《信號(hào)與線性系統(tǒng)分析》重要公式

信號(hào)與線形系統(tǒng)重要公式第一章：信號(hào)與系統(tǒng)單位階躍函(t) 單位沖激函(t)沖激函數(shù)的性質(zhì)：

f(t)(tt)f(t)(tt)1 1 1f(t)(t)f(0)(t)

ftttdtftttdtft)ftt)dtf(0)

1 1 1 ft)ft)f'(tt)f(t)'(t)f(0)'(t)f'(0)(t)

1 1 1 1 1ft't)dtf'(0)f(t)(n)(t)dt(1)(n)f(n)(0)

ft'ttdtf't) 1 11a(at)1a'(at)

(t)11aa'(aa

(n(t(n(t)n為偶數(shù)(n(t(n(t)n為奇數(shù)aa(n)(n)(at)aa(n)

(n)(t)線形系統(tǒng)的性質(zhì)：齊次性 可加性T[af()]afT[f1

()f2

()]T[f1

()]T[f2

()]T[afafaT[f()]aT[f

()]11 22 1 1 2 2零輸入響應(yīng)，零狀態(tài)響應(yīng)，全響應(yīng)y()T[{x(0)},{0}] yx

()T[{0},{f()}] y()yx

()yf

()第二章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析法（自由響應(yīng)）yh

(t+特解（強(qiáng)迫響應(yīng)）yp

(t)全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)yx

(t) yf

(t)y(t)yh

(t)yp

(t)= yx

(t)yf

(t)零輸入響應(yīng)是指激勵(lì)為零，僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)所引起的響應(yīng)，用yx

(t)表示。零狀態(tài)響應(yīng)是指初始狀態(tài)為零，僅由激勵(lì)所引起的響應(yīng)，用yf

(t)表示。eiyt)nC eix xi

y(t)f

Cetyif ii

(t) Cxi

和C 都為待定系數(shù)fii1 i1)n

Citi

yp

)

Cxi

零輸入響

Cetyif ii

)

零狀態(tài)響應(yīng)）2.2沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)一個(gè)LTI系統(tǒng)，當(dāng)其初始狀態(tài)為零，輸入為單位沖激函數(shù)(t)時(shí)所引起的響應(yīng)，簡(jiǎn)稱為沖激響應(yīng)。用h(t)表示，即沖激響應(yīng)為激勵(lì)為(t)時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)。一個(gè)LTI系統(tǒng)，當(dāng)其初始狀態(tài)為零、輸入為單位階躍函數(shù)(t)時(shí)所引起的響應(yīng)，稱為單位階躍響應(yīng)，簡(jiǎn)稱階躍響應(yīng)。用g(t)表示。階躍響應(yīng)是(t)時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。沖激響應(yīng)(t)與階躍響應(yīng)(t)的關(guān)系：(t)

d(t) (t)

(t)dxdt同一系統(tǒng)階躍響應(yīng)h(t)與沖激響應(yīng)g(t)的關(guān)系h(t)

dg(t)dt

g(t)t

(t)dx2.3f(t)f1

(t)*f2

(t)

f()f1

(t)d零狀態(tài)響應(yīng)的另一種方法y f(t)*h(t)f2.4卷積積分性質(zhì)f (t)* f1 2

(t) f2

(t)* f1

(t)f (t)*[ f1

(t) f3

(t)] f1

(t)* f2

(t) f1

(t)* f3

(t)[f (t)* f1 2

(t)]* f3

(t) f1

(t)*[ f2

(t)* f3

(t)]函數(shù)與沖激函數(shù)的卷積f(t)*(t)(t)* f(t) f(t)f(t)*(tt1

)(tt1

)* f(t) f(tt)1(tt1

)*(tt2

)(tt1

t )2f(tt1

)*(tt2

) f(tt2

)*(tt1

) f(tt1

t )2若f(t) f1

(t)* f2

(t),則f (tt1 1

)* f2

(tt2

) f1

(tt2

)* f2

(tt1

) f(tt1

t )2卷積的微分與積分若f (t) f1

(t)* f2

(t) f2

(t)* f1

(t),則導(dǎo)數(shù) f

(1) (t)

