量子躍遷課件

量子躍遷§5.6—5.9，共計4節(jié)，介紹與時間有關(guān)的微擾理論，即微擾哈密頓算符與時間有關(guān)。這里含時微擾主要用于討論原子能級的躍遷幾率問題。光譜分析中有兩個重要觀測量—譜線頻率與譜線強度，前者取決于能級躍遷的初末態(tài)能量之差，后者則與躍遷幾率成比例，因此躍遷幾率在光譜分析中是很重要的物理量。一、與時間有關(guān)的微擾理論

1、計算躍遷幾率的量子力學(xué)描述

當(dāng)t≦0時粒子處于本征態(tài)本征能量

量子躍遷§5.6—5.9，共計4節(jié)，介紹與時間有1滿足

定態(tài)波函數(shù)為

滿足方程當(dāng)t≧0時,加一個含時微擾波函數(shù)滿足方程

（1）

滿足定態(tài)波函數(shù)為（1）2

把按本征函數(shù)系{}展開其中展開系數(shù)其物理意義是什么？由量子力學(xué)原理知，時，體系處在定態(tài)；時，體系處在一系列可能態(tài)，處在的幾率，即從的躍遷幾率為：關(guān)鍵是如何求出展開系數(shù)要嚴(yán)格求解薛定諤方程通常是很困難的。只能采用含時微擾方法求解。（2）

把按本征函數(shù)系{32．計算躍遷幾率的含時微擾方法

將（2）式代入（1）式得上式推導(dǎo)過程中運用了將左乘上式得其中微擾矩陣元（3）

2．計算躍遷幾率的含時微擾方法將（2）式代入（1）式4玻爾條件

（3）式是一階微分方程組，未知元為是薛定諤方程在能量表象中的表示。原則上可由初始條件[時體系處在

態(tài)，這時]，求解（3）可得實際上無法精確求解，因為（1）方程個數(shù)無限多；（2）每個方程又含無限多個只能近似求解，注意到在方程式的右邊已含一級微量，則在考慮一級近似時用的零級近似代替玻爾條件（3）式是一階微分方程組，未知元為5得

最后得所以，從躍遷到的躍遷幾率為這就是用含時微擾方法計算躍遷幾率的一般公式。關(guān)鍵是求的矩陣元?？梢?，已知本征函數(shù)、本征值及

（4）

（5）

得最后得（4）（5）6二、躍遷幾率

這一節(jié)給出了在兩種具體含時微擾情況下：常微擾即0→t時間內(nèi)，=C；周期性微擾我們只介紹周期性微擾（光照射原子就屬于這種微擾）為便于下面計算，將上式寫成指數(shù)形式：與是未微擾前的哈密頓算符的本征態(tài)與能量

躍遷幾率公式為

二、躍遷幾率這一節(jié)給出了在兩種具體含時微擾情況下：躍遷幾率7先求

現(xiàn)結(jié)合物理具體情況要作進一步簡化A.當(dāng)微擾頻率~原子能級間頻率第一項忽略∵∴

對應(yīng)光吸收，原子向高能級激發(fā)躍遷

先求8B．當(dāng)微擾頻率~原子能級間頻率，第二項忽略∵∴對應(yīng)原子光發(fā)射（受激發(fā)射），原子向低能級躍遷C．當(dāng)微擾頻率不~原子能級間頻率±二項都忽略，對應(yīng)原子既不激發(fā)，也不躍遷。

總之，只有當(dāng)外界微擾頻率與原子能級間頻率相當(dāng)時，原子才會激發(fā)（吸收）或躍遷（發(fā)射）。（玻爾條件）

B．當(dāng)微擾頻率~原子能級間頻率9這樣

_號對應(yīng)吸收+號對應(yīng)受激發(fā)射當(dāng)t足夠長，利用與，得躍遷幾率：

這樣_號對應(yīng)吸收10單位時間躍遷幾率

的出現(xiàn)，反映了能級躍遷過程中的能量守恒，因為只有可以證明

即同一原子同樣二個能級之間的激發(fā)或躍遷的幾率一樣

單位時間躍遷幾率的出現(xiàn)，11三、光的吸收與發(fā)射

上一節(jié)介紹了在周期性微擾下原子受激發(fā)射與吸收的躍遷幾率的計算，但一般情況下，原子以自發(fā)發(fā)射為主，那么自發(fā)發(fā)射的躍遷幾率如何計算？這涉及到原子與光子的相互作用問題，處理光子要考慮相對論效應(yīng)，嚴(yán)格求解要用量子電動力學(xué)。本節(jié)介紹愛因斯坦的關(guān)于光的吸收與發(fā)射的半唯象理論，借助物體與輻射場平衡時的熱力學(xué)關(guān)系，建立起自發(fā)輻射(或自發(fā)發(fā)射)與受激輻射（或受激發(fā)射）、吸收的關(guān)系，從而由受激輻射的幾率求出自發(fā)輻射的幾率。

