(1502)黃金分割專項(xiàng)練習(xí)30題(有答案)

黃金分割專項(xiàng)練習(xí)30題(有答案)1.定義：如圖1,點(diǎn)C在線段AB上，若滿足AC2=BC?AB,則稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn).如圖2,△ABC中，AB=AC=1，ZA=36°,BD平分/ABC交AC于點(diǎn)D.(1)求證：點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)；(2)求出線段AD的長(zhǎng).2.如圖，用長(zhǎng)為40cm的細(xì)鐵絲圍成一個(gè)矩形ABCD(AB>AD).若這個(gè)矩形的面積等于99cm2，求AB的長(zhǎng)度；這個(gè)矩形的面積可能等于101cm2嗎？若能，求出AB的長(zhǎng)度，若不能，說明理由；若這個(gè)矩形為黃金矩形(AD與AB之比等于黃金比半廠)，求該矩形的面積.(結(jié)果保留根號(hào))3.定義：如圖1,點(diǎn)C在線段AB上，若滿足AC2=BC?AB,則稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn).如圖2,△ABC中，AB=AC=2,ZA=36°,BD平分ZABC交AC于點(diǎn)D.求證：點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)；求出線段AD的長(zhǎng).作一個(gè)等腰三角形，使得腰與底之比為黃金比.（1）尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡；（2）寫出你的作法；（3）證明：腰與底之比為黃金比．（1）已知線段AB的長(zhǎng)為2,P是AB的黃金分割點(diǎn)，求AP的長(zhǎng)；（2）求作線段AB的黃金分割點(diǎn)P,要求尺規(guī)作圖，且使AP>PB.A*S如圖，線段AB的長(zhǎng)度為1.（1）線段AB上的點(diǎn)C滿足系式AC2=BC?AB,求線段AC的長(zhǎng)度；（選做）（2）線段AC上的點(diǎn)D滿足關(guān)系式AD2=CD?AC,求線段AD的長(zhǎng)度;（選做）（3）線段AD上的點(diǎn)E滿足關(guān)系式AE2=DE?AD,求線段AE的長(zhǎng)度；上面各題的結(jié)果反映了什么規(guī)律？（提示：在每一小題中設(shè)x和1）AEDc￡7.如圖，在△ABC中，AB=AC,ZA=36°,Z1=Z2,請(qǐng)問點(diǎn)D是不是線段AC的黃金分割點(diǎn).請(qǐng)說明理由.8.在△ABC中，AB=AC=2,BC=:-1,ZA=36°,BD平分/ABC,交于AC于D.試說明點(diǎn)D是線段AC的黃9.在數(shù)學(xué)上稱長(zhǎng)與寬之比為黃金分割比的矩形為黃金矩形，如在矩形ABCD中,當(dāng)時(shí)，稱矩形ABCD為黃金矩形ABCD.請(qǐng)你證明黃金矩形是由一個(gè)正方形和一個(gè)更小的黃金矩形構(gòu)成.DC10.如圖，設(shè)AB是已知線段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中點(diǎn)E,連接EB；延長(zhǎng)DA至F,使EF=EB；以線段AF為邊作正方形AFGH?則點(diǎn)H是AB的黃金分割點(diǎn).為什么說上述的方法作出的點(diǎn)H是這條線段的黃金分割點(diǎn)，你能說出其中的道理嗎？請(qǐng)?jiān)囈辉?，說一說.為什么說上述的方法作出的點(diǎn)H是這條線段的黃金分割點(diǎn)，你能說出其中的道理嗎？請(qǐng)?jiān)囈辉嚕f一說.AHE11.如圖，已知△ABC中，D是AC邊上一點(diǎn)，ZA=36°,ZC=72°,ZADB=108°.求證:（1）AD=BD=BC；（2）點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn).

