2023屆湖南雅禮中學數(shù)學高三第一學期期末學業(yè)質量監(jiān)測試題含解析

2022-2023學年高三上數(shù)學期末模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．關于函數(shù)在區(qū)間的單調性，下列敘述正確的是（）A．單調遞增 B．單調遞減 C．先遞減后遞增 D．先遞增后遞減2．如圖，圓是邊長為的等邊三角形的內切圓，其與邊相切于點，點為圓上任意一點，，則的最大值為（）A． B． C．2 D．3．已知不同直線、與不同平面、，且，，則下列說法中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則4．若表示不超過的最大整數(shù)(如，，)，已知，，，則（）A．2 B．5 C．7 D．85．點是單位圓上不同的三點，線段與線段交于圓內一點M，若，則的最小值為（）A． B． C． D．6．在中，，，，為的外心，若，，，則（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)f（x）＝sin2x+sin2（x），則f（x）的最小值為（）A． B． C． D．8．如圖是國家統(tǒng)計局于2020年1月9日發(fā)布的2018年12月到2019年12月全國居民消費價格的漲跌幅情況折線圖.（注：同比是指本期與同期作對比；環(huán)比是指本期與上期作對比.如：2019年2月與2018年2月相比較稱同比，2019年2月與2019年1月相比較稱環(huán)比）根據(jù)該折線圖，下列結論錯誤的是（）A．2019年12月份，全國居民消費價格環(huán)比持平B．2018年12月至2019年12月全國居民消費價格環(huán)比均上漲C．2018年12月至2019年12月全國居民消費價格同比均上漲D．2018年11月的全國居民消費價格高于2017年12月的全國居民消費價格9．若函數(shù)滿足，且，則的最小值是（）A． B． C． D．10．設m，n為直線，、為平面，則的一個充分條件可以是()A．，， B．，C．， D．，11．設是定義在實數(shù)集上的函數(shù)，滿足條件是偶函數(shù)，且當時，，則，，的大小關系是（）A． B． C． D．12．在空間直角坐標系中，四面體各頂點坐標分別為：．假設螞蟻窩在點，一只螞蟻從點出發(fā)，需要在，上分別任意選擇一點留下信息，然后再返回點．那么完成這個工作所需要走的最短路徑長度是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等差數(shù)列的各項均為正數(shù)，，且，若，則________.14．函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)，），若函數(shù)恰有個零點，則實數(shù)的取值范圍為__________________.15．已知函數(shù)有且只有一個零點，則實數(shù)的取值范圍為__________.16．如圖，在正四棱柱中，P是側棱上一點，且.設三棱錐的體積為，正四棱柱的體積為V，則的值為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿足，，其前n項和為.（1）通過計算，，，猜想并證明數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列滿足，，，若數(shù)列是單調遞減數(shù)列，求常數(shù)t的取值范圍.18．（12分）等差數(shù)列的公差為2,分別等于等比數(shù)列的第2項，第3項，第4項.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前2020項的和．19．（12分）已知函數(shù).（1）若對任意x0，f（x）0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若函數(shù)f（x）有兩個不同的零點x1，x2（x1x2），證明：.20．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系.已知點的直角坐標為，過的直線與曲線相交于，兩點.（1）若的斜率為2，求的極坐標方程和曲線的普通方程；（2）求的值.21．（12分）已知，且的解集為.（1）求實數(shù)，的值；（2）若的圖像與直線及圍成的四邊形的面積不小于14，求實數(shù)取值范圍.22．（10分）已知函數(shù)().（1）討論的單調性；（2）若對，恒成立，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

先用誘導公式得,再根據(jù)函數(shù)圖像平移的方法求解即可.【詳解】函數(shù)的圖象可由向左平移個單位得到,如圖所示,在上先遞減后遞增.故選：C【點睛】本題考查三角函數(shù)的平移與單調性的求解.屬于基礎題.2、C【解析】

建立坐標系，寫出相應的點坐標，得到的表達式，進而得到最大值.【詳解】以D點為原點，BC所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立坐標系，設內切圓的半徑為1，以（0，1）為圓心，1為半徑的圓；根據(jù)三角形面積公式得到，可得到內切圓的半徑為可得到點的坐標為：故得到故得到，故最大值為：2.故答案為C.【點睛】這個題目考查了向量標化的應用，以及參數(shù)方程的應用，以向量為載體求相關變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結合的一類綜合問題.通過向量的運算，將問題轉化為解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類問題的一般方法.3、C【解析】