三、光的吸收與發(fā)射上一節(jié)介紹了在周期性微擾下原子受121、愛因斯坦的光吸收與發(fā)射理論

（1）光子輻射與吸收的三種過程、三種系數(shù)三種過程：吸收自發(fā)輻射受激輻射三種系數(shù)：a自發(fā)輻射系數(shù):----原子在單位時間自發(fā)從躍遷到，并發(fā)射光子的幾率。

1、愛因斯坦的光吸收與發(fā)射理論（1）光子輻射與吸13b．受激輻射系數(shù)-----在頻率從

范圍、強度為的光波作用下，原子在單位時間從

躍遷到，并發(fā)射光子的幾率為。

c．吸收系數(shù)------在頻率從范圍、強度為的光波作用下,原子在單位時間吸收光子后從激發(fā)到的幾率為。

注意三種系數(shù)不是同一物理量（2）三種系數(shù)、與之間的關(guān)系

b．受激輻射系數(shù)-----在頻142、由躍遷幾率公式計算、與（1）與、的關(guān)系：設(shè)則其中受激輻射

吸收我們只需求

2、由躍遷幾率公式計算、15（2）求

我們這里的含時微擾，是指在0→t時間內(nèi)光照射原子。以原子為原點，原子中電子位矢為。設(shè)偏振單色光沿Z方向傳播，單色光的電場是：原子中電子受到單色光的電場作用的能量為：由于原子大小~?，光波波長~?，所以z/λ~0,所以，偏振單色光照射原子的含時微擾項為：（2）求我們這里的含時微擾，是指在0→t時間內(nèi)光照射原子。16所以

說明一點：這里只考慮電場ε對電子的作用，忽略磁場B對電子的作用，因為可以估計出前者大于后者約100多倍（見書P163）。I()是指電磁波的能量密度，由電磁理論得所以說明一點：這里只考慮電場ε對電子的作用，忽略磁場B17（3）推廣到非單色光、非偏振光的情況實際上入射的光不是單色光，其頻率有一定的范圍所以應(yīng)對各種頻率引起的躍遷幾率相加：

實際上入射的光是各向同性、無偏振光，因此要對三個方向求平均

（3）推廣到非單色光、非偏振光的情況實際上入射的光不是單色光18（4）求三個系數(shù)

吸收系數(shù)這種含時微擾（一級近似）為電偶極近似，稱這樣的能級躍遷為電偶極躍遷受激輻射系數(shù)=吸收系數(shù)自發(fā)輻射系數(shù)求三個系數(shù)，關(guān)鍵是求三個矩陣元

（4）求三個系數(shù)吸收系數(shù)19四、選擇定則

在原子物理中，單電子能級躍遷選擇定則：現(xiàn)在我們用量子力學(xué)給選擇定則一個理論解釋。選擇定則來自于躍遷幾率是否為0，也即來自于三個輻射系數(shù)是否為0。三個輻射系數(shù)都與矩陣元有關(guān)。所以，只要看看什么情況下，就可以得到上述選擇定則。原子中電子在有心力場中運動，電子的波函數(shù)形式應(yīng)與氫原子的類似，，只有徑向部分有差別。

四、選擇定則在原子物理中，單電子能級躍遷選擇定則：201.計算利用

得所以，只有時2.計算1.計算利用21利用公式得因此，只有，時綜上1、2二點，得偶極選擇定則：說明：該選擇定則是在偶極近似下成立的?？赡苡羞@樣情況，偶極近似下是禁戒躍遷，但在更高級近似下是允許躍遷，則結(jié)果應(yīng)是允許躍遷。利用公式22量子躍遷§5.6—5.9，共計4節(jié)，介紹與時間有關(guān)的微擾理論，即微擾哈密頓算符與時間有關(guān)。這里含時微擾主要用于討論原子能級的躍遷幾率問題。光譜分析中有兩個重要觀測量—譜線頻率與譜線強度，前者取決于能級躍遷的初末態(tài)能量之差，后者則與躍遷幾率成比例，因此躍遷幾率在光譜分析中是很重要的物理量。一、與時間有關(guān)的微擾理論

1、計算躍遷幾率的量子力學(xué)描述

當(dāng)t≦0時粒子處于本征態(tài)本征能量

量子躍遷§5.6—5.9，共計4節(jié)，介紹與時間有23滿足

定態(tài)波函數(shù)為

滿足方程當(dāng)t≧0時,加一個含時微擾波函數(shù)滿足方程

（1）

滿足定態(tài)波函數(shù)為（1）24

把按本征函數(shù)系{}展開其中展開系數(shù)其物理意義是什么？由量子力學(xué)原理知，時，體系處在定態(tài)；時，體系處在一系列可能態(tài)，處在的幾率，即從的躍遷幾率為：關(guān)鍵是如何求出展開系數(shù)要嚴(yán)格求解薛定諤方程通常是很困難的。只能采用含時微擾方法求解。（2）