(1) (t)* f1

(t) f1

(t)*

(1) (t)2積分 f

(1)(t)

(1)(t)* f1

(t) f1

(t)*

(1)(t)2推論 f (t)

(1) (t)* 1

(1)(t) 2

(1)(t)* 1

(1) (t)2f (i)

(t)

(j)(t)* 1

(ij)(t)2第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析y(k=yx

(k+yf

(k)y(k)nx

Ci i

y(k)f

Ckf ii

y(k) y(k)p

Cki i

Ckyf i i

(k)i1 i1 i1 i1差分方程的經(jīng)典解y(k=yh

(k)+特解yp

(k)y(k)y

(k)y(k)nCk

(k)h p i i pi1不同特征根所對(duì)應(yīng)的齊次解特征根特征根y(k)h單實(shí)根Ckr重實(shí)根Crkr1kCr2kr2kLCkkCk1 0一對(duì)共軛復(fù)根pk[Ccos(kDsin(k或1,2ajbpejApkcos(k),AejCjDr重共軛復(fù)根A rrpkcos(k )A rr2pkcos(krrr2r)LAPkcos(k)0 0不同激勵(lì)所對(duì)應(yīng)的特解激勵(lì)激勵(lì)f(k)特解y(k)pkmpkmpmm1km1Lpkp11 0kr[pkmpmm1km1Lpkp有r1的特征根1 0aampak當(dāng)a等于特征時(shí)pkakpak當(dāng)a是特征單根時(shí)1 0pkrakprrkr1akLpkakpak當(dāng)a是r重特征根時(shí)。1 0cos(k)Pcos(k)Qsin(k)sin(k)Acos(k),AePjQ當(dāng)所有特征根均不等于ej單位序列和單位序列響應(yīng)LTI離散系統(tǒng)的激勵(lì)為單位序列(k)h(k)表示。當(dāng)LTI離散系統(tǒng)的激勵(lì)為單位階躍序列(k)時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為單位階躍響應(yīng)，g(k)

g(k)

h(i)

h(kj)單位序列響應(yīng)與階躍響應(yīng)的關(guān)系 i

j0h(k)g(k)g(k1)連續(xù)系統(tǒng)沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)的關(guān)系幾種數(shù)列的求和公式

g(t) h(t)

t h()ddg (t)dt序號(hào)序號(hào)1公式1ak說明k0kj0a j1a,a1(k1),a12aka2kaj1k21,a1k,kk1 2 2 1jk1k1a2k1,a113j0aj11aa14a jak1a1k可為正或負(fù)整數(shù)1jk1a155kj0k0jk(k1)26k2j(kk)(k k1)12 21k,kk1 2 2 1jk217kj0k0j2k(k)2k+1）6卷積和f(k)f1

(k)*f2

(k)

i

f(i)f1

(ki)卷積和的性質(zhì)f(k)*f1

(k)f2

(k)*f1

(k)f(k)*[f1

(k)f3

(k)]f1

(k)*f2

(k)f1

(k)*f3

(k)[f(k)*f1 2

(k)]*f3

(k)f1

(k)*[f2

(k)*f3

(k)]任一序列f(k)與單位序列的卷積f(k)*(k)

i

(ki)*f(i)

f(k)(kk1

)*(kk2

)(kk1

k)2f(k)*(tt)1

i

f(i)*(kik1

)f(kk)1f(kk1

)*(kk2

)f(k)*(kk1

)*(kk2

)f(k)*(kk1

k)f(kk2

k)2若f(k)f1

(k)*f2

(k),則f(k)*f1

(kk1

)f1

(kk1

)*f2

(k)f(kk)1f(kk1

)*f2

(kk2

)f1

(kk2

)*f2

(kk1

)f(kk1

k)2bk1ak1(k),abh(k)ak(k)*bk(k) ba (k1)bk(k),ab第四章 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析信號(hào)分解為正交函數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)f(t)a02

acos(nt)n

bsin(nt)nn1 n1a 1 T0 2

f(t)dt2 T TT2T其中ab

為傅里葉系數(shù)，2，

a 2 f(t)cos(nt)dt,n0,1,2,L2n n

n T T 2b 2T

f(t)sin(nt)dt,n0,1,2,Ln

2T T2f(t)

