可分離變量的微分方程

§2一階微分方程【目的要求】1、會熟練求解一階變量可分離微分方程、齊次微分方程；2、熟練求解一階微分方程的通解及滿足初始條件的特解．【重點難點】1、微分方程的階、通解與特解等概念；分離變量法；2、利用微分方程建立數(shù)學(xué)模型．【教學(xué)內(nèi)容】本節(jié)我們討論一般形式為F(羽y,y')=0的一些解法.在一定條件下,上式可表示為y'=f(x,y).一、可分離變量的微分方程形如￥=f(x)?g(y)(或g(y),dy=f(x)?dx)dx的微分方程稱為可分離變量的微分方程,即，能把微分方程寫成一端只含y的函數(shù)和dy,另一端只含x的函數(shù)和dx.可分離變量的微分方程的解法：第一步分離變量，將方程寫成g(y)-dy=f(x)?dx的形式；第二步兩端積分，得』g(y)dyJf(x)dx,設(shè)積分后得G(y)=f(x)+c；第三步求出由G(y)=F(x)+C所確定的隱函數(shù)y=O(x)或x=￥(y),則G(y)=F(x)+C,y=o(x)或x=￥(y)都是方程的通解，其中G(y)=F(x)+C稱為隱式(通)解.例1求微分方程華=2xy的通解.dx解此方程為可分離變量方程，分離變量后得—dy=2xdxy兩邊積分得J1dyJ2xdx

y即InIy1=x2+C,從而y=±ex2+C1=±ec1ex2.因為土eC1仍是任意常數(shù)，把它記作C,便得所給方程的通解y=Cex2.例設(shè)降落傘從跳傘塔下落后，所受空氣阻力與速度成正比，并設(shè)降落傘離開跳傘塔時速度為零.求降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系.解設(shè)降落傘下落速度為v(t),降落傘所受外力為F=mg-kv(k為比例系數(shù)).根據(jù)牛頓第二運(yùn)動定律F=ma,得函數(shù)v(t)應(yīng)滿足的方程為mdv=mg-kvdt初始條件為v=0t=0方程分離變量，得dv_dtmg一kvm兩邊積分，得J鼻Jm，-21n(mg-kv)=L+C

km1即v=等+Ce-一m(C二-中),將初始條件v=0代入通解得C=一半，t=0k于是降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系為v=7(1-e-).k例3求微分方程華=1+x+y2+xy2的通解.dx解方程可化為d=(1+x)(1+y2)，分離變量得—1—dy=(1+x)dx1+y2'兩邊積分得J—1—dyJ(1+x)dx

1+y2'于是原方程的通解為尸tan(2x2+x+C).二、齊次微分方程我們遇到的許多方程不是可分離變量的微分方程,但可以根據(jù)方程的特點,把所給的方程轉(zhuǎn)化為可分離變量的方程.下面介紹的齊次方程就是一種可化為分離變量的方程.TOC\o"1-5"\h\z如果一階微分方程孚=f(x,y)中的函數(shù)f(x,y)可寫成y的函數(shù)，即dxxf(x,y)=隼(y),則稱d=隼(y)為齊次方程.xdxx齊次方程的解法：在齊次方程半=隼(y)中，令u=工即y=",有dxxxduu+x=隼(u)dx分離變量，得du_dx隼(u)-ux?兩端積分，得JduJdx隼(u)-ux?求出積分后，再用y代替u,便得所給齊次方程的通解.

例4求微分方程y2+x2dy=xydy的通解.dxdx解原方程可寫成dxxy一x2因此原方程是齊次方程令y=u，則y=ux,半=u+x半,xdxdx于是原方程變?yōu)閐u_u2dxu-1duuxdx一^一1分離變量，得1dx(1--)du=——ux兩邊積分，得u-lnIuI+C=InIxI,即，InIxu1=u+C.則所給方程的通解為InIyI=y+C.x例5求微分方程(x2+y2)dx-xydy=0的通解.解原方程可寫為dy_x2+y2_1+(a)2==x——dxxyyxTOC\o"1-5"\h\zdydu—=u+x——.dxdx于是原方程變?yōu)閐u1+u21于是原方程變?yōu)閡+x—==—+u.dxuu即分離變量即分離變量，得du1x——=—dxuudu=1dx

