上海市寶山區(qū)揚波中學2023學年高三下學期聯(lián)合考試數(shù)學試題（含解析）

2023學年高考數(shù)學模擬測試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設復數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．2．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，則（）A．4 B．8 C．16 D．23．已知等邊△ABC內接于圓：x2+y2=1，且P是圓τ上一點，則的最大值是（）A． B．1 C． D．24．已知為實數(shù)集，，，則（）A． B． C． D．5．已知向量，，若，則（）A． B． C．-8 D．86．已知，則的大小關系為（）A． B． C． D．7．某工廠利用隨機數(shù)表示對生產的600個零件進行抽樣測試，先將600個零件進行編號，編號分別為001，002，……，599,600.從中抽取60個樣本，下圖提供隨機數(shù)表的第4行到第6行：若從表中第6行第6列開始向右讀取數(shù)據，則得到的第6個樣本編號是（）A．324 B．522 C．535 D．5788．設a,b∈(0,1)∪(1,+∞)，則"a=b"是"logA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．已知復數(shù)z，則復數(shù)z的虛部為（）A． B． C．i D．i10．已知非零向量滿足，，且與的夾角為，則（）A．6 B． C． D．311．已知F是雙曲線（k為常數(shù)）的一個焦點，則點F到雙曲線C的一條漸近線的距離為（）A．2k B．4k C．4 D．212．已知橢圓，直線與直線相交于點，且點在橢圓內恒成立，則橢圓的離心率取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設,滿足約束條件,若目標函數(shù)的最大值為,則的最小值為______．14．函數(shù)f（x）＝x2﹣xlnx的圖象在x＝1處的切線方程為_____.15．曲線在處的切線的斜率為________.16．復數(shù)為虛數(shù)單位）的虛部為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）（1）已知數(shù)列滿足：，且（為非零常數(shù)，），求數(shù)列的前項和；（2）已知數(shù)列滿足：（?。θ我獾?；（ⅱ）對任意的，，且.①若，求數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件.②求證：數(shù)列是等比數(shù)列，其中.18．（12分）2019年入冬時節(jié)，長春市民為了迎接2023年北京冬奧會，增強身體素質，積極開展冰上體育鍛煉.現(xiàn)從速滑項目中隨機選出100名參與者，并由專業(yè)的評估機構對他們的鍛煉成果進行評估打分（滿分為100分）并且認為評分不低于80分的參與者擅長冰上運動，得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）求的值；（2）將選取的100名參與者的性別與是否擅長冰上運動進行統(tǒng)計，請將下列列聯(lián)表補充完整，并判斷能否在犯錯誤的概率在不超過0.01的前提下認為擅長冰上運動與性別有關系？擅長不擅長合計男性30女性50合計1000.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中）19．（12分）已知函數(shù).（1）求的單調區(qū)間；（2）討論零點的個數(shù).20．（12分）已知數(shù)列滿足，且.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.21．（12分）某職稱晉級評定機構對參加某次專業(yè)技術考試的100人的成績進行了統(tǒng)計，繪制了頻率分布直方圖（如圖所示），規(guī)定80分及以上者晉級成功，否則晉級失?。畷x級成功晉級失敗合計男16女50合計（1）求圖中的值；（2）根據已知條件完成下面列聯(lián)表，并判斷能否有的把握認為“晉級成功”與性別有關？（3）將頻率視為概率，從本次考試的所有人員中，隨機抽取4人進行約談，記這4人中晉級失敗的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望．（參考公式：，其中）0.400.250.150.100.050.0250.7801.3232.0722.7063.8415.02422．（10分）已知凸邊形的面積為1，邊長，，其內部一點到邊的距離分別為.求證：.

