計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)05課件

第五章積分的應(yīng)用后頁首頁前頁第五章積分的應(yīng)用后頁首頁前頁基本要求、重點(diǎn)難點(diǎn)5.1定積分的微元法5.2平面圖形的面積5.3空間立體的體積5.4其他應(yīng)用實(shí)例5.5積分?jǐn)?shù)學(xué)模型實(shí)例

基本要求、重點(diǎn)難點(diǎn)5.1定積分的微元法5.2平面圖形的面基本要求掌握微元法的概念。了解幾何、物理中的問題以及簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型。了解平面圖開的面積、空間立體的體積。會(huì)利用定積分計(jì)算平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積和一些簡(jiǎn)單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用題?；疽笳莆瘴⒃ǖ母拍?。重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：某個(gè)定積分的分析方法——微元法。微積數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用。難點(diǎn)：定積分在各種領(lǐng)域的應(yīng)用。重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：5.1定積分的微元法微元法驟是：

(1)分割：用任意一組分點(diǎn)把區(qū)間［a,b］分成長(zhǎng)度為

Δxi(i＝1,2,…，n)的n個(gè)小區(qū)間，則所求量Q(面積或路程)分成n個(gè)部分量ΔQi(i＝1,2,…,n),即Q＝ΔQi；

(2)近似代替，求和：ΔQi≈f(ξi)Δxi(xi－1≤ξi≤xi)，從而

Q≈f(ξi)Δxi；

(3)取極限，令λ＝{Δxi}，得：Q＝f(ξi)Δxi

＝f(x)dx。∑ni＝1∑ni＝1max1≤i≤nlimλ→０∑ni＝1∫ba5.1定積分的微元法微元法驟是：∑ni＝1∑ni＝1若某一實(shí)際問題所求量Q符合下列條件：

(1)是一個(gè)與變量變化區(qū)間［a,b］有關(guān)的量；

(2)對(duì)于區(qū)間［a,b］具有可加性；

(3)ΔQi≈f(ξi)Δxi(誤差是比Δxi高階的無窮小)。用定積分來表達(dá)這個(gè)量，具體步驟如下：(實(shí)用上，為了簡(jiǎn)便，省略下標(biāo))若某一實(shí)際問題所求量Q符合下列條件：5.2平面圖形的面積5.2.1直角坐標(biāo)情形5.2平面圖形的面積5.2.1直角坐標(biāo)情形.2.2極坐標(biāo)情形

1.原函數(shù)和不定積分概念設(shè)連續(xù)曲線是極坐標(biāo)方程r＝r(θ),α≤θ≤β。求由曲線r＝r(θ)及二射線θ＝α，θ＝β所圍成區(qū)域的面積(如圖)。應(yīng)用微元法在［α，β］上任取一個(gè)θ，它的極徑r＝r(θ)。在角θ處的面積微元dA是以極徑r(θ)為半徑，以dθ為圓心角的扇形面積，即dA＝r2dθ＝［r(θ)］2dθ再對(duì)每一個(gè)θ，將對(duì)應(yīng)的扇形面積微元dA從α到β無限累加起來，即由α到β的定積分就是區(qū)域的面積這就是極坐標(biāo)下的面積公式。1212.2.2極坐標(biāo)情形1.原函數(shù)和不定積分概念設(shè)連續(xù)曲5.3空間立體的體積5.3.1平行截面面積為已知的立體的體積如圖，設(shè)有一立體，夾在過點(diǎn)x＝a、x＝b(a＜b)且垂直于x軸的兩個(gè)平行平面之間，用一組垂直于x軸的平面截此立體所得截面面積A＝A(x)是x的已知的連續(xù)函數(shù)，求此立體的體積V。取x為積分變量，它的變化區(qū)間為［a,b］，立體中相應(yīng)于［a,b］上任一小區(qū)間［x,x+dx］的一薄片的體積，近似于底面積為A(x)，高為dx的扁柱體的體積，即體積微元dV＝A(x)dx。以A(x)dx為被積表達(dá)式，在閉區(qū)間［a,b］上作定積分，便得所求立體體積V＝dV＝A(x)dx?！襜a∫ba5.3空間立體的體積5.3.1平行截面面積為已知的立體計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)05課件5.3.2旋轉(zhuǎn)體體積旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體。圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球體可以分別看成是由矩形繞它的一條邊、直角三角形繞它的直角邊、直角梯形繞它的直角腰、半圓繞它的直徑旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，所以它們均為旋轉(zhuǎn)體。在區(qū)間［a,b］上的非負(fù)連續(xù)曲線y＝f(x)、x軸、直線x＝a、x＝b所圍成曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，得到旋轉(zhuǎn)體?，F(xiàn)在我們求該旋轉(zhuǎn)體的體積。區(qū)間［a,b］上任一點(diǎn)x處垂直于x軸的截面為以f(x)為半徑的圓盤(圖)，其面積為5.3.2旋轉(zhuǎn)體體積旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)。于是得旋轉(zhuǎn)體體積為。同理得區(qū)間［c,d］上非負(fù)連續(xù)函數(shù)x＝φ(y)、y軸、直線y＝c、y＝d圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。。于是得旋轉(zhuǎn)體體積為。同理得區(qū)間［c,d］上非負(fù)連續(xù)函5.4其他應(yīng)用實(shí)例5.4.1物理應(yīng)用5.4其他應(yīng)用實(shí)例5.4.1物理應(yīng)用5.4.2其他應(yīng)用舉例5.4.2其他應(yīng)用舉例5.5積分?jǐn)?shù)學(xué)模型實(shí)例5.5積分?jǐn)?shù)學(xué)模型實(shí)例ThankYou!后頁首頁前頁ThankYou!后頁首頁前頁第五章積分的應(yīng)用后頁首頁前頁第五章積分的應(yīng)用后頁首頁前頁基本要求、重點(diǎn)難點(diǎn)5.1定積分的微元法5.2平面圖形的面積5.3空間立體的體積5.4其他應(yīng)用實(shí)例5.5積分?jǐn)?shù)學(xué)模型實(shí)例

