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2DD一、 公式1.區(qū)域連通性的分類設(shè)D為平面區(qū)域,如果D內(nèi)任一簡單閉曲線所圍成的部分都屬于D,則稱D為平面單連通區(qū)域,否則稱為復(fù)連通區(qū)域.復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域3公式設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成,函數(shù)P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有Pdx

Qdyx

yQ

PLD(

)dxdy

(1)2.公式公式(1)稱其中L是D的取正向的邊界曲線.公式.4DLl他的左邊.O

x注P、Q在閉區(qū)域D上一階偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性;曲線L是封閉的,并且取正向.規(guī)定

邊界曲線L的正向當(dāng)觀察者沿邊界行走時,區(qū)域DyLD5D

{(

x,

y)1

(

x)

y

2

(

x),a

x

b}D

{(

x,

y)

1

(

y)

x

2

(

y),c

y

d

}證明(1)先對簡單區(qū)域證明:若區(qū)域D既是X

型又是Y

型即平行于坐標(biāo)軸的直線和L至多交于兩點.xyO

abdcD2y

(

x)ABCEx

2

(

y)y

1

(

x)x

1

(

y)6Dx

1

(

y)xQdxdy

c2Q(

(

y),

y)dy

CBE同理可證

Q(

x,

y)dy

dcdydc1Q(

(

y),

y)dyDPdx

Qdyx

yQ

P

)dxdy

L(EACQ(

x,

y)dyDdcddyQ(

x,

y)2

(

y

)1

(y

)dxx2

Q

(

y

)

1

(

y

)CBECAE

Q(

x,

y)dy

Q(

x,

y)dyLDQ

Px

yPdx

Qdy

)dxdy

(

L

Q(

x,

y)dyx

2

(

y)xyOdcABCE7DLL1D1D2D3x

yQ

P(

)dxdy

D積分區(qū)域的可加性(2)再對一般單連通區(qū)域證明:若區(qū)域D由一條按段滑的閉曲線圍成.(如圖)將D分成三個既是X

型又是Y

型的區(qū)域D1

,D2

,D3

.光y(Q

P

)dxdyD1

D2

D3

x2LL3L

Pdx

Qdy)1,23L

L

,(LD(

)dxdy1

2

3D

D

D(Q

P

)dxdyx

yx

yQ

P

)dxdyQ

P

(

x

y

)dxdyQ

Px

yQ

Px

y

)dxdy(1D2

(DD3L1

L2

Pdx

Qdy

Pdx

Qdy

L

Pdx

Qdy3DL1LL2L3D1D28D39L13LD由(2)知(Q

P

)dxdyx

y3L(

0,

0)AB

BA

CE

EC

L

Pdx

Qdy

(

L1,

L2

,

L3)2

L

AFC

CGA(3)

對復(fù)連通區(qū)域證明:對復(fù)區(qū)連通不區(qū)域D,格林閉公式(

Pdx

Qdy)2L

1L右端應(yīng)包括沿區(qū)域D的全部邊界的曲線積分,且邊界的方向?qū)^(qū)域D來說都是正向.GFCEAL2BLDP

Q

xd

xPQdyxy

d

d公式的實質(zhì)溝通了沿閉曲線的積分與二重積分之間的聯(lián)系.便于

形式:

DPdx

Qdyx

yQ

P

)dxdy

L(102dxdy

L

xdy

ydx(1)計算平面閉區(qū)域面積3.簡單應(yīng)用Q

Px

y)dxdyL

y

xPdx

QdyD(公式L2閉區(qū)域D的面積

A

1

xdy

ydx得D11xy例1

求橢圓x

a

cos

t,

y

b

sin

t,0

t

2解由公式得ab(cos2

t

sin2

t

)dtDOA

1220

ab所圍成的面積.12xdy

ydxA

L12.1(2)簡化曲線積分的計算例2計算I

Lye

ydx

(

xy3

xe

2

y)dy,其中L為圓周x2

y2

2x

的正向.解

P

e

y

,

Q

xy3

xe

y

2

yP

e

y

,

Q

y3

e

yy

xQ

P

y3x

y

對稱性由O2

xy公式有I

y3dxdy

0D13對平面閉曲線上的對坐標(biāo)曲線積分,當(dāng)Q

P

比較簡單時,常常考慮通過x

y公式化為二重積分來計算.P、Q在閉區(qū)域D上一階偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性;曲線L是封閉的,并且取正向.14例3

計算x(e

cos

y

m)dy,AOx(e

sin

y

my)dx

xQ

e

cos

y

mxQ

ex

cos

y,yP

ex

cos

y

m可知Q

P

mx

y非常簡單.其中⌒是從點A(a,0)到點O(0,0)的上半圓周AOx2

y2

ax.分析此積分路徑A⌒O

不是閉曲線!x但由P

e sin

y

my,OxyA(a,

0)1516Oxy為應(yīng)用公式再補充一段曲線,使之構(gòu)成閉曲線.因在補充的曲線上還要算曲線積分,所以補充的曲線要簡單,通常是補充與坐標(biāo)軸平行的Dmdxdy(ex

sin

y

my)dx

(ex

cos

y

m)dy

AO

OA解

由

公式281

ma直線段.因而這里補加直線段OA.a00dx

故0

1

ma2

0

1

ma2

.8

8

所以,

I

AO

OA

OAOA的方程為y

0,

0

x

a0x

xOA

(e

sin

y

my)dx

(e

cos

y

m)dyA(a,

0)170(3)