A

Acos(nt

Aa

A a2b2,n1,2,3,L02 n0n1

n 0 00 a 0

n n n

b arctan(n)

Acos

0,n1,2,Ln a n n nn b Asin,n1,2,Ln n n傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式f(t)

12n

Aen

令A(yù)eFn12 n nn1

Fennen

ft)n

FejntnF1Aejn

1[AcosjA

sin]1(a jb)n 2 n

2 n n

n 2 n n2F1Tn T T22

f(t)ejntdt,n0,1,2,L傅立葉變換和逆變換2FT T2

f(t)e

jnt

F()liFT

f(t)e

jdt n T 2

f(t)

nT1

f(j)ejtd f(t) F n

jntT

在f(t)是實(shí)函數(shù)時(shí)：f(t)tf(t)=f(-t)f(t)的實(shí)函數(shù)，且為的偶函數(shù)。f(t)tf(-t)=-f(t)f(t)F(jω)的奇函數(shù)。表4-1 常用傅里葉變換編號(hào)編號(hào)f(t)F()1g(t)rSa()2Sa( )t22gr33eat(t),a01aj4teat(t),a01(aj)2aa2125eat,a06(t)712()8(tt)19cost0ejt0)0010sint0j))0011(t)()1j12Sgn(t)1j,F(0)013141t(t)TjSgn()()15nFen F)nn16tn1(n1)!eat(t),a01(aj)n傅里葉變換的性質(zhì)線形a

f(t)a

f(t)aF(j)a

F(j)11 2 2 11 2 2奇偶性實(shí)部虛部F()

ftetdt

ft)cos(t)dtj

f(t)sin(t)dtR()jX()F(j)ej()實(shí)部和虛部分別為R)

ft)cos(t)dt X)

f(t)sin(t)dt頻譜函數(shù)的模和相角分別為R()2X(R()2X()2

()arctan(X())R()2如果f(t)是時(shí)間t 的實(shí)函數(shù)并且是偶函數(shù)則F(j)R)2Fj等于R() ，它是的實(shí)偶函數(shù)01、若f(t)是時(shí)間t 的實(shí)函數(shù)，則頻譜函數(shù)F(j2如果f(t)是時(shí)間t 的實(shí)函數(shù)并且是偶函數(shù)則F(j)R)2Fj等于R() ，它是的實(shí)偶函數(shù)0f(t)cos(t)dt3f(t是時(shí)間t的實(shí)函數(shù)，并且是奇函數(shù)，則FjX(j2f0頻譜函數(shù)F(j)等于jX，它是 的虛奇函數(shù)。4、f(t)的傅里葉變換若f(t)是時(shí)間t 的實(shí)函F(j)R()jX()R()jX()F(j)f(t)F(j)F(j)R()R(),XX()則有（1）

F(j)F(j),()()（2）f(t)F(j)F(j)（3）如f(t)f(t),則X(0,FjR()如f(t)f(t),則R(0,FjjX()若f(t)是時(shí)間t 的實(shí)函數(shù)R()R(),X()X()（1）

F(j)F(j),()()（2）f(t)F(j)F(j)對(duì)稱性若f(t)F(j),則f(jt)2F()尺度變換若f(t)Fj),則對(duì)實(shí)常數(shù)a(a0),有f(at)時(shí)移特性若ft)F(),則f(tt)et0F()0

