2023學(xué)年上海市虹口高級中學(xué)高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．將一塊邊長為的正方形薄鐵皮按如圖（1）所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器，將該容器按如圖（2）放置，若其正視圖為等腰直角三角形，且該容器的容積為，則的值為（）A．6 B．8 C．10 D．122．過拋物線的焦點(diǎn)且與的對稱軸垂直的直線與交于，兩點(diǎn)，，為的準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，則的面積為（）A．1 B．2 C．4 D．83．設(shè)，點(diǎn)，，，，設(shè)對一切都有不等式成立，則正整數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．4．設(shè)是等差數(shù)列的前n項和，且，則()A． B． C．1 D．25．網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1單位長度，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（）A．1 B． C．3 D．46．已知正項等比數(shù)列的前項和為，且，則公比的值為（）A． B．或 C． D．7．已知定點(diǎn)，，是圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是（）A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓8．已知函數(shù)，若對于任意的，函數(shù)在內(nèi)都有兩個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．9．已知直線y=k(x+1)(k>0)與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，若|FA|=2|FB|，則|FA|=（）A．1 B．2 C．3 D．410．給定下列四個命題：①若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，則這兩個平面相互平行；②若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，則這兩個平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；④若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直．其中，為真命題的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④11．已知集合，，則（）A． B．C． D．12．已知全集，集合，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在矩形ABCD中，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，CD邊上動點(diǎn)，且滿足，則的最大值為________.14．已知數(shù)列滿足對任意，若，則數(shù)列的通項公式________．15．?dāng)?shù)列滿足遞推公式，且，則___________.16．已知四棱錐的底面ABCD是邊長為2的正方形，且.若四棱錐P-ABCD的五個頂點(diǎn)在以4為半徑的同一球面上，當(dāng)PA最長時，則______________；四棱錐P-ABCD的體積為______________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某芯片公司對今年新開發(fā)的一批5G手機(jī)芯片進(jìn)行測評，該公司隨機(jī)調(diào)查了100顆芯片，并將所得統(tǒng)計數(shù)據(jù)分為五個小組（所調(diào)查的芯片得分均在內(nèi)），得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中．（1）求這100顆芯片評測分?jǐn)?shù)的平均數(shù)（同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）．（2）芯片公司另選100顆芯片交付給某手機(jī)公司進(jìn)行測試，該手機(jī)公司將每顆芯片分別裝在3個工程手機(jī)中進(jìn)行初測。若3個工程手機(jī)的評分都達(dá)到11萬分，則認(rèn)定該芯片合格；若3個工程手機(jī)中只要有2個評分沒達(dá)到11萬分，則認(rèn)定該芯片不合格；若3個工程手機(jī)中僅1個評分沒有達(dá)到11萬分，則將該芯片再分別置于另外2個工程手機(jī)中進(jìn)行二測，二測時，2個工程手機(jī)的評分都達(dá)到11萬分，則認(rèn)定該芯片合格；2個工程手機(jī)中只要有1個評分沒達(dá)到11萬分，手機(jī)公司將認(rèn)定該芯片不合格．已知每顆芯片在各次置于工程手機(jī)中的得分相互獨(dú)立，并且芯片公司對芯片的評分方法及標(biāo)準(zhǔn)與手機(jī)公司對芯片的評分方法及標(biāo)準(zhǔn)都一致（以頻率作為概率）．每顆芯片置于一個工程手機(jī)中的測試費(fèi)用均為300元，每顆芯片若被認(rèn)定為合格或不合格，將不再進(jìn)行后續(xù)測試，現(xiàn)手機(jī)公司測試部門預(yù)算的測試經(jīng)費(fèi)為10萬元，試問預(yù)算經(jīng)費(fèi)是否足夠測試完這100顆芯片？請說明理由．18．（12分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）記函數(shù)的最大值為，若，證明：.19．（12分）為了解本學(xué)期學(xué)生參加公益勞動的情況，某校從初高中學(xué)生中抽取100名學(xué)生，收集了他們參加公益勞動時間（單位：小時）的數(shù)據(jù)，繪制圖表的一部分如表.（1）從男生中隨機(jī)抽取一人，抽到的男生參加公益勞動時間在的概率：（2）從參加公益勞動時間的學(xué)生中抽取3人進(jìn)行面談，記為抽到高中的人數(shù)，求的分布列；（3）當(dāng)時，高中生和初中生相比，那學(xué)段學(xué)生平均參加公益勞動時間較長.（直接寫出結(jié)果）20．（12分）已知函數(shù)和的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且．（1）解關(guān)于的不等式；（2）如果對，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．（12分）傳染病的流行必須具備的三個基本環(huán)節(jié)是：傳染源、傳播途徑和人群易感性.三個環(huán)節(jié)必須同時存在，方能構(gòu)成傳染病流行.呼吸道飛沫和密切接觸傳播是新冠狀病毒的主要傳播途徑，為了有效防控新冠狀病毒的流行，人們出行都應(yīng)該佩戴口罩.某地區(qū)已經(jīng)出現(xiàn)了新冠狀病毒的感染病人，為了掌握該地區(qū)居民的防控意識和防控情況，用分層抽樣的方法從全體居民中抽出一個容量為100的樣本，統(tǒng)計樣本中每個人出行是否會佩戴口罩的情況，得到下面列聯(lián)表：戴口罩不戴口罩青年人5010中老年人2020（1）能否有的把握認(rèn)為是否會佩戴口罩出行的行為與年齡有關(guān)？（2）用樣本估計總體，若從該地區(qū)出行不戴口罩的居民中隨機(jī)抽取5人，求恰好有2人是青年人的概率.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82822．（10分）已知三棱錐P-ABC（如圖一）的平面展開圖（如圖二）中，四邊形ABCD為邊長等于的正方形，和均為正三角形，在三棱錐P-ABC中：（1）證明：平面平面ABC；（2）若點(diǎn)M在棱PA上運(yùn)動，當(dāng)直線BM與平面PAC所成的角最大時，求直線MA與平面MBC所成角的正弦值.