rn12.已知AB=2，點(diǎn)C是AB的黃金分割線，點(diǎn)D在AB上，且AD2=BD?AB,求罟的值.l!lL-tR%斥-113.如果一個(gè)矩形ABCD(ABVBC)中，=0.618,那么這個(gè)矩形稱為黃金矩形，黃金矩形給人以美感.在BC2黃金矩形ABCD內(nèi)作正方形CDEF，得到一個(gè)小矩形ABFE(如圖)，請(qǐng)問矩形ABFE是否是黃金矩形？請(qǐng)說明你14.五角星是我們常見的圖形，如圖所示，其中，點(diǎn)C，D分別是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AB=20cm,求EC+CD的長(zhǎng).E15.人的肚臍是人的身高的黃金分割點(diǎn)，一般來講，當(dāng)肚臍到腳底的長(zhǎng)度與身高的比為0.618時(shí)，是比較好看的黃金身段.一個(gè)身高1.70m的人，他的肚臍到腳底的長(zhǎng)度為多少時(shí)才是黃金身段(保留兩位小數(shù))？16.如圖所示，以長(zhǎng)為2的定線段AB為邊作正方形ABCD，取AB的中點(diǎn)P,連接PD,在BA的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F,使PF=PD，以AF為邊作正方形AMEF，點(diǎn)M在AD上.求AM,DM的長(zhǎng)；點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn)嗎？為什么？

17.如圖，點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP>BP,設(shè)以AP為邊長(zhǎng)的正方形面積為Si，以PB為寬和以AB為長(zhǎng)的矩形面積為S2,試比較S1與S2的大小.PS318.如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且D為AE的黃金分割點(diǎn)，即阻二'[%,BE交DC于點(diǎn)F,已知AB=-..'5+l，求CF的長(zhǎng).19?圖1是一張寬與長(zhǎng)之比為的矩形紙片，我們稱這樣的矩形為黃金矩形?同學(xué)們都知道按圖2所示的折疊方法進(jìn)行折疊，折疊后再展開，可以得到一個(gè)正方形ABEF和一個(gè)矩形EFDC,那么EFDC這個(gè)矩形還是黃金矩形嗎？若是，請(qǐng)根據(jù)圖2證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說明理由.20.（如圖120.（如圖1）,點(diǎn)P將線段AB分成一條較小線段AP和一條較大線段BP，（1）以圖1中的AP為底，BP為腰得到等腰△APB（如圖2）,等腰△APB即為黃金三角形，黃金三角形的定義為:腰一底+腰-腰一底+腰-0.618的等腰三角形是黃金三角形；類似地，請(qǐng)你給出黃金矩形的定義:（2）如圖1,設(shè)AB=1，請(qǐng)你說明為什么k約為0.618；（3）由線段的黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到圖形的“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線"的定義：直線l將一個(gè)面積為S的圖形分成面積為S圖形分成面積為S1和面積為S2的兩部分（設(shè)s1vs2）.如果，，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線.（如圖O--I凸3），點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，那么直線CP是厶ABC的黃金分割線嗎？請(qǐng)說明理由;（4）圖3中的△ABC的黃金分割線有幾條？21．在人體軀干（腳底到肚臍的長(zhǎng)度）與身高的比例上，肚臍是理想的黃金分割點(diǎn)，即比例越接近0.618，越給人以美感.張女士原來腳底到肚臍的長(zhǎng)度與身高的比為0.60，她的身高為1.60m,她應(yīng)該選擇多高的高跟鞋穿上看起來更美？（精確到十分位）22.已知線段AB,按照如下的方法作圖：以22.已知線段AB,按照如下的方法作圖：以AB為邊作正方形ABCD，取AD的中點(diǎn)E,連接EB,延長(zhǎng)DA到F，使EF=EB，以線段AF為邊，作正方形AFGH，那么點(diǎn)H是線段AB的黃金分割點(diǎn)嗎？請(qǐng)說明理由.23.如圖，用紙折出黃金分割點(diǎn)：裁一張正方的紙片ABCD,先折出BC的中點(diǎn)E,再折出線段AE,然后通過折疊使EB落到線段EA上，折出點(diǎn)B的新位置Bz，因而EBJEB.