簡化二重積分x

y

e

y2

dxdy

D以O(shè)(0,0),A(1,1),B(0,1)為頂點的三角形閉區(qū)域.2解

令

P

0,

Q

xe

y則

Q

P

e

y2例4

計算

e

y2

dxdy,其中D是公式D

xe

y2

dyOA

AB

BOOA

y2

xe

dy

AB

y2xe

dy

xe

y2

dyBO211

(1

e

)102xe

dx

x

0

0Ox1Ay1

BD18解分段光滑且不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線,L的方向為逆時針方向.記L所圍成的閉區(qū)域為D,例5Lxdy

ydx

,

其中L為一條無重點,x2

y2計算令P

y

xx2

y2

x2

y2,

Q

則當(dāng)x2

y2

0時有Q

xy2

x2

P(

x2

y2

)2

y19LLxdy

ydx

0x2

y2(1)當(dāng)(0,0)

D時即L為不包圍原點的任一閉曲線.(2)當(dāng)(0,0)

D時即L為包圍原點在內(nèi)的任一由

公式LDQ

Px

yPdx

Qdy)dxdy

(Q

Pxy閉曲線.作位于D內(nèi)圓周

l

:x2

y2

a2記D1由L和l所圍成,應(yīng)用由

公式,得DLxyO1DDalxyO20x2

y2xdy

ydx

d02

a2

cos2

a2

sin

2

2aLLx2

y2xdy

ydx

2注意公式的條件

dxdy

Q

P

0

∴0lx2

y2xdy

ydx

y

a

sin

x

a

cos1D

x

y

Q

Pxylx2

y2xdy

ydx其中l(wèi)

的方向取逆時針方向l

:

x2

y2

a2L1DalxyO練習(xí)計算L

(3

x

y)dy

(x

y)dx.L是圓周:分析如把圓周寫成參數(shù)方程:x

1

3

cos

,

y

4

(0

2

)再將線積分化為定積分計算,

則過程較麻煩.用

公式易求.答案:18(

x

1)2

(

y

4)2

921G1L2LPdx

QdyPdx

Qdy如果在區(qū)域G內(nèi)有二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件1.平面上曲線積分與路徑無關(guān)的定義AL1BL2則稱曲線積分L

Pdx

Qdy在G內(nèi)與路徑無關(guān),否則，稱與路徑有關(guān).22xyOP

Q曲線的曲線積分為零)的充要條件是

y

x在G

成立.L定理1

設(shè)開區(qū)域G是一個單連通域,函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則曲線積分

Pdx

Qdy在G內(nèi)與路徑無關(guān)(或沿G內(nèi)任意閉2.平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件23開區(qū)域G

是一個單連通域.(1)(2)函數(shù)P(

x,

y),

Q(

x,

y)

在G

內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).兩條件有關(guān)定理的說明：24若P

Qy

xP(

x,

y)dx

Q(

x,

y)dyA(

x0

,

y0

)1

1B(

x

,

y

)P(

x,

y

)dxxx100C(

x1

,y0

)B(

x1

,

y1

)yy100Q(

x

,

y)dy

D(x0

,

y1)yy101

Q(

x

,

y)dyP(

x,

y

)dxxx101或P(

x,

y)dx

Q(

x,

y)dyA(

x0

,

y0

)1

1B(

x

,

y

)則O25xy0

0A(

x

,

y

)xO解1523原式=x2

102x

dx104(1

y

)dy

Q

(

x2

2

xy)

2

xP

L例1

計算x2中L為2由點O(0,0)到點B(1,1)的曲線弧y

sin

x

.y

y

P

Qy

x積分在xoy面上與路徑無關(guān).yB(1,1)(1,1)(0,0)(1,0)26解P(x,y)

xy2

,y

yx

xP

(

xy

2

)

2

xy,

Q

[

y

(

x)]

y

(

x)Q(

x,

y)

y

(

x)P

Qy

x27積分與路徑無關(guān)設(shè)曲線積分與路徑無關(guān),L2

(

x)dyxy

dx

y其中

具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),且

(0)

0,(1,1)(0,0)2xy

dx

y

(

x)dy.計算例2即y

(

x)

2xyxyO01

0dx

22dy1(1,0)10ydy由y(x)

2xy

(x)

x2

C由

(0)

