概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)課件

11

第一章隨機(jī)事件及其概率基本概念1.隨機(jī)試驗(yàn)；2.樣本空間；3.隨機(jī)事件事件間的關(guān)系1.子事件：AB2.和事件：A∪B3.積事件:AB4.差事件:A-B=A-AB=AB5.互斥事件(互不相容事件):AB=

6.互逆事件:AB=，且A∪B=S2第一章隨機(jī)事件及其概率基本概念1.隨機(jī)試事件的運(yùn)算法則1.交換律：A∪B=B∪A,A∩B=B∩A

．4.德.摩根律(對(duì)偶原則)：

設(shè)事件Ai(i=1,2,…,n)則2.結(jié)合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C;

A∩(B∩C)=(A∩B)∩C

．3.分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C);

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)．5.對(duì)必然事件的運(yùn)算法則：A∪S=S,A∩S=A

6.對(duì)不可能事件的運(yùn)算法則：A∪Φ=A,A∩Φ=Φ．3事件的運(yùn)算法則1.交換律：A∪B=B∪A,A∩B=B∩設(shè)E---隨機(jī)試驗(yàn)，S---樣本空間.事件AP(A),稱(chēng)為事件A的概率,如果P(?)滿(mǎn)足下列條件:1°非負(fù)性：

對(duì)于每一個(gè)事件A，有P(A)≥0；

2°規(guī)范性:

對(duì)于必然事件S,有P(S)=1；

3°可列可加性:

設(shè)A1，A2，…是兩兩互不相容的事件，即對(duì)于則

P(A1∪A2∪…)=P(A1)+P(A2

)+

…概率公理化定義4設(shè)E---隨機(jī)試驗(yàn)，S---樣本空間.事件A概率性質(zhì)(2)(有限可加性)若A1，A2，…

An

兩兩不相容，

P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…

+P(An)(1)

P(φ)=0．(3)若A

B，則有P(B–A)=P(B)–P(A);(5)逆事件：P(A)=1–P(A)，(4)對(duì)于任一事件A，有P(A)≤1，

一般有

P(B–A)=P(B)–P(AB)(6)(加法公式)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)

P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)-

P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3)5概率性質(zhì)(2)(有限可加性)若A1，A2，…An等可能概型(古典概型)

1.定義：設(shè)E是試驗(yàn)，S是E的樣本空間，若

(1)試驗(yàn)的樣本空間的元素只有有限個(gè)；

(2)試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同.這種試驗(yàn)稱(chēng)為等可能概型或古典概型．2.古典概型中事件A的概率的計(jì)算公式6等可能概型(古典概型)1.定義：設(shè)E是試驗(yàn)，S是E的樣本空幾個(gè)重要復(fù)雜事件概率計(jì)算公式1.條件概率2.乘法公式3.全概率公式4.貝葉斯公式7幾個(gè)重要復(fù)雜事件概率計(jì)算公式1.條件概率2.乘法公式3.全概

獨(dú)立性1.

事件A,B相互獨(dú)立

P(AB)=P(A)P(B)2.

A1,A2,...,An兩兩相互獨(dú)立

P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)，（1

i<j

n）3.

A1,A2,...,An相互獨(dú)立

（1）1≤i1<i2<...<ik≤n,(k≤n),（2）8獨(dú)立性1.事件A,B相互獨(dú)立P(AB)=P(獨(dú)立的性質(zhì):設(shè)A和B是兩個(gè)事件,且P(A)＞0.若A和B相互獨(dú)立,則P(B|A)=P(B).反之亦然.若事件A和B相互獨(dú)立,則下列各對(duì)事件也相互獨(dú)立:A與B,A與B,A與B則A、B互斥與A、B相互獨(dú)立不能同時(shí)存在.若事件A和獨(dú)立,且則事件A和獨(dú)立.9獨(dú)立的性質(zhì):9第二章隨機(jī)變量及其分布

1.隨機(jī)變量的引入

?定義：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為S={e}.X=X(e)是定義在樣本空間S上的實(shí)值單值函數(shù).稱(chēng)X=X(e)為隨機(jī)變量.?與普通實(shí)函數(shù)的區(qū)別：

