隨機歷屆考題及答案-選講-15年

一、廣義平穩(wěn)隨機信號X(t)、Y(t)具有均值各 11隨機信號X(t)直流功率互相關(guān)函RXY(概率密度函數(shù)fXYxy,tx,ty SX()是帶寬為W=200π的低通白噪聲，其 N0WsinW W

200sin200AXt

m2R直流功率 因為X(t)與Y(t)的功率譜不，故兩個信立1Y(t)是廣義平穩(wěn)帶通隨122R(0) fdf2

信號，故 10012 X(t的方差

0 0fXY(x,y,tx,ty)fX( )fY(y,ty1212y 22002 e2

X(t)Aejit

iAi(i1, ,n)為復隨量，且彼此正交ii(i1,2, ,n)為不同實數(shù)。求X(t)的自相關(guān)函 X(t)R(t,s)EXtXs Aejit Aejj EAAejitejjs i，i E[i

2]eji(ts)

XX(t)相關(guān)函數(shù)平XX(t)的均值E[X(t)]E

AejtE(A)ej =E(A)ej1tE(A)ej2t E(A)e EX(ttX(t不是平穩(wěn)七、已知平穩(wěn)噪N(t的功率譜密度如下圖所示。X(t)N(t)cos(0t)N(t)sin(0t的功率譜密度SX(，并畫圖表示。其中 1為常數(shù)(0,2)上的均勻分布，且N(t)獨立。(10年)解：先X(t)EX(t)EN(t)cos(0t)N(t)sin(0tEN(t)Ecos(0t)EN(t)Esin(0t)均值平X(t)RX(t,s)E[X(t)XE{N(t)cos(0t)N(t)sin(0tN(s)cos(0s)N(s)sin(0sE{N(t)N(s)cos(0t)cos(0sN(t)N(s)sin(0t)sin(0sN(t)N(s)cos(0t)sin(0sN(t)N(s)sin(0t)cos(0sEN(t)N(s)cos(0)N(t)N(s)sin[0RN()cos(0

s)2R() 1SX()12

SN()[(

)(01 (

)

由已SN(的功率譜密度，可SX(的頻4八、設(shè)有一脈沖數(shù)字通信系統(tǒng)，它傳送的信號是脈寬為T的脈沖信號，每隔T發(fā)出一個脈沖。脈沖的幅度V(t) 是一個隨量，它可能的取值有四：P[V(t)2]P[V(t)1]P[V(t)1]P[V(t)2]14計算隨機信號V 的一維概率密度函數(shù)f(v;t)計算隨機信號 的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)V(t)f(v1,v2;1.5T,5.5T) （08年--0Tt解4f(v;t)1(v2)(v1)(v1)(v2)E[V(t)]1(2)1(1)1(1)1(2) t,

t1t2當 2在同一周期內(nèi)時，即T R(t,t)E[V(t)V(t)]E[V2(t 1

(1)2(1)2(2)2

4 t, t1t2當 2在不同周期內(nèi)時，即T ,t1t2 T

t

tR(t1,t2)

t

2.51

t2 T T 3.V(1.5T)與V(5.5T)在不同時隙內(nèi)，所以V(1.5T)V(5.5T)彼此獨立，所1(v2)(v1)(v1)(v (v22)(v21)(v21)(v2ntn1(tn2(t,n1(t的功5n2(t的功率為10n1(t的直流分量為2n2(t)的直流分量為1伏，確定在以下條件下n(t)的功率：n1(t和n2(t)是正交的n1(t和n2(t)是互不相關(guān)的n1(t和n2(t的互相關(guān)在02（08）n Rnt,t t,t2Rn t,t 1

n(t)和n(t)是正交的，有 (t1,t2) 1PRnt,t

t,t51015n1(t和n2(t)是互不相關(guān)的(t1,t2)Rnn(t1,t2)En1(t1)En2(t2)1 1n (t,tn 1

En1(t1)En2(t2n n1

21P t,t t,t2Rn t,t 151022n1(t和n2(t)的互相關(guān)在02R

(t,t)

En1(t)n2(t)PRnt,tRnt,t2Rn t,t51022 1十．設(shè)Z(t)Xcos2tYsin2t其中X和Y是統(tǒng)計獨 2。X2Y：R 的概率密度函數(shù)X2Y4若在t0t1Z(t)的聯(lián)合概率4度函數(shù)（07年解（由題：Z(tXcos2tYsin2t是帶通信號其復包絡(luò)a(tXjYRef(x,y) exp(x

y2X2X2Y

2xr yy

tan1X

r

rr frr,f(x,y)

fr

r,d

2exp r22

0 rexp

2

,r R為瑞利分布（2）因 Z(t)1Z(0)X Z )4

Xcos2tYsin21，故Z Z(4)統(tǒng)計獨立 f(z1,z2;t1,t2)f(z1;t1)