2023學(xué)年模擬測試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【答案解析】

推導(dǎo)出，且，，，設(shè)中點(diǎn)為，則平面，由此能表示出該容器的體積，從而求出參數(shù)的值．【題目詳解】解：如圖（4），為該四棱錐的正視圖，由圖（3）可知，，且，由為等腰直角三角形可知，，設(shè)中點(diǎn)為，則平面，∴，∴，解得.故選：D【答案點(diǎn)睛】本題考查三視圖和錐體的體積計算公式的應(yīng)用，屬于中檔題.2、C【答案解析】

設(shè)拋物線的解析式，得焦點(diǎn)為，對稱軸為軸，準(zhǔn)線為，這樣可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，代入拋物線方程可求得，而到直線的距離為，從而可求得三角形面積．【題目詳解】設(shè)拋物線的解析式，則焦點(diǎn)為，對稱軸為軸，準(zhǔn)線為，∵直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，，是與的交點(diǎn)，又軸，∴可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，代入，解得，又∵點(diǎn)在準(zhǔn)線上，設(shè)過點(diǎn)的的垂線與交于點(diǎn)，，∴.故應(yīng)選C.【答案點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì)，解題時只要設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，就能得出點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得參數(shù)的值．本題難度一般．3、A【答案解析】

先求得，再求得左邊的范圍，只需，利用單調(diào)性解得t的范圍.【題目詳解】由題意知sin，∴，∴，隨n的增大而增大，∴,∴，即，又f(t)=在t上單增，f(2)=-1<0，f(3)=2>0，∴正整數(shù)的最小值為3.【答案點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的通項及求和問題，考查了數(shù)列的單調(diào)性及不等式的解法，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.4、C【答案解析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡已知條件，求得的值.【題目詳解】由于等差數(shù)列滿足，所以，，.故選：C【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.5、A【答案解析】

采用數(shù)形結(jié)合，根據(jù)三視圖可知該幾何體為三棱錐，然后根據(jù)錐體體積公式，可得結(jié)果.【題目詳解】根據(jù)三視圖可知：該幾何體為三棱錐如圖該幾何體為三棱錐，長度如上圖所以所以所以故選：A【答案點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三視圖求直觀圖的體積，熟悉常見圖形的三視圖：比如圓柱，圓錐，球，三棱錐等；對本題可以利用長方體，根據(jù)三視圖刪掉沒有的點(diǎn)與線，屬中檔題.6、C【答案解析】

由可得，故可求的值.【題目詳解】因為，所以，故，因為正項等比數(shù)列，故，所以，故選C.【答案點(diǎn)睛】一般地，如果為等比數(shù)列，為其前項和，則有性質(zhì)：（1）若，則；（2）公比時，則有，其中為常數(shù)且；（3）為等比數(shù)列（）且公比為.7、B【答案解析】