(1)它的定義域是樣本空間S，而S不一定是實(shí)數(shù)集;(2)它的取值是隨機(jī)的，所取每一個(gè)可能值都有一定

的概率.?隨機(jī)變量的分類(lèi)：離散型/非離散型(連續(xù)型)10第二章隨機(jī)變量及其分布1.隨機(jī)變量的引入?2.離散型隨機(jī)變量及其概率分布

?定義:取有限個(gè)或可數(shù)個(gè)值的隨機(jī)變量;?分布律：P{X=xk}=pk,k=1,2,…

其中pk滿(mǎn)足：?常見(jiàn)分布：1）(0-1)分布：P{X=k}=pk(1-p)1-k,k=0,1(0<p<1)2)二項(xiàng)分布：X～b(n,p)3)泊松分布：112.離散型隨機(jī)變量及其概率分布?常見(jiàn)分布：1）(0-1)分3.隨機(jī)變量的分布函數(shù)?定義：設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，函數(shù)

F(x)=P{X

x}------

稱(chēng)為X的分布函數(shù)

對(duì)任意實(shí)數(shù)x1x2?分布函數(shù)的性質(zhì)(1)有界性

(2)F(x)是單調(diào)不減的,即若(3)(4)

F(x)是右連續(xù)的,即F(x+0)=F(x)123.隨機(jī)變量的分布函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)x1x2?分布函數(shù)的性質(zhì)(1(1)離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)計(jì)算公式(2)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)的定義f(x)的性質(zhì)13(1)離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)計(jì)算公式(2)連續(xù)型隨機(jī)

?三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量(一)均勻分布(二)指數(shù)分布(三)正態(tài)分布14?三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量(一)均勻分布(二)指數(shù)分布(?標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布:

X～N(0,1)x15?標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布:X～N(0,1)x154隨機(jī)變量的函數(shù)的分布一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度方法：由隨機(jī)變量X的概率密度去求隨機(jī)變量Y=g(X)的概率密度(step1)求出Y的分布函數(shù)的表達(dá)式;(step2)由分布函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，即可得到.164隨機(jī)變量的函數(shù)的分布一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律方法：第三章二維隨機(jī)變量及其分布1.二維隨機(jī)變量設(shè)E一隨機(jī)試驗(yàn),樣本空間S={e},X、Y是定義在S上的隨機(jī)變量,向量(X,Y)叫做二維隨機(jī)變(向)量.2.二維隨機(jī)向量(X,Y)的分布函數(shù)性質(zhì)：(1)F(x,y)是變量

x

和y的不減函數(shù)；(2)0F(x,y)1,且F(-,y)=0,F(x,-)=0,

F(-,-)=0,F(,)=1,F(+,y)=FY(y),F(x,+)=FX(x)(3)F(x,y)關(guān)于

x

和y右連續(xù)

;(4)

對(duì)于任意x1<x2,y1<y2,有

F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)-F(x1,y2)0.17第三章二維隨機(jī)變量及其分布1.二維隨機(jī)變量設(shè)E一隨機(jī)試驗(yàn)3.邊緣分布4.隨機(jī)變量獨(dú)立性的定義183.邊緣分布4.隨機(jī)變量獨(dú)立性的定義18

1.聯(lián)合分布律：離散型的二維隨機(jī)變量(X,Y)性質(zhì)：YX

2.邊緣分布律191.聯(lián)合分布律：離散型的二維隨機(jī)變量(X,Y)性質(zhì)：3.獨(dú)立性4.分布函數(shù)203.獨(dú)立性4.分布函數(shù)20連續(xù)型的二維隨機(jī)變量1.聯(lián)合概率密度及性質(zhì)21連續(xù)型的二維隨機(jī)變量1.聯(lián)合概率密度及性質(zhì)212.邊緣概率密度X的邊緣概率密度Y的邊緣概率密度邊緣分布函數(shù)3.獨(dú)立性222.邊緣概率密度X的邊緣概率密度Y的邊緣概率密度邊緣分布(3)若,且X與Y相互獨(dú)立,則X+Y仍服從正態(tài)分布,且且相互獨(dú)立,則

