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文檔簡介
2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)滿足,則(其中為虛數(shù)單位)的最大值為()A.1 B.2 C.3 D.42.已知函數(shù),,且在上是單調(diào)函數(shù),則下列說法正確的是()A. B.C.函數(shù)在上單調(diào)遞減 D.函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱3.若函數(shù)恰有3個零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.4.設(shè),則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.如圖,圓是邊長為的等邊三角形的內(nèi)切圓,其與邊相切于點(diǎn),點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn),,則的最大值為()A. B. C.2 D.6.設(shè)i為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),則復(fù)數(shù)z等于()A. B. C. D.07.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,則的最小值為()A. B. C. D.8.如圖,在棱長為4的正方體中,E,F(xiàn),G分別為棱AB,BC,的中點(diǎn),M為棱AD的中點(diǎn),設(shè)P,Q為底面ABCD內(nèi)的兩個動點(diǎn),滿足平面EFG,,則的最小值為()A. B. C. D.9.已知,是兩條不重合的直線,是一個平面,則下列命題中正確的是()A.若,,則 B.若,,則C.若,,則 D.若,,則10.已知雙曲線的一條漸近線方程為,,分別是雙曲線C的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線C上,且,則()A.9 B.5 C.2或9 D.1或511.在直角梯形中,,,,,點(diǎn)為上一點(diǎn),且,當(dāng)?shù)闹底畲髸r,()A. B.2 C. D.12.已知三棱錐中,是等邊三角形,,則三棱錐的外接球的表面積為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若,則____.14.若滿足,則目標(biāo)函數(shù)的最大值為______.15.某高校開展安全教育活動,安排6名老師到4個班進(jìn)行講解,要求1班和2班各安排一名老師,其余兩個班各安排兩名老師,其中劉老師和王老師不在一起,則不同的安排方案有________種.16.已知兩個單位向量滿足,則向量與的夾角為_____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的短軸的兩個端點(diǎn)分別為、,焦距為.(1)求橢圓的方程;(2)已知直線與橢圓有兩個不同的交點(diǎn)、,設(shè)為直線上一點(diǎn),且直線、的斜率的積為.證明:點(diǎn)在軸上.18.(12分)已知橢圓的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為,,分別是橢圓的左,右頂點(diǎn),是橢圓上異于,的一點(diǎn),且,所在直線斜率之積為.(1)求橢圓的方程;(2)過點(diǎn)作兩條直線,分別交橢圓于,兩點(diǎn)(異于點(diǎn)).當(dāng)直線,的斜率之和為定值時,直線是否恒過定點(diǎn)?若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不是,請說明理.19.(12分)某工廠的機(jī)器上有一種易損元件A,這種元件在使用過程中發(fā)生損壞時,需要送維修處維修.工廠規(guī)定當(dāng)日損壞的元件A在次日早上8:30之前送到維修處,并要求維修人員當(dāng)日必須完成所有損壞元件A的維修工作.每個工人獨(dú)立維修A元件需要時間相同.維修處記錄了某月從1日到20日每天維修元件A的個數(shù),具體數(shù)據(jù)如下表:日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日元件A個數(shù)91512181218992412日期11日12日13日14日15日16日17日18日19日20日元件A個數(shù)12241515151215151524從這20天中隨機(jī)選取一天,隨機(jī)變量X表示在維修處該天元件A的維修個數(shù).(Ⅰ)求X的分布列與數(shù)學(xué)期望;(Ⅱ)若a,b,且b-a=6,求最大值;(Ⅲ)目前維修處有兩名工人從事維修工作,為使每個維修工人每天維修元件A的個數(shù)的數(shù)學(xué)期望不超過4個,至少需要增加幾名維修工人?(只需寫出結(jié)論)20.(12分)已知函數(shù),其中.(1)討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù);(2)求證:.21.(12分)已知函數(shù),.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)已知在處的切線與軸垂直,若方程有三個實(shí)數(shù)解、、(),求證:.22.(10分)(本小題滿分12分)已知橢圓C:x2a2+y(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過點(diǎn)A(1,0)的直線與橢圓C交于點(diǎn)M,N,設(shè)P為橢圓上一點(diǎn),且OM+ON=t
