《復(fù)變函數(shù)》筆記 - 知識點(diǎn)匯總2

引言復(fù)數(shù)理論的產(chǎn)生、發(fā)展經(jīng)歷了漫長而又艱難的歲月．復(fù)數(shù)是世紀(jì)人們在解代數(shù)方程時(shí)引入的．年，意大利數(shù)學(xué)物理學(xué)家（卡丹）在所著《重要的藝術(shù)》一書中列出將分成兩部分，使其積為的問題，即求方程的根，它求出形式的根為和，積為．但由于這只是單純從形式上推廣而來引進(jìn)，并且人民原先就已斷言負(fù)數(shù)開平方是沒有意義的．因而復(fù)數(shù)在歷史上長期不能為人民所接受．“虛數(shù)”這一名詞就恰好反映了這一點(diǎn)．直到十八世紀(jì)，（達(dá)朗貝爾）：（歐拉）等人逐步闡明了復(fù)數(shù)的幾何意義與物理意義，建立了系統(tǒng)的復(fù)數(shù)理論，從而使人民終于接受并理解了復(fù)數(shù)．復(fù)變函數(shù)的理論基礎(chǔ)是在十九世紀(jì)奠定的，主要是圍繞（柯西），（魏爾斯特拉斯）和（黎曼）三人的工作進(jìn)行的．到本世紀(jì)，復(fù)變函數(shù)論是數(shù)學(xué)的重要分支之一，隨著它的領(lǐng)域的不斷擴(kuò)大而發(fā)展成龐大的一門學(xué)科，在自然科學(xué)其它（如空氣動(dòng)力學(xué)、流體力學(xué)、電學(xué)、熱學(xué)、理論物理等）及數(shù)學(xué)的其它分支（如微分方程、積分方程、概率論、數(shù)論等）中，復(fù)變函數(shù)論都有著重要應(yīng)用．第一章§1復(fù)數(shù)了解復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的模與輻角；掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算復(fù)數(shù)的乘積與商﹑冪與根運(yùn)算.重點(diǎn)：德摩弗公式.難點(diǎn)：德摩弗公式.1．復(fù)數(shù)域形如或的數(shù)，稱為復(fù)數(shù)，其中和均是實(shí)數(shù)，稱為復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，記為，，稱為虛單位．兩個(gè)復(fù)數(shù)，與相等，當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部和虛部分別對應(yīng)相等，即且虛部為零的復(fù)數(shù)可看作實(shí)數(shù)，即，特別地，，因此，全體實(shí)數(shù)是全體復(fù)數(shù)的一部分．實(shí)數(shù)為零但虛部不為零的復(fù)數(shù)稱為純虛數(shù)，復(fù)數(shù)和稱為互為共軛復(fù)數(shù)，記為或設(shè)復(fù)數(shù)，，則復(fù)數(shù)四則運(yùn)算規(guī)定：容易驗(yàn)證復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算滿足與實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算相應(yīng)的運(yùn)算規(guī)律．全體復(fù)數(shù)并引進(jìn)上述運(yùn)算后稱為復(fù)數(shù)域，必須特別提出的是，在復(fù)數(shù)域中，復(fù)數(shù)是不能比較大小的．２．復(fù)平面從上述復(fù)數(shù)的定義中可以看出，一個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)際上是由一對有序?qū)崝?shù)唯一確定．因此，如果我們把平面上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)對應(yīng)，就建立了平面上全部的點(diǎn)和全體復(fù)數(shù)間的一一對應(yīng)關(guān)系．由于軸上的點(diǎn)和軸上非原點(diǎn)的點(diǎn)分別對應(yīng)著實(shí)數(shù)和純虛數(shù)，因而通常稱軸為實(shí)軸，稱軸為虛軸，這樣表示復(fù)數(shù)的平面稱為復(fù)平面或平面．引進(jìn)復(fù)平面后，我們在“數(shù)”與“點(diǎn)”之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，為了方便起見，今后我們就不再區(qū)分“數(shù)”和“點(diǎn)”及“數(shù)集”和“點(diǎn)集”．3．復(fù)數(shù)的模與幅角由圖1.1中可以知道，復(fù)數(shù)與從原點(diǎn)到點(diǎn)所引的向量也構(gòu)成一一對應(yīng)關(guān)系（復(fù)數(shù)對應(yīng)零向量）．