(z2;t2 ) 2222 z2 exp( 2

22 2十二.零均值窄帶平穩(wěn)隨機信號S(t)的功率譜密號Y(t)=S(t)+N(t)。N(t)S(t)獨立，它們在同樣頻帶（rad/sN(t)的雙邊譜密度為N0/2。)并計算此功率寫出Y(t的同相分量YC(t的一維概率密度fC(yc;t)(3)Y(t)的同相與正交分量分別是YC(t、YS(t)，求概P[YC(t0|YS(t0]（06年解（1）利用獨立性與零均值RY(t,t)EY(t)YE[S(t)N(t)][S(t)NRS(t,t)RN(t,t)RS()RN()RY( 故Y(t)是平穩(wěn)窄帶信號，于RY(0)RS(0)RN(0)PYPSP S()d 1[1wA1wA] 2 S()d 1[wN02] 2 Pw(N0 （2）由于N(t)與S(t)都是的，Y(t)是窄帶過的分布，服從YC(t)~N(0,PY)，于是， y2 f(y;t) 2 2Y1

y w(N0ww(N0（3Y(t) 過程且功率譜關(guān)于0 十三.平穩(wěn)白噪聲信號N(t)通過一增益為1，號Y(t)的功率為1W。若以200Hz的頻率對Y(t)采樣得離散序列Yk Yk/200 kY的概率密度函數(shù)fYy1,y2y3y4;t1,t2,t3,t4k（06年解：根據(jù)題意可知信號Y(t)的功率譜密度S 2N0rect 2 4002 400P

Sd

0d200

N0 2 2 N0 YRY2

sinW

sin200由于是

tjkTSk/ |k|為整數(shù)。sink ,i ,i可知 為正交、無關(guān)、獨立序列fYy1,y2,y3,y4;t1,t2,t3,t4fYy1;t1fYy2;t2fYy3;t3fYy4;t4 y2y2y2y2 exp 42 .H()rect

2cos100tnt200

，當輸入 時測得系統(tǒng)輸出功率為3W。若n(t)為零均值白（06年解：根據(jù)題意可知，余弦信號的頻率LPF的通帶內(nèi)濾波器輸出噪聲not為低通白噪聲輸出信號Yt2cos100tnot，為隨機信號。2cos100t在輸出端產(chǎn)生2W的功率A2cos100t2lim1T2cos100t2dt T 由于余弦信號為確定信號噪聲獨立。因此not率為1Wnot的概率密度函數(shù)為 n;t

1expn2

2， t其概率密度函數(shù) y2cos100t2 fy;t exp 十六.已知平穩(wěn)隨機信號 的功率譜密度(() 2 ,平穩(wěn)二元傳輸信Y(t)的功率譜度為

()4sin2

/

,且X(t)與Y(t)求：X(t)Yt)的均值請說Z(t)=X(t)Y(t)的廣義平穩(wěn)性及均值各態(tài)歷經(jīng)性。（07年解

R()F ] 2

4sin2(T/ Tsin2(T/SY() 2T2/4R()F1[S()]tri

1/T T

（2）

RXRX

0，mY RYRYR()tri T Zt)廣義平穩(wěn)mZ0 CZ()RZ(CZ(0)1 CZ()Zt)均值各態(tài)歷十七、若某個噪聲電壓Xt是一個廣義各態(tài)歷經(jīng) 4Xt2cost程，它的一個樣本函數(shù) ， 4 聲的均值和平均功率解：由隨機信號各態(tài)歷經(jīng)性的物理意義T該噪聲的均值為T

X T

TTT平均功

t 4

dtAX2(t)lim1

X2

2cos

2dt2T2TT 4 十九、對于零均值窄帶平穩(wěn)隨機過X(t)i(t)cos0t若已RX()a(cos0，求證明Ri(Rq(a(fiq(iq;t,t) （12年解：1.由題對于窄帶隨機信號X RX(a(cos0 ()1AA 2故

S()S()Sx(0)Sx(0

1A2A

1AA2 12 A

2 0 所以Ri(Rq(a(EitEqt 222.因為 ， i2q2 fiq(i,q;t,t)fi(i;t)fq(q;t)2a0exp2a0