高中必修五數(shù)學(xué)數(shù)列講義

高中必修五數(shù)學(xué)數(shù)列講義高中必修五數(shù)學(xué)數(shù)列講義高中必修五數(shù)學(xué)數(shù)列講義高中必修五數(shù)學(xué)數(shù)列講義第二章數(shù)列第一：數(shù)列及其通公式一．?dāng)?shù)列的見解1．?dāng)?shù)列的定：；2．表示法：；3．?dāng)?shù)列的分：；4．通公式：；5．推公式的見解：；注意：①數(shù)列與會(huì)合有本的區(qū)；②與數(shù)的區(qū)；③{an}與an的區(qū)；④不是每一個(gè)數(shù)列都有通公式；⑤an是n的函數(shù)。二．?dāng)?shù)列通公式的求法1．依據(jù)數(shù)列的有限，寫出數(shù)列的通公式。1．已知數(shù)列{an}的前幾，寫出數(shù)列的一個(gè)通公式（1）1，4，9，16，??；an=;（2）2,4,6,8,??；an=;3927813,LL,n（3）1,3,1,3,1,;2345a=6（4）9，99，999，9999，??；an=;（5）7，77，777，7777，??；an=;2（6）7，-77，777，-7777，??；an=;（7）0.5,0.55,0.555,0.5555,??；an=;（8）1．-1，1，-1，??；an=;（9）1，0，1，0，??；an=;（10）11，101，1001，10001，??；an=;（11）11,22,33,44,??；an=;2345（12）1,3,7,5,LL；an=;24816（13）2,1,10,17,26,37，??；an=;37911132．?dāng)?shù)列1，3，2，6，5，15，14，x,y,z，122，??，中x,y,z的挨次是（）A42，41，123B13，39，123C24，23，123D28，27，1233．?dāng)?shù)列1，1，2，3，5，8，??；的第7是。1為奇數(shù)）4．?dāng)?shù)列{an}中，an，nn1（n2)為偶數(shù)）(n{an}的前5是。5.已知函數(shù)f(x)x-1，anf(n)(nN*)x(1)求：an1；（2）{an}是增數(shù)列是減數(shù)列？什么？32．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式（1）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn2n2n1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn2n2n，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。注意：1.用數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn求通項(xiàng)an的公式是：；2.什么時(shí)候運(yùn)用an=Sn-Sn-1求出的公式擁有通用性：。練習(xí)：(3)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(1)n1n,則通項(xiàng)an=;（4）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn32n則通項(xiàng)n=;,a（5）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Snlog1(1n),則通項(xiàng)an=;10（6）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn11L1n2n122n,則通項(xiàng)an2=;注意：（1）公式表示的是數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的關(guān)系。（2）要注意不要忽略n=1的情況，這是大家易犯錯(cuò)的地方。43．用遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式（1）數(shù)列{an}中，a12,anan1(n2,3,4,L），則它的前5項(xiàng)1an1是。（2）數(shù)列{an}中，a11,a22,an2an1an,則a7。（3）數(shù)列（4）數(shù)列

{an}{an}

中，知足中，知足

a12,an1an2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；a12,an1ann，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（5）數(shù)列（6）數(shù)列

