理論力學(xué)-課件19-虛位移原理

§11虛位移原理虛位移原理屬于分析力學(xué)體系矢量力學(xué)(矢量物理量：動(dòng)量動(dòng)量矩)牛頓(I.Newton,1642-1727)分析力學(xué)(標(biāo)量物理量：廣義坐標(biāo)，廣義速度,能量

T，V，功W)拉格朗日(J.-L.Lagrange,1736-1813)虛位移原理比較抽象,但應(yīng)用范圍很廣,本章介紹虛位移原理,并將虛位移原理用于靜力學(xué)平衡問(wèn)題。虛位移原理與達(dá)朗貝爾原理結(jié)合，可解決動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。優(yōu)點(diǎn)：可避開(kāi)不必求的許多中間未知約束力?！ｎD三定律——虛位移原理§11虛位移原理§11.1約束方程及其分類(lèi)§11.2虛位移§11.3虛功§11.4虛位移原理§11.5廣義力、平衡的穩(wěn)定性§11.6虛位移原理與靜力學(xué)平衡條件§11.1

約束方程及其分類(lèi)

1.質(zhì)點(diǎn)系的位形2.約束方程及分類(lèi)用數(shù)學(xué)方程式表示的約束條件，稱(chēng)為約束方程。自由度其中l(wèi)為獨(dú)立的完整約束方程數(shù)。

n個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系——任一質(zhì)點(diǎn)的位置可由其直角坐標(biāo)確定，稱(chēng)這3n個(gè)坐標(biāo)的集合為該質(zhì)點(diǎn)系的位形，位形給定則質(zhì)點(diǎn)系中每一質(zhì)點(diǎn)的位置也就確定了。

n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的非自由質(zhì)點(diǎn)系——設(shè)自由度k則，可用廣義坐標(biāo)確定質(zhì)點(diǎn)系的位形：或例2.質(zhì)點(diǎn)在曲面上運(yùn)動(dòng)。約束方程即曲面方程（2）例1.質(zhì)點(diǎn)在平面的槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)。自由度自由度例3.質(zhì)點(diǎn)A，B用繩子相連，且繩長(zhǎng)l=l(t).xyBAxA廣義坐標(biāo)可選擇約束方程（1）約束方程yA=0（3）（4）自由度k=2套筒M的約束方程:例4：冰刀在水平冰面上運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)的速度沿冰刀方向。其約束方程：例5：或幾何約束*:對(duì)質(zhì)點(diǎn)的空間位置進(jìn)行約束運(yùn)動(dòng)約束：對(duì)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)（速度）進(jìn)行約束幾何約束：如例1、2。運(yùn)動(dòng)約束：如例4、5。根據(jù)研究目的的不同，約束可有不同的分類(lèi)方式：定常約束*：約束條件不隨時(shí)間變化（不顯含時(shí)間t）非定常約束：約束條件隨時(shí)間變化（顯含時(shí)間t）定常約束：如例1、2。非定常約束：如例3、4。xyBAxA雙面約束*：約束方程為等式形式單面約束：約束方程為不等式形式雙面約束：如例1、2。單面約束：如例3。xyBAxA完整約束*非完整約束—只限制質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的位置而不限制其速度的約束，即約束方程中不包含坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)?！s束方程中包含坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，且不可能積分成有限形式的約束。如例4：當(dāng)v(t)為常量。如例4、5：當(dāng)v(t)的積分無(wú)法求出。本課程僅討論完整、雙側(cè)、定常、幾何類(lèi)型的約束§11.2

虛位移1.位移Mx3x1x2O質(zhì)點(diǎn)M的位移：質(zhì)點(diǎn)系的位移：n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，k個(gè)自由度可取k個(gè)廣義坐標(biāo)質(zhì)點(diǎn)系的位形:或質(zhì)點(diǎn)系的位移其中稱(chēng)為廣義位移（dt時(shí)間qj的增量）Mx3x1x2O質(zhì)點(diǎn)系的位形:2.

實(shí)位移若質(zhì)點(diǎn)系的位移或廣義位移滿(mǎn)足以下2個(gè)條件：（1）滿(mǎn)足質(zhì)點(diǎn)系的約束條件（2）滿(mǎn)足質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)方程及初始條件則稱(chēng)其為實(shí)位移或廣義實(shí)位移。實(shí)位移是惟一確定的真實(shí)位移。3.虛位移質(zhì)點(diǎn)在一定位置上為約束所允許的假想的無(wú)限小位移稱(chēng)為虛位移。1）對(duì)于給定時(shí)刻t，系統(tǒng)處于一定位置，質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生實(shí)位移，是時(shí)間dt的微分，而虛位移不需要時(shí)間，因此也稱(chēng)為等時(shí)變分。2）各質(zhì)點(diǎn)的虛位移必須滿(mǎn)足約束條件，因此只有廣義坐標(biāo)的虛位移可任意假設(shè)，而各質(zhì)點(diǎn)的虛位移均是廣義坐標(biāo)虛位移的函數(shù)。實(shí)位移表示為：虛位移表示為：虛位移

