高考數(shù)學(xué)專題《任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)》習(xí)題含答案解析

專題5.1任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·寧夏高三三模（文））已知角終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】直接利用三角函數(shù)的定義即可.【詳解】由三角函數(shù)定義，.故選：D.2.（2021·中牟縣教育體育局教學(xué)研究室高一期中）已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由三角函數(shù)的定義即可求得的值．【詳解】角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．故選：．3．（2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）若α＝－2，則α的終邊在（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】根據(jù)角的弧度制與角度制之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?rad≈57.30°，所以－2rad≈－114.60°，故α的終邊在第三象限．故選：C.4．（2021·江蘇高一期中）下列命題：①鈍角是第二象限的角；②小于的角是銳角；③第一象限的角一定不是負(fù)角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表時(shí)針走過(guò)2小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為；⑥若，則是第四象限角．其中正確的題的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解析】結(jié)合象限角和任意角的概念逐個(gè)判斷即可.【詳解】對(duì)于①：鈍角是大于小于的角，顯然鈍角是第二象限角.故①正確；對(duì)于②：銳角是大于小于的角，小于的角也可能是負(fù)角.故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：顯然是第一象限角.故③錯(cuò)誤；對(duì)于④：是第二象限角，是第一象限角，但是.故④錯(cuò)誤；對(duì)于⑤：時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角是負(fù)角.故⑤錯(cuò)誤；對(duì)于⑥：因?yàn)?，所以，是第四象限?故⑥正確.綜上，①⑥正確.故選：B.5．（2021·遼寧高三其他模擬）裝飾公司制作一種扇形板狀裝飾品，其圓心角為，并在扇形弧上正面等距安裝7個(gè)發(fā)彩光的小燈泡且在背面用導(dǎo)線將小燈泡串連（弧的兩端各一個(gè)燈泡，導(dǎo)線接頭忽略不計(jì)），已知扇形的半徑為30厘米，則連接導(dǎo)線大致需要的長(zhǎng)度約為（）A．55厘米 B．63厘米 C．69厘米 D．76厘米【答案】B【解析】由于實(shí)際問(wèn)題中扇形弧長(zhǎng)較小，可將導(dǎo)線的長(zhǎng)視為扇形弧長(zhǎng)，利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)樵诨￠L(zhǎng)比較短的情況下分成6等份，每部分的弦長(zhǎng)和弧長(zhǎng)相差很小，所以可以用弧長(zhǎng)近似代替弦長(zhǎng)，所以導(dǎo)線的長(zhǎng)度為(厘米）．故選：B6．（2021·上海格致中學(xué)高三三模）半徑為2，中心角為的扇形的面積等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)扇形的面積公式即可求解.【詳解】解：因?yàn)樯刃蔚陌霃剑行慕?，所以扇形的面積，故選：C.7．（2021·遼寧高三其他模擬）“數(shù)摺聚清風(fēng)，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫(xiě)折扇的詩(shī)句，折扇出人懷袖，扇面書(shū)畫(huà)，扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以又有“懷袖雅物”的別號(hào)．如圖是折扇的示意圖，其中OA＝20cm，∠AOB＝120°，M為OA的中點(diǎn)，則扇面（圖中扇環(huán)）部分的面積是（）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2【答案】B【解析】根據(jù)扇形面積公式計(jì)算可得；【詳解】解：扇環(huán)的面積為．故選：B8．（2021·重慶八中高三其他模擬）如圖所示，扇環(huán)的兩條弧長(zhǎng)分別是4和10，兩條直邊與的長(zhǎng)都是3，則此扇環(huán)的面積為（）A．84 B．63 C．42 D．21【答案】D【解析】設(shè)扇環(huán)的圓心角為，小圓弧的半徑為，依題意可得且，解得、，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】設(shè)扇環(huán)的圓心角為，小圓弧的半徑為，由題可得且，解得，，從而扇環(huán)面積.故選：D．9．（2021·浙江高二期末）已知角的終邊過(guò)點(diǎn)，若，則___________．【答案】【解析】利用三角函數(shù)的定義可求.【詳解】由三角函數(shù)的定義可得，故.故答案為：.10．（2021·山東日照市·高三月考）已知函數(shù)，則______．【答案】【解析】利用分段函數(shù)直接進(jìn)行求值即可．【詳解】∵函數(shù)，∴，∴故答案為：.練提升練提升TIDHNEG1．（2021·河南洛陽(yáng)市·高一期中（文））點(diǎn)為圓與軸正半軸的交點(diǎn)，將點(diǎn)沿圓周逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)，當(dāng)轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)為時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】先求出旋轉(zhuǎn)角，就可以計(jì)算點(diǎn)的坐標(biāo)了.【詳解】設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，則，得，從而可得.故選：B.2．（2021·上海高二課時(shí)練習(xí)）若是三角形的最小內(nèi)角，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由給定條件結(jié)合三角形三內(nèi)角和定理即可作答.【詳解】設(shè)B，C是三角形的另外兩個(gè)內(nèi)角，則必有，又,則，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即A是正三角形內(nèi)角時(shí)取“=”，又，于是有，所以的取值范圍是.