推廣:

若(4)有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線(xiàn)性組合仍然服從正態(tài)分布.(2)

若X與Y相互獨(dú)立則(1)若則正態(tài)分布隨機(jī)變量的一些常用性質(zhì)23(3)若,且X與Y相互獨(dú)立,則X+Y仍服從正態(tài)分布,(1)Z=X+Y的分布

分布函數(shù):概率密度:當(dāng)X和Y相互獨(dú)立:卷積公式兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布24(1)Z=X+Y的分布分布函數(shù):概率密度:當(dāng)X和Y(2)當(dāng)X和Y相互獨(dú)立時(shí):M=max(X,Y)的分布函數(shù)N=min(X,Y)的分布函數(shù)25(2)當(dāng)X和Y相互獨(dú)立時(shí):M=max(X,Y)第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征(一)數(shù)學(xué)期望(均值)(1-1)X:離散型.分布律:Y=g(X)（g為連續(xù)函數(shù)）函數(shù)：(1-2)26第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征(一)數(shù)學(xué)期望(均值)(1-1若Z=g(X,Y)（g為二元連續(xù)函數(shù)）(1-3)設(shè)(X,Y)

離散型隨機(jī)變量.分布律為：則27若Z=g(X,Y)（g為二元連續(xù)函數(shù)）(1-3)設(shè)(X,(2-1)Ｘ:連續(xù)型概率密度為f(x).Y=g(X)（g為連續(xù)函數(shù)）(2-2)函數(shù)：28(2-1)Ｘ:連續(xù)型概率密度為f(x).Y=g(則(2-3)設(shè)(X,Y)是連續(xù)型隨機(jī)變量,概率密度為f(x,y).若Z=g(X,Y)（g為二元連續(xù)函數(shù)）29則(2-3)設(shè)(X,Y)是連續(xù)型隨機(jī)變量,若Z=g(X,Y(總結(jié))數(shù)學(xué)期望(均值)30(總結(jié))數(shù)學(xué)期望(均值)30(3)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì):假設(shè)以下隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望均存在．

1.

E(C)=C,（C

是常數(shù)）

2.

E(CX)=CE(X),（C

是常數(shù)）

3.

E(XY)=E(X)

E(Y),

4.設(shè)X與Y

相互獨(dú)立,則E(XY)=E(X)E(Y)，反之不真。31(3)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì):假設(shè)以下隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望均存在．(二)方差1.若X離散型.2.若X連續(xù)型.概率密度為f(x)(1)計(jì)算公式：3.均方差或標(biāo)準(zhǔn)差:32(二)方差1.若X離散型.2.若X連續(xù)型.概率密度為f(x

假設(shè)下列方差均存在

1.

D(C)=0,(C為常數(shù))

2.

D(CX)=C2D(X),(C為常數(shù))

3.設(shè)X與Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有

特別，若X與Y相互獨(dú)立:D(X±Y)=D(X)+D(Y)

4.

D(X)=0P{X=E(X)}=1.(2)方差的性質(zhì)33

5。若X服從指數(shù)分布,則E(X)=,D(X)=.3。若X~π(),則

E(X)=,D(X)=.4。若X服從區(qū)間(a,b)均勻分布，則E(X)=(a+b)/2,D(X)=(b-a)2/12.6。若X~N(,2),則E(X)=

,D(X)=2.2。若X~b(n,p),則E(X)=np,D(X)=np(1-P).1。若X服從兩點(diǎn)分布,則E(X)=p,D(X)=p(1-P).(三)一些常見(jiàn)分布的期望與方差345。若X服從指數(shù)分布,則E(X)=,D(X)=.切比雪夫不等式:定理

設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=,方差D(X)=2.則對(duì)任意的正數(shù)，有

上式稱(chēng)為切比雪夫(chebyshev)不等式．[注]

