專題：橢圓的離心率解法大全

-PAGE.z.專題：橢圓的離心率一，利用定義求橢圓的離心率〔或〕1，橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的離心率2，橢圓的離心率為，則[解析]當(dāng)焦點在軸上時，；當(dāng)焦點在軸上時，，綜上或33，橢圓的焦距、短軸長、長軸長成等差數(shù)列，則橢圓的離心率是4，m,n,m+n成等差數(shù)列，m，n，mn成等比數(shù)列，則橢圓的離心率為[解析]由，橢圓的離心率為5，則當(dāng)mn取得最小值時，橢圓的的離心率為6，設(shè)橢圓=1〔a＞b＞0〕的右焦點為F1，右準(zhǔn)線為l1，假設(shè)過F1且垂直于*軸的弦的長等于點F1到l1的距離，則橢圓的離心率是。二，運(yùn)用幾何圖形中線段的幾何意義結(jié)合橢圓的定義求離心率1，在ABC中，，，如果一個橢圓過A、B兩點，它的一個焦點為C，另一個焦點在AB上，求這個橢圓的離心率2，如下圖,橢圓中心在原點,F是左焦點,直線與BF交于D,且,則橢圓的離心率為()[解析]3，以橢圓的右焦點F2為圓心作圓，使該圓過橢圓的中心并且與橢圓交于M、N兩點，橢圓的左焦點為F1，直線MF1與圓相切，則橢圓的離心率是變式〔1〕：以橢圓的一個焦點F為圓心作一個圓，使該圓過橢圓的中心O并且與橢圓交于M、N兩點，如果∣MF∣=∣MO∣，則橢圓的離心率是4,橢圓EQ\f(*2,a2)+EQ\f(y2,b2)=1(a>b>0)的兩焦點為F1、F2，以F1F2為邊作正三角形，假設(shè)橢圓恰好平分正三角形的兩邊，則橢圓的離心率e？解：∵｜F1F2｜=2c｜BF1｜=c｜BF2｜=EQ\r(,3)cc+EQ\r(,3)c=2a∴e=EQ\f(c,a)=EQ\r(,3)-1變式〔1〕：橢圓EQ\f(*2,a2)+EQ\f(y2,b2)=1(a>b>0)的兩焦點為F1、F2，點P在橢圓上，使△OPF1為正三角形，求橢圓離心率？解：連接PF2,則｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP｜,∠F1PF2=90°圖形如上圖，e=EQ\r(,3)-1變式〔2〕橢圓EQ\f(*2,a2)+EQ\f(y2,b2)=1(a>b>0)的兩焦點為F1、F2，AB為橢圓的頂點，P是橢圓上一點，且PF1⊥*軸，PF2∥AB,求橢圓離心率？解：∵｜PF1｜=EQ\f(,)EQ\f(b2,a)｜F2F1｜=2c｜OB｜=b｜OA｜=aPF2∥AB∴EQ\f(｜PF1｜,｜F2F1｜)=EQ\f(b,a)又∵b=EQ\r(,a2-c2)∴a2=5c2e=EQ\f(EQ\r(,5),5)變式(3):將上題中的條件"PF2∥AB〞變換為"∥(為坐標(biāo)原點)〞相似題：橢圓EQ\f(*2,a2)+EQ\f(y2,b2)=1(a>b>0)，A是左頂點，F(xiàn)是右焦點，B是短軸的一個頂點，∠ABF=90°，求e"解：｜AO｜=a｜OF｜=c｜BF｜=a｜AB｜=EQ\r(,a2+b2)a2+b2+a2=(a+c)2=a2+2ac+c2a2-c2-ac=0兩邊同除以a2e2+e-1=0e=EQ\f(-1+EQ\r(,5),2)e=EQ\f(-1-EQ\r(,5),2)(舍去)變式(1):橢圓EQ\f(*2,a2)+EQ\f(y2,b2)=1(a>b>0)，e=EQ\f(-1+EQ\r(,5),2),A是左頂點，F(xiàn)是右焦點，B是短軸的一個頂點，求∠ABF？點評：此題是上一題的條件與結(jié)論的互換，解題中分析各邊，由余弦定理解決角的問題。答案：90°引申：此類e=EQ\f(EQ\r(,5)-1,2)的橢圓為優(yōu)美橢圓。性質(zhì)：〔1〕∠ABF=90°〔2〕假設(shè)下端點為B1,則ABFB1四點共圓?！?〕焦點與相應(yīng)準(zhǔn)線之間的距離等于長半軸長。