評(píng)價(jià)相對(duì)有效性的DEA模型-清晰講解

決策理論與方法華長(zhǎng)生江西財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與管理工程系Email:huachsh@課程網(wǎng)站：/skyclass/1第5章多目標(biāo)決策分析

5.1多目標(biāo)決策的目標(biāo)準(zhǔn)則體系5.2多維效用并合方法5.3層次分析方法(AHP)

5.4數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(DEA)5.5主成分分析法(PCA)5.6目標(biāo)規(guī)劃方法2評(píng)價(jià)相對(duì)有效性的DEA模型

——決策方法的新領(lǐng)域5.4DEA模型3

1978年由著名的運(yùn)籌學(xué)家A.Charnes(查恩斯),W.W.Cooper(庫(kù)伯),及E.Rhodes(羅茲)首先提出了一個(gè)被稱為數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DataEnvelopmentanalysis,簡(jiǎn)稱DEA模型）的方法，用于評(píng)價(jià)相同部門間的相對(duì)有效性（因此被稱為DEA有效）.他們的第一個(gè)模型被命名為C2R模型.從生產(chǎn)函數(shù)的角度看,這一模型是用來(lái)研究具有多個(gè)輸入,特別是具有多個(gè)輸出的“生產(chǎn)部門”同時(shí)為“規(guī)模有效”與“技術(shù)有效”的十分理想且卓有成效的方法.1985年查恩斯,庫(kù)伯,格拉尼(B.Golany),賽福德(L.Seiford)和斯圖茨(J.Stutz)給出另一個(gè)模型(稱為C2GS2模型),這一模型用來(lái)研究生產(chǎn)部門間的“技術(shù)有效性”.5.4DEA模型4

1987年查恩斯,庫(kù)伯,魏權(quán)齡和黃志明又得到了稱為錐比率的數(shù)據(jù)包絡(luò)模型——C2WH模型。這一模型可用來(lái)處理具有過(guò)多的輸入及輸出的情況,而且錐的選取可以體現(xiàn)決策者的“偏好”.靈活地應(yīng)用這一模型,可以將C2R模型中確定出的DEA有效決策單元進(jìn)行分類或排隊(duì).

數(shù)據(jù)包絡(luò)分析是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)新的研究領(lǐng)域.查恩斯和庫(kù)伯等人的第一個(gè)應(yīng)用DEA的十分成功的案例,就是評(píng)價(jià)為弱智兒童開(kāi)設(shè)公立學(xué)校項(xiàng)目的效果.在評(píng)估中,輸出包括“自尊”等無(wú)形的指標(biāo);輸入包括父母的照料和父母的文化程度等,無(wú)論哪種指標(biāo)都有無(wú)法與市場(chǎng)價(jià)格相比較,也難以輕易定出適當(dāng)?shù)臋?quán)重(權(quán)系數(shù)),這也是DEA的優(yōu)點(diǎn)之一.DEA的優(yōu)點(diǎn)吸引眾多的應(yīng)用者,應(yīng)用范圍已擴(kuò)展到美國(guó)軍用飛機(jī)的飛行,基地維修與保養(yǎng),以及陸軍征兵,城市,銀行5.4DEA模型5等方面.目前,這一方法應(yīng)用的領(lǐng)域在不斷地?cái)U(kuò)大.它也可以用來(lái)研究多種方案之間的相對(duì)有效性(例如投資項(xiàng)目的評(píng)價(jià));研究在決策之前去預(yù)測(cè)一旦做出決策后它的相對(duì)效果如何(例如建立新廠后,新廠相對(duì)于已有的一些工廠是否為有效).DEA是對(duì)其決策單元（同類型的企業(yè)或部門）的投入規(guī)模、技術(shù)有效性作出評(píng)價(jià)，即對(duì)各同類型的企業(yè)投入一定數(shù)量的資金、勞動(dòng)力等資源后，其產(chǎn)出的效益（經(jīng)濟(jì)效益和社會(huì)效益）作一個(gè)相對(duì)有效性評(píng)價(jià)。為了說(shuō)明DEA模型的建模思路，我們看下面的例子5.4DEA模型6

某公司有甲、乙、丙三個(gè)企業(yè)，收集到反映其投入（固定資產(chǎn)年凈值x1、流動(dòng)資金x2、職工人數(shù)x3）和產(chǎn)出（總產(chǎn)值y1、利稅總額y2）的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表企業(yè)指標(biāo)甲乙丙x1（萬(wàn)元）41527x2（萬(wàn)元）1545x3（人）825y1（萬(wàn)元）602224y2（萬(wàn)元）1268實(shí)例評(píng)價(jià)這幾個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)效率。5.4DEA模型7

由于投入指標(biāo)和產(chǎn)出指標(biāo)都不止一個(gè)，故通常采用加權(quán)的辦法來(lái)綜合投入指標(biāo)值和產(chǎn)出指標(biāo)值。