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓上,再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可確定,即可得的最大值.【詳解】由知,復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓上,表示復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)間的距離,又復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)所在圓的圓心到的距離為1,所以.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)模的定義及其幾何意義應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
根據(jù)函數(shù),在上是單調(diào)函數(shù),確定,然后一一驗(yàn)證,A.若,則,由,得,但.B.由,,確定,再求解驗(yàn)證.C.利用整體法根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷.D.計算是否為0.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù),在上是單調(diào)函數(shù),所以,即,所以,若,則,又因?yàn)?,即,解得,而,故A錯誤.由,不妨令,得由,得或當(dāng)時,,不合題意.當(dāng)時,,此時所以,故B正確.因?yàn)椋瘮?shù),在上是單調(diào)遞增,故C錯誤.,故D錯誤.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于較難的題.3、B【解析】
求導(dǎo)函數(shù),求出函數(shù)的極值,利用函數(shù)恰有三個零點(diǎn),即可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,令,則或,上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,所以0或是函數(shù)y的極值點(diǎn),函數(shù)的極值為:,函數(shù)恰有三個零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是:.故選B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)個數(shù),來確定參數(shù)的取值范圍的問題,在解題的過程中,注意應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象的走向,利用數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象間交點(diǎn)個數(shù)的問題,難度不大.4、B【解析】
先解不等式化簡兩個條件,利用集合法判斷充分必要條件即可【詳解】解不等式可得,解絕對值不等式可得,由于為的子集,據(jù)此可知“”是“”的必要不充分條件.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了必要不充分條件的判定,考查了學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算,邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】
建立坐標(biāo)系,寫出相應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo),得到的表達(dá)式,進(jìn)而得到最大值.【詳解】以D點(diǎn)為原點(diǎn),BC所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,建立坐標(biāo)系,設(shè)內(nèi)切圓的半徑為1,以(0,1)為圓心,1為半徑的圓;根據(jù)三角形面積公式得到,可得到內(nèi)切圓的半徑為可得到點(diǎn)的坐標(biāo)為:故得到故得到,故最大值為:2.故答案為C.【點(diǎn)睛】這個題目考查了向量標(biāo)化的應(yīng)用,以及參數(shù)方程的應(yīng)用,以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍,是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問題.通過向量的運(yùn)算,將問題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域,是解決這類問題的一般方法.6、B【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則,即可求解.【詳解】.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】
由,可求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)而可知當(dāng)時,;當(dāng)時,,從而可知的最小值為,求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,則,由題意得,,得,解得,得.當(dāng)時,;當(dāng)時,,則的最小值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查學(xué)生的計算求解能力,屬于中檔題.8、C【解析】