類似地，在AB上折出點(diǎn)B〃使AB〃=ABt這時(shí)B〃就是AB的黃金分割點(diǎn).請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論.24.如圖，用紙折出黃金分割點(diǎn)：裁一張邊長(zhǎng)為2的正方形紙片ABCD,先折出BC的中點(diǎn)E,再折出線段AE,然后通過折疊使EB落在線段EA上,折出點(diǎn)B的新位置F，因而EF=EB.類似的，在AB上折出點(diǎn)M使AM=AF.則M是AB的黃金分割點(diǎn)嗎？若是請(qǐng)你證明,若不是請(qǐng)說明理由．25.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，且DB=DC=AC，已知ZACE=108°,BC=2.（1）求/B的度數(shù)；（2）我們把有一個(gè)內(nèi)角等于36°的等腰三角形稱為黃金三角形.它的腰長(zhǎng)與底邊長(zhǎng)的比（或者底邊長(zhǎng)與腰長(zhǎng)的比）等于黃金比迢”!寫出圖中所有的黃金三角形，選一個(gè)說明理由；求AD的長(zhǎng)；在直線AB或BC上是否存在點(diǎn)P（點(diǎn)A、B除外），使厶PDC是黃金三角形？若存在，在備用圖中畫出點(diǎn)P,簡(jiǎn)低-126.寬與長(zhǎng)的比是的矩形叫黃金矩形.心理測(cè)試表明：黃金矩形令人賞心悅目，它給我們以協(xié)調(diào)，勻稱的美感.現(xiàn)將小波同學(xué)在數(shù)學(xué)活動(dòng)課中，折疊黃金矩形的方法歸納如下（如圖所示）：第一步：作一個(gè)正方形ABCD；第二步：分別取AD,BC的中點(diǎn)M,N,連接MN；第三步：以N為圓心，ND長(zhǎng)為半徑畫弧，交BC的延長(zhǎng)線于E；第四步：過E作EF丄AD,交AD的延長(zhǎng)線于F.請(qǐng)你根據(jù)以上作法，證明矩形DCEF為黃金矩形.

27.在△ABC中，AB=AC,ZA=36°,把像這樣的三角形叫做黃金三角形.（1）請(qǐng)你設(shè)計(jì)三種不同的分法，將黃金三角形ABC分割成三個(gè)等腰三角形，使得分割成的三角形中含有兩個(gè)黃金三角形（畫圖工具不限，要求畫出分割線段；標(biāo)出能夠說明不同分法所得三角形的內(nèi)角度數(shù)，不要求寫畫法，不要求證明．分別畫在圖1，圖2，圖3中）注：兩種分法只要有一條分割線段位置不同，就認(rèn)為是兩種不同的分法．（2）如圖4中，BF平分ZABC交AC于F,取AB的中點(diǎn)E,連接EF并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于M.試判斷CM與AB之間的數(shù)量關(guān)系？只需說明結(jié)果，不用證明．答：CM與AB之間的數(shù)量關(guān)系是28.折紙與證明——用紙折出黃金分割點(diǎn)：第一步：如圖（1）,先將一張正方形紙片ABCD對(duì)折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的對(duì)角線BF.第二步：如圖（2）,將AB邊折到BF上，得到折痕BG,試說明點(diǎn)G為線段AD的黃金分割點(diǎn)（AG>GD）29.三角形中，頂角等于36°的等腰三角形稱為黃金三角形，如圖1,在厶ABC中，已知：AB=AC，且ZA=36°.（1）在圖1中，用尺規(guī)作AB的垂直平分線交AC于D,并連接BD（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）△BCD是不是黃金三角形？如果是，請(qǐng)給出證明；如果不是，請(qǐng)說明理由（3）設(shè)，試求k的值；■ft—

30.如圖1,點(diǎn)C將線段AB分成兩部分，如果，，那么稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn).某研究小組在進(jìn)行ABAC課題學(xué)習(xí)時(shí)，由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線"的定義：直線l將一個(gè)面積為S的圖形§]2分成兩部分，這兩部分的面積分別為S1，S2,如果，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線.lIi研究小組猜想：在△ABC中，若點(diǎn)D為AB邊上的黃金分割點(diǎn)(如圖2)，則直線CD是厶ABC的黃金分割線．