變式(2):橢圓(a＞b＞0)的四個頂點為A、B、C、D，假設(shè)四邊形ABCD的內(nèi)切圓恰好過橢圓的焦點，則橢圓的離心率e=．提示：內(nèi)切圓的圓心即原點，半徑等于c，又等于直角三角形AOB斜邊上的高，∴由面積得：，但4，設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，如果橢圓上存在點P，使，求離心率e的取值范圍。解：設(shè)法1：利用橢圓范圍。由得，將這個方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，可解得。由橢圓的性質(zhì)知，得。附：還可以用參數(shù)的方法也能求出離心率的范圍〔與法1類似〕法2：判別式法。由橢圓定義知，又因為，可得，則，，是方程的兩個根，則解法3：正弦定理設(shè)記又因為，且則則，所以解法5：利用根本不等式由橢圓定義，有平方后得解法6：巧用圖形的幾何特性由，知點P在以為直徑的圓上。又點P在橢圓上，因此該圓與橢圓有公共點P，故有變式(1)：圓EQ\f(*2,a2)+EQ\f(y2,b2)=1(a>b>0)的兩焦點為F1〔-c，0〕、F2(c,0)，P是以｜F1F2｜為直徑的圓與橢圓的一個交點，且∠PF1F2=5∠PF2F1,求橢圓的離心率e分析：此題有角的值，可以考慮正弦定理的應(yīng)用。解：由正弦定理：EQ\f(｜F1F2｜,sinF1PF2)=EQ\f(｜F1P｜,sinF1F2P)根據(jù)和比性質(zhì)：EQ\f(｜F1F2｜,sinF1PF2)=EQ\f(｜F1P｜+｜PF2｜,sinF1F2P+sinPF1F2)變形得：EQ\f(｜F1F2｜,｜PF2｜+｜F1P｜)=EQ\f(sinF1PF2,sinF1F2P+sinPF1F2)=e∠PF1F2=75°∠PF2F1=15°e=EQ\f(sin90°,sin75°+sin15°)=EQ\f(EQ\r(,6),3)點評：在焦點三角形中，使用第一定義和正弦定理可知e=EQ\f(sinF1PF2,sinF1F2P+sinPF1F2)變式(2)：橢圓EQ\f(*2,a2)+EQ\f(y2,b2)=1(a>b>0)的兩焦點為F1〔-c，0〕、F2(c,0)，P是橢圓上一點，且∠F1PF2=60°，求橢圓離心率e的取值范圍？分析：上題公式直接應(yīng)用。解：設(shè)∠F1F2P=α，則∠F2F1P=120°-αe=EQ\f(sinF1PF2,sinF1F2P+sinPF1F2)=EQ\f(sin60°,sinα+sin(120°-α))=EQ\f(1,2sin(α+30°))≥EQ\f(1,2)∴EQ\f(1,2)≤e<1變式(3)：過橢圓()的左焦點作軸的垂線交橢圓于點，為右焦點，假設(shè)，則橢圓的離心率e的值解析：因為，再由有從而得變式(4)：假設(shè)為橢圓的長軸兩端點，為橢圓上一點，使，求此橢圓離心率的最小值。{}變式(5)：8、橢圓上一點A關(guān)于原點的對稱點為B，F(xiàn)為其右焦點，假設(shè)，設(shè)，且，則橢圓的離心率的取值范圍為解析：設(shè)為橢圓左焦點，因為對角線互相平分，所以四邊形為平行四邊形且為矩形，，，，所以，由得。*yA1B2A2OTM6，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為橢圓的四個頂點，為其右焦點，直線與直線相交于點T，線段與橢圓的交點恰為線段*yA1B2A2OTM直線的方程為，直線的方程為，兩式聯(lián)立得T的坐標(biāo)，所以中點M的坐標(biāo)為，因為點M在橢圓上，代人方程得則所以7，橢圓EQ\f(*2,a2)+EQ\f(y2,b2)=1(a>b>0)的兩焦點為F1〔-c，0〕、F2(c,0)，滿足EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(MF))1·EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(MF))2=0的點M總在橢圓內(nèi)部，則e的取值范圍？