此不等式給出了在隨機(jī)變量的分布未知的情況下,事件的概率值的一種估計(jì)方法.35切比雪夫不等式:定理設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=,(四)協(xié)方差相關(guān)系數(shù)協(xié)方差:計(jì)算公式：1。Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

2。D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y)相關(guān)系數(shù):X與Y不相關(guān):

XY=036(四)協(xié)方差相關(guān)系數(shù)協(xié)方差:計(jì)算公式：1。Cov(X,Y協(xié)方差的性質(zhì)：1。Cov(X,X)=D(X)

2。Cov(X,Y)=Cov(Y,X)

3。Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)(a,b為常數(shù))

4。Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)

Cov(aX1+bX2,Y)=aCov(X1,Y)+bCov(X2,Y)

37協(xié)方差的性質(zhì)：1。Cov(X,X)=D(X)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：注:

1)若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,則X與Y一定不相關(guān);反之不一定成立。

2)對(duì)二維正態(tài)隨機(jī)變量(X,Y):

X與Y不相關(guān)X與Y獨(dú)立

3)二維正態(tài)分布只要知道X與Y的分布及相關(guān)系數(shù)即可確定.38相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：注:1)若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,則X與Y

設(shè)X,Y為隨機(jī)變量,則1)X的k階原點(diǎn)矩(k階矩)：2)X和Y的k+l階混合矩：(五)矩協(xié)方差矩陣3)X的k階中心矩：4)X和Y的k+l

階混合中心矩：39設(shè)X,Y為隨機(jī)變量,則1)X的k階原點(diǎn)矩(k階矩)：2)幾個(gè)常用的矩統(tǒng)計(jì)量樣本均值樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本k階原點(diǎn)矩樣本k階中心矩樣本方差數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分40幾個(gè)常用的矩統(tǒng)計(jì)量樣本均值樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本k階原點(diǎn)矩樣本k階中

設(shè)X1,X2

,…,Xn是來(lái)自總體

N(0,1)的樣本,則

分布幾個(gè)常用統(tǒng)計(jì)量的分布

設(shè)X~N(0,1),Y~2(n),且X與Y獨(dú)立,則

t

分布F分布設(shè)U~2(n1),V~2(n2),且U與V獨(dú)立,則0F(n1,n2)41設(shè)X1,X2,…,Xn是來(lái)自總體N(0,1)的正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布

總體X均值為,方差為2,

X1,X2

,…,Xn是來(lái)自X的樣本,

結(jié)論1設(shè)X1,X2,…,Xn是來(lái)自正態(tài)總體X~N(,2)的樣本,則結(jié)論242正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布總體X均值為,方點(diǎn)值估計(jì)區(qū)間估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)參數(shù)估計(jì)統(tǒng)計(jì)推斷正態(tài)總體方差正態(tài)總體均值總體未知參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)

用樣本(原點(diǎn))矩作為總體(原點(diǎn))矩的估計(jì)矩估計(jì)法:最大似然估計(jì)法：利用最大似然原理的直觀想法“概率最大的事件最可能出現(xiàn)”，把抽取的樣本對(duì)應(yīng)的事件作為概率最大的事件，然后用此倒推未知參數(shù)的值.似然函數(shù):43點(diǎn)值估計(jì)區(qū)間估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)參數(shù)估計(jì)統(tǒng)計(jì)推斷正態(tài)總體方差正態(tài)總體區(qū)間估計(jì):

為了估計(jì)總體X的未知參數(shù),通過(guò)樣本尋求一個(gè)區(qū)間，并且給出此區(qū)間覆蓋參數(shù)真值的可信程度．這就是總體未知參數(shù)的區(qū)間估計(jì)問(wèn)題估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn):無(wú)偏性（求期望）有效性（求方差）相合性（對(duì)n求極限）

設(shè)總體X的分布函數(shù)F(x;),為未知參數(shù),X1,X2,…,Xn是取自總體的樣本.設(shè)滿(mǎn)足0<<1,則稱(chēng)隨機(jī)區(qū)間為的置信水平為1-

的置信區(qū)間.是兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量.若置信區(qū)間:44區(qū)間估計(jì):為了估計(jì)總體X的未知參數(shù)