1 aF(j )aaab(a0)f(atb

ejb(j)aaaaa頻移特性0若f(t)Fj且為常數(shù)，則f(t)ejtF[j(m)]00 0f(t)cos(t)1F[j()]1F[j()]0 2 0 2 0f(t)sin(t)1F[j()]1jF[j()]0 2 0 2 0卷積定理f(t)F(j)若1 1

(t)

(t)F(j)

(j)f(t)F2 2

(j) 1 2 1 2頻域卷積定理f(t)F(j)若1 1

(t)

(t)

1F(

(j)f(t)F2 2

(1 2

1 2其中f1

(t)f2

(t)

f()f1

(t)d時(shí)域微分若f(t)F(j),則f(n)(t)(j)nF(j)時(shí)域積分若f(tFj),則f(1)(tF(0)(頻域微分若f(t)F(j),則(jt)nf(t)Fn(j)

F(j)j頻域積分若f(t)F(j),則F(0)(0) 1jt

f(t)F(1)(j)能量譜E功率譜

f2tdt 1

F()2d

Fj2dfFj

()1 T 1

F(j)

F(j)

F(j)2Plim

f2(t)dt

lim d

df取

()tTT T2傅里葉變換的性質(zhì)

tT

tT

tT周期信號(hào)的傅里葉變換1一、正、余弦函數(shù)的傅里葉變換100t) (etet)[(00

))]0 2 0 01sin(t)0

(ej0j0

ejt)j[000

))]0LTI1、虛指數(shù)函數(shù)f(t)ejt作用于LTI系統(tǒng)所引起的零狀態(tài)響應(yīng)，設(shè)沖擊響應(yīng)h(t)yH(j)ejtf2、任意信號(hào)輸入時(shí)的響應(yīng)Y(j)H(j(j)第五章 拉普拉斯變換在頻域分析中，我們以ejt 為基本信號(hào)，在復(fù)頻域分析中，我們以s j，由于當(dāng) j，ejt estFb

為基本信號(hào)f(t)

1 j

稱為雙邊拉普拉斯變換對(duì)；2j jbF)稱為f的雙邊拉氏變換（或象函數(shù)；bF的雙邊拉氏逆變換（或原函數(shù)。b（單邊）拉普拉斯變換F1est

f(t)estdt0g) 1r 2 s

s，Re[s]1，Re[s]ss 00拉普拉斯變換的性質(zhì)線形a

f

fa

amax(,)11 22 11 22 1 2sint(t)

,cost2

s2

0尺度變換若F

則對(duì)實(shí)常數(shù)a(a0),有0

1 saF(aa a3時(shí)移特性若F

且t0對(duì)實(shí)常數(shù)則t)t) e若F

0 0 且t0對(duì)實(shí)常數(shù)則bb)0 0

0s1 s bsF(aa a

0其中a00復(fù)頻移特性若ft)F(s),Re[s]且有復(fù)常數(shù)則s ,則ft)estF(ss),Re[s]+0 a a a a 0時(shí)域微分特性若f(t)F(s),Re[s]則f(1)(tsF(sf(0f(2)(t)s2F(s)sf(0

0))f(1)(0)f(n)(t)snF(s)sn1f(0

)sn2f(1)(0

)Lf(n1)(0)如果f(t)是因果信號(hào)，則由于f(n)(0)0(n0,1,2L)有f(n)(t)snF(s),Re[s] 0時(shí)域積分定理f(n)(t)

F(s)1

f(m)

)其收斂域至少是Re[s]0和Re[s]sn相重疊的部分。卷積定理

m1

snm1 0若因果信號(hào)

f(t)F(s),Re[s]1 1 1

(t)F(s)

(s)f(t)F2 2

(s),Re[s] 1 2 1 22復(fù)頻域卷積定理F(t)F(t) 1 cjF

(s)d,Re[s]