根據(jù)空間中平行關系、垂直關系的相關判定和性質可依次判斷各個選項得到結果.【詳解】對于，若，則可能為平行或異面直線，錯誤；對于，若，則可能為平行、相交或異面直線，錯誤；對于，若，且，由面面垂直的判定定理可知，正確；對于，若，只有當垂直于的交線時才有，錯誤.故選：.【點睛】本題考查空間中線面關系、面面關系相關命題的辨析，關鍵是熟練掌握空間中的平行關系與垂直關系的相關命題.4、B【解析】

求出，，，，，，判斷出是一個以周期為6的周期數(shù)列，求出即可．【詳解】解：.，∴，，，同理可得：；；.；，，…….∴.故是一個以周期為6的周期數(shù)列，則.故選：B.【點睛】本題考查周期數(shù)列的判斷和取整函數(shù)的應用．5、D【解析】

由題意得，再利用基本不等式即可求解．【詳解】將平方得，（當且僅當時等號成立），，的最小值為，故選：D．【點睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的應用，考查基本不等式的應用，屬于中檔題．6、B【解析】

首先根據(jù)題中條件和三角形中幾何關系求出，，即可求出的值.【詳解】如圖所示過做三角形三邊的垂線，垂足分別為，，，過分別做，的平行線，，由題知，則外接圓半徑，因為，所以，又因為，所以，，由題可知，所以，，所以.故選：D.【點睛】本題主要考查了三角形外心的性質，正弦定理，平面向量分解定理，屬于一般題.7、A【解析】

先通過降冪公式和輔助角法將函數(shù)轉化為，再求最值.【詳解】已知函數(shù)f（x）＝sin2x+sin2（x），=，=，因為，所以f（x）的最小值為.故選：A【點睛】本題主要考查倍角公式及兩角和與差的三角函數(shù)的逆用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.8、D【解析】

先對圖表數(shù)據(jù)的分析處理，再結簡單的合情推理一一檢驗即可【詳解】由折線圖易知A、C正確；2019年3月份及6月份的全國居民消費價格環(huán)比是負的，所以B錯誤；設2018年12月份，2018年11月份，2017年12月份的全國居民消費價格分別為，由題意可知，，，則有，所以D正確.故選：D【點睛】此題考查了對圖表數(shù)據(jù)的分析處理能力及進行簡單的合情推理，屬于中檔題.9、A【解析】

由推導出，且，將所求代數(shù)式變形為，利用基本不等式求得的取值范圍，再利用函數(shù)的單調性可得出其最小值.【詳解】函數(shù)滿足，，即，，，，即，，則，由基本不等式得，當且僅當時，等號成立.，由于函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以，當時，取得最小值.故選：A.【點睛】本題考查代數(shù)式最值的計算，涉及對數(shù)運算性質、基本不等式以及函數(shù)單調性的應用，考查計算能力，屬于中等題.10、B【解析】

根據(jù)線面垂直的判斷方法對選項逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】對于A選項，當，，時，由于不在平面內，故無法得出.對于B選項，由于，，所以.故B選項正確.對于C選項，當，時，可能含于平面，故無法得出.對于D選項，當，時，無法得出.綜上所述，的一個充分條件是“，”故選：B【點睛】本小題主要考查線面垂直的判斷，考查充分必要條件的理解，屬于基礎題.11、C【解析】∵y=f（x+1）是偶函數(shù)，∴f（-x+1）=f（x+1），即函數(shù)f（x）關于x=1對稱．

∵當x≥1時，為減函數(shù)，∵f（log32）=f（2-log32）=f（）且==log34，log34＜＜3，∴b＞a＞c，

故選C12、C【解析】

將四面體沿著劈開，展開后最短路徑就是的邊，在中，利用余弦定理即可求解.【詳解】將四面體沿著劈開，展開后如下圖所示：最短路徑就是的邊．易求得，由，知，由余弦定理知其中，∴故選：C【點睛】本題考查了余弦定理解三角形，需熟記定理的內容，考查了學生的空間想象能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設等差數(shù)列的公差為，根據(jù)，且，可得，解得，進而得出結論.【詳解】設公差為，因為，所以，所以，所以故答案為：【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式、需熟記公式，屬于基礎題.14、【解析】