故選：D3．（2021·北京清華附中高三其他模擬）已知．則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】求解出成立的充要條件，再與分析比對(duì)即可得解.【詳解】，，則或，由得，由得，顯然，，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A4．（2021·安徽池州市·池州一中高三其他模擬（理））已知一個(gè)半徑為3的扇形的圓心角為，面積為，若，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由扇形的面積公式得,進(jìn)而根據(jù)正切的和角公式解方程得.【詳解】解:由扇形的面積公式得,解得,所以,解得故選:C5．（2021·新蔡縣第一高級(jí)中學(xué)高一月考）一個(gè)圓心角為的扇形，它的弧長(zhǎng)是，則扇形的內(nèi)切圓（與扇形的弧和半徑的相切）的半徑等于（）A．2 B．4C． D．【答案】B【解析】設(shè)扇形內(nèi)切圓的半徑為，扇形所在圓的半徑為，求得，結(jié)合弧長(zhǎng)公式，列出方程，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)扇形內(nèi)切圓的半徑為，扇形所在圓的半徑為，過(guò)點(diǎn)作，在直角中，可得，所以扇形的半徑為，又由扇形的弧長(zhǎng)公式，可得，解得，即扇形的內(nèi)切圓的半徑等于.故選：B.6．（2021·安徽合肥市·合肥一中高三其他模擬（文））已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)的銳角，始邊在x軸的非負(fù)半軸，始終繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)后交單位圓于，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義求出，然后湊角結(jié)合兩角差的正弦公式求出.【詳解】由題意得(為銳角)∵為銳角，∴，∴故選：B7．（2020·安徽高三其他模擬（文））已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，-3)，則=（）A． B． C．1 D．-1【答案】B【解析】根據(jù)終邊上的點(diǎn)求出，再結(jié)合正切和公式求解即可．【詳解】由題知，則.故選：B8．（2021·合肥一六八中學(xué)高三其他模擬（理））已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊在x軸非負(fù)半軸的銳角繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)后，終邊交單位圓于，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)銳角繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)后得角，由，則，分的值結(jié)合三角函數(shù)的定義，求解即可，根據(jù)條件進(jìn)行取舍.【詳解】設(shè)銳角繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)后得角，則，由為銳角，根據(jù)題意角終邊交單位圓于，則，則若，則所以，與為銳角不符合.若，則所以,滿足條件.故選：C9．（2021·安徽宣城市·高三二模（文））劉徽是中國(guó)魏晉時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家，他提出“割圓求周”方法：當(dāng)n很大時(shí)，用圓內(nèi)接正邊形的周長(zhǎng)近似等于圓周長(zhǎng)，并計(jì)算出精確度很高的圓周率．在《九章算術(shù)注》中總結(jié)出“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”的極限思想．運(yùn)用此思想，當(dāng)取時(shí)，可得的近似值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由圓的垂徑定理，求得，根據(jù)扇形對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)之和近似于單位圓的周長(zhǎng)，列出方程，即可求解.【詳解】將一個(gè)單位圓分成個(gè)扇形，則每個(gè)扇形的圓心角度數(shù)均為由圓的垂徑定理，可得每個(gè)圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)，因?yàn)檫@個(gè)扇形對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)之和近似于單位圓的周長(zhǎng)，所以，所以．故選：D．10．（2021·江蘇南通市·高三其他模擬）某設(shè)計(jì)師為天文館設(shè)計(jì)科普宣傳圖片，其中有一款設(shè)計(jì)圖如圖所示.是一個(gè)以點(diǎn)O為圓心?長(zhǎng)為直徑的半圓，.的圓心為P，.與所圍的灰色區(qū)域即為某天所見(jiàn)的月亮形狀，則該月亮形狀的面積為_(kāi)__________.【答案】【解析】連接，可得，求出，利用割補(bǔ)法即可求出月牙的面積.【詳解】解：連接，可得，因?yàn)?，所以，，所以月牙的面積為.故答案為：.練真題練真題TIDHNEG1．（全國(guó)高考真題）已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-4,3)，則cosα=（A．45B．35C．-3【答案】D【解析】由題意可知x=-4，y=3，r=5，所以cosα=x2．（2020·全國(guó)高考真題（理））若α為第四象限角，則（）A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0【答案】D【解析】方法一：由α為第四象限角，可得，所以此時(shí)的終邊落在第三、四象限及軸的非正半軸上，所以故選：D.方法二：當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由在第四象限可得：，則，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確；故選：D.3.（2015·上海高考真題（文））已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，將繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（）.A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意，設(shè)OA與x軸所成的角為，顯然，，故，故縱坐標(biāo)為4．（2018·全國(guó)高考真題（文））已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)A1?，??a，B2?A．15B．55C．25【答案】B【解析】由O,A,因?yàn)閏os2解得a2=1所以a-b=a-2a5.（2017·北京高考真題（理）