數(shù)學(xué)建模投資問題

1.問題重述某銀行經(jīng)理計劃用一筆資金進(jìn)行有價證券的投資，可供購進(jìn)的證券以及其信用等級、到期年限、收益如下表所示。按照規(guī)定，市政證券的收益可以免稅，其他證券的收益需按照50%的稅率納稅。此外還有以下限制：(1)政府及代辦機(jī)構(gòu)的證券總共至少要購進(jìn)400萬元；(2)所購證券的平均信用等級不超過(信用等級數(shù)字越小，信用程度越高)；(3)所購證券的平均到期年限不超過5年。證券名稱證券種類信用等級到期年限到期稅前收益(%)A市政29B代辦機(jī)構(gòu)215C政府14D政府13E市政52(1)若該經(jīng)理有1000萬元資金，應(yīng)如何投資？(2)如果能夠以%的利率借到不超過100萬元資金，該經(jīng)理應(yīng)如何操作？(3)在1000萬元資金情況下，若證券A的稅前收益增加為％，投資應(yīng)否改變？若證券C的稅前收益減少為％，投資應(yīng)否改變?2.模型的假設(shè)⑴假設(shè)該投資為連續(xù)性投資，即該經(jīng)理投資不會受到年限過長而導(dǎo)致資金周轉(zhuǎn)困難的影響；⑵假設(shè)證券稅收政策穩(wěn)定不變而且該經(jīng)理優(yōu)先考慮可以免稅的市政證券的情況下再考慮其他證券種類以節(jié)約成本；⑶假設(shè)各證券之間相互獨立而且各自的風(fēng)險損失率為零。(4)假設(shè)在經(jīng)理投資之后，各證券的信用等級、到期年限都沒有發(fā)生改變；⑸假設(shè)投資不需要任何交易費或者交易費遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于投資金額和所獲得的收益,可以忽略不計；(6)假設(shè)所借貸資金所要支付的利息不會隨時間增長，直接等于所給的利率乘上借貸資金。3.符號說明X1:投資證券A的金額(百萬元)；X2:投資證券A的金額(百萬元)；X3:投資證券A的金額(百萬元)；X4:投資證券A的金額(百萬元)；X5:投資證券A的金額(百萬元)；Y：投資之后所獲得的總收益(百萬元)；.問題分析對于該經(jīng)理根據(jù)現(xiàn)有投資趨勢，為解決投資方案問題，運用連續(xù)性投資模型，根據(jù)所給的客觀的條件，來確定各種投資方案，并利用線性規(guī)劃模型進(jìn)行選擇方案，以獲得最大的收益。問題一，該經(jīng)理優(yōu)先考慮可以免稅的市政證券的情況下再考慮其他證券種類以節(jié)約成本，我們可以在所提出的假設(shè)都成立的前提下（尤其是假設(shè)所借貸資金所要支付的利息不會隨時間增長，直接等于所給的利率乘上借貸資金）以及綜合考慮約束資金和限制條件，將1000萬元的資金按照一定的比例分別投資個各種證券。而該如何分配呢？怎樣地分配才是最合理的呢？我們通過建立一個線性規(guī)劃模型來解決這個問題。由所給的表格知證券A（市政），B（代辦機(jī)構(gòu)），C（政府），D（政府），E（市政）的信用等級分別為2,2,1,1,5,到期年限分別為9,15,4,3,2,1,到期稅前收益（%）分別為,，，，（市政證券的收益可以免稅，其他的收益按50%的稅率納稅）以及政府及代辦機(jī)構(gòu)的證券總共至少要購進(jìn)400萬元，所購證券的平均信用等級不超過（信用等級數(shù)字越小，信用程度越高），所購證券的平均到期年限不超過5年這三個約束條件,不妨設(shè)投資證券A,B,C,D,E的金額分別為x1,x2,x3,x4,x5,建立線性規(guī)劃模型，用lingo或者lindo軟件求解即可得出最優(yōu)投資方案和最大利潤。問題二中的解決方法和問題一中的解決方法是一樣的，只不過在求解時需要進(jìn)行靈敏度分析利用問題一的模型，把借貸的1百萬元在投資后所獲得的收益與借貸所要付出的利息作比較，即與％的利率借到的1百萬元資金的利息比較，若大于，則應(yīng)借貸；反之，則不借貸。若借貸，投資方案需將問題一模型的第二個約束條件右端10改為11,用lingo軟件求解即可得出最優(yōu)方案以及最大收益。