把按本征函數(shù)系{252．計算躍遷幾率的含時微擾方法

將（2）式代入（1）式得上式推導(dǎo)過程中運用了將左乘上式得其中微擾矩陣元（3）

2．計算躍遷幾率的含時微擾方法將（2）式代入（1）式26玻爾條件

（3）式是一階微分方程組，未知元為是薛定諤方程在能量表象中的表示。原則上可由初始條件[時體系處在

態(tài)，這時]，求解（3）可得實際上無法精確求解，因為（1）方程個數(shù)無限多；（2）每個方程又含無限多個只能近似求解，注意到在方程式的右邊已含一級微量，則在考慮一級近似時用的零級近似代替玻爾條件（3）式是一階微分方程組，未知元為27得

最后得所以，從躍遷到的躍遷幾率為這就是用含時微擾方法計算躍遷幾率的一般公式。關(guān)鍵是求的矩陣元?？梢姡阎菊骱瘮?shù)、本征值及

（4）

（5）

得最后得（4）（5）28二、躍遷幾率

這一節(jié)給出了在兩種具體含時微擾情況下：常微擾即0→t時間內(nèi)，=C；周期性微擾我們只介紹周期性微擾（光照射原子就屬于這種微擾）為便于下面計算，將上式寫成指數(shù)形式：與是未微擾前的哈密頓算符的本征態(tài)與能量

躍遷幾率公式為

二、躍遷幾率這一節(jié)給出了在兩種具體含時微擾情況下：躍遷幾率29先求

現(xiàn)結(jié)合物理具體情況要作進一步簡化A.當(dāng)微擾頻率~原子能級間頻率第一項忽略∵∴

對應(yīng)光吸收，原子向高能級激發(fā)躍遷

先求30B．當(dāng)微擾頻率~原子能級間頻率，第二項忽略∵∴對應(yīng)原子光發(fā)射（受激發(fā)射），原子向低能級躍遷C．當(dāng)微擾頻率不~原子能級間頻率±二項都忽略，對應(yīng)原子既不激發(fā)，也不躍遷。

總之，只有當(dāng)外界微擾頻率與原子能級間頻率相當(dāng)時，原子才會激發(fā)（吸收）或躍遷（發(fā)射）。（玻爾條件）

B．當(dāng)微擾頻率~原子能級間頻率31這樣

_號對應(yīng)吸收+號對應(yīng)受激發(fā)射當(dāng)t足夠長，利用與，得躍遷幾率：

這樣_號對應(yīng)吸收32單位時間躍遷幾率

的出現(xiàn)，反映了能級躍遷過程中的能量守恒，因為只有可以證明

即同一原子同樣二個能級之間的激發(fā)或躍遷的幾率一樣

單位時間躍遷幾率的出現(xiàn)，33三、光的吸收與發(fā)射

上一節(jié)介紹了在周期性微擾下原子受激發(fā)射與吸收的躍遷幾率的計算，但一般情況下，原子以自發(fā)發(fā)射為主，那么自發(fā)發(fā)射的躍遷幾率如何計算？這涉及到原子與光子的相互作用問題，處理光子要考慮相對論效應(yīng)，嚴(yán)格求解要用量子電動力學(xué)。本節(jié)介紹愛因斯坦的關(guān)于光的吸收與發(fā)射的半唯象理論，借助物體與輻射場平衡時的熱力學(xué)關(guān)系，建立起自發(fā)輻射(或自發(fā)發(fā)射)與受激輻射（或受激發(fā)射）、吸收的關(guān)系，從而由受激輻射的幾率求出自發(fā)輻射的幾率。

三、光的吸收與發(fā)射上一節(jié)介紹了在周期性微擾下原子受341、愛因斯坦的光吸收與發(fā)射理論

（1）光子輻射與吸收的三種過程、三種系數(shù)三種過程：吸收自發(fā)輻射受激輻射三種系數(shù)：a自發(fā)輻射系數(shù):----原子在單位時間自發(fā)從躍遷到，并發(fā)射光子的幾率。

1、愛因斯坦的光吸收與發(fā)射理論（1）光子輻射與吸35b．受激輻射系數(shù)-----在頻率從

范圍、強度為的光波作用下，原子在單位時間從

躍遷到，并發(fā)射光子的幾率為。

c．吸收系數(shù)------在頻率從范圍、強度為的光波作用下,原子在單位時間吸收光子后從激發(fā)到的幾率為。

注意三種系數(shù)不是同一物理量（2）三種系數(shù)、與之間的關(guān)系

b．受激輻射系數(shù)-----在頻362、由躍遷幾率公式計算、與（1）與、的關(guān)系：設(shè)則其中受激輻射

吸收我們只需求

2、由躍遷幾率公式計算、37（2）求

我們這里的含時微擾，是指在0→t時間內(nèi)光照射原子。以原子為原點，原子中電子位矢為。設(shè)偏振單色光沿Z方向傳播，單色光的電場是：原子中電子受到單色光的電場作用的能量為：由于原子大小~?，光波波長~?，所以z/λ~0,所以，偏振單色光照射原子的含時微擾項為：（2）求我們這里的含時微擾，是指