基本要求、重點(diǎn)難點(diǎn)5.1定積分的微元法5.2平面圖形的面基本要求掌握微元法的概念。了解幾何、物理中的問題以及簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型。了解平面圖開的面積、空間立體的體積。會(huì)利用定積分計(jì)算平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積和一些簡(jiǎn)單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用題?；疽笳莆瘴⒃ǖ母拍睢Ｖ攸c(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：某個(gè)定積分的分析方法——微元法。微積數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用。難點(diǎn)：定積分在各種領(lǐng)域的應(yīng)用。重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：5.1定積分的微元法微元法驟是：

(1)分割：用任意一組分點(diǎn)把區(qū)間［a,b］分成長(zhǎng)度為

Δxi(i＝1,2,…，n)的n個(gè)小區(qū)間，則所求量Q(面積或路程)分成n個(gè)部分量ΔQi(i＝1,2,…,n),即Q＝ΔQi；

(2)近似代替，求和：ΔQi≈f(ξi)Δxi(xi－1≤ξi≤xi)，從而

Q≈f(ξi)Δxi；

(3)取極限，令λ＝{Δxi}，得：Q＝f(ξi)Δxi

＝f(x)dx?！苙i＝1∑ni＝1max1≤i≤nlimλ→０∑ni＝1∫ba5.1定積分的微元法微元法驟是：∑ni＝1∑ni＝1若某一實(shí)際問題所求量Q符合下列條件：

(1)是一個(gè)與變量變化區(qū)間［a,b］有關(guān)的量；

(2)對(duì)于區(qū)間［a,b］具有可加性；

(3)ΔQi≈f(ξi)Δxi(誤差是比Δxi高階的無窮小)。用定積分來表達(dá)這個(gè)量，具體步驟如下：(實(shí)用上，為了簡(jiǎn)便，省略下標(biāo))若某一實(shí)際問題所求量Q符合下列條件：5.2平面圖形的面積5.2.1直角坐標(biāo)情形5.2平面圖形的面積5.2.1直角坐標(biāo)情形.2.2極坐標(biāo)情形

1.原函數(shù)和不定積分概念設(shè)連續(xù)曲線是極坐標(biāo)方程r＝r(θ),α≤θ≤β。求由曲線r＝r(θ)及二射線θ＝α，θ＝β所圍成區(qū)域的面積(如圖)。應(yīng)用微元法在［α，β］上任取一個(gè)θ，它的極徑r＝r(θ)。在角θ處的面積微元dA是以極徑r(θ)為半徑，以dθ為圓心角的扇形面積，即dA＝r2dθ＝［r(θ)］2dθ再對(duì)每一個(gè)θ，將對(duì)應(yīng)的扇形面積微元dA從α到β無限累加起來，即由α到β的定積分就是區(qū)域的面積這就是極坐標(biāo)下的面積公式。1212.2.2極坐標(biāo)情形1.原函數(shù)和不定積分概念設(shè)連續(xù)曲5.3空間立體的體積5.3.1平行截面面積為已知的立體的體積如圖，設(shè)有一立體，夾在過點(diǎn)x＝a、x＝b(a＜b)且垂直于x軸的兩個(gè)平行平面之間，用一組垂直于x軸的平面截此立體所得截面面積A＝A(x)是x的已知的連續(xù)函數(shù)，求此立體的體積V。取x為積分變量，它的變化區(qū)間為［a,b］，立體中相應(yīng)于［a,b］上任一小區(qū)間［x,x+dx］的一薄片的體積，近似于底面積為A(x)，高為dx的扁柱體的體積，即體積微元dV＝A(x)dx。以A(x)dx為被積表達(dá)式，在閉區(qū)間［a,b］上作定積分，便得所求立體體積V＝dV＝A(x)dx。∫ba∫ba5.3空間立體的體積5.3.1平行截面面積為已知的立體計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)05課件5.3.2旋轉(zhuǎn)體體積旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體。圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球體可以分別看成是由矩形繞它的一條邊、直角三角形繞它的直角邊、直角梯形繞它的直角腰、半圓繞它的直徑旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，所以它們均為旋轉(zhuǎn)體。在區(qū)間［a,b］上的非負(fù)連續(xù)曲線y＝f(x)、x軸、直線x＝a、x＝b所圍成曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，得到旋轉(zhuǎn)體?，F(xiàn)在我們求該旋轉(zhuǎn)體的體積。區(qū)間［a,b］上任一點(diǎn)x處垂直于x軸的截面為以f(x)為半徑的圓盤(圖)，其面積為5.3.2旋轉(zhuǎn)體體積旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)。于是得旋轉(zhuǎn)體體積為。同理得區(qū)間［c,d］上非負(fù)連續(xù)函數(shù)