你認(rèn)為對(duì)嗎？為什么？請(qǐng)你說明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？研究小組在進(jìn)一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點(diǎn)C任作一條直線交AB于點(diǎn)E，再過點(diǎn)D作直線DFIICE,交AC于點(diǎn)F,連接EF(如圖3)，則直線EF也是△ABC的黃金分割線.請(qǐng)你說明理由.如圖4,點(diǎn)E是平行四邊形ABCD的邊AB的黃金分割點(diǎn)，過點(diǎn)E作EFIIAD,交DC于點(diǎn)F,顯然直線EF是平行四邊形ABCD的黃金分割線.請(qǐng)你畫一條平行四邊形ABCD的黃金分割線，使它不經(jīng)過平行四邊形ABCD各邊黃金分割點(diǎn).ccBB^3DEBccBB^3DEB黃金分割專項(xiàng)練習(xí)30題參考答案:1.(1)證明：???AB=AC=1,???ZABC=ZC=2(180°-ZA)(180°-36°)=72°,22???BD平分ZABC交AC于點(diǎn)D,ZABD=ZCBD=!zABC=36°,2ZBDC=180°-36°-72°=72°,DA=DB,BD=BC,AD=BD=BC,易得△BDC-△ABC,BC：AC=CD：BC,即卩BC2=cd?ac,AD2=cd?ac,點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)；(2)設(shè)AD=x，貝9CD=AC-AD=1-x,???AD2=cd?ac.?x2=1-X,解得X]=—即ad的長(zhǎng)為—2.解：(1)設(shè)AB=xcm,則AD=(20-x)cm,根據(jù)題意得x(20-x)=99,整理得x2-20x+99=0，解得X]=9,X2=11,當(dāng)x=9時(shí)，20-x=11；當(dāng)x=11時(shí)，20-11=9,而AB>AD,所以x=11，即AB的長(zhǎng)為11cm；(2)不能.理由如下：設(shè)AB=xcm，貝9AD=(20-x)cm,根據(jù)題意得x(20-x)=101，整理得x2-20x+101=0，因?yàn)椤?202-4x101=-4V0,所以方程沒有實(shí)數(shù)解，所以這個(gè)矩形的面積可能等于101cm2；(3)設(shè)AB=xcm，貝9AD=(20-x)cm,根據(jù)題意得20-x=q■丄x,解得x=10(匚5-1)則20-x=10(3-l5),___所以矩形的面積=10(小5-1)?10(3-1‘5)=(400匚5-800)cm2.3.解：(1)TZA=36°,AB=AC,ZABC=ZACB=72°，???BD平分ZABC,ZCBD=ZABD=36°，ZBDC=72°，AD=BD，BC=BD，△ABC-△BDC,

BD_CD即AD_CD…AB~BC，AC_a5，AD2_ac?cd.???點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn).(2)T點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn),AD_■5?-】AC,???AC_2,AD_i'5-1解：(1)腰與底之比為黃金比為黃金比如圖，作法：①畫線段AB作為三角形底邊；取AB的一半作AB的垂線AC,連接BC，在BC上取CD_CA.分別以A點(diǎn)和B點(diǎn)為圓心、以BD為半徑劃弧，交點(diǎn)為E；分別連接EA、EB,則△ABE即是所求的三角形._證明：設(shè)AB_2，貝9AC_1,BC_；5,AE_BE_BD_BC-CD_一5-1,廠■廠■解：解：(1)由于P為線段AB_2的黃金分割點(diǎn),則AP_2x-1，2_或AP_2-('；'5-1)_3-'；'5；(2)如圖，點(diǎn)(2)如圖，點(diǎn)P是線段AB的一個(gè)黃金分割點(diǎn).6.解：(1)設(shè)AC_x，貝9BC_AB-AC_1-x，TAC2_BC?AB，—X2_]x(1-x)，，x2_(舍去),整理得x2+x-1_0，解得勺_弓，x2「P，x2_(舍去),(2)設(shè)線段AD的長(zhǎng)度為x,AC=1,???AD2=cd?ac.…X2=]x(l-x),???線段ad的長(zhǎng)度打】AC；(3)同理得到線段AE的長(zhǎng)度遲F^AD；上面各題的結(jié)果反映：若線段AB分成兩條線段AC和BC(AC>BC),且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)(即AB：AC=AC：BC),則C點(diǎn)為AB的黃金分割點(diǎn)7．