而對問題三，是否該改變要看最優(yōu)解是否改變，如果各證券所對應(yīng)的字?jǐn)?shù)在最優(yōu)解不變的條件下目標(biāo)函數(shù)允許的變化范圍內(nèi)，則不應(yīng)該改變投資方案，反之則改變投資方案。即證券A所對應(yīng)的系數(shù)只取決于到期稅前收益，而證券C所對應(yīng)的系數(shù)取決于到期稅前收益和其收益所需的稅額。同樣的通過在問題一的靈敏度分析結(jié)果中可以知道最優(yōu)解不變的條件下目標(biāo)函數(shù)系數(shù)所允許的變化范圍，根據(jù)題中證券A和證券C所對應(yīng)的系數(shù)系數(shù)改變即可決定投資方案是否應(yīng)改變。.模型的建立與求解問題一的求解：在提出的假設(shè)條件成立的前提下，根據(jù)題目給出的限制條件以及各種證券的信息（政府及代辦機(jī)構(gòu)的證券總共至少要購進(jìn)4百萬元；所購證券的平均信用等級不超過；所購證券的平均到期年限不超過5年），設(shè)投資證券A、證券B、證券C、證券D、證券E的金額分別為：X1、X2、X3、X4、X5（百萬元），投資之后獲得的總收益為Y百萬元。對于平均信用等級和平均到期年限的求解，我們可以用加權(quán)算術(shù)平均值的算法求得，即用各個信用等級（平均到期年限）乘以相應(yīng)的權(quán)，然后相加，所得之和再除以所有的權(quán)之和。在1000萬元的資金約束條件下，另外考慮到證券B、C、D的收益都需按照50%的稅率納稅，我們可以建立如下的線性規(guī)劃模型：MaxY=+*X2+*X3+*X4+■X2+X3+X4>=4X1+X2+X3+X4+X5<=10(2X1+2X2+X3+X4+5X5)/(X1+X2+X3+X4+X5)<二(X1+15X2+4X3+3X4+2X5)/(X1+X2+X3+X4+X5)<=5將上面模型進(jìn)行整理后可得：MaxY=++++X2+X3+X4>=4X1+X2+X3+X4+X5<=106X1+6X2-4X3-X4+36X5<=04X1+10X2-X3-2X4-3X5<=0用LINGO求解可得Y=，X1=，X3=，X5=。從結(jié)果上看出最優(yōu)解方案不投資證券B和證券D,綜合考慮它們的信用等級、到期年限和到期稅前收益以及所要繳納的稅額我們可知這是合理的。因為證券B的到期稅前收益雖然是五種證券中最高的，但是它的到期年限過長不適合考慮，而證券D的到期稅前收益相對過低而且還需按50%的稅率納稅，也不應(yīng)該考慮。而對證券A的投資金額是最高的，首先由于不考慮證券B、D的投資了，而又要求政府和代辦機(jī)構(gòu)的證券至少要投資4萬元，而上述方案中證券C的投資金額為百萬元，這是符合要求的，另外綜合考慮信用等級和到期年限，證券A的信用等級最低而且到期年限也相對比較合適，我們也應(yīng)該優(yōu)先考慮證券A。而對于證券E,其信用等級過高，幾乎可認(rèn)為是不可信的了，但又考慮到它的收益可以免稅，所以我們可以稍微對它投資一些數(shù)額不多的金額，這也是合理的。而當(dāng)對證券C和E的投資金額確定后，證券A的也就確定了。綜上所述，我們可認(rèn)為這個最優(yōu)解方案是合理的。問題二的求解：首先對問題一的求解后的影子價格分析可以知道，投資金額每增加100萬元，收益可增加百萬元，而借貸100萬元所要支付的利息是百萬元，比百萬元少，所以應(yīng)該借貸這100萬元。這時候問題的求解還是如同問題一一樣建立一個線性規(guī)劃模型來求出最優(yōu)解，模型如下：(此時只是對問題一的模型中的第二個約束條件作了改變)MaxY=+*X2+*X3+*X4+■X2+X3+X4>=4X1+X2+X3+X4+X5<=11(2X1+2X2+X3+X4+5X5)/(X1+X2+X3+X4+X5)<=(X1+15X2+4X3+3X4+2X5)/(X1+X2+X3+X4+X5)<=5同樣地，將上面模型進(jìn)行整理后可得：MaxY=++++X2+X3+X4>=4X1+X2+X3+X4+X5<=116X1+6X2-4X3-X4+36X5<=04X1+10X2-X3-2X4-3X5<=0用LINGO求解可得：Y=，X1=,X3=,X5=。