{an}{an}

中，知足中，知足

a12,an12an，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；a12,an1nan，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；n1第二節(jié)：等差數(shù)列.1.定義：假如一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列；這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差平常用字母d表示。2.通項(xiàng)公式：ana1(n1)d或anam(nm)d3.等差中項(xiàng)：a,A,b成等差數(shù)列，A叫a,b的等差中項(xiàng)（注：隨意兩個(gè)數(shù)都有ab等差中項(xiàng)）A24.證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的方法：一般用an1and（常數(shù)），而不用其余等價(jià)形式，若的確沒法證明an1and，有時(shí)也可采納證明an1ananan1,(n2)來達(dá)成。5.等差數(shù)列的性質(zhì)：5（1）d0，an單增；d0，an單減；d0，是常數(shù)列。（2）等差數(shù)列中隨意連續(xù)的三項(xiàng)也成等差數(shù)列，反之亦然。（3）一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，則通項(xiàng)公式可寫成anknb（k,bR)，反之亦然。一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，則其前n項(xiàng)和可寫成SnAn2Bn（A,BR)，反之亦然。（4）數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若m+n=p+q，則amanapaq（5）數(shù)列{an}是等差數(shù)列，項(xiàng)數(shù)m,p,n成等差數(shù)列，那么am,ap,an也成等差數(shù)列。（6）數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則Sm,S2mSm,S3mS2m仍成等差數(shù)列。二.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和：n(a1an)或Snn(n1)Snna1d22練習(xí)與應(yīng)用：通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的基本運(yùn)算1．在等差數(shù)列{an}中，a5=10,a12=31,求首項(xiàng)a1與公差d.2.在等差數(shù)列{an}中，a2=-5,a6=a4+6,那么a1=.3.在等差數(shù)列{an}中，a15=8,a20=20,則a25=.4.在等差數(shù)列{an}中，a2+a5+a8=9,a3a5a7=-21,求通項(xiàng)an.5.在等差數(shù)列{an}中，a15=8,a60=20,則a75=.6Sm,S2mSm,S3mS2m仍成等差數(shù)列6.在等差數(shù)列{an}中，S10=310，S20=1220，求Sn與通項(xiàng)an.若m+n=p+q，則amanapaq6．在等差數(shù)列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=450,則a2+a8=.3,a15是方程x2-6x-1=0的兩個(gè)根，求a7+a8+a9+a10+a11=.8．在等差數(shù)列{an}中，a32，則該數(shù)列的前5項(xiàng)和為（）（A）10（B）16（C）20（D）329.在等差數(shù)列{an}中，Sn表示前n項(xiàng)和，且a2a818a5，則S9的值為（）（A）18（B）60（C）54（D）2710.等差數(shù)列{an}，S918,Sn240,an430,(n9)，則項(xiàng)數(shù)n為（）11．在等差數(shù)列{an}中，前4項(xiàng)的和為21，后4項(xiàng)的和為67，前n項(xiàng)的和為286，則項(xiàng)數(shù)n=.12.在等差數(shù)列{an}中，Sn表示前n項(xiàng)和，且S120,S130，當(dāng)Sn獲得最大值時(shí)的n值為（）（A）6（B）7（C）12（D）不可以確立13.若{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a10，a23a240，a23a240，則使前n項(xiàng)和Sn0建立的最大自然數(shù)n是（）（A）48（B）47（C）46（D）45714（04年重慶卷.文理a10,a2003a20040,a2003.a2004是：（）A4005B4006

9）若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)0，則使前n項(xiàng)和Sn0建立的最大自然數(shù)nC4007D400815.等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，Tn，且Sn7n1,求a11.Tn4n27b1116.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若A：1B：2C：1D：-12

a55，則S9的值為（）a39S517．在等差數(shù)列{an}中，am=n,an=m,且m≠n,則am+n=.18.已知等差數(shù)列{an}，Sn是其前n項(xiàng)和，關(guān)于不相等的正整數(shù)m,n，有Snm,Smn，則Smn的值為.其奇數(shù)項(xiàng)和、偶數(shù)項(xiàng)和1、若等差數(shù)列共有偶數(shù)項(xiàng)2n項(xiàng)（奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)各n項(xiàng)）：即S奇a1a3a5a2n1S偶a2a4a6a2n則S偶S奇nd，S偶S偶an1（中S奇S2nS奇an間一對(duì)）2、若等差數(shù)列共有奇數(shù)項(xiàng)2n1項(xiàng)（奇數(shù)項(xiàng)比偶數(shù)項(xiàng)多1項(xiàng)）：即則