根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合三角形中位線定理、圓錐曲線和圓的定義進(jìn)行判斷即可.【題目詳解】因為線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)，如下圖所示：所以有，而是中點(diǎn)，連接，故，因此當(dāng)在如下圖所示位置時有，所以有，而是中點(diǎn)，連接,故，因此，綜上所述：有，所以點(diǎn)的軌跡是雙曲線.故選：B【答案點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和推理論證能力，考查了分類討論思想.8、D【答案解析】

將原題等價轉(zhuǎn)化為方程在內(nèi)都有兩個不同的根，先求導(dǎo)，可判斷時，，是增函數(shù)；當(dāng)時，，是減函數(shù).因此，再令，求導(dǎo)得，結(jié)合韋達(dá)定理可知，要滿足題意，只能是存在零點(diǎn)，使得在有解，通過導(dǎo)數(shù)可判斷當(dāng)時，在上是增函數(shù)；當(dāng)時，在上是減函數(shù)；則應(yīng)滿足，再結(jié)合，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)即可求解；【題目詳解】函數(shù)在內(nèi)都有兩個不同的零點(diǎn)，等價于方程在內(nèi)都有兩個不同的根.，所以當(dāng)時，，是增函數(shù)；當(dāng)時，，是減函數(shù).因此.設(shè)，，若在無解，則在上是單調(diào)函數(shù)，不合題意；所以在有解，且易知只能有一個解.設(shè)其解為，當(dāng)時，在上是增函數(shù)；當(dāng)時，在上是減函數(shù).因為，方程在內(nèi)有兩個不同的根，所以，且.由，即，解得.由，即，所以.因為，所以，代入，得.設(shè)，，所以在上是增函數(shù)，而，由可得，得.由在上是增函數(shù)，得.綜上所述，故選：D.【答案點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)求解參數(shù)取值范圍問題，構(gòu)造函數(shù)法，導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)增減性與最值關(guān)系，轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于難題9、C【答案解析】

方法一：設(shè)，利用拋物線的定義判斷出是的中點(diǎn)，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的定義求得，進(jìn)而求得.方法二：設(shè)出兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由拋物線的定義，結(jié)合求得的關(guān)系式，聯(lián)立直線的方程和拋物線方程，寫出韋達(dá)定理，由此求得，進(jìn)而求得.【題目詳解】方法一：由題意得拋物線的準(zhǔn)線方程為，直線恒過定點(diǎn)，過分別作于，于，連接，由，則，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，則，所以，又所以由等腰三角形三線合一得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，所以．方法二：拋物線的準(zhǔn)線方程為，直線由題意設(shè)兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，則由拋物線定義得又①②由①②得.故選：C【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.10、D【答案解析】

利用線面平行和垂直，面面平行和垂直的性質(zhì)和判定定理對四個命題分別分析進(jìn)行選擇．【題目詳解】當(dāng)兩個平面相交時，一個平面內(nèi)的兩條直線也可以平行于另一個平面，故①錯誤；由平面與平面垂直的判定可知②正確；空間中垂直于同一條直線的兩條直線還可以相交或者異面，故③錯誤；若兩個平面垂直，只有在一個平面內(nèi)與它們的交線垂直的直線才與另一個平面垂直，故④正確．綜上，真命題是②④.故選：D【答案點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力，是中檔題．11、A【答案解析】

根據(jù)對數(shù)性質(zhì)可知，再根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可求解.【題目詳解】∵，集合，∴由交集運(yùn)算可得.故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題考查由對數(shù)的性質(zhì)比較大小，集合交集的簡單運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.12、D【答案解析】

根據(jù)函數(shù)定義域的求解方法可分別求得集合，由補(bǔ)集和交集定義可求得結(jié)果.【題目詳解】，，，.故選：.【答案點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算中的補(bǔ)集和交集運(yùn)算問題，涉及到函數(shù)定義域的求解，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】

利用平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)，由可得，利用數(shù)量積運(yùn)算求得，再利用線性規(guī)劃的知識求出的最大值.【題目詳解】建立平面直角坐標(biāo)系，如圖（1）所示：設(shè)，，，即，又，令，其中，畫出圖形，如圖（2）所示：當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時，取得最大值.故答案為：【答案點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、簡單的線性規(guī)劃問題，解題的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，屬于基礎(chǔ)題.14、【答案解析】