2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【答案解析】

根據復數(shù)運算，即可容易求得結果.【題目詳解】.故選：D.【答案點睛】本題考查復數(shù)的四則運算，屬基礎題.2、A【答案解析】

利用等差的求和公式和等差數(shù)列的性質即可求得.【題目詳解】.故選:.【答案點睛】本題考查等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質,考查基本量的計算,難度容易.3、D【答案解析】

如圖所示建立直角坐標系，設，則，計算得到答案.【題目詳解】如圖所示建立直角坐標系，則，，，設，則.當，即時等號成立.故選：.【答案點睛】本題考查了向量的計算，建立直角坐標系利用坐標計算是解題的關鍵.4、C【答案解析】

求出集合，，，由此能求出．【題目詳解】為實數(shù)集，，，或，．故選：．【答案點睛】本題考查交集、補集的求法，考查交集、補集的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．5、B【答案解析】

先求出向量,的坐標，然后由可求出參數(shù)的值.【題目詳解】由向量，，則，，又，則，解得.故選：B【答案點睛】本題考查向量的坐標運算和模長的運算，屬于基礎題.6、A【答案解析】

根據指數(shù)函數(shù)的單調性，可得，再利用對數(shù)函數(shù)的單調性，將與對比，即可求出結論.【題目詳解】由題知，，則.故選:A.【答案點睛】本題考查利用函數(shù)性質比較大小，注意與特殊數(shù)的對比，屬于基礎題..7、D【答案解析】

因為要對600個零件進行編號，所以編號必須是三位數(shù)，因此按要求從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據，大于600的，重復出現(xiàn)的舍去，直至得到第六個編號.【題目詳解】從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據，編號內的數(shù)據依次為:，因為535重復出現(xiàn)，所以符合要求的數(shù)據依次為，故第6個數(shù)據為578.選D.【答案點睛】本題考查了隨機數(shù)表表的應用，正確掌握隨機數(shù)表法的使用方法是解題的關鍵.8、A【答案解析】

根據題意得到充分性，驗證a=2,b=1【題目詳解】a,b∈0,1∪1,+∞，當"a=b當logab=log故選：A.【答案點睛】本題考查了充分不必要條件，意在考查學生的計算能力和推斷能力.9、B【答案解析】

利用復數(shù)的運算法則、虛部的定義即可得出【題目詳解】，則復數(shù)z的虛部為.故選：B.【答案點睛】本題考查了復數(shù)的運算法則、虛部的定義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.10、D【答案解析】

利用向量的加法的平行四邊形法則，判斷四邊形的形狀，推出結果即可．【題目詳解】解：非零向量，滿足，可知兩個向量垂直，，且與的夾角為，說明以向量，為鄰邊，為對角線的平行四邊形是正方形，所以則．故選：．【答案點睛】本題考查向量的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則的應用，考查分析問題解決問題的能力，屬于基礎題．11、D【答案解析】

分析可得,再去絕對值化簡成標準形式,進而根據雙曲線的性質求解即可.【題目詳解】當時,等式不是雙曲線的方程；當時,,可化為,可得虛半軸長,所以點F到雙曲線C的一條漸近線的距離為2.故選：D【答案點睛】本題考查雙曲線的方程與點到直線的距離.屬于基礎題.12、A【答案解析】

先求得橢圓焦點坐標，判斷出直線過橢圓的焦點.然后判斷出，判斷出點的軌跡方程，根據恒在橢圓內列不等式，化簡后求得離心率的取值范圍.【題目詳解】設是橢圓的焦點，所以.直線過點，直線過點，由于，所以，所以點的軌跡是以為直徑的圓.由于點在橢圓內恒成立，所以橢圓的短軸大于，即，所以，所以雙曲線的離心率，所以.故選：A【答案點睛】本小題主要考查直線與直線的位置關系，考查動點軌跡的判斷，考查橢圓離心率的取值范圍的求法，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】

先根據條件畫出可行域,設,再利用幾何意義求最值,將最大值轉化為軸上的截距,只需求出直線,過可行域內的點時取得最大值,從而得到一個關于,的等式,最后利用基本不等式求最小值即可．【題目詳解】解：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分,當直線過直線與直線的交點時,目標函數(shù)取得最大,即,即,而．故答案為．【答案點睛】本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用、簡單的線性規(guī)劃,以及利用幾何意義求最值,屬于基礎題．14、x﹣y＝0.【答案解析】