從而，我們能夠借助于點(diǎn)的極坐標(biāo)和來確定點(diǎn)，向量的長度稱為復(fù)數(shù)的模，記為圖1.1顯然，對于任意復(fù)數(shù)均有，，另外，根據(jù)向量的運(yùn)算及幾何知識，我們可以得到兩個(gè)重要的不等式（三角形兩邊之和第三邊，圖1.2）圖1.2（三角形兩邊之差第三邊，圖1.3）圖1.3與兩式中等號成立的幾何意義是：復(fù)數(shù)，分別與及所表示的三個(gè)向量共線且同向．向量與實(shí)軸正向間的夾角滿足稱為復(fù)數(shù)的幅角，記為由于任一非零復(fù)數(shù)均有無窮多個(gè)幅角，若以表示其中的一個(gè)特定值，并稱滿足條件的一個(gè)值為的主角或的主幅角，則有注意：當(dāng)時(shí)，其模為零，幅角無意義．從直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系，我們還可以用復(fù)數(shù)的模與幅角來表示非零復(fù)數(shù)，即有同時(shí)我們引進(jìn)著名的歐拉公式：則可化為與式分別稱為非零復(fù)數(shù)的三角形式和指數(shù)形式，由式幾指數(shù)性質(zhì)即可推得復(fù)數(shù)的乘除有因此，公式與說明：兩個(gè)復(fù)數(shù)，的乘積（或商），其模等于這兩個(gè)復(fù)數(shù)模的乘積（或商），其幅角等于這兩個(gè)復(fù)數(shù)幅角的和（或差）．特別當(dāng)時(shí)可得此即說明單位復(fù)數(shù)乘任何數(shù)，幾何上相當(dāng)于將此數(shù)所對應(yīng)的向量旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度．另外，也可把公式中的換成（某個(gè)特定值），若為主值時(shí)，則公式兩端允許相差的整數(shù)倍，即有公式可推廣到有限個(gè)復(fù)數(shù)的情況，特別地，當(dāng)時(shí)，有當(dāng)時(shí)，就得到熟知的德摩弗公式：例求及用與表示的式子解：4.曲線的復(fù)數(shù)方程例連接及兩點(diǎn)的線段的參數(shù)方程為過及兩點(diǎn)的直線（圖）的參數(shù)方程為例平面上以原點(diǎn)為心，為半徑的圓周的方程為平面上以為心，為半徑的圓周的方程為例平面上實(shí)軸的方程為，虛軸的方程為.§復(fù)平面上的點(diǎn)集平面點(diǎn)集的幾個(gè)基本概念;掌握區(qū)域的概念;了解約當(dāng)定理.重點(diǎn)：區(qū)域的概念,約當(dāng)定理.難點(diǎn)：區(qū)域的概念.幾個(gè)基本概念定義滿足不等式的所有點(diǎn)組成的平面點(diǎn)集（以下簡稱點(diǎn)集）稱為點(diǎn)的，記為．顯然，即表示以為心，以為半徑的圓的內(nèi)部定義設(shè)為平面上的一個(gè)點(diǎn)集，若平面上一點(diǎn)的任意鄰域內(nèi)巨有的無窮多個(gè)點(diǎn)，則稱為的內(nèi)點(diǎn)．定義若的每個(gè)聚點(diǎn)都屬于，則稱為閉集．若的所有點(diǎn)均為內(nèi)點(diǎn)，則稱為開集定義若，，均有則稱為有界集，否則稱為無界集．區(qū)域與約當(dāng)曲線定義若非空點(diǎn)集滿足下列兩個(gè)條件：為開集．中任意兩點(diǎn)均可用全在中的折線連接起來，則稱為區(qū)域.定義若為區(qū)域的聚點(diǎn)且不是的內(nèi)點(diǎn)，則稱為的界點(diǎn)，的所有界點(diǎn)組成的點(diǎn)集稱為的邊界，記為，若，使得，則稱為的外點(diǎn)定義區(qū)域加上它的邊界稱為閉區(qū)域，記為有關(guān)區(qū)域的幾個(gè)例子例平面上以點(diǎn)為心，為半徑的圓周內(nèi)部（即圓形區(qū)域）：例平面上以點(diǎn)為心，為半徑的圓周及其內(nèi)部（即圓形閉區(qū)域）例與例所表示的區(qū)域都以圓周為邊界，且均為有界區(qū)域例上半平面下半平面它們都以實(shí)軸為邊界，且均為無界區(qū)域．左半平面右半平面它們都以虛軸為邊界，且均為無界區(qū)域．例圖1.4所示的帶形區(qū)域表為.其邊界為與，亦為無界區(qū)域．例圖所示的圓環(huán)區(qū)域表為其邊界為與，為有界區(qū)域．定義設(shè)及是兩個(gè)關(guān)于實(shí)數(shù)在閉區(qū)間上的連續(xù)實(shí)數(shù)，則由方程所確定的點(diǎn)集稱為平面上的一條連續(xù)曲線，稱為的參數(shù)方程，及分別稱為的起點(diǎn)和終點(diǎn)，對任意滿足及的與，若時(shí)有，則點(diǎn)稱為的重點(diǎn)；無重點(diǎn)的連續(xù)曲線，稱為簡單曲線（約當(dāng)曲線）；的簡單曲線稱為簡單閉曲線．