設(shè)總體X~N(,2),X1,X2,…,Xn是總體X的樣本，1.均值的置信區(qū)間(a)2為已知時(shí),取樞軸量置信區(qū)間:或(b)2為未知時(shí),取樞軸量2.方差2的置信區(qū)間取樞軸量45設(shè)總體X~N(,2),X1,X2,…,Xn是總原假設(shè)

是被檢驗(yàn)的假設(shè),通過(guò)檢驗(yàn)可能被接受,也可能被否定。與H0對(duì)應(yīng)的假設(shè),只有在原假設(shè)被否定后才可接受的假設(shè)。無(wú)充分理由是不能輕率接受的。備擇假設(shè)

兩類(lèi)錯(cuò)誤=P{第一類(lèi)錯(cuò)誤}=P{拒絕H0|H0真}=顯著水平=P{第二類(lèi)錯(cuò)誤}=P{接受H0|H0偽}我們希望二者都小點(diǎn)，但是二者不可能同時(shí)最小，他們是一個(gè)蹺蹺板的兩端，但也不滿(mǎn)足=1-

參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)46原假設(shè)是被檢驗(yàn)的假設(shè),通過(guò)檢驗(yàn)可能被接受,也可能被否定。與單總體N(,2)均值的檢驗(yàn)(顯著水平為α)1.2已知檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:H0:=0,H1:

0.拒絕域:----Z檢驗(yàn)法檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：2.

2未知---t檢驗(yàn)法

H0:=0,H1:

0.拒絕域:47單總體N(,2)均值的檢驗(yàn)(顯著水平為α)1.2

單總體N(,2)方差2的檢驗(yàn)---2

檢驗(yàn)法拒絕域:

雙邊檢驗(yàn):取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:

假設(shè)檢驗(yàn)與區(qū)間估計(jì)的關(guān)系：1.所用的工具都一樣，同樣的隨機(jī)變量（樞軸量，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量）2.問(wèn)題的提法不同，所用的原理不同，所以取向不同。即與拒絕域?qū)α⒌慕邮苡蚓褪菂^(qū)間估計(jì)中的置信區(qū)間。3.學(xué)習(xí)的時(shí)候注意二者的聯(lián)系與區(qū)別，對(duì)比著學(xué)習(xí)更輕松。48單總體N(,2)方差2的檢驗(yàn)---2檢驗(yàn)491

第一章隨機(jī)事件及其概率基本概念1.隨機(jī)試驗(yàn)；2.樣本空間；3.隨機(jī)事件事件間的關(guān)系1.子事件：AB2.和事件：A∪B3.積事件:AB4.差事件:A-B=A-AB=AB5.互斥事件(互不相容事件):AB=

6.互逆事件:AB=，且A∪B=S50第一章隨機(jī)事件及其概率基本概念1.隨機(jī)試事件的運(yùn)算法則1.交換律：A∪B=B∪A,A∩B=B∩A

．4.德.摩根律(對(duì)偶原則)：

設(shè)事件Ai(i=1,2,…,n)則2.結(jié)合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C;

A∩(B∩C)=(A∩B)∩C

．3.分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C);

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)．5.對(duì)必然事件的運(yùn)算法則：A∪S=S,A∩S=A

6.對(duì)不可能事件的運(yùn)算法則：A∪Φ=A,A∩Φ=Φ．51事件的運(yùn)算法則1.交換律：A∪B=B∪A,A∩B=B∩設(shè)E---隨機(jī)試驗(yàn)，S---樣本空間.事件AP(A),稱(chēng)為事件A的概率,如果P(?)滿(mǎn)足下列條件:1°非負(fù)性：

對(duì)于每一個(gè)事件A，有P(A)≥0；

2°規(guī)范性:

對(duì)于必然事件S,有P(S)=1；

3°可列可加性:

設(shè)A1，A2，…是兩兩互不相容的事件，即對(duì)于則

P(A1∪A2∪…)=P(A1)+P(A2

)+

…概率公理化定義52設(shè)E---隨機(jī)試驗(yàn)，S---樣本空間.事件A概率性質(zhì)(2)(有限可加性)若A1，A2，…

An

兩兩不相容，

P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…

+P(An)(1)