稱(chēng)為的變分(等時(shí)變分）。、、根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系的位形實(shí)位移與虛位移間的關(guān)系：例如：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在某瞬時(shí)處于靜止時(shí)，但不一定為0在定常幾何約束情況下，實(shí)位移為多個(gè)虛位移中的一個(gè)。例如：本章討論靜力學(xué)，僅限于討論定常、幾何約束情況。但在非定常和運(yùn)動(dòng)約束情況下則不然。例如：對(duì)自由度為k的質(zhì)點(diǎn)系（剛體或剛體系）注意廣義坐標(biāo)位形廣義虛位移

獨(dú)立可將各點(diǎn)虛位移或用獨(dú)立的廣義虛位移表示出來(lái)。4.單個(gè)剛體上各點(diǎn)的虛位移之間關(guān)系表示方法與剛體上各點(diǎn)的速度關(guān)系類(lèi)似任意點(diǎn)的虛位移均相等剛體平移c定軸轉(zhuǎn)動(dòng)方向如圖剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的虛轉(zhuǎn)角虛速度法幾何法AB剛體一般平面運(yùn)動(dòng)—瞬時(shí)平移或瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)PM剛體該瞬時(shí)的虛轉(zhuǎn)角②虛位移投影關(guān)系剛體該瞬時(shí)的虛速度瞬心為P方向如圖①③兩點(diǎn)間虛位移的關(guān)系A(chǔ)B方向如圖5.剛體系統(tǒng)各點(diǎn)虛位移之間的關(guān)系找出各點(diǎn)虛位移關(guān)系的方法：解析法和幾何法。（1）解析法：將各點(diǎn)坐標(biāo)用廣義坐標(biāo)表示，再求變分。（2）幾何法（虛速度法）類(lèi)比于運(yùn)動(dòng)學(xué)中速度分析方法（將速度矢量改為虛位移矢量）。例題2例題ABCyEHxRAB=BC=l0,E,H分別為桿AB，BC的中點(diǎn)，輪子C半徑R=l0/4,在地面上純滾動(dòng)，EH為一彈簧，求：（1）B，H，C點(diǎn)虛位移之間的關(guān)系。（2）桿AB，BC，和輪子的虛轉(zhuǎn)角（用廣義坐標(biāo)表示）。例題2例題解：1.幾何法系統(tǒng)自由度為1，選擇為廣義坐標(biāo)，廣義虛位移為桿BC的虛速度瞬心為PABCyEHxRP(BC)2桿AB，BC，輪子C的虛轉(zhuǎn)角分別為：()()()例題2例題ABCyEHxRP(BC)例題2例題ABCyEHxR2.解析法選擇為廣義坐標(biāo)。寫(xiě)出B，H，C各點(diǎn)位形：例題2例題ABCyEHxR求變分：例題2例題ABCyEHxR由（負(fù)號(hào)表示）（）P(BC)（負(fù)號(hào)表示）1、作用于質(zhì)點(diǎn)上力的虛功比較：力的元功和有限功實(shí)元功虛功有限功力在虛位移上做的功§11.3

虛功2作用于剛體上力系的虛功設(shè)剛體在平面力系(作用點(diǎn)為的力，)的作用下，剛體作平面運(yùn)動(dòng)。在剛體上取一點(diǎn)A作為簡(jiǎn)化中心，將力系向A點(diǎn)簡(jiǎn)化為等效力系力系的虛功或若將點(diǎn)A選為剛體的速度瞬心P點(diǎn)，則則作用于剛體上的力系的虛功為：若剛體作平動(dòng)：若剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：A點(diǎn)取轉(zhuǎn)動(dòng)軸上一點(diǎn)彈性力的虛功：令彈簧變形量為3、有勢(shì)力的虛功設(shè)系統(tǒng)為有勢(shì)系統(tǒng)，時(shí)刻t，系統(tǒng)的勢(shì)能為V令其廣義坐標(biāo)產(chǎn)生一組虛位移，則重力的虛功：彈簧的剛度系數(shù)為k4、約束力的虛功元功為零的約束力一端固定柔繩的約束力固定光滑接觸面的約束力光滑鉸鏈提供的約束力純滾動(dòng)物體接觸點(diǎn)的約束力（支持力、靜滑動(dòng)摩擦力）（內(nèi)力）若約束力在任意一組虛位移上所作的虛功之和為零，則稱(chēng)這些約束為理想約束。理想系統(tǒng)：滿(mǎn)足的系統(tǒng)。當(dāng)遇到非理想約束時(shí)，可將非理想約束力看作主動(dòng)力，則余下的約束為理想約束。其中為約束力，為與對(duì)應(yīng)的虛位移。例題3例題

均質(zhì)圓輪重,半徑r,彈簧原長(zhǎng)，剛度k，M為常力偶，輪子在斜面上純滾動(dòng)，求輪心O移動(dòng)s時(shí)，重力、彈性力、力偶M所作的虛功。例題解：系統(tǒng)自由度為1。虛功：重力：彈性力：則輪心的虛位移為力偶：為理想約束力，對(duì)應(yīng)的虛功為零。例題3例題系統(tǒng)的虛功：例題4例題ABCyEHxRM作用于系統(tǒng)的力系的虛功。前例中，設(shè)彈簧原長(zhǎng)為l0，剛度系數(shù)為k，均質(zhì)桿AB和BC均重mg，輪C重m1g,系統(tǒng)受主動(dòng)力和主動(dòng)力偶矩M作用，求：例題4例題ABCyEHxRM解：1.受力分析系統(tǒng)中作功的力：，彈性力，桿AB、BC的重力。系統(tǒng)中不作功