解：D是AC的黃金分割點(diǎn)．理由如下：???在厶ABC中，AB=AC,ZA=36°,ZABC=ZACB==72°.Z1=Z2,Z1=Z2=|zABC=36°.?在厶BDC中,ZBDC=180°-Z2-ZC=72°,ZC=ZBDC，BC=BD.ZA=Z1,AD=BC.???△ABC和厶BDC中，Z2=ZA,ZC=ZC,△ABC-△BDC,.?座二匹,又:AB=AC,AD=BC=BD,??ADCDAD2=aC?CD,即D是AC的黃金分割點(diǎn)8.證明：TAB=AC,ZA=36°,ZABC=!(180°-36°)=72°,2???BD平分ZABC,交于AC于D,ZDBC丄zABC=2x72°=36°,22ZA=ZDBC又???ZC=ZC,△BCD-△ABCBC_CDTAB=AC

?=.?ACBC*/AB=AC=2,BC=.5-1,?l)2=2x(2-AD),解得AD=.￡AD：AC=(污-b：2.???點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn).9.證明：在AB上截取AE=BC,DF=BC,連接EF.TAE=BC，DF=BC，?AE=DF=BC=AD，又:ZADF=90°,?四邊形AEFD是正方形.BE=^_幅二-BO迂尸BC,??BC2?矩形BCFE的寬與長(zhǎng)的比是黃金分割比,矩形BCFE是黃金矩形.?黃金矩形是由一個(gè)正方形和一個(gè)更小的黃金矩形構(gòu)成.解：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,在RtAAEB中，依題意，得AE=1,AB=2,由勾股定理知EB=_；扭？+扭2=二4十1=.：5,AH=AF=EF-AE=EB-AE=拓-1,HB=AB-AH=3-「5；..AH2=(,51)2=6-2l5,AB?HB=2x(3-T5)=6-2一5,AH2=AB?hb,所以點(diǎn)H是線段AB的黃金分割點(diǎn).證明：(1)TZA=36°,ZC=72°,ZABC=180°-36°-72°=72°,TZADB=108°，ZABD=180°-36°-108°=36°△ADB是等腰三角形

???ZBDC=180°-ZADC=180°-108°=72°,???△BDC是等腰三角形，???AD=BD=BC.(2)vZDBC=ZA=36°,ZC=ZC,△ABC-△BDC,BC：AC=CD：BC,BC2=AC?DC,vBC=AD,AD2=AC?DC,???點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn).12.解：vD在AB上，且AD2=BD?AB,點(diǎn)D是AB的黃金分割點(diǎn)而點(diǎn)C是AB的黃金分割點(diǎn)，AC=AB=拓-1,AD=AB-AB=AB=3-TS或AD=-1,AC=3-需CD=_：5-1-(3-〔：5)=2,.：5-4,CD_=或CD_—二…ACVs~12"AC3-V52'13．解：矩形ABFE是黃金矩形．vAD=BC,DE=AB,ABAB.怔—扭-皿_EC-AB_BC_]=2_[樂+]-]』+]_2』_]ABAB?矩形ABFE是黃金矩形．14.解：vD為AB的黃金分割點(diǎn)（AD>BD）,10,10,vvEC+CD=AC+CD=AD,EC+CD=（10打-10）cm.解：設(shè)他的肚臍到腳底的長(zhǎng)度為xm時(shí)才是黃金身段，根據(jù)題意得x：1.70=0.618,即x=1.70x0.618“.1（m）.答：他的肚臍到腳底的長(zhǎng)度為1.1m時(shí)才是黃金身段.解：（1）在RtAAPD中，AP=1,AD=2，由勾股定理知PD=_；喬匚肩=14+1=；5,AM=AF=PF-AP=PD-AP=_：電-1,DM=AD-AM=3_-_故AM的長(zhǎng)為T5-1,DM的長(zhǎng)為3-I5；（2）點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn).由于希,?點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn).解：v點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP>BP,???AP2=BPxAB,又:S1=AP2,S2=PBxAB,S1=S2．18.解：???四邊形ABCD為平行四邊形,ZCBF=ZAEB,ZBCF=ZBAE,?.△BCF~△EAB,?BC即皿一-CF,"CF^BA，伍盂’把AD=，［1AE,ab^E+1代入得,，5戈1__|打解得：CF=2.