把截面畫完整,可得在上,由知在以為圓心1為半徑的四分之一圓上,利用對稱性可得的最小值.【詳解】如圖,分別取的中點(diǎn),連接,易證共面,即平面為截面,連接,由中位線定理可得,平面,平面,則平面,同理可得平面,由可得平面平面,又平面EFG,在平面上,∴.正方體中平面,從而有,∴,∴在以為圓心1為半徑的四分之一圓(圓在正方形內(nèi)的部分)上,顯然關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為,,當(dāng)且僅當(dāng)共線時取等號,∴所求最小值為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查空間距離的最小值問題,解題時作出正方體的完整截面求出點(diǎn)軌跡是第一個難點(diǎn),第二個難點(diǎn)是求出點(diǎn)軌跡,第三個難點(diǎn)是利用對稱性及圓的性質(zhì)求得最小值.9、D【解析】
利用空間位置關(guān)系的判斷及性質(zhì)定理進(jìn)行判斷.【詳解】解:選項(xiàng)A中直線,還可能相交或異面,選項(xiàng)B中,還可能異面,選項(xiàng)C,由條件可得或.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與平面平行、垂直的性質(zhì)與判定等基礎(chǔ)知識;考查空間想象能力、推理論證能力,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
根據(jù)漸近線方程求得,再利用雙曲線定義即可求得.【詳解】由于,所以,又且,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查由漸近線方程求雙曲線方程,涉及雙曲線的定義,屬基礎(chǔ)題.11、B【解析】
由題,可求出,所以,根據(jù)共線定理,設(shè),利用向量三角形法則求出,結(jié)合題給,得出,進(jìn)而得出,最后利用二次函數(shù)求出的最大值,即可求出.【詳解】由題意,直角梯形中,,,,,可求得,所以·∵點(diǎn)在線段上,設(shè),則,即,又因?yàn)樗裕?,?dāng)時,等號成立.所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量線性運(yùn)算中的加法運(yùn)算、向量共線定理,以及運(yùn)用二次函數(shù)求最值,考查轉(zhuǎn)化思想和解題能力.12、D【解析】
根據(jù)底面為等邊三角形,取中點(diǎn),可證明平面,從而,即可證明三棱錐為正三棱錐.取底面等邊的重心為,可求得到平面的距離,畫出幾何關(guān)系,設(shè)球心為,即可由球的性質(zhì)和勾股定理求得球的半徑,進(jìn)而得球的表面積.【詳解】設(shè)為中點(diǎn),是等邊三角形,所以,又因?yàn)?,且,所以平面,則,由三線合一性質(zhì)可知所以三棱錐為正三棱錐,設(shè)底面等邊的重心為,可得,,所以三棱錐的外接球球心在面下方,設(shè)為,如下圖所示:由球的性質(zhì)可知,平面,且在同一直線上,設(shè)球的半徑為,在中,,即,解得,所以三棱錐的外接球表面積為,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的結(jié)構(gòu)特征和相關(guān)計算,正三棱錐的外接球半徑求法,球的表面積求法,對空間想象能力要求較高,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由,得出,根據(jù)兩角和與差的正弦公式和余弦公式化簡,再利用齊次式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?,所?故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)化簡求值,利用二倍角正切公式、兩角和與差的正弦公式和余弦公式,以及運(yùn)用齊次式求值,屬于對公式的考查以及對計算能力的考查.14、-1【解析】
由約束條件作出可行域,化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式,數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解,把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案.【詳解】由約束條件作出可行域如圖,化目標(biāo)函數(shù)為,由圖可得,當(dāng)直線過點(diǎn)時,直線在軸上的截距最大,由得即,則有最大值,故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值,屬簡單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是實(shí)線還是虛線);(2)找到目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的最優(yōu)解對應(yīng)點(diǎn)(在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù),最先通過或最后通過的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解);(3)將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.15、156【解析】
先考慮每班安排的老師人數(shù),然后計算出對應(yīng)的方案數(shù),再考慮劉老師和王老師在同一班級的方案數(shù),兩者作差即可得到不同安排的方案數(shù).【詳解】安排6名老師到4個班則每班老師人數(shù)為1,1,2,2,共有種,劉老師和王老師分配到一個班,共有種,所以種.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用,難度一般.對于分組的問題,首先確定每組的數(shù)量,對于其中特殊元素,可通過“正難則反”的思想進(jìn)行分析.16、【解析】