若在上時(shí)，及存在節(jié)不全為零，則稱為光滑（閉）曲線．定義由有限條光滑曲線連接而成的連續(xù)曲線稱為逐段光滑曲線．定義（約當(dāng)定理）任一簡單閉曲線將平面唯一地分為、、三個(gè)點(diǎn)集（圖1.5），它們具有如下性質(zhì)：圖1.5彼此不交．與一個(gè)為有界區(qū)域（稱為的內(nèi)部），另一個(gè)為無界區(qū)域（稱為的外部）若簡單折線的一個(gè)端點(diǎn)屬于，另一個(gè)端點(diǎn)屬于，則與必有交點(diǎn)．對于簡單閉曲線的方向，通常我們是這樣來規(guī)定的：當(dāng)觀察這沿繞行一周時(shí)，的內(nèi)部（或挖）始終在的左方，即“逆時(shí)針”（或“順時(shí)針”）方向，稱為的正方向（或負(fù)方向）．定義設(shè)為復(fù)平面上的區(qū)域，若內(nèi)任意一條簡單閉曲線的內(nèi)部全含于，則稱為單連通區(qū)域，不是單連通的區(qū)域稱為多連通區(qū)域．例如，例所示的區(qū)域均為單連通區(qū)域，例所示的區(qū)域?yàn)槎噙B通區(qū)域．（請讀者針對定義自己作圖思考）§復(fù)變函數(shù)理解復(fù)變函數(shù)的概念;了解復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)的概念.重點(diǎn)：復(fù)變函數(shù)的概念.難點(diǎn)：復(fù)變函數(shù)的幾何表示.復(fù)變函數(shù)概念定義設(shè)為一復(fù)數(shù)集，若存在一個(gè)對應(yīng)法則，使得內(nèi)每一復(fù)數(shù)均有唯一（或兩個(gè)以上）確定的復(fù)數(shù)與之對應(yīng)，則稱在上確定了一個(gè)單值（或多值）函數(shù)，稱為函數(shù)的定義域，值的全體組成的集合稱為函數(shù)的值域．例如，及均為單值函數(shù)，及均為多值函數(shù)．今后如無特別說明，所提到的函數(shù)均為單值函數(shù)．設(shè)是定義在點(diǎn)集上的函數(shù)，若令，則、均隨著、而確定，即、均為、的二元實(shí)函數(shù)，因此我們常把寫成若為指數(shù)形式，，則又可表為其中，均為、的二元實(shí)函數(shù)．由和兩式說明，我們可以把復(fù)變函數(shù)理解為復(fù)平面上的點(diǎn)集和復(fù)平面上的點(diǎn)集之間的一個(gè)對應(yīng)關(guān)系（映射或變換），這是由于在復(fù)平面上我們不再區(qū)分“點(diǎn)”（點(diǎn)集）和“數(shù)”（數(shù)集）．故今后我們也不再區(qū)分函數(shù)、映射和變換．復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性定義設(shè)于點(diǎn)集上有定義，為的聚點(diǎn)，若存在一復(fù)數(shù)，使得，，當(dāng)時(shí)有則稱沿于有極限，記為定義的幾何意義是：對于，存在相應(yīng)的，使得當(dāng)落入的去心時(shí)，相應(yīng)的就落入的．這就說明與的路徑無關(guān)．即不管在上從哪個(gè)方向趨于，只要落入的去心內(nèi)，則相應(yīng)的就落入的內(nèi)，而在數(shù)學(xué)分析中，中只能在軸上沿著的左，右兩個(gè)方向趨于，這正是復(fù)分析與數(shù)學(xué)分析不同的根源．今后為了簡便起見，在不致引起混淆的地方，均寫成可以類似于數(shù)學(xué)分析中的極限性質(zhì)，容易驗(yàn)證復(fù)變函數(shù)的極限具有以下性質(zhì)：若極限存在，則極限是唯一的．與都存在，則有另外，對于復(fù)變函數(shù)的極限與其實(shí)部和虛部的極限的關(guān)系問題，我們有下述定理：定理設(shè)函數(shù)于點(diǎn)集上有定義，為的聚點(diǎn)，則的充要條件及證明：因?yàn)閺亩刹坏仁娇傻眉肮视杉纯傻帽匾圆糠值淖C明．由可得充分性部分的證明．定義設(shè)于點(diǎn)集上有定義，為的聚點(diǎn)，且，若則稱沿于連續(xù)．根據(jù)定義，沿于連續(xù)就意味著：，，當(dāng)時(shí)，有與數(shù)分中的連續(xù)函數(shù)性質(zhì)相似，復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性有如下性質(zhì)：若，沿集于點(diǎn)連續(xù)，則其和，差，積，商（在商的情形，要求分母不為零）沿點(diǎn)集于連續(xù)．