即應(yīng)投資證券A百萬元，證券C百萬元，證券E百萬元。此時收益總額為百萬元，再減去所要支付的利息百萬元，還剩百萬元，比問題一中的收益總額百萬元還要多，這也證明了借貸100萬元來投資明智的選擇。（我們看到此時的收益總額百萬元減去為百萬元，并不與其影子價格百萬元相符合。考慮到計算機(jī)在運算過程中對有效數(shù)字的取舍所帶來的一點點偏差，我們認(rèn)為這點偏差是可以接受的。）問題三的求解：從問題一的靈敏度分析結(jié)果中知道，最優(yōu)解不變的條件下目標(biāo)函數(shù)系數(shù)允許的變化范圍：X1的系數(shù)為（，+）,即（，），X3的系數(shù)為（，+）,即（，），當(dāng)證券A的稅前收益增加為％時，其在目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)為，在最優(yōu)解不變的條件下目標(biāo)函數(shù)系數(shù)允許的變化范圍內(nèi)，所以投資方案不應(yīng)該改變。當(dāng)證券C的稅前收益減少為%時，其在目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)為，不在X3允許的變化范圍內(nèi)，因此投資方案必須改變，重新找到一個最優(yōu)解方案才能使銀行經(jīng)理獲得最大收益值。.模型評價根據(jù)現(xiàn)有投資趨勢，為解決投資方案問題，運用連續(xù)性投資模型，根據(jù)客觀的條件，來確定各種投資方案，并利用改進(jìn)的線性規(guī)劃模型進(jìn)行選擇方案，以獲得最大的收益，在此基礎(chǔ)上選擇方案進(jìn)行合理的方案評價。最后通過例題分析獲得了實踐證明。在分析連續(xù)投資模型的基礎(chǔ)上，對其在實際生活中的應(yīng)用進(jìn)行了推廣，將其應(yīng)用到虛擬游戲設(shè)計和農(nóng)作物連續(xù)種植等中間，連續(xù)投資模型也會產(chǎn)生很大的經(jīng)濟(jì)效益。連續(xù)性投資模型的應(yīng)用原理符合實際，解決了投資中方案確定的難題，對各種投資問題都有很重要的參考意義。.參考文獻(xiàn)[1]張杰，周碩，郭麗杰，運籌學(xué)模型與實驗，中國電力出版社，2007[2]韓中庚，宋明武，邵廣紀(jì)，數(shù)學(xué)建模競賽，科學(xué)出版社，2007[3]姜啟源，鞋金星，葉俊，數(shù)學(xué)模型（第三版），高等教育出版社，2003[4]費業(yè)泰，誤差理論與數(shù)據(jù)處理（第五版），合肥工業(yè)大學(xué)，2004.附錄LINGO代碼:模型一：Max=*x1+*x2+*x3+*x4+*x5;x2+x3+x4>=4;x1+x2+x3+x4+x5<=10;6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5<=0;4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0;運行結(jié)果：（進(jìn)行靈敏度分析）Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:Totalsolveriterations: 3Variable Value ReducedCostX1X2X3X4X5RowSlackorSurplusDualPrice12345Rangesinwhichthebasisisunchanged:ObjectiveCoefficientRangesCurrent Allowable AllowableVariableCoefficient Increase DecreaseX1X2 INFINITYX3X4 INFINITYX5RighthandSideRangesRowCurrentAllowableAllowableRHSIncreaseDecrease2INFINITY3INFINITY45模型二:Max=*x1+*x2+*x3+*x4+*x5;x2+x3