由得,即得解.【詳解】由題意可知,則.解得,所以,向量與的夾角為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的計算和夾角的計算,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)見解析.【解析】
(1)由已知條件得出、的值,進(jìn)而可得出的值,由此可求得橢圓的方程;(2)設(shè)點(diǎn),可得,且,,求出直線的斜率,進(jìn)而可求得直線與的方程,將直線直線與的方程聯(lián)立,求出點(diǎn)的坐標(biāo),即可證得結(jié)論.【詳解】(1)由題設(shè),得,所以,即.故橢圓的方程為;(2)設(shè),則,,.所以直線的斜率為,因?yàn)橹本€、的斜率的積為,所以直線的斜率為.直線的方程為,直線的方程為.聯(lián)立,解得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以,則,所以點(diǎn)在軸上.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解,同時也考查了點(diǎn)在定直線的證明,考查計算能力與推理能力,屬于中等題.18、(1)(2)直線過定點(diǎn)【解析】
(1),再由,解方程組即可;(2)設(shè),,由,得,由直線MN的方程與橢圓方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系,代入計算即可.【詳解】(1)由題意知:,又,且解得,,∴橢圓方程為,(2)當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)其方程為,設(shè),,由,得.則,(*)由,得,整理可得(*)代入得,整理可得,又,∴,即,∴直線過點(diǎn)當(dāng)直線的斜率不存在時,設(shè)直線的方程為,,,其中,∴,由,得,所以∴當(dāng)直線的斜率不存在時,直線也過定點(diǎn)綜上所述,直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線與橢圓位置關(guān)系中的定點(diǎn)問題,在處理直線與橢圓的位置關(guān)系的大題時,一般要利用根與系數(shù)的關(guān)系來求解,本題是一道中檔題.19、(Ⅰ)分布列見解析,;(Ⅱ);(Ⅲ)至少增加2人.【解析】
(Ⅰ)求出X的所有可能取值為9,12,15,18,24,求出概率,得到X的分布列,然后求解期望即可.(Ⅱ)當(dāng)P(a≤X≤b)取到最大值時,求出a,b的可能值,然后求解P(a≤X≤b)的最大值即可.(Ⅲ)利用前兩問的結(jié)果,判斷至少增加2人.【詳解】(Ⅰ)X的取值為:9,12,15,18,24;,,,,,X的分布列為:X912151824P故X的數(shù)學(xué)期望;(Ⅱ)當(dāng)P(a≤X≤b)取到最大值時,a,b的值可能為:,或,或.經(jīng)計算,,,所以P(a≤X≤b)的最大值為.(Ⅲ)至少增加2人.【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量及其分布列,離散型隨機(jī)變量的期望與方差,屬于中等題.20、(1)時,有一個零點(diǎn);當(dāng)且時,有兩個零點(diǎn);(2)見解析【解析】
(1)利用的導(dǎo)函數(shù),求得的最大值的表達(dá)式,對進(jìn)行分類討論,由此判斷出的零點(diǎn)的個數(shù).(2)由,得到和,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證得,即有,從而證得,即.【詳解】(1),∴當(dāng)時,,當(dāng)時,在上遞增,在上遞減,.令在上遞減,在上遞增,,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.①時,有一個零點(diǎn);②時,,此時有兩個零點(diǎn);③時,,令在上遞增,,此時有兩個零點(diǎn);綜上:時,有一個零點(diǎn);當(dāng)且時,有兩個零點(diǎn);(2)由(1)可知:,令在上遞增,.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn),考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.21、(1)①當(dāng)時,在單調(diào)遞增,②當(dāng)時,單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為(2)證明見解析【解析】
(1)先求解導(dǎo)函數(shù),然后對參數(shù)分類討論,分析出每種情況下函數(shù)的單調(diào)性即可;(2)根據(jù)條件先求解出的值,然后構(gòu)造函數(shù)分析出之間的關(guān)系,再構(gòu)造函數(shù)分析出之間的關(guān)系,由此證明出.【詳解】(1),①當(dāng)時,恒成立,則在單調(diào)遞增②當(dāng)時,令得,解得,又,∴∴當(dāng)時,,單調(diào)遞增;當(dāng)時,,單調(diào)遞減;當(dāng)時,,單調(diào)遞增.(2)依題意得,,則由(1)得,在單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上
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