S奇a1a3a5a2n1a2n1S偶a2a4a6a2nS奇S偶an1（an1為中間項(xiàng)），S偶S奇S偶n（項(xiàng)數(shù)之比）S2n1n1S奇19..等差數(shù)列{an}共有2n-1項(xiàng)，全部奇數(shù)項(xiàng)的和為132，全部偶數(shù)項(xiàng)的和為120，則n=.8假如等差數(shù)列{an}共有10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，則其公差為。21．假如等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)是奇數(shù)，a11，{an}的奇數(shù)項(xiàng)的和是175，偶數(shù)項(xiàng)的和是150，求這個(gè)等差數(shù)列的公差d。Sn的最值問題22.等差數(shù)列{an}中，an=2n-10,則Sn的最小值時(shí)n=.23.等差數(shù)列{an}中，an=2n-11,則Sn的最小值時(shí)n=.24．在等差數(shù)列{an}中,a125,S3S8,則前n項(xiàng)和Sn的最小值為（）A：-80B：-76C：-75D：-7425.已知等差數(shù)列{an}，Sn是其前n項(xiàng)和，且S5S6,S6S7,S7S8，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng)是（）（A）d<0（B）a70（C）S9S5（D）S6與S7均為Sn的最大值.第三節(jié)：等比數(shù)列一。等比數(shù)列及其性質(zhì)91。定義：（略）an1q(q0)（有既是等差又是等比的數(shù)列嗎？）an2。通項(xiàng)公式：ana1qn1；（anamqnm）3。等比中項(xiàng)：a,G,b成等比數(shù)列，G叫a,b的等比中項(xiàng)。注：隨意兩個(gè)實(shí)數(shù)都有等差中項(xiàng)，但不是隨意兩個(gè)實(shí)數(shù)都有等比中項(xiàng)，只有兩個(gè)實(shí)數(shù)同號(hào)時(shí)才有等比中項(xiàng)，等差中項(xiàng)只有一個(gè)，但等比中項(xiàng)有兩個(gè)。4。證明數(shù)列是等比數(shù)列的基本方法：an1q(q0)an5。相關(guān)性質(zhì)：（1）數(shù)列{an}是等比數(shù)列，若m+n=p+q，則amanapaq（2）正項(xiàng)等比數(shù)列的對(duì)數(shù)列是等差數(shù)列，等差數(shù)列的指數(shù)列是等比數(shù)列。（3）數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則a1a2Lam，am1am2La2m，a2m1a2m2La3m成等比數(shù)列嗎？（4）數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則a1a2Lam，am1am2La2m，a2m1a2m2La3m還是等比數(shù)列。練習(xí)與應(yīng)用：1。數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則在①{anan1}；②{anan1}；③{anan1}；④{an3}；⑤{nan}；⑥{lgan}這6個(gè)數(shù)列中仍成等比數(shù)列的是。102。數(shù)列{an}是等比數(shù)列，a34,a716，求公比q。333。等差數(shù)列a,b,c三項(xiàng)的和為12，且a,b,c+2成等比數(shù)列，求a的值。4。數(shù)列{an}是等比數(shù)列，a1a3a5a7a932，求a55。數(shù)列{an}是等比數(shù)列，a19，an1，q2，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（）833A3B4C5D66。等比數(shù)列{an}中,an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,則a3+a5=()A:5B:10C:15D:207。等比數(shù)列{an},a516,a88,a11（）A：-4B：±4C：-2D：±28。等比數(shù)列{an}，a3a8124,a4a7512，公比q為整數(shù)，則a10。9.等比數(shù)列{an}中，a1a230,a3a460,則a5a6（）A：90B：120C：15D：8010。等比數(shù)列{an}中，a9a10a,(a0),a19a20b,則a99a100（）9B：(b)910D：(b)10A：b8C：b9aaaa11。{an}是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，a5a69，則log3a1log3a2log3a10=11（）A：12B：10C：8D：2log3512．