人教版初中數(shù)學(xué)《其他類問題與分式方程》專題突破含答案解析

專題08其他類問題與分式方程【強(qiáng)化基礎(chǔ)與理解記憶】1.數(shù)字問題：在數(shù)字問題中要掌握十進(jìn)制數(shù)的表示法；2.濃度問題的基本關(guān)系是：=濃度．3.順?biāo)嫠畣栴}：v順＝v靜＋v水流，v逆＝v靜－v水流.4．解應(yīng)用題的步驟(1)分析題意，找到題中未知數(shù)和題給條件的相等關(guān)系；(2)設(shè)未知數(shù)，并用所設(shè)的未知數(shù)的代數(shù)式表示其余的未知數(shù)；(3)找出相等關(guān)系，并用它列出方程；(4)解方程求出題中未知數(shù)的值；(5)檢驗(yàn)所求的答數(shù)是否符合題意，并做答．【試題類型與例題解析】【例題1】要在15%的鹽水40千克中加入多少鹽才能使鹽水的濃度變?yōu)?0%．【答案】加入鹽2.5千克．【解析】設(shè)加入鹽千克．濃度問題的基本關(guān)系是：=濃度．溶液溶質(zhì)濃度加鹽前4040×15%15%加鹽后40＋40×15%＋20%設(shè)應(yīng)加入鹽千克，依題意，得=．100(40×15%＋)=20(40＋)，解得．經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的根，即加入鹽2.5千克．【例題2】（2020·福建）我國古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無錢準(zhǔn)與一株椽．“其大意為：現(xiàn)請人代買一批椽，這批椽的價錢為6210文．如果每件椽的運(yùn)費(fèi)是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價錢，試問6210文能買多少株椽？設(shè)這批椽的數(shù)量為株，則符合題意的方程是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)“這批椽的價錢為6210文”、“每件椽的運(yùn)費(fèi)為3文，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價錢”列出方程解答．由題意得：，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解，準(zhǔn)確的找到等量關(guān)系并用方程表示出來是解題的關(guān)鍵．【強(qiáng)化訓(xùn)練與基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)】一、選擇題1．（2020?福建）我國古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無錢準(zhǔn)與一株椽．”其大意為：現(xiàn)請人代買一批椽，這批椽的價錢為6210文．如果每株椽的運(yùn)費(fèi)是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價錢，試問6210文能買多少株椽？設(shè)這批椽的數(shù)量為x株，則符合題意的方程是（）A．3（x﹣1）=6210x B．6210C．3x﹣1=6210x D．【答案】A【分析】根據(jù)單價＝總價÷數(shù)量結(jié)合少拿一株椽后剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價錢，即可得出關(guān)于x的分式方程，此題得解．【解析】依題意，得：3（x﹣1）=62102．（2020?遼陽）隨著快遞業(yè)務(wù)的增加，某快遞公司為快遞員更換了快捷的交通工具，公司投遞快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原來多投遞80件，若快遞公司的快遞員人數(shù)不變，求原來平均每人每周投遞快件多少件？設(shè)原來平均每人每周投遞快件x件，根據(jù)題意可列方程為（）A．3000x=4200x-80 B．C．4200x=3000x【答案】D【分析】設(shè)原來平均每人每周投遞快件x件，則現(xiàn)在平均每人每周投遞快件（x+80）件，根據(jù)人數(shù)＝投遞快遞總數(shù)量÷人均投遞數(shù)量結(jié)合快遞公司的快遞員人數(shù)不變，即可得出關(guān)于x的分式方程，此題得解．【解析】設(shè)原來平均每人每周投遞快件x件，則現(xiàn)在平均每人每周投遞快件（x+80）件，依題意，得：3000x3．