P(φ)=0．(3)若A

B，則有P(B–A)=P(B)–P(A);(5)逆事件：P(A)=1–P(A)，(4)對(duì)于任一事件A，有P(A)≤1，

一般有

P(B–A)=P(B)–P(AB)(6)(加法公式)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)

P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)-

P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3)53概率性質(zhì)(2)(有限可加性)若A1，A2，…An等可能概型(古典概型)

1.定義：設(shè)E是試驗(yàn)，S是E的樣本空間，若

(1)試驗(yàn)的樣本空間的元素只有有限個(gè)；

(2)試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同.這種試驗(yàn)稱(chēng)為等可能概型或古典概型．2.古典概型中事件A的概率的計(jì)算公式54等可能概型(古典概型)1.定義：設(shè)E是試驗(yàn)，S是E的樣本空幾個(gè)重要復(fù)雜事件概率計(jì)算公式1.條件概率2.乘法公式3.全概率公式4.貝葉斯公式55幾個(gè)重要復(fù)雜事件概率計(jì)算公式1.條件概率2.乘法公式3.全概

獨(dú)立性1.

事件A,B相互獨(dú)立

P(AB)=P(A)P(B)2.

A1,A2,...,An兩兩相互獨(dú)立

P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)，（1

i<j

n）3.

A1,A2,...,An相互獨(dú)立

（1）1≤i1<i2<...<ik≤n,(k≤n),（2）56獨(dú)立性1.事件A,B相互獨(dú)立P(AB)=P(獨(dú)立的性質(zhì):設(shè)A和B是兩個(gè)事件,且P(A)＞0.若A和B相互獨(dú)立,則P(B|A)=P(B).反之亦然.若事件A和B相互獨(dú)立,則下列各對(duì)事件也相互獨(dú)立:A與B,A與B,A與B則A、B互斥與A、B相互獨(dú)立不能同時(shí)存在.若事件A和獨(dú)立,且則事件A和獨(dú)立.57獨(dú)立的性質(zhì):9第二章隨機(jī)變量及其分布

1.隨機(jī)變量的引入

?定義：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為S={e}.X=X(e)是定義在樣本空間S上的實(shí)值單值函數(shù).稱(chēng)X=X(e)為隨機(jī)變量.?與普通實(shí)函數(shù)的區(qū)別：

(1)它的定義域是樣本空間S，而S不一定是實(shí)數(shù)集;(2)它的取值是隨機(jī)的，所取每一個(gè)可能值都有一定

的概率.?隨機(jī)變量的分類(lèi)：離散型/非離散型(連續(xù)型)58第二章隨機(jī)變量及其分布1.隨機(jī)變量的引入?2.離散型隨機(jī)變量及其概率分布

?定義:取有限個(gè)或可數(shù)個(gè)值的隨機(jī)變量;?分布律：P{X=xk}=pk,k=1,2,…

其中pk滿(mǎn)足：?常見(jiàn)分布：1）(0-1)分布：P{X=k}=pk(1-p)1-k,k=0,1(0<p<1)2)二項(xiàng)分布：X～b(n,p)3)泊松分布：592.離散型隨機(jī)變量及其概率分布?常見(jiàn)分布：1）(0-1)分3.隨機(jī)變量的分布函數(shù)?定義：設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，函數(shù)

F(x)=P{X

x}------

稱(chēng)為X的分布函數(shù)

對(duì)任意實(shí)數(shù)x1x2?分布函數(shù)的性質(zhì)(1)有界性

(2)F(x)是單調(diào)不減的,即若(3)(4)

F(x)是右連續(xù)的,即F(x+0)=F(x)603.隨機(jī)變量的分布函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)x1x2?分布函數(shù)的性質(zhì)(1(1)離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)計(jì)算公式(2)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)的定義f(x)的性質(zhì)61(1)離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)計(jì)算公式(2)連續(xù)型隨機(jī)

