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永久免費組卷搜題網(wǎng)
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第六單元不等式
6.1不等關系與不等式
一、選擇題
1.若a>b>0,則下列不等式中一定成立的是()
A.a(chǎn)+
eq\f(1,b)
>b+
eq\f(1,a)
B.
eq\f(b,a)
>
eq\f(b+1,a+1)
C.a(chǎn)-
eq\f(1,b)
>b-
eq\f(1,a)
D.
eq\f(2a+b,a+2b)
>
eq\f(a,b)
解析:∵a>b>0,∴
eq\f(1,b)
>
eq\f(1,a)
,∴a+
eq\f(1,b)
>b+
eq\f(1,a)
.
答案:A
2.下列命題正確的是()
A.若ac>bc?a>b B. 若a2>b2?a>b
C.若
eq\f(1,a)
>
eq\f(1,b)
?a<b D.若
eq\r(a)
<
eq\r(b)
?a<b
解析:對于A,若c<0,其不成立;對于B,若a、b均小于0或a<0,其不成立;對于C,若a>0,b<0,其不成立;對于D,其中a≥0,b>0,平方后顯然有a<b.
答案:D
3.設a=sin15°+cos15°,b=sin16°+cos16°,則下列各式正確的是()
A.a(chǎn)<
eq\f(a2+b2,2)
<b B.a(chǎn)<b<
eq\f(a2+b2,2)
C.b<a<
eq\f(a2+b2,2)
D.b<
eq\f(a2+b2,2)
<a
解析:a=sin15°+cos15°=
eq\r(2)
sin60°,b=sin16°+cos16°=
eq\r(2)
sin61°,∴a<b,排除C、D兩項.又a≠b,∵
eq\f(a2+b2,2)
>ab=
eq\r(2)
sin60°·
eq\r(2)
sin61°=
eq\r(3)
sin61°>
eq\r(2)
sin61°=b,故a<b<
eq\f(a2+b2,2)
成立.
答案:B
4.已知x>y>z,且x+y+z=0,下列不等式中成立的是()
A.xy>yzB.xz>yzC.xy>xzD.x|y|>z|y|
解析:由已知3x>x+y+z=0,3z<x+y+z=0,∴x>0,z<0.由
eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0,,y>z,))
得xy>xz.
答案:C
二、填空題
5.下列四個不等式:①a<0<b;②b<a<0;③b<0<a;④0<b<a.其中能使
eq\f(1,a)
<
eq\f(1,b)
成立的充分條件有______.
解析:
eq\f(1,a)
<
eq\f(1,b)
?
eq\f(b-a,ab)
<0?b-a與ab異號,①②④能使b-a與ab異號.
答案:①②④
6.設a>1且m=loga(a2+1),n=loga(a-1),p=loga(2a),則m、n、p的大小關系為________.
解析:∵a2+1>2a(a>1),∴l(xiāng)oga(a2+1)>loga(2a).
又∵a-1-2a=-a-1<0,∴a-1<2a,∴l(xiāng)oga(a-1)<loga2a.∴m>p>n.
答案:m>p>n
7.a(chǎn)、b、c、d均為實數(shù),使不等式
eq\f(a,b)
>
eq\f(c,d)
>0和ad<bc都成立的一組值(a,b,c,d)是________.(只要寫出適合條件的一組值即可)
解析:本題為開放題,只要寫出一個正確的即可,如(2,1,-3,-2).
答案:(2,1,-3,-2)
三、解答題
8.設a、b∈(0,+∞),且a≠b,比較
eq\f(a3,b2)
+
eq\f(b3,a2)
與a+b的大小.
解答:作差
eq\f(a3,b2)
+
eq\f(b3,a2)
-(a+b)=(a3-b3)
eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)-\f(1,a2)))
=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)
eq\f(1,a2b2)
,
∵a、b∈(0,+∞)且a≠b,∴a+b,(a-b)2,(a2+ab+b2),
eq\f(1,a2b2)
均為正數(shù).