令，則，恰有四個解.由判斷函數(shù)增減性，求出最小值，列出相應不等式求解得出的取值范圍.【詳解】解：令，則，恰有四個解.有兩個解，由，可得在上單調遞減，在上單調遞增，則，可得.設的負根為，由題意知，，，，則，.故答案為：.【點睛】本題考查導數(shù)在函數(shù)當中的應用，屬于難題.15、【解析】

當時，轉化條件得有唯一實數(shù)根，令，通過求導得到的單調性后數(shù)形結合即可得解.【詳解】當時，，故不是函數(shù)的零點；當時，即，令，，，當時，；當時，，的單調減區(qū)間為，增區(qū)間為，又，可作出的草圖，如圖：則要使有唯一實數(shù)根，則.故答案為：.【點睛】本題考查了導數(shù)的應用，考查了轉化化歸思想和數(shù)形結合思想，屬于難題.16、【解析】

設正四棱柱的底面邊長，高，再根據(jù)柱體、錐體的體積公式計算可得.【詳解】解：設正四棱柱的底面邊長，高，則，即故答案為：【點睛】本題考查柱體、錐體的體積計算，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），證明見解析；（2）【解析】

（1）首先利用賦值法求出的值，進一步利用定義求出數(shù)列的通項公式；（2）首先利用疊乘法求出數(shù)列的通項公式，進一步利用數(shù)列的單調性和基本不等式的應用求出參數(shù)的范圍．【詳解】（1）數(shù)列滿足，，其前項和為．所以，，則，，，所以猜想得：．證明：由于，所以，則：（常數(shù)），所以數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列．所以，整理得．（2）數(shù)列滿足，，所以，則，所以．則，所以，所以，整理得，由于，所以，即．【點睛】本題考查的知識要點：數(shù)列的通項公式的求法及應用，疊乘法的應用，函數(shù)的單調性在數(shù)列中的應用，基本不等式的應用，主要考察學生的運算能力和轉換能力，屬于中檔題型．18、（1），；（2）.【解析】

(1)根據(jù)題意同時利用等差、等比數(shù)列的通項公式即可求得數(shù)列和的通項公式；(2)求出數(shù)列的通項公式，再利用錯位相減法即可求得數(shù)列的前2020項的和.【詳解】(1)依題意得:，所以，所以解得設等比數(shù)列的公比為，所以又(2)由（1）知，因為①當時,②由①②得，，即，又當時，不滿足上式，.數(shù)列的前2020項的和設③，則④，由③④得：，所以，所以.【點睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式、性質，錯位相減法求和,考查學生的邏輯推理能力,化歸與轉化能力及綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力.考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理與數(shù)學運算.是中檔題.19、（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）求出，判斷函數(shù)的單調性，求出函數(shù)的最大值，即求的范圍；（2）由（1）可知，.對分和兩種情況討論，構造函數(shù)，利用放縮法和基本不等式證明結論．【詳解】（1）由，得.令.當時，；當時，；在上單調遞增，在上單調遞減，.對任意恒成立，.（2）證明：由（1）可知，在上單調遞增，在上單調遞減，.若，則，令在上單調遞增，，.又，在上單調遞減，.若，則顯然成立.綜上，.又以上兩式左右兩端分別相加，得，即，所以.【點睛】本題考查利用導數(shù)解決不等式恒成立問題，利用導數(shù)證明不等式，屬于難題.20、（1）：，：；（2）【解析】

（1）根據(jù)點斜式寫出直線的直角坐標方程，并轉化為極坐標方程，利用，將曲線的參數(shù)方程轉化為普通方程.（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程，結合直線參數(shù)的幾何意義以及根與系數(shù)關系，求得的值.【詳解】（1）的直角坐標方程為，即，則的極坐標方程為.曲線的普通方程為.（2）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為的傾斜角），代入曲線的普通方程，得.設，對應的參數(shù)分別為，，所以，在的兩側.則.【點睛】本小題主要考查直角坐標化為極坐標，考查參數(shù)方程化為普通方程，考查直線參數(shù)方程，考查直線參數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.21、（1），；（2）【解析】

（1）解絕對值不等式得，根據(jù)不等式的解集為列出方程組，解出即可；（2）求出的圖像與直線及交點的坐標，通過分割法將四邊形的面積分為兩個三角形，列出不等式，解不等式即可.【詳解】（1）由得：，，即，解得，.（2）的圖像與直線及圍成的四邊形，，/r/