已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)bnlog2an，求證數(shù)列{bn}是等差數(shù)列。13。已知等比數(shù)列{an}的a316，且a1a2a10265，求{an}的通項(xiàng)公式.14。各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a4a710，則lga1lga2lga10；15．{an}為等比數(shù)列，（1）q2,S9977，求a3a6a99（2）前n項(xiàng)的和為Sn48,前2n項(xiàng)之和S2n60，求S3n12二。等比數(shù)列的前n項(xiàng)和。a1(1qn)a1anq1)Sna1a2Lan1q(q1qna1(q1)1．等比數(shù)列{an}中，a6a4216，a3a18，Sn40，求q和n。2．等比數(shù)列{an}中，a34,S312，求a1和q。3．等比數(shù)列{an}中，Sn49，S2n112，則S3n=。4．等比數(shù)列{an}中，a11,an512,Sn341,求q。5．求數(shù)列1,3,9,27,L,3n1,L的前n項(xiàng)和。6．求1,a21,(a21)2,L,(a21)n1,L的前n項(xiàng)和242n7．求2,22,L,2n,L，求前2k項(xiàng)的和。yyy8．求1,a,a2,L,an1,L的前n項(xiàng)和。139．等比數(shù)列{an},前n項(xiàng)和為48,前2n項(xiàng)和為60,前3n項(xiàng)的和為()A:183B:108C:75D:6310．{an}成等差數(shù)列，a1,a5,a13成等比數(shù)列，則該等比數(shù)列的公比為（）A：1B：2C：1D：124311．{an}成等差數(shù)列，{bn}成等比數(shù)列，q1,bi0(i1,2,,n)，若a1b1，a11b11，則（）A：a6b6B：a6b6C：a6b6D：a6b6或a6b612．x,a1,a2,y成等差數(shù)列，x,b1,b2,y成等比數(shù)列，則(a1a2)2的取值范圍是b1b2（）A：[4,)B：（0，4）C：(,0][4,)D：(,0)[4,)13．一個(gè)項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)的等比數(shù)列，它的偶數(shù)項(xiàng)的和是奇數(shù)項(xiàng)和的2倍，又它的首項(xiàng)為1，且中間兩項(xiàng)的和為24，則此等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（）A．12B．10C．8D．6第四節(jié)數(shù)列的綜合應(yīng)用一、數(shù)列乞降14（一）．公式法1．求1，4，7，10，?，（3n-2）,?的前n和。2．求數(shù)列22,24,L,22n,L，求前2k的和.yy2yn3．求S1aa2Lan（二）．分乞降1．乞降（1+2）+（3+4）+?+（2n-1+2n）2．(x-2)+(x2-2)+?+（xn-2）3.(a1)(a22)L(ann)154.乞降(x121n1y)(xy2)L(xyn)5.122334Ln(n1)6.1325Ln(2n1)（三）．裂項(xiàng)乞降1.乞降Sn1111223Ln(n1)2.11L(2n113351)(2n1)3..數(shù)列{an}成等比數(shù)列,各項(xiàng)都為正數(shù)，且q≠1,求證11L1n1lga1lga2lgan1lganlga1lganlga2lga34.1111)2334n(n5.11(2n135571)(2n3)6．11(3n114472)(3n1)167.1141512)1323n(n8.111613)14253n(n9．求1111212312n1（四）．位相減、其余1．135L2n1222232n2.12222323n2n3.352n12222n4．乞降x3x25x3L(2n1)xn5．1+2×3+3×7+?+n(2n-1)176.已知數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列，a11，q2，求a12a23a3nan放及其余1．12223242L992100222＋132＋142＋12．?dāng)?shù)列，，，??的前10和（）。22－132－142－1（A）17（B）1111（C）1143（D）118955121321321113.乞降Sn223L11nn1114.求S11532n12n135.求f(x）4x2，求f(1)f(2)f(1998):4x19991999199911L126.求：132n2227.1n(n1)1223Ln(n1)(n1)222181118．2(n11)132n2n二、用已知數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式（前文已有）三、用遞推公式求通項(xiàng)1．