（2020·遼寧撫順）隨著快遞業(yè)務(wù)的增加，某快遞公司為快遞員更換了快捷的交通工具，公司投遞快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原來多投遞80件，若快遞公司的快遞員人數(shù)不變，求原來平均每人每周投遞快件多少件？設(shè)原來平均每人每周投遞快件件，根據(jù)題意可列方程為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)原來平均每人每周投遞快件x件，則現(xiàn)在平均每人每周投遞快件（x+80）件，根據(jù)人數(shù)=投遞快遞總數(shù)量÷人均投遞數(shù)量，結(jié)合快遞公司的快遞員人數(shù)不變，即可得出關(guān)于x的分式方程，此題得解．設(shè)原來平均每人每周投遞快件x件，則現(xiàn)在平均每人每周投遞快件（x+80）件，根據(jù)快遞公司的快遞員人數(shù)不變列出方程，得：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．4．（2021湖南株洲）《九章算術(shù)》之“粟米篇”中記載了中國古代的“粟米之法”：“粟率五十，糲米三十…”（粟指帶殼的谷子，糲米指糙米），其意為：“50單位的粟，可換得30單位的糲米…”．問題：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，則可以換得的糲米為（）A．1.8升 B．16升 C．18升 D．50升【答案】C【解析】先將單位換成升，根據(jù)：“50單位的粟，可換得30單位的糲米…”列式可得結(jié)論．根據(jù)題意得：3斗＝30升，設(shè)可以換得的糲米為x升，則＝，解得：x＝＝18（升），答：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，則可以換得的糲米為18升．二、填空題1．（2020?嘉興）數(shù)學(xué)家斐波那契編寫的《算經(jīng)》中有如下問題：一組人平分10元錢，每人分得若干；若再加上6人，平分40元錢，則第二次每人所得與第一次相同，求第一次分錢的人數(shù)．設(shè)第一次分錢的人數(shù)為x人，則可列方程．【答案】10x【分析】根據(jù)“第二次每人所得與第一次相同，”列方程即可得到結(jié)論．【解析】根據(jù)題意得，10x故答案為：10x2．（2020·浙江嘉興）數(shù)學(xué)家斐波那契編寫的《算經(jīng)》中有如下問題：一組人平分10元錢，每人分得若干；若再加上6人，平分40元錢，則第二次每人所得與第一次相同，求第一次分錢的人數(shù)．設(shè)第一次分錢的人數(shù)為x人，則可列方程_____．【答案】【解析】根據(jù)“第二次每人所得與第一次相同，”列分式方程即可得到結(jié)論．根據(jù)題意得，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用，找出等量關(guān)系，列出分式方程，是解題的關(guān)鍵．三、解答題1．（2020?廣東）某社區(qū)擬建A，B兩類攤位以搞活“地攤經(jīng)濟(jì)”，每個A類攤位的占地面積比每個B類攤位的占地面積多2平方米．建A類攤位每平方米的費(fèi)用為40元，建B類攤位每平方米的費(fèi)用為30元．用60平方米建A類攤位的個數(shù)恰好是用同樣面積建B類攤位個數(shù)的35（1）求每個A，B類攤位占地面積各為多少平方米？（2）該社區(qū)擬建A，B兩類攤位共90個，且B類攤位的數(shù)量不少于A類攤位數(shù)量的3倍．求建造這90個攤位的最大費(fèi)用．【答案】見解析。【解析】（1）設(shè)每個B類攤位的占地面積為x平方米，則每個A類攤位占地面積為（x+2）平方米，根據(jù)題意得：60x+2解得：x＝3，經(jīng)檢驗(yàn)x＝3是原方程的解，所以3+2＝5，答：每個A類攤位占地面積為5平方米，每個B類攤位的占地面積為3平方米；（2）設(shè)建A攤位a個，則建B攤位（90﹣a）個，由題意得：90﹣a≥3a，解得a≤22.5，∵建A類攤位每平方米的費(fèi)用為40元，建B類攤位每平方米的費(fèi)用為30元，∴要想使建造這90個攤位有最大費(fèi)用，所以要多建造A類攤位，即a取最大值22時，費(fèi)用最大，此時最大費(fèi)用為：22×40×5+30×（90﹣22）×3＝10520，答：建造這90個攤位的最大費(fèi)用是10520元．2．（2020?襄陽）在襄陽市創(chuàng)建全國文明城市的工作中，市政部門綠化隊(duì)改進(jìn)了對某塊綠地的灌澆方式．改進(jìn)后，現(xiàn)在每天用水量是原來每天用水量的45【答案】見解析。