?三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量(一)均勻分布(二)指數(shù)分布(三)正態(tài)分布62?三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量(一)均勻分布(二)指數(shù)分布(?標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布:

X～N(0,1)x63?標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布:X～N(0,1)x154隨機(jī)變量的函數(shù)的分布一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度方法：由隨機(jī)變量X的概率密度去求隨機(jī)變量Y=g(X)的概率密度(step1)求出Y的分布函數(shù)的表達(dá)式;(step2)由分布函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，即可得到.644隨機(jī)變量的函數(shù)的分布一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律方法：第三章二維隨機(jī)變量及其分布1.二維隨機(jī)變量設(shè)E一隨機(jī)試驗(yàn),樣本空間S={e},X、Y是定義在S上的隨機(jī)變量,向量(X,Y)叫做二維隨機(jī)變(向)量.2.二維隨機(jī)向量(X,Y)的分布函數(shù)性質(zhì)：(1)F(x,y)是變量

x

和y的不減函數(shù)；(2)0F(x,y)1,且F(-,y)=0,F(x,-)=0,

F(-,-)=0,F(,)=1,F(+,y)=FY(y),F(x,+)=FX(x)(3)F(x,y)關(guān)于

x

和y右連續(xù)

;(4)

對(duì)于任意x1<x2,y1<y2,有

F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)-F(x1,y2)0.65第三章二維隨機(jī)變量及其分布1.二維隨機(jī)變量設(shè)E一隨機(jī)試驗(yàn)3.邊緣分布4.隨機(jī)變量獨(dú)立性的定義663.邊緣分布4.隨機(jī)變量獨(dú)立性的定義18

1.聯(lián)合分布律：離散型的二維隨機(jī)變量(X,Y)性質(zhì)：YX

2.邊緣分布律671.聯(lián)合分布律：離散型的二維隨機(jī)變量(X,Y)性質(zhì)：3.獨(dú)立性4.分布函數(shù)683.獨(dú)立性4.分布函數(shù)20連續(xù)型的二維隨機(jī)變量1.聯(lián)合概率密度及性質(zhì)69連續(xù)型的二維隨機(jī)變量1.聯(lián)合概率密度及性質(zhì)212.邊緣概率密度X的邊緣概率密度Y的邊緣概率密度邊緣分布函數(shù)3.獨(dú)立性702.邊緣概率密度X的邊緣概率密度Y的邊緣概率密度邊緣分布(3)若,且X與Y相互獨(dú)立,則X+Y仍服從正態(tài)分布,且且相互獨(dú)立,則

推廣:

若(4)有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線(xiàn)性組合仍然服從正態(tài)分布.(2)

若X與Y相互獨(dú)立則(1)若則正態(tài)分布隨機(jī)變量的一些常用性質(zhì)71(3)若,且X與Y相互獨(dú)立,則X+Y仍服從正態(tài)分布,(1)Z=X+Y的分布

分布函數(shù):概率密度:當(dāng)X和Y相互獨(dú)立:卷積公式兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布72(1)Z=X+Y的分布分布函數(shù):概率密度:當(dāng)X和Y(2)當(dāng)X和Y相互獨(dú)立時(shí):M=max(X,Y)的分布函數(shù)N=min(X,Y)的分布函數(shù)73(2)當(dāng)X和Y相互獨(dú)立時(shí):M=max(X,Y)第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征(一)數(shù)學(xué)期望(均值)(1-1)X:離散型.分布律:Y=g(X)（g為連續(xù)函數(shù)）函數(shù)：(1-2)74第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征(一)數(shù)學(xué)期望(均值)(1-1若Z=g(X,Y)（g為二元連續(xù)函數(shù)）(1-3)設(shè)(X,Y)

離散型隨機(jī)變量.分布律為：則75若Z=g(X,Y)（g為二元連續(xù)函數(shù)）(1-3)設(shè)(X,(2-1)Ｘ:連續(xù)型概率密度為f(x).Y=g(X)（g為連續(xù)函數(shù)）(2-2)函數(shù)：76(2-1)Ｘ:連續(xù)型概率密度為f(x).Y=g(則(2-3)設(shè)(X,Y)是連續(xù)型隨機(jī)變量,概率密度為f(x,y).若Z=g(X,Y)（g為二元連續(xù)函數(shù)）77則(2-3)設(shè)(X,Y)是連續(xù)型隨機(jī)變量,若Z=g(X,Y(總結(jié))數(shù)學(xué)期望(均值)78(總結(jié))數(shù)學(xué)期望(均值)30(3)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì):假設(shè)以下隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望均存在．

1.