若函數(shù)沿集于連續(xù)，且，函數(shù)沿集于連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)沿集于連續(xù)．其次，我們還有定理設(shè)函數(shù)于點(diǎn)集上有定義,,則在點(diǎn)連續(xù)的充要條件為：,沿于點(diǎn)均連續(xù).事實(shí)上,類似于定理的證明,只要把其中的換成,換成即可得到定理的證明.例設(shè)試證在原點(diǎn)無極限,從而在原點(diǎn)不連續(xù).證明：設(shè),則因此故不存在,從而在原點(diǎn)不連續(xù).定義若函數(shù)在點(diǎn)集上每一點(diǎn)都連續(xù),則稱在上連續(xù),或稱為上的連續(xù)函數(shù).特別地,當(dāng)為實(shí)軸上的區(qū)間時(shí),則連續(xù)曲線就是上的連續(xù)函數(shù)其次,若為閉區(qū)域,則上每一點(diǎn)均為聚點(diǎn),考慮其邊界上的點(diǎn)的連續(xù)性時(shí),只能沿的點(diǎn)來取.與數(shù)學(xué)分析相同,在有界閉集上連續(xù)的伏辯函數(shù)具有以下性質(zhì)：在上有界,即,使得在上有最大值和最小值.在上一致連續(xù),即,使對上任意兩點(diǎn),,只要就有復(fù)變小結(jié)1.幅角（不贊成死記，學(xué)會(huì)分析）-∏<argz≤∏Arg(z1z2)=Argz1+Argz2Arg(z1/z2)=Argz1-Argz22.求根：由z==r(cos+isin)得==(cosn+isinn)當(dāng)r=1時(shí)，=（*1）當(dāng)w= （*2）例： 可直接利用（*1）式求解 可令z=1+i,利用（*2）式求解3.復(fù)函數(shù)：a.一般情況下：w=f(z),直接將z=x+iy代換求解但遇到特殊情況時(shí)：如課本P12例1.13（3）可考慮：z==r(cos+isin)代換。b.對于P12例題1.11可理解為高中所學(xué)的平面上三點(diǎn)（A,B,C）共線所滿足的公式:(向量)OC=tOA+（1-t）OB=OB+tBAc.對于P15例題1.14中可直接轉(zhuǎn)換成X和Y的表達(dá)式后判斷正負(fù)號來確定其圖像。d.判斷函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)是否連續(xù)可借助課本P17定義1.84.解析函數(shù)，指數(shù)，對數(shù)，冪、三角雙曲函數(shù)的定義及表達(dá)式，能熟練計(jì)算，能熟練解初等函數(shù)方程a.在某個(gè)區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)與解析是等價(jià)的。但在某一點(diǎn)解析一定可導(dǎo)，可導(dǎo)不一定解析。b.柯西——黎曼條件，自己牢記:（注意那個(gè)加負(fù)那個(gè)不加）c.指數(shù)函數(shù):復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)換成三角的定義。d.只需記?。篖nz=ln[z]+i(argz+2k)e.冪函數(shù)：底數(shù)為e時(shí)直接運(yùn)算（一般轉(zhuǎn)換成三角形式）當(dāng)?shù)讛?shù)不為e時(shí)，w==(冪指數(shù)為Ln而非ln)能夠區(qū)分： 的計(jì)算。f.三角函數(shù)和雙曲函數(shù)：只需記?。杭捌渌勺约涸囍ネ茖?dǎo)一下。反三角中前三個(gè)最好自己記住，特別因?yàn)橄乱徽虑蠓e分會(huì)用到(如第三章的習(xí)題9)5.復(fù)變函數(shù)的積分a.注：只有當(dāng)函數(shù)解析即滿足柯西-黎曼公式時(shí)求積分才與路徑無關(guān)只與出沒位置有關(guān)。（勿亂用）例如:與路徑無關(guān)。而與路徑有關(guān)。b.柯西-古薩基本定理：當(dāng)函數(shù)f(z)在以簡單閉曲線C為邊界的有界區(qū)域D內(nèi)解析且在閉區(qū)域上連續(xù)時(shí)：重要公式c.柯西積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式及其應(yīng)用于計(jì)算積分：d.調(diào)和函數(shù)：一般與柯西-黎曼公式一起用:熟知課本P52中的例3.11中三種解法即可。6.級數(shù)a.熟知課本P59定理4.2及其推導(dǎo)（其中1最重要）性質(zhì)。b.阿貝爾定理:判斷收斂和發(fā)散區(qū)間。c.冪級數(shù)的收斂半徑：利用比值法和根值法。（方法同于高數(shù)級數(shù)）d.泰勒級數(shù)：五個(gè)重要初等函數(shù)展開式：其余可由式：直接推導(dǎo)。（注意各展開式的[z]取值范圍）e.洛朗展開式:與泰