0,知C

0

(x)

x2(1,1)法一(1,1)(0,0)2xy

dx

y

(

x)dy(1,1)(0,0)28xy(0,1)O法二(1,1)(1,1)(0,0)2xy

dx

y

(

x)dy0

1102x

1

dx

0

021x212)1)0y

0dy

29yL

y

2

fy(

2

fy

xy

y,

1設(shè)函數(shù)f

(x)在(,)內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),

L是上半平面(y

>0)內(nèi)的有向分段光滑曲線,其起點為(a,b),終點為(c,d).記I證明曲線積分I

與路徑L無關(guān);當(dāng)ab

=cd

時,求I

的值.y

y

yy2x

xQ

{

x

[

y2

f

(

xy)

1]}

xyf

(

xy)y2(1)證

因為P

{

1

[1

y2

f

(

xy)]}

f

(

xy)

1所以在上半平面內(nèi)曲線積分I

與路徑L無關(guān).30(2)解(c,d

)所以I

bac12[1

b f

(bx)]dx由于曲線積分I

與路徑L無關(guān),yy2c

[

y2

f

(cy)

1]dydb

bc

aca

bf

(bx)dxc

cd

bc

ad

bdbc

f

(cy)dy

c

ad

bcdbcbcabf

(t

)dt

f

(t

)dt

0

xO31(c,

b)(a,b)32三、二元函數(shù)的全微分求積考慮表達式P(x,y)dx

Q(x,y)dy如果存在一個函數(shù)

u(x,y),使得du(

x,

y)

P(

x,

y)dx

Q(

x,

y)dy則稱P(x,y)dx

Q(x,y)dy為一全微分式,并將u

u(x,y)稱為P(x,y原函數(shù).由

d(

xy)

ydx

xdy例2xxdy

ydxd

,

x

y

y2

y

d

x

ydx

xdy

.x2y2可知:

ydx

xdy,

xdy

ydx

,

ydx

xdy都是全微分式.xy,

y

,

x

分別是上面的原函數(shù).x

y33定理3Q(x,y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則P(x,y)dx

Q(x,y)dy在G內(nèi)為某一函數(shù)u(x,y)的全微分的充要條件是等式P

Qy

x設(shè)開區(qū)域G是一個單連通域,

函數(shù)P(x,y),在G成立.

求原函數(shù)下面說明一般怎樣

判斷全微分式34x于是u

P(x,y),2u2u

Q

2

u因而

xy

yx

.

2

u即P

Q

.y

xyu

Q(

x,

y)

2

u

2

u由設(shè)P、Q的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),所以xy

,yx

連續(xù).xy

y

,Pyx

xP

Qy

x證必要性.設(shè)存在某一函數(shù)u(x,y),使得du(

x,

y)

P(

x,

y)dx

Q(

x,

y)dy35y

xP(

x,

y)dx

Q(

x,

y)dy.0

0(

x

,

y

)u(

x,

y)

P(

x,

y)dx

Q(

x,

y)dy.P

Q充分性.

設(shè)已知條件

在G成立.則u(

x,

y)

(

x0

,

y0

)由定理2可知:起點為M0(x0,y0),終點為M(x,y)的曲線積分在區(qū)域G內(nèi)與路徑無關(guān).于是把曲線積分寫作:(

x,

y)當(dāng)起點M0(x0,y0)固定時,此積分的值取決于終點M(x,y).上述積分x,y的函數(shù),記為u(x,y),即(

x

,

y

)36下面證明函數(shù)u(x,y)的全微分就是:P(x,y)dx

Q(x,y)dy.因為P(x,y),Q(x,y)都是連續(xù)的.因此只要證明x

y37u

P(

x,

y),

u

Q(

x,

y).其中用到下面的知識點:偏導(dǎo)數(shù)定義,曲線積分與路徑無關(guān),積分中值定理.若P

Qy

x0

0B(

x,

y)A(

x

,

y

)u(x,

y)

P(x,

y)dx

Q(x,

y)dy00xx0C(x,

y

)B(x,

y)00yyD(x0

,

y)0Q(x,

y)dyyyP(x,

y

)dx

0xxQ(x

,

y)dy

P(x,

y)dx或則O38xy0

0A(

x

,

y

)0

0B(

x,

y)A(

x

,

y

)u(x,

y)

P(x,

y)dx

Q(x,

y)dy例3問(ey

x)dx

(xe

y

2

y)dy如是,求其一個原函數(shù).解yP22

x2y

xe

yy所以上式是全微分式.全平面為單連通域，因而一個原函數(shù)是：(

x

,

y

)(0,0)(e

x)dx

(

xe

y

2

y)dyu(

x,

y)

yy(

xe

2

y)dy0x00(e

x)dxxyO法一在全平面成立

e

y

x(

x,0)39(x,y)法二這個原函數(shù)也可用下法“分組”湊出:(e

y

x)dx

(

xe

y

2

y)dy

(e

ydx

xe

ydy)

(

xdx

2

ydy)2

2

y

x2

d

xe

y2x2u(

x,

y)

2y

xe

yy402

y

2

d(

xe

)

d

x2u(

x,

y)

x

Px故u

(e

y

x)dx

(

y)y的待定函數(shù)

(

y)

2

yy

y

C2所以,

u(

x,

y)

e x

從而

(y)

2