,cRe[s]1 2

cj 1 2

1 2 1 28s域微分和積分若f(t)F(s),Re[s]0dF(s) dnF(s) f(t) (t)f(t) ,(t)nf(t) , Fs]ds dsn t s 0拉普拉斯逆變換f(t) 12 j

0 ,t0jF(sjj ,t0F(s)

kj kp

(t)1,'(t)s,L(n)(t)snsj (ss)qp(t)1,t(t)s

,L,tn(t)1 s2 sn1 1 1 et(t) ,e2t(t) ,L,ent(t)1 1 s1 s2 sn復(fù)頻域分析用拉普拉斯變換求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)y''(t)s2Y(s)sy(0)y'(0) y'(t)sY(s)y(0) y(t)Y(s) M(s) B(s)fn(t)snF(s)代入y(tay(tby(t)f(n(t)Y(s)

F(s)A(s) A(s)M(s)為零輸入響應(yīng)的象函數(shù)A(s)

B(sF(sA(s)一般題目中有y'(0)和y(0)的值如果只有y'(0)和y(0)的值那么先算出y (t)的函 zs數(shù)，在根據(jù)函數(shù)y (t)，y(0)，y'(0)計(jì)算y'(0)和y(0)的值，可得出y (t)的函數(shù)zs zi系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)與激勵(lì)的象函數(shù)之比，稱為系統(tǒng)函數(shù)。用H(s)表示。H(s)無關(guān)

B(s)A(s)

,H(s)h(t)，H(s)僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，元件參數(shù)有關(guān)，而與激勵(lì)及初始狀態(tài)第六章離散系統(tǒng)的z域分析6．1F(z)

k

f(k)zk k0,1,2,L 稱為序列f(k)的雙邊z變換F(z)k0

f(k(k)zk 稱為序列f(k)的單邊z變換Zf(kF(z)常用序列的z變換：z zak(k)

,za (a)k(k) ,zza zaa=1，則單位階躍序列的z(k)

z ,z1z1ae

則有ejk(k) ,z1zzejz反因果序列：b為正實(shí)數(shù)，z zbk(k1)

,zb (b)k(k1) ,zzb zb令b=1，則有(k1)

zz1

,z16.2 z變換的性質(zhì)線形f(k)F(z),az若1 1f(k)F2 2

1(z),a2

1z2

且有任意常數(shù)aa則有1,2af(kaf(k)aF(zaF(zF(zF11 2 2 11 2 2 1

(z)的相交部分移位特性f(kF(zaz，且有整數(shù)m0f(kmzmF(zaz序列乘ak的尺度變換f(kF(zaz，有常數(shù)a0，則ak

f(k)F z aaz( a( 卷積定理f(k)F(z),az若1 1

1 1 則

(k)

(k)F(z)

(z)收斂域至少為F(z)和f(k)F2 2

(z),a2

z 1 2 1 2 12F(z)的相交部分2序列乘k若f(k)F(z),az則kf(k)z特例

F(z)2f(k)z [z F(z)]Lmf(k)[z ]mF(z)d d d dz dz dz dzd d d (k)

,z 1ak(k) ,z z1 zaz z zz k(k) ,z 1ak1k(k) ,z a(z1)2 (za)2k(k1) z k(k

a2z (k) ,z 1 ak(k) ,z a2 (z1)3 2 (za)3k(k1) z ak2(k) ,z a2 (za)3序列(km)f(kF(zaz，且有整數(shù)m，且km0，則f(k)

F()

f(k

F()Zm km

Zm1

k Z k域反轉(zhuǎn)f(kF(zazf(kF(z1),1

z1a部分和f(kF(zazg(k

f(i) z F(z),max(a,1)zz1i第七章系統(tǒng)函數(shù)7．1系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)對(duì)于連續(xù)系統(tǒng)

bm

(s)B(s) b

sm

sm1Lbsb m jH(s)

m1

1 0 jA(s) sn

sn1Lasa

n (sp)s

n1為零點(diǎn) spj i

1 為極點(diǎn)