常系數(shù)線性齊次微分方程第三節(jié)二階微分方程（1）

，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根

r1r2。則

通解為：

第三節(jié)二階微分方程（1），方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根r1第三節(jié)二階微分方程（2）

，方程有兩相同的實(shí)根，

一個(gè)特解：

求另一個(gè)與線性無關(guān)的特解。

設(shè)

將

代入原方程，有通解為：

第三節(jié)二階微分方程（2），方程有兩相同的實(shí)根，一個(gè)特第三節(jié)二階微分方程（3）

，方程有一對(duì)共軛復(fù)根，

兩個(gè)線性無關(guān)的復(fù)數(shù)形式特解為：不便于應(yīng)用，為了得到實(shí)數(shù)解，利用歐拉公式：第三節(jié)二階微分方程（3），方程有一對(duì)共軛復(fù)根，第三節(jié)二階微分方程將y1y2寫成:根據(jù)線性迭加原理也是方程的解，且線性無關(guān)。通解為：第三節(jié)二階微分方程將y1y2寫成:根據(jù)線性迭加原理也是第三節(jié)二階微分方程解題步序：(1)寫出特征方程

(2)求出兩個(gè)特征根(3)

根據(jù)特征根的情況，按表寫出方程的通解第三節(jié)二階微分方程解題步序：(1)寫出特征方程(2第三節(jié)二階微分方程例：p128例6-17、6-18、6-19第三節(jié)二階微分方程例：p128例6-17、6-18、第三節(jié)二階微分方程例1：求方程的通解。解：兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根r1=-1,r2=5,通解為例2：求方程滿足初始條件的特解。第三節(jié)二階微分方程例1：求方程的通解。解：兩個(gè)不相等的實(shí)第三節(jié)二階微分方程特征方程：r2+2r+1=0,兩根相同r1=r2=-1通解為由初始條件得：C1=4,C2=2.特解為例3：求方程的通解。特征根：通解：第三節(jié)二階微分方程特征方程：r2+2r+1=0,兩根相同第三節(jié)二階微分方程方程y’’+9y=0的一條積分曲線通過點(diǎn)(π,-1)，且在該點(diǎn)和直線y+1=x-π相切，求此曲線。例4：解：特征方程通解：初始條件，通過點(diǎn)(π,-1)得，C1=1y’=-3sin3x+3C2cosx得C2=-1/3第三節(jié)二階微分方程方程y’’+9y=0的一條積分曲線第三節(jié)二階微分方程四、二階常系數(shù)線性非齊次微分方程一般形式：通解：Y是齊次方程的通解，關(guān)鍵是特解。例：求方程的通解。解：齊次方程通解：第三節(jié)二階微分方程四、二階常系數(shù)線性非齊次微分方程一般形第三節(jié)二階微分方程第三節(jié)二階微分方程第三節(jié)二階微分方程非齊次通解：第三節(jié)二階微分方程非齊次通解：第三節(jié)二階微分方程特解形式：代入方程第三節(jié)二階微分方程特解形式：第三節(jié)二階微分方程1、如果r不是特征根因?yàn)镻m(x)是m,次多項(xiàng)式Q(x)必須是m次多項(xiàng)式.2、如果r是特征方程的單根Q’(x)必須是m次多項(xiàng)式，即Q(x)必須是m+1次多項(xiàng)式。第三節(jié)二階微分方程1、如果r不是特征根因?yàn)镻m(x)是m第三節(jié)二階微分方程3、如果r是特征方程的重根Q’’(x)必須是m次多項(xiàng)式，即Q(x)必須是m+2次多項(xiàng)式。特解形式：r不是特征根k＝0；單根k＝1；重根k＝2例：p130例6-20、6-21、6-22第三節(jié)二階微分方程3、如果r是特征方程的重根Q’’(x)

第三節(jié)二階微分方程例：設(shè)二階常系數(shù)微分方程的一個(gè)特解為確定。第三節(jié)二階微分方程例：設(shè)二階常系數(shù)微分方程

第三節(jié)二階微分方程例：解：這里r=0,m=2，r不是特征根k=0，設(shè)例：第三節(jié)二階微分方程例：解：這里r=0,m=2，r不是第五節(jié)微分方程的應(yīng)用一、化學(xué)反應(yīng)速率模型

對(duì)化學(xué)反應(yīng)、生物生長、藥物在體內(nèi)分布、吸收、代謝、排泄（SBNE）等研究中，常常會(huì)遇到復(fù)雜的速率過程。最基本的是一級(jí)和二級(jí)速率。它們是化學(xué)反應(yīng)中一級(jí)反應(yīng)和二級(jí)反應(yīng)概念的推廣。

零級(jí)速率過程設(shè)時(shí)刻t未起反應(yīng)的量為C=C(t),起反應(yīng)量（生成物的量）x=x(t),則x(t)=C0-C(t)第五節(jié)微分方程的應(yīng)用一、化學(xué)反應(yīng)速率模型第五節(jié)微分方程的應(yīng)用生成物濃