初中數(shù)學(xué)幾何證明技巧

V:1.0精細(xì)整理，僅供參考初中數(shù)學(xué)幾何證明技巧日期：20xx年X月輔助線的添加一、添輔助線有二種情況：1.按定義添輔助線：如：證明二直線垂直可延長(zhǎng)使它們，相交后證交角為90°；證線段倍半關(guān)系可倍線段取中點(diǎn)或半線段加倍；證角的倍半關(guān)系也可類似添輔助線。2.按基本圖形添輔助線：每個(gè)幾何定理都有與它相對(duì)應(yīng)的幾何圖形，我們把它叫做基本圖形，添輔助線往往是具有基本圖形的性質(zhì)，但基本圖形不完整時(shí)。因此“添線”應(yīng)該叫做“補(bǔ)圖”！這樣可防止亂添線也有規(guī)律可循。（1）平行線是個(gè)基本圖形：當(dāng)幾何中出現(xiàn)平行線時(shí)，添輔助線的關(guān)鍵是：添與二條平行線都相交的第三條直線（2）等腰三角形是個(gè)基本圖形：當(dāng)幾何問(wèn)題中出現(xiàn)一點(diǎn)發(fā)出的二條相等線段時(shí)，往往要補(bǔ)全完整的等腰三角形；（3）等腰三角形中的重要線段是個(gè)重要的基本圖形：出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點(diǎn)，添底邊上的中線；（4）直角三角形斜邊上中線基本圖形出現(xiàn)直角三角形斜邊上的中點(diǎn)，往往添斜邊上的中線。（5）三角形中位線基本圖形幾何問(wèn)題中出現(xiàn)多個(gè)中點(diǎn)時(shí)，往往添加三角形中位線基本圖形（6）相似三角形：相似三角形有平行線型（帶平行線的相似三角形），相交線型，旋轉(zhuǎn)型；當(dāng)出現(xiàn)相比線段重疊在一直線上時(shí)，（中點(diǎn)可看成比為1）可添加平行線得平行線型相似三角形。（8）特殊角直角三角形當(dāng)出現(xiàn)30，45，60，135，150度特殊角時(shí)可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三邊比為1：1：√2；30度角直角三角形三邊比為1：2：√3（9）半圓上的圓周角出現(xiàn)直徑與半圓上的點(diǎn)，添90度的圓周角；出現(xiàn)90度的圓周角則添它所對(duì)弦---直徑；二、基本圖形的輔助線的畫(huà)法1.三角形問(wèn)題添加輔助線方法方法1：有關(guān)三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點(diǎn)的題目，常常利用三角形的中位線，通過(guò)這種方法，把要證的結(jié)論恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)移，很容易地解決了問(wèn)題。方法2：含有平分線的題目，常以角平分線為對(duì)稱軸，利用角平分線的性質(zhì)和題中的條件，構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識(shí)解決問(wèn)題。方法3：結(jié)論是兩線段相等的題目常畫(huà)輔助線構(gòu)成全等三角形，或利用關(guān)于平分線段的一些定理。方法4：結(jié)論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目，常采用截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法，所謂截長(zhǎng)法就是把第三條線段分成兩部分，證其中的一部分等于第一條線段，而另一部分等于第二條線段2.平行四邊形中常用輔助線的添法平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對(duì)邊、對(duì)角和對(duì)角線都具有某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成常見(jiàn)的三角形、正方形等問(wèn)題處理（1）連對(duì)角線或平移對(duì)角線（2）過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線構(gòu)造直角三角形（3）連接對(duì)角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或中位線（4）連接頂點(diǎn)與對(duì)邊上一點(diǎn)的線段或延長(zhǎng)這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形。（5）過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等3.梯形中常用輔助線的添法梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識(shí)的綜合，通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線將梯形問(wèn)題化歸為平行四邊形問(wèn)題或三角形問(wèn)題來(lái)解決。（1）在梯形內(nèi)部平移一腰（2）梯形外平移一腰（3）梯形內(nèi)平移兩腰（4）延長(zhǎng)兩腰（5）過(guò)梯形上底的兩端點(diǎn)向下底作高（6）平移對(duì)角線（7）連接梯形一頂點(diǎn)及一腰的中點(diǎn)。（8）過(guò)一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線。（9）作中位線將梯形問(wèn)題化歸為平行四邊形問(wèn)題或三角形問(wèn)題來(lái)解決，這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。4.圓中常用輔助線的添法（1）見(jiàn)弦作弦心距有關(guān)弦的問(wèn)題，常作其弦心距（有時(shí)還須作出相應(yīng)的半徑），通過(guò)垂徑平分定理，來(lái)溝通題設(shè)與結(jié)論間的聯(lián)系。（2）見(jiàn)直徑作圓周角若已知圓的直徑，一般是作直徑所對(duì)的圓周角，利用"直徑所對(duì)的圓周角是直角"這一特征來(lái)證明問(wèn)題（3）見(jiàn)切線作半徑條件中含有圓的切線，往往是連結(jié)過(guò)切點(diǎn)的半徑，利用"切線與半徑垂直"這一性質(zhì)來(lái)證明問(wèn)題。