x兩邊積分，得

——=lnx+InC2i所以原方程的解為：y2=x2ln(Cx2).例6求解微分方程xdy=ylny的通解.dxx解原方程可寫為令u解原方程可寫為令u=工得y=ux,dxdx于是原方程變?yōu)榉蛛x變量,得兩邊積分,得即所以原方程的解為：ydy-y1nyindxxxdu—u+x——.dxduu+x———uInu.dxdu1——dxu(lnu-1)x1n(1nu一1)—Inx+InCInu-1—Cxxecx+i.三、一階線性微分方程形如”+p(x)y—Q(x)(1)dx的微分方程稱為一階線性微分方程.所謂線性是指未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)都是一次冪的.這里P(x)和Q(x)為已知連續(xù)函數(shù).若Q(x)三0,則方程(1)稱為一階線性齊次微分方程，否則，方程(1)稱為一階線性非齊次微分方程.一階線性齊次微分方程半+P(x)y—0是變量可分離方程,分離變量后得dx—=-P(x)dxy，兩邊積分，得lnlyl=-JP(x)dx+C1,或y=Ce」P(x)d(C=±eC1).(2)例7求解方程(x-2)羋=y的通解.dx解該方程為一階線性齊次微分方程，分離變量得dy_dx

yx-2'兩邊積分得lnlyl=Inlx-21+InC,所以原方程的通解為y=C(x-2).一階線性非齊次微分方程的解法：我們利用一階線性齊次微分方程的通解⑵來求一階線性非齊次微分方程⑴的通解，即把(2)中的任意常數(shù)C換成未知函數(shù)u(x),把y=u(x)eJP(x)d假設(shè)成非齊次線性方程的通解.代入方程⑴求得ur(x)e」P(x)dx—u(x)e」P(x)dxP(x)+P(x)u(x)e」P(x)dx=Q(x),化簡得u'(x)=Q(x)e/P(x)dx,化簡得u(x)JQ(x)e/P(x)dxdx+C,于是方程⑴的通解為y=e」P(x)dx[JQ(x)e/P(x)dxdx+C]y=Ce-JP(x)dx+e-JP(x)dxJQ(x)eJP(x)dxdx.因此,非齊次線性方程的通解等于對應(yīng)的齊次線性方程通解與非齊次線性方程的一個特解之和.(3)式可作為一階線性非齊次微分方程的求解公式.上述求解公式的推導(dǎo)過程稱為常數(shù)變異法,以后求解此類方程只需把(3)當(dāng)作一個公式套用即可.例8求解方程dy-==(x+i)2的通解.dxx+1解法一這是一個非齊次線性方程.先求對應(yīng)的齊次線性方程dy-巨=0的通解.dxx+1分離變量得dy_2dx

yx+1'兩邊積分得lny=2ln(x+1)+InC,齊次線性方程的通解為y=C(x+1)2.用常數(shù)變易法.把C換成未知函數(shù)u(x)，即令y=u(x)-(x+1)2,代入所給非齊次線性方程得,25u?(x+1)2+2u?(x+1)———-u?(x+1)2=(x+1)2

x+11u'=(x+1)2，兩邊積分,得2.八3一

u=3(x+1)2+C.再把上式代入y=u(x)?(x+1)2中，即得所求方程的通解為23y=(x+1)212(x+1)2+C].解法二本方程是一階線性非齊次微分方程,可用(3)式來求解,得y=e-fP(%)d%(fQ(%)efp(%)d%d%+C)=e』%+1%x(fQ(%+1)；ef-p(%)d%d%+C)=eln(%+1)2(f(%+1)2e-ln(%+1)2+C),八2，八3=(%+1)2[3(%+1)2+C]例9求解方程里二一的通解.解本方程并不是一個一階線性微分方程，但經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃魏?，可變?yōu)橐粋€以％為函數(shù)y為自變量的一階線性微分方程原方程化為d%=2(3%+2y)dyd%/——-6%=dyP(y)=—6,Q(y)=4y代入(3),得%=e-fp(y)dy(fQ(y)efp(y)dydy+C)=e-f-6%y(f4yef-6%y+C)=e6y(f4ye-6ydy+C)一2.1.=e6y(——ye-6y--e-6y+C)21一一y—-+Ce6y39四、伯努利方程形如dy+p(X)y=Q(X)yn(n中0,1.)⑷dx的微分方程，稱為伯努利方程.這里P(X)和Q(X)為已知連續(xù)函數(shù).伯努利方程的解法：以yn同除方程(4)的兩邊，得y-ndy+P(x)y1-n=Q(x)

dX令z=y1-n,得一階線性方程dzz+(1-n)P(X)z=(1-n)Q(X).dX因此,可用上節(jié)方法求解.例10求方程dy+y=〃?y2?lnx的通解.dXX解以y2除方程的兩端，得dy1y-2+y-1=alnx,dXX即-d(y-1)+1y-1=aInx,dxx令z=y-1,則上述方程成為dz-1z=-aInxdxx這是一個線性方程，它的通解為z=x[C-卻口x)2].以y-1代z,得所求方程的通解為yx[C-2(lnx)2]=1.經(jīng)過變量代換，某些方程可以化為變量可分離的方程，或化為已