F2MF1O分析：∵EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(MF))1·EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(MF))2=0∴以F1F2為直徑作圓，M在圓O上，與橢圓沒有交點。F2MF1O解：∴c<ba2=b2+c2>2c2∴0<e<EQ\f(EQ\r(,2),2)如下圖,畫圖可知點的軌跡是以為直徑的圓，則它在橢圓內(nèi)部,故,8，橢圓EQ\f(*2,a2)+EQ\f(y2,b2)=1(a>b>0)的兩焦點為F1〔-c，0〕、F2(c,0)，P為右準(zhǔn)線L：*=EQ\f(a2,c)上一點，F(xiàn)1P的垂直平分線恰過F2點，求e的取值范圍？分析：思路1,如圖F1P與F2M垂直，根據(jù)向量垂直，找a、b、c的不等關(guān)系。MPMPF2F1O解法一：F1〔-c，0〕F2(c,0)P(EQ\f(a2,c),y0)M(EQ\f(EQ\f(a2,c)-c,2),EQ\f(y0,2))既(EQ\f(b2,2c),EQ\f(y0,2))則EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(PF))1=-(EQ\f(a2,c)+c,y0)EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(MF))2=-(EQ\f(b2,2c)-c,EQ\f(y0,2))EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(PF))1·EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(MF))2=0(EQ\f(a2,c)+c,y0)·(EQ\f(b2,2c)-c,EQ\f(y0,2))=0(EQ\f(a2,c)+c)·(EQ\f(b2,2c)-c)+EQ\f(y02,2)=0a2-3c2≤0∴EQ\f(EQ\r(,3),3)≤e<1解法2：｜F1F2｜=｜PF2｜=2c｜PF2｜≥EQ\f(a2,c)-c則2c≥EQ\f(a2,c)-c3c≥EQ\f(a2,c)3c2≥a2則EQ\f(EQ\r(,3),3)≤e<1總結(jié)：比照兩種方法，不難看出法一具有代表性，可謂通法，而法二是運(yùn)用了垂直平分線的幾何性質(zhì)，巧妙的運(yùn)用三角形邊的大小求解的妙法。所以垂直平分線這個條件經(jīng)常在解析幾何中出現(xiàn)，對于它的應(yīng)用方法，值得大家注意。9，如圖，正六邊形ABCDEF的頂點A、D為一橢圓的兩個焦點，其余四個頂點B、C、E、F均在橢圓上，則橢圓離心率的取值范圍是解：以AD所在直線為*軸，AD中點為坐標(biāo)原點建立坐標(biāo)系。設(shè)正六邊形的邊長為r，則橢圓的半焦距，易知ΔAOF為等邊三角形，∴F〔，代入橢圓方程中，得：，∴，即：，又法二：如圖，連結(jié)AE，易知，設(shè)，由橢圓定義，有：，，∴10，橢圓EQ\f(*2,a2)+EQ\f(y2,b2)=1(a>b>0)，過左焦點F1且傾斜角為60°的直線交橢圓與AB兩點，假設(shè)｜F1A｜=2｜BF1｜,求橢圓的離心率e的值解：設(shè)｜BF1｜=m則｜AF2｜=2a-am｜BF2｜=2a-m在△AF1F2及△BF1F2中，由余弦定理得：ADVANCE\u3EQ\B\lc\{(\a\al(a2–c2=m(2a-c),2(a2-c2)=m(2a+c),))兩式相除EQ\f(：2a-c,2a+c)=EQ\f(1,2)e=EQ\f(2,3)練習(xí)題：1，橢圓上有一點M，是橢圓的兩個焦點，假設(shè)，求橢圓的離心率.解析:由橢圓的定義，可得又，所以是方程的兩根，由，可得/r