由可得，利用等比數(shù)列的通項公式可得，再利用累加法求和與等比數(shù)列的求和公式，即可得出結(jié)論.【題目詳解】由，得，數(shù)列是等比數(shù)列，首項為2，公比為2，，，，，滿足上式，.故答案為:.【答案點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項公式，遞推公式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列是解題的關(guān)鍵，利用累加法求通項公式，屬于中檔題.15、2020【答案解析】

可對左右兩端同乘以得，依次寫出，，，，累加可得，再由得，代入即可求解【題目詳解】左右兩端同乘以有，從而，，，，將以上式子累加得.由得.令，有.故答案為：2020【答案點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推式和累加法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題16、90°【答案解析】

易得平面PAD，P點(diǎn)在與BA垂直的圓面內(nèi)運(yùn)動，顯然，PA是圓的直徑時，PA最長；將四棱錐補(bǔ)形為長方體，易得為球的直徑即可得到PD，從而求得四棱錐的體積.【題目詳解】如圖，由及，得平面PAD，即P點(diǎn)在與BA垂直的圓面內(nèi)運(yùn)動，易知，當(dāng)P、、A三點(diǎn)共線時，PA達(dá)到最長，此時，PA是圓的直徑，則；又，所以平面ABCD，此時可將四棱錐補(bǔ)形為長方體，其體對角線為，底面邊長為2的正方形，易求出，高，故四棱錐體積.故答案為：(1)90°；(2).【答案點(diǎn)睛】本題四棱錐外接球有關(guān)的問題，考查學(xué)生空間想象與邏輯推理能力，是一道有難度的壓軸填空題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）預(yù)算經(jīng)費(fèi)不夠測試完這100顆芯片，理由見解析【答案解析】

（1）先求出，再利用頻率分布直方圖的平均數(shù)公式求這100顆芯片評測分?jǐn)?shù)的平均數(shù)；（2）先求出每顆芯片的測試費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望，再比較得解.【題目詳解】（1）依題意，，故．又因為．所以，所求平均數(shù)為（萬分）（2）由題意可知，手機(jī)公司抽取一顆芯片置于一個工程機(jī)中進(jìn)行檢測評分達(dá)到11萬分的概率．設(shè)每顆芯片的測試費(fèi)用為X元，則X的可能取值為600，900，1200，1500，，，故每顆芯片的測試費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為（元），因為，所以顯然預(yù)算經(jīng)費(fèi)不夠測試完這100顆芯片．【答案點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖的平均數(shù)的計算，考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.18、（1）；（2）證明見解析【答案解析】

（1）將函數(shù)整理為分段函數(shù)形式可得,進(jìn)而分類討論求解不等式即可；（2）先利用絕對值不等式的性質(zhì)得到的最大值為3,再利用均值定理證明即可.【題目詳解】（1）①當(dāng)時，恒成立，；②當(dāng)時，，即，；③當(dāng)時，顯然不成立，不合題意；綜上所述，不等式的解集為.（2）由（1）知，于是由基本不等式可得（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）上述三式相加可得（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），，故得證.【答案點(diǎn)睛】本題考查解絕對值不等式和利用均值定理證明不等式,考查絕對值不等式的最值的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握分類討論解決帶絕對值不等式的方法，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.19、（1）（2）詳見解析（3）初中生平均參加公益勞動時間較長【答案解析】

（1）由圖表直接利用隨機(jī)事件的概率公式求解；（2）X的所有可能取值為0，1，2，3.由古典概型概率公式求概率，則分布列可求；（3）由圖表直接判斷結(jié)果.【題目詳解】（1）100名學(xué)生中共有男生48名，其中共有20人參加公益勞動時間在，設(shè)男生中隨機(jī)抽取一人，抽到的男生參加公益勞動時間在的事件為，那么；（2）的所有可能取值為0，1，2，3.∴；；；.∴隨機(jī)變量的分布列為：（3）由圖表可知，初中生平均參加公益勞動時間較長.【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查古典概型的計算，考查超幾何分布的分布列的計算，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）（2）【答案解析】試題分析：（1）由函數(shù)和的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱可得的表達(dá)式，再去掉絕對值即可解不等式；（2）對，不等式成立等價于，去絕對值得不等式組，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.試題解析：（1）∵函數(shù)和的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴，∴原不等式可化