E(C)=C,（C

是常數(shù)）

2.

E(CX)=CE(X),（C

是常數(shù)）

3.

E(XY)=E(X)

E(Y),

4.設(shè)X與Y

相互獨(dú)立,則E(XY)=E(X)E(Y)，反之不真。79(3)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì):假設(shè)以下隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望均存在．(二)方差1.若X離散型.2.若X連續(xù)型.概率密度為f(x)(1)計(jì)算公式：3.均方差或標(biāo)準(zhǔn)差:80(二)方差1.若X離散型.2.若X連續(xù)型.概率密度為f(x

假設(shè)下列方差均存在

1.

D(C)=0,(C為常數(shù))

2.

D(CX)=C2D(X),(C為常數(shù))

3.設(shè)X與Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有

特別，若X與Y相互獨(dú)立:D(X±Y)=D(X)+D(Y)

4.

D(X)=0P{X=E(X)}=1.(2)方差的性質(zhì)81

5。若X服從指數(shù)分布,則E(X)=,D(X)=.3。若X~π(),則

E(X)=,D(X)=.4。若X服從區(qū)間(a,b)均勻分布，則E(X)=(a+b)/2,D(X)=(b-a)2/12.6。若X~N(,2),則E(X)=

,D(X)=2.2。若X~b(n,p),則E(X)=np,D(X)=np(1-P).1。若X服從兩點(diǎn)分布,則E(X)=p,D(X)=p(1-P).(三)一些常見(jiàn)分布的期望與方差825。若X服從指數(shù)分布,則E(X)=,D(X)=.切比雪夫不等式:定理

設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=,方差D(X)=2.則對(duì)任意的正數(shù)，有

上式稱(chēng)為切比雪夫(chebyshev)不等式．[注]

此不等式給出了在隨機(jī)變量的分布未知的情況下,事件的概率值的一種估計(jì)方法.83切比雪夫不等式:定理設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=,(四)協(xié)方差相關(guān)系數(shù)協(xié)方差:計(jì)算公式：1。Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

2。D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y)相關(guān)系數(shù):X與Y不相關(guān):

XY=084(四)協(xié)方差相關(guān)系數(shù)協(xié)方差:計(jì)算公式：1。Cov(X,Y協(xié)方差的性質(zhì)：1。Cov(X,X)=D(X)

2。Cov(X,Y)=Cov(Y,X)

3。Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)(a,b為常數(shù))

4。Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)

Cov(aX1+bX2,Y)=aCov(X1,Y)+bCov(X2,Y)

85協(xié)方差的性質(zhì)：1。Cov(X,X)=D(X)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：注:

1)若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,則X與Y一定不相關(guān);反之不一定成立。

2)對(duì)二維正態(tài)隨機(jī)變量(X,Y):

X與Y不相關(guān)X與Y獨(dú)立

3)二維正態(tài)分布只要知道X與Y的分布及相關(guān)系數(shù)即可確定.86相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：注:1)若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,則X與Y

設(shè)X,Y為隨機(jī)變量,則1)X的k階原點(diǎn)矩(k階矩)：2)X和Y的k+l階混合矩：(五)矩協(xié)方差矩陣3)X的k階中心矩：4)X和Y的k+l

階混合中心矩：87設(shè)X,Y為隨機(jī)變量,則1)X的k階原點(diǎn)矩(k階矩)：2)幾個(gè)常用的矩統(tǒng)計(jì)量樣本均值樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本k階原點(diǎn)矩樣本k階中心矩樣本方差數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分88幾個(gè)常用的矩統(tǒng)計(jì)