對(duì)于第一個(gè)企業(yè)，產(chǎn)出綜合值為60u1+12u2，投入綜合值為4v1+15v2+8v3，我們定義第一個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)效率為：總產(chǎn)出與總投入的比即假定u1,u2,v1,v2,v3分別為產(chǎn)出與投入的權(quán)重系數(shù)5.4DEA模型8類似，可知第二、第三個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)效率分別為：我們限定所有的生產(chǎn)效率hj值不超過(guò)1,即,這意味著，若第k個(gè)企業(yè)hk=1，則該企業(yè)相對(duì)于其他企業(yè)來(lái)說(shuō)生產(chǎn)率最高，或者說(shuō)這一生產(chǎn)系統(tǒng)是相對(duì)有效的，若hk<1，那么該企業(yè)相對(duì)于其他企業(yè)來(lái)說(shuō)，生產(chǎn)效率還有待于提高，或者說(shuō)這一生產(chǎn)系統(tǒng)還不是有效的。5.4DEA模型9即因此，建立第一個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)效率最高的優(yōu)化模型如下：這是一個(gè)分式規(guī)劃，需要將它化為線性規(guī)劃才能求解。5.4DEA模型10分式規(guī)劃化為線性規(guī)劃5.4DEA模型115.4DEA模型12對(duì)偶規(guī)劃5.4DEA模型135.4DEA模型14企業(yè)指標(biāo)甲乙丙x1（萬(wàn)元）41527x2（萬(wàn)元）1545x3（人）825y1（萬(wàn)元）602224y2（萬(wàn)元）1268投入產(chǎn)出5.4DEA模型15總結(jié)1.假定u1,u2,v1,v2,v3分別為產(chǎn)出與投入各指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)2.定義各企業(yè)的生產(chǎn)效率5.4DEA模型16建立各企業(yè)的生產(chǎn)效率最高的優(yōu)化模型(分式規(guī)劃)如4.將分式規(guī)劃轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)P如5.4DEA模型175.再將LP轉(zhuǎn)化為對(duì)偶規(guī)劃5.4DEA模型18設(shè)有n個(gè)同類型的企業(yè)（也稱決策單元），對(duì)于每個(gè)企業(yè)都有m種類型的“輸入”（表示該單元對(duì)“資源”的消耗）以及p種類型的“輸出”（表示該單元在消耗了“資源”之后的產(chǎn)出）。這n個(gè)企業(yè)及其輸入-輸出關(guān)系如下：評(píng)價(jià)決策單元技術(shù)和規(guī)模綜合效率的C2R模型5.4DEA模型19……:………:……y1ny2n:ypny1jy2j:ypj……:…y12y22:yp2y11y21:yp1u1u2:up12:p輸出x1nx2n:xmnx1jx2j:xmj……:…x12x22:xm2x11x21:xm1v1v2:vm12:m投入nj…21

部門指標(biāo)

權(quán)數(shù)投入產(chǎn)出數(shù)據(jù)表5.4DEA模型20每個(gè)決策單元的效率評(píng)價(jià)指數(shù)j=1,2,…,n每個(gè)決策單元相應(yīng)的效率評(píng)價(jià)指數(shù)5.4DEA模型21而第j0個(gè)決策單元的相對(duì)效率優(yōu)化評(píng)價(jià)模型為：

s.t.

vi,ur≥0,i=1,2,…,m;r=1,2,…,p

（1）5.4DEA模型22上述模型中xij,yrj為已知數(shù)（可由歷史資料或預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)得到），vi,ur為變量。模型的含義是以權(quán)系數(shù)vi,ur為變量，以所有決策單元的效率指標(biāo)hj為約束，以第j0個(gè)決策單元的效率指數(shù)為目標(biāo)。即評(píng)價(jià)第j0個(gè)決策單元的生產(chǎn)效率是否有效，是相對(duì)于其他所有決策單元而言的。5.4DEA模型23這是一個(gè)分式規(guī)劃模型，我們必須將它化為線性規(guī)劃模型才能求解。為此，令（2）5.4DEA模型24（2）寫(xiě)成向量形式有:5.4DEA模型25其對(duì)偶問(wèn)題為：（3）5.4DEA模型26寫(xiě)成向量形式有：s.t.（4）

minθ5.4DEA模型27分量形式5.4DEA模型285.4DEA模型29當(dāng)且僅當(dāng)（D）的目標(biāo)值θ＝1時(shí)，決策單元j0

相對(duì)于其它決策單元來(lái)說(shuō)是有效的。5.4DEA模型30經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的相對(duì)有效性5.4DEA模型31情況1（產(chǎn)出方面）：一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)如果有可能增加其中某一產(chǎn)出的數(shù)量而不增加任何投入也不減少任何其它產(chǎn)出，那么我們認(rèn)為這個(gè)系統(tǒng)不是有效的。5.4DEA模型32情況2（投入方面）：一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)如果有可能減少其中某一投入的數(shù)量而不增加任何其它投入也不減少任何產(chǎn)出，那么我們認(rèn)為這個(gè)系統(tǒng)不是有效的。5.4DEA模型33一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，當(dāng)且僅當(dāng)既不出現(xiàn)情況1也不出現(xiàn)情況2時(shí)，我們認(rèn)為這個(gè)系統(tǒng)是有效的。5.4DEA模型34若干省份相對(duì)生產(chǎn)率水平比較以各省全部獨(dú)立核算工業(yè)企業(yè)為對(duì)象

安徽福建江西湖北湖南固定資產(chǎn)932.66852.88583.081306.56936.84流動(dòng)資金980.45922.83581.641444.30849.31從業(yè)人數(shù)401.8281.90294.2461.00443.20利稅總額179.29145.2049.76181.41144.20

總產(chǎn)值