故答案為：2.19.解：矩形EFDC是黃金矩形,證明：T四邊形ABEF是正方形,?AB=DC=AF,即點(diǎn)F是線段的黃金分割點(diǎn).AF~AD~2DC-2?矩形CDFE是黃金矩形.20.解:咅1/(1)滿足-0.618的矩形是黃金矩形;枚見+恢RP(2)由=k得,BP=1xk=k,從而AP=1-k,A3由?得，BP2=APxAB,BPAB即k2=(1-k)x1,解得k=???k>0,?k=?'J1-0.618；⑶因?yàn)辄c(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，所以需=f，設(shè)厶ABC的AB上的高為h,則WcJ^^APSAePcJEFX\bPSAEFc"lBpXh"BP，j■討「朋.匚_^ABFC^AABC???直線CP是厶ABC的黃金分割線.(4)由(2)知,在BC邊上也存在這樣的黃金分割點(diǎn)Q,則AQ也是黃金分割線,設(shè)AQ與CP交于點(diǎn)W,則過點(diǎn)W的直線均是△ABC的黃金分割線，故黃金分割線有無數(shù)條.21?解：根據(jù)已知條件得下半身長(zhǎng)是160x0.6=96cm,設(shè)選擇的高跟鞋的高度是xcm，則根據(jù)黃金分割的定義得:勺6+勺6+工160+1=0.618,解得：x=7.5cm.故她應(yīng)該選擇7.5cm左右的高跟鞋穿上看起來更美.22.解：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a,在RtAAEB中，依題意，得AE=a,AB=2a,由勾股定理知EB=%B?+AE；5a，AH=AF=EF-AE=EB-AE=(.角-1)a,HB=AB-AH=(3-l'5)a；…AH2=(6-2'；5)a2,AB?HB=2ax(3-<5)a=(6-2匚5)a2,AH2=AB?HB，所以點(diǎn)H是線段AB的黃金分割點(diǎn).23.證明：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,E為BC的中點(diǎn)，?BE=1ae=fM+ee2=沅，又:BZE=BE=1,_ABZ=AE-BZE=/^-1,AB〃；???點(diǎn)B〃是線段AB的黃金分割點(diǎn).BL2BL2_???BC=2,?AC=：號(hào)-1.???BA=BC=2,BD=AC=電-1,?AD=BA-BD=2-（：5-1）=3-i5，③存在，有三個(gè)符合條件的點(diǎn)P2、P3.i）以CD為底邊的黃金三角形：作CD的垂直平分線分別交直線AB、BC得到點(diǎn)P］、p2.ii）以CD為腰的黃金三角形：以點(diǎn)C為圓心，CD為半徑作弧與BC的交點(diǎn)為點(diǎn)p3.證明：???正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,E為BC的中點(diǎn),???BE=1二人￡=.￡哄+師=污，???EF=BE=1,AF=AE-EF=.：5-1，AM=AF=_：5-1，AM：AB=(真-1)：2,???點(diǎn)M是線段AB的黃金分割點(diǎn).解:(1)TBD=DC=AC.則上B=ZDCB,ZCDA=ZA.設(shè)/B=x，則ZDCB=x,ZCDA=ZA=2x.又ZBOC=108°,ZB+ZA=108°.x+2x=108,x=36°.ZB=36°；(2)①有三個(gè)：△BDC,△ADC,△BAC.TDB=DC,ZB=36°,△DBC是黃金三角形,(或???CD=CA,ZACD=180°-ZCDA-ZA=36°.△CDA是黃金三角形.或???ZACE=108°,ZACB=72°.又ZA=2x=72°,ZA=ZACB．BA=BC．△BAC是黃金三角形．?△BAC是黃金三角形，—,26.證明：在正方形ABCD中，取AB=2a,TN為BC的中點(diǎn)，NC冷BC=a.在RtADNC中，ND=又:NE=ND,_???CE=NE-NC=C.盲-1）a..CE（V5-1）aV5-1CD"2a~2故矩形DCEF為黃金矩形.A衛(wèi)A636'j■商?:3C1^36A衛(wèi)A636'j■商?:3C1^36占■—s-(2)CM=AB(4分)28.證明：如圖，連接GF,設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,則DF=|.在RtAA'GF和RtADGF中，有A'F2+A'G2=DF2+DG2,29.解：(1)如圖所示；(2)△BCD是黃金三角形.證明如下：???點(diǎn)D在AB的垂直平分線上,AD=BD,ZABD=ZA.?:厶A=36°,AB=AC,.ZABC=ZC=72°,.ZABD=ZDBC=36°.