【解析】設(shè)原來每天用水量是x噸，則現(xiàn)在每天用水量是45x依題意，得：1204解得：x＝10，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝10是原方程的解，且符合題意，∴45x答：現(xiàn)在每天用水量是8噸．3．（2020·遼寧丹東·中考真題）為幫助貧困山區(qū)孩子學(xué)習(xí)，某學(xué)校號召學(xué)生自愿捐書，已知七、八年級同學(xué)捐書總數(shù)都是1800本，八年級捐書人數(shù)比七年級多150人，七年級人均捐書數(shù)量是八年級人均捐書數(shù)量的1.5倍，求八年級捐書人數(shù)是多少？【答案】八年級捐書人數(shù)是450人．【解析】設(shè)七年級捐書人數(shù)為x，則八年級捐書人數(shù)為（x+150），根據(jù)題意得，，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，∴x+150=400+150=450，答：八年級捐書人數(shù)是450人．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列出方程求解并檢驗(yàn)．4.（2021上海）現(xiàn)在5G手機(jī)非常流行,某公司第一季度總共生產(chǎn)80萬部5G手機(jī),三個月的生產(chǎn)情況如下圖.（1）求3月份生產(chǎn)了多少部手機(jī)?（2）5G手機(jī)速度很快,比4G下載速度每秒多95MB,下載一部1000MB的電影,5G比4G要快190秒,求5G手機(jī)的下載速度.【答案】見解析。【解答】（1）由扇形統(tǒng)計(jì)圖可知：3月份生產(chǎn)的手機(jī)占整個第一季度的百分比為：1-30%-25%=45%故3月份生產(chǎn)手機(jī)：80×45%=36（萬部）答：3月份生產(chǎn)了36萬部手機(jī)。（2）設(shè)5G手機(jī)的下載速度為x(MB/秒)，則4G手機(jī)的下載速度為x-95(MB/秒),由題意可得：解出：x=100或x=-5(舍)經(jīng)檢驗(yàn)：x=100是方程的根，所以x=100(MB/秒)答：5G手機(jī)的下載速度為100(MB/秒)【點(diǎn)評】此題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖，分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解分式方程的步驟，解分式方程注意要檢驗(yàn)．5．（2021云南中考）“30天無理由退貨”是營造我省“誠信旅游”良好環(huán)境，進(jìn)一步提升旅游形象的創(chuàng)新舉措．機(jī)場、車站、出租車、景區(qū)、手機(jī)短信……，“30天無理由退貨”的提示隨處可見，它已成為一張?jiān)颇下眯械摹鞍残目ā保瑯O大地提高了旅游服務(wù)的品質(zhì)．剛剛過去的“五?一”假期，旅游線路、住宿、餐飲、生活服務(wù)、購物等旅游消費(fèi)的供給更加多元，同步的是云南旅游市場強(qiáng)勁復(fù)蘇．某旅行社今年5月1日租用A、B兩種客房一天，供當(dāng)天使用．下面是有關(guān)信息：請根據(jù)上述信息，分別求今年5月1日該旅行社租用的A、B兩種客房每間客房的租金，【答案】見解析?！窘馕觥吭O(shè)每間B客房租金為x元，根據(jù)“用2000元租到A客房數(shù)量與用1600元租到B客房數(shù)量相同”列出方程并解答．解：設(shè)每間B客房租金為x元，則每間A客房租金為(x+40)元，根據(jù)題意可得：，解得：x＝160，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝160是原分式方程的解，且符合實(shí)際，160+40＝200元，∴每間A客房租金為200元，每間B客房租金為160元．【點(diǎn)評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語，進(jìn)而找到所求的量的等量關(guān)系．6.輪船在順?biāo)泻叫?0千米的時間與在逆水中航行20千米所用的時間相等，已知水流速度為2千米／時，求船在靜水中的速度?！敬鸢浮看陟o水中的速度是10千米／時．【解析】此題的等量關(guān)系很明顯：順?biāo)叫?0千米的時間=逆水中航行20千米的時間，即=．設(shè)船在靜水中的速度為千米／時，又知水流速度，于是順?biāo)叫兴俣?、逆水航行速度可用未知?shù)表示，問題可解決．設(shè)船在靜水中速度為千米／時，則順?biāo)叫兴俣葹榍祝瘯r，逆水航行速度為千米／時，依題意，得=，解得．經(jīng)檢驗(yàn)