（4）兩圓相切作公切線對(duì)兩圓相切的問(wèn)題，一般是經(jīng)過(guò)切點(diǎn)作兩圓的公切線或作它們的連心線，通過(guò)公切線可以找到與圓有關(guān)的角的關(guān)系。（5）兩圓相交作公共弦對(duì)兩圓相交的問(wèn)題，通常是作出公共弦，通過(guò)公共弦既可把兩圓的弦聯(lián)系起來(lái)，又可以把兩圓中的圓周角或圓心角聯(lián)系起來(lái)?？谠E與聯(lián)想一、由角平分線想到的輔助線口訣：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)：a.對(duì)稱性；b.角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。對(duì)于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。①?gòu)慕瞧椒志€上一點(diǎn)向兩邊作垂線；②利用角平分線，構(gòu)造對(duì)稱圖形（如作法是在一側(cè)的長(zhǎng)邊上截取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對(duì)稱圖形。與角有關(guān)的輔助線（1）截取構(gòu)全等（2）角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等（3）作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個(gè)等腰三角形，垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長(zhǎng)該線段與角的另一邊相交）。（4）以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線有角平分線時(shí)，常過(guò)角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形?；蛲ㄟ^(guò)一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長(zhǎng)線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。二、由中點(diǎn)想到的輔助線口訣：三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。在三角形中，如果已知一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn)，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線、中位線、加倍延長(zhǎng)中線及其相關(guān)性質(zhì)（直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形底邊中線性質(zhì)）（1）中線把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形（2）由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線（3）由中線應(yīng)想到延長(zhǎng)中線（4）直角三角形斜邊中線的性質(zhì)（5）角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三角形的中線（6）中線延長(zhǎng)三、梯形的輔助線口訣：梯形問(wèn)題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)椤骱汀?。平移腰，移?duì)角，兩腰延長(zhǎng)作出高。如果出現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線。上述方法不奏效，過(guò)腰中點(diǎn)全等造。通常情況下，通過(guò)做輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形，是解梯形問(wèn)題的基本思路。常見(jiàn)的幾種輔助線的作法如下：作法圖形平移腰，轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形。平移對(duì)角線。轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形。延長(zhǎng)兩腰，轉(zhuǎn)化為三角形。作高，轉(zhuǎn)化為直角三角形和矩形。中位線與腰中點(diǎn)連線。四、圓中作輔助線的常用方法：（1）作弦心距，以便利用弦心距與弧、弦之間的關(guān)系與垂徑定理。（2）若題目中有“弦的中點(diǎn)”和“弧的中點(diǎn)”條件時(shí)，一般連接中點(diǎn)和圓心，利用垂徑定理的推論（3）若題目中有“直徑”這一條件，可適當(dāng)選取圓周上的點(diǎn)，連結(jié)此點(diǎn)與直徑端點(diǎn)得到90度的角或直角三角形。（4）連結(jié)同弧或等弧的圓周角、圓心角，以得到等角。（5）若題中有與半徑（或直徑）垂直的線段，如圖1，圓O中，BD⊥OA于D，經(jīng)常是：①如圖1（上）延長(zhǎng)BD交圓于C，利用垂徑定理；②如圖1（下）延長(zhǎng)AO交圓于E，連結(jié)BE，BA，得Rt△ABE。圖1（上）圖1（下）（6）若題目中有“切線”條件時(shí)，一般是：對(duì)切線引過(guò)切點(diǎn)的半徑，（7）若題目中有“兩圓相切”（內(nèi)切或外切），往往過(guò)切點(diǎn)作兩圓的切線或作出它們的連心線（連心線過(guò)切點(diǎn)）以溝通兩圓中有關(guān)的角的相等關(guān)系。（8）若題目中有“兩圓相交”的條件，經(jīng)常作兩圓的公共弦，使之得到同弧上的圓周角或構(gòu)成圓內(nèi)接四邊形解決，有時(shí)還引兩連心線以得到結(jié)果。（9）有些問(wèn)題可以先證明四點(diǎn)共圓，借助于輔助圓中角之間的等量關(guān)系去證明。（10）對(duì)于圓的內(nèi)接正多邊形的問(wèn)題，往往添作邊心距，抓住一個(gè)直角三角形去解決?？谠E圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱中心等分點(diǎn)。梯形里面作高線，平移一腰試試看。平行移動(dòng)對(duì)角線，補(bǔ)成三角形常見(jiàn)。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