先將x＝1代入函數(shù)式求出切點縱坐標，然后對函數(shù)求導數(shù)，進一步求出切線斜率，最后利用點斜式寫出切線方程.【題目詳解】由題意得.故切線方程為y﹣1＝x﹣1，即x﹣y＝0.故答案為：x﹣y＝0.【答案點睛】本題考查利用導數(shù)求切線方程的基本方法，利用切點滿足的條件列方程（組）是關鍵.同時也考查了學生的運算能力，屬于基礎題.15、【答案解析】

求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義令，即可求出切線斜率.【題目詳解】，，，即曲線在處的切線的斜率.故答案為：【答案點睛】本題考查了導數(shù)的幾何意義、導數(shù)的運算法則以及基本初等函數(shù)的導數(shù)，屬于基礎題.16、1【答案解析】試題分析：，即虛部為1，故填：1.考點：復數(shù)的代數(shù)運算三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）①；②證明見解析.【答案解析】

（1）由條件可得，結合等差數(shù)列的定義和通項公式、求和公式，即可得到所求；（2）①若，可令，運用已知條件和等比數(shù)列的性質，即可得到所求充要條件；②當，，，由等比數(shù)列的定義和不等式的性質，化簡變形，即可得到所求結論．【題目詳解】解：（1），，且為非零常數(shù)，，，可得，可得數(shù)列的首項為，公差為的等差數(shù)列，可得，前項和為；（2）①若，可令，，且，即，，，，對任意的，，可得，可得，，數(shù)列是等比數(shù)列，則，，可得，，即，又，即有，即，數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件為；②證明：對任意的，，，，，當，，，可得，即以為首項、為公比的等比數(shù)列；同理可得以為首項、為公比的等比數(shù)列；對任意的，，可得，即有，所以對，，，可得，，即且，則，可令，故數(shù)列，，，，，，，，，是以為首項，為公比的等比數(shù)列，其中．【答案點睛】本題考查新定義的理解和運用，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和通項公式的運用，考查分類討論思想方法和推理、運算能力，屬于難題．18、（1）（2）填表見解析；不能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為擅長冰上運動與性別有關系【答案解析】

（1）利用頻率分布直方圖小長方形的面積和為列方程，解方程求得的值.（2）根據表格數(shù)據填寫列聯(lián)表，計算出的值，由此判斷不能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為擅長冰上運動與性別有關系.【題目詳解】（1）由題意，解得.（2）由頻率分布直方圖可得不擅長冰上運動的人數(shù)為.完善列聯(lián)表如下：擅長不擅長合計男性203050女性104050合計3070100，對照表格可知，，不能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為擅長冰上運動與性別有關系.【答案點睛】本小題主要考查根據頻率分布直方圖計算小長方形的高，考查列聯(lián)表獨立性檢驗，屬于基礎題.19、（1）見解析（2）見解析【答案解析】

(1)求導后分析導函數(shù)的正負再判斷單調性即可.(2),有零點等價于方程實數(shù)根,再換元將原方程轉化為,再求導分析的圖像數(shù)形結合求解即可.【題目詳解】（1）的定義域為,,當時,,所以在單調遞減；當時,,所以在單調遞增,所以的減區(qū)間為,增區(qū)間為.（2）,有零點等價于方程實數(shù)根,令則原方程轉化為,令,.令,,∴,,,,,當時,,當時,.如圖可知①當時,有唯一零點,即有唯一零點；②當時,有兩個零點,即有兩個零點；③當時,有唯一零點,即有唯一零點；④時,此時無零點,即此時無零點.【答案點睛】本題主要考查了利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性的方法,同時也考查了利用導數(shù)分析函數(shù)零點的問題,屬于中檔題.20、（1）證明見解析，；（2）.【答案解析】

（1）將等式變形為，進而可證明出是等差數(shù)列，確定數(shù)列的首項和公差，可求得的表達式，進而可得出數(shù)列的通項公式；（2）利用錯位相減法可求得數(shù)列的前項和.【題目詳解】（1）因為，所以，即，所以數(shù)列是等差數(shù)列，且公差，其首項所以，解得；（2），①，②①②，得，所以.【答案點睛】本題考查利用遞推公式證明等差數(shù)列，同時也考查了錯位相減法求和，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.21、(1)；(2)列聯(lián)表見解析，有超過的把握認為“晉級成功”與性別有關；(3)分布列見解析，=3【答案