∴(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)
eq\f(1,a2b2)
>0,∴
eq\f(a3,b2)
+
eq\f(b3,a2)
>a+b.
9.設m∈R,a>b>1,f(x)=
eq\f(mx,x-1)
,比較f(a)與f(b)的大小.
解答:f(a)-f(b)=
eq\f(ma,a-1)
-
eq\f(mb,b-1)
=
eq\f(m(b-a),(a-1)(b-1))
.
∵a>b>1,∴b-a<0,a-1>0,b-1>0,∴
eq\f(b-a,(a-1)(b-1))
<0.
當m>0時,
eq\f(m(b-a),(a-1)(b-1))
<0,f(a)<f(b);
當m<0時,
eq\f(m(b-a),(a-1)(b-1))
>0,f(a)>f(b);
當m=0時,
eq\f(m(b-a),(a-1)(b-1))
=0,f(a)=f(b).
10.設a>0,且a≠1,P=loga(a3-1),Q=loga(a2-1),試比較P與Q的大?。?/p>
解答:∵P=loga(a3-1),Q=loga(a2-1),∴a>0,a3-1>0,a2-1>0,∴a>1.
又∵(a3-1)-(a2-1)=a2(a-1)>0,∴a3-1>a2-1,∴l(xiāng)oga(a3-1)>loga(a2-1).即P>Q.
1.(2009·全國Ⅱ)設a=lge,b=(lge)2,c=lg
eq\r(e)
,則()
A.a(chǎn)>b>c B.a(chǎn)>c>b C.c>a>b D.c>b>a
解析:0<lge<1,即0<a<1;b=(lge)2=a2<a;c=lg
eq\r(e)
=
eq\f(1,2)
lge=
eq\f(1,2)
a<a,
又b=(lge)2<lg
eq\r(10)
·lge=
eq\f(1,2)
lge=c,因此b<c<a.
答案:B
2.設x1、x2是區(qū)間D上的任意兩點,若函數(shù)y=f(x)滿足f(
eq\f(x1+x2,2)
)≤
eq\f(f(x1)+f(x2),2)
成立,則稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上下凸.
(1)證明:函數(shù)f(x)=x+
eq\f(1,x)
在區(qū)間(0,+∞)上下凸;
(2)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上下凸,則對任意的x1,x2,…,xn∈D有f(
eq\f(x1+x2+…+xn,n)
)≤
eq\f(f(x1)+f(x2)+…+f(xn),n)
.試根據(jù)下凸函數(shù)的這一性質(zhì),證明:若x1,x2,…,xn∈(0,+∞),則(x1+x2+…+xn)(
eq\f(1,x1)
+
eq\f(1,x2)
+…+
eq\f(1,xn)
)≥n2.
證明:(1)設x1>0,x2>0,則f(
eq\f(x1+x2,2)
)-
eq\f(1,2)
[f(x1)+f(x2)]=
eq\f(x1+x2,2)
+
eq\f(1,\f(x1+x2,2))
-
eq\f(1,2)
(x1+
eq\f(1,x1)
+x2+
eq\f(1,x2)
)=
eq\f(2,x1+x2)
-
eq\f(1,2)
(
eq\f(1,x1)
+
eq\f(1,x2)
)=
eq\f(4x1x2-x2(x1+x2)-x1(x1+x2),2x1x2(x1+x2))
=
eq\f(-(x1-x2)2,2x1x2(x1+x2))
≤0,
∴f(
eq\f(x1+x2,2)
)≤
eq\f(1,2)
[f(x1)+f(x2)].由定義可知f(x)=x+
eq\f(1,x)
在區(qū)間(0,+∞)上下凸.
(2)由(1)可知f(x)=x+
eq\f(1,x)
在(0,+∞)上下凸,根據(jù)性質(zhì),有
eq\f(x1+x2+…+xn,n)
+
eq\f(1,\f(x1+x2+…+xn,n))
≤
eq\f((x1+\f(1,x1))+(x2+\f(1,x2))+…+(xn+\f(1,xn)),n)
,∴
eq\f
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