已知數(shù)列{an}，知足，a1=2,an+1=an+2,求{an}的通項(xiàng)公式。2。已知數(shù)列{an}，知足，a1=2,an+1=an+2n,求{an}的通項(xiàng)公式。3。已知數(shù)列{an}，知足，a1=2,an+1=an+2n,求{an}的通項(xiàng)公式。．已知數(shù)列n，知足，1n+1n+1，求{an的通項(xiàng)公式。4{a}a=2,a=an(n}1)點(diǎn)擊：凡是擁有an+1=an+f(n)形式都可運(yùn)用此法，此中f(n)表示可乞降的數(shù)列。5．已知數(shù)列{an}，知足，a1=2,an=3an-1,（n≥2）求{an}的通項(xiàng)公式。6．已知數(shù)列{an}，知足，a1=1,an1nan求{an}的通項(xiàng)公式。n1．已知數(shù)列n}知足，a1,2n1anan1(nN,n2)，求{an的通項(xiàng)公式。7{a}19規(guī)律：。8．已知數(shù)列{an}，知足，a1=2,an+1=2an+1,求{an}的通項(xiàng)公式。9．已知數(shù)列{an}，知足，a1=1,an+1=3an+1,求{an}的通項(xiàng)公式。點(diǎn)擊：an1kanb型通項(xiàng)公式可用此法。10*．a(chǎn)15,an12ann5，求{an}的通項(xiàng)公式。11*.已知數(shù)列{an}a11,an12an2n，求{an}的通項(xiàng)公式。*已知數(shù)列n}a11,an13an2n，求{an}的通項(xiàng)公式。12.{a13*.a15,an12ann5，求{an}的通項(xiàng)公式。點(diǎn)擊：a15,an1kanf(n)型通項(xiàng)公式可用此法。遞推公式的變形1．已知數(shù)列{an}，知足，a1=1,an12an1anan0，求{an}的通項(xiàng)公式。2．已知數(shù)列n}，知足，1an15an求{an}的通項(xiàng)公式。2{aa=1,5an203．項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，(n1)an21nan2an1an0，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。四．Sn與an的互相轉(zhuǎn)變1．已知數(shù)列{an}知足，a11,an2SnSn1,(n2)，（1）問數(shù)列{1}能否為等2Sn差數(shù)列。（2）求Sn和an.2．已知數(shù)列{an}知足，Sn2ann，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。3．已知數(shù)列{an}，知足log2(1Sn)n1，求通項(xiàng)an.4．已知數(shù)列{an}知足，S14，當(dāng)n2時(shí)，an1(SnSn1),求Sn和an.25．正數(shù)數(shù)列{an}，2Snan1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。216．（05，山東）已知數(shù)列{an}，a15，前n項(xiàng)和為Sn，且Sn12Snn5(nN*)，（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。（2）求a12a23a3nan幾個(gè)必然嫻熟掌握的綜合題目1.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn且a1a2a33；a7a98求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.（2）設(shè)數(shù)列{bn}知足，bn1，求數(shù)列{bn}的前n和SnTn.2.（05濟(jì)南2模）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn是n的二次函數(shù)，且a12,a22,a36an.求Sn和na.3.已知數(shù)列{an}知足，a12a23a3nann(n1)(n2)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。224.數(shù)列數(shù)列{an}，知足a11，當(dāng)n2時(shí)，a1a2a3ann2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。5.設(shè)函數(shù)f(x)x，數(shù)列{an}中，a11，n2時(shí)，前n項(xiàng)和Sn知足Snf(Sn1)2x1（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（）設(shè)bSn，求{bn的前n項(xiàng)和T。2n16.已知點(diǎn)列Pn(an,bn)(nN)在直線L:y2x1上，且P1為L(zhǎng)與y軸的交點(diǎn)，數(shù)列an是公