基于Matlab的一級倒立擺模型的仿真

(以論文、報告等形式考核專用)

二○○九～二○○一零學年度第2學期課程編號課程名稱計算機控制系統(tǒng)主講教師李東評分學號姓名專業(yè)年級2007級光電工程學院測控技術與儀器教師評語：題目：一級倒立擺模型的仿真倒立擺模型的研究意義倒立擺控制系統(tǒng)是一個復雜的、不穩(wěn)定的、非線性系統(tǒng)，是進行控制理論教學及開展各種控制實驗的理想實驗平臺。對倒立擺系統(tǒng)的研究能有效的反映控制中的許多典型問題：如非線性問題、魯棒性問題、鎮(zhèn)定問題、隨動問題以及跟蹤問題等。通過對倒立擺的控制，用來檢驗新的控制方法是否有較強的處理非線性和不穩(wěn)定性問題的能力。同時，其控制方法在軍工、航天、機器人和一般工業(yè)過程領域中都有著廣泛的用途，如機器人行走過程中的平衡控制、火箭發(fā)射中的垂直度控制和衛(wèi)星飛行中的姿態(tài)控制等。故其研究意義廣泛。倒立擺模型的數(shù)學建模質(zhì)量為m的小球固結于長度為L的細桿（可忽略桿的質(zhì)量）上，細桿又和質(zhì)量為M的小車鉸接相連。由經(jīng)驗知：通過控制施加在小車上的力F（包括大小和方向）能夠使細桿處于θ＝0的穩(wěn)定倒立狀態(tài)。在忽略其他零件的質(zhì)量以及各種摩擦和阻尼的條件下，推導小車倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學模型分析過程如下：如圖所示，設細桿擺沿順時針方向轉動為正方向，水平向右方向為水平方向上的正方向。當細桿擺順時針往右運動時水平方向施加的力應該為水平向右?，F(xiàn)對小車和細桿擺分別進行隔離受力分析：對小車有：F-F’sinθ=Mx’’（a）對小球有：水平方向上運動為x+lsinθ故水平方向受力為F’sinθ=m（x+lsinθ）’’=m（x’+lcosθθ’)’=mx’’+mlcosθθ’’-mlsinθ(θ’)^2（b）由（a）、（b）兩式得F=(M+m)x’’+mlcosθθ’’-mlsinθ(θ’)^2<1>小球垂直方向上位移為lcosθ故受力為F’cosθ-mg=m(lcosθ)’’=-mlθ’’sinθ-mlcosθ(θ’)^2即F’cosθ=mg-mlθ’’sinθ-mlcosθ(θ’)^2（c）由（b）、（c）兩式得cosθx’’=gsinθ-lθ’’<2>故可得以下運動方程組：F=(M+m)x’’+mlcosθθ’’-mlsinθ(θ’)^2cosθx’’=gsinθ-lθ’’以上方程組為非線性方程組，故需做如下線性化處理：當θ很小時，由cosθ、sinθ的冪級數(shù)展開式可知，忽略高次項后，可得cosθ≈1，sinθ≈θ，θ’’≈0故線性化后運動方程組簡化為F=(M+m)x’’+mlθ’’x’’=gθ-lθ’’下面進行系統(tǒng)狀態(tài)空間方程的求解：以擺角θ、角速度θ’、小車位移x、加速度x’為系統(tǒng)狀態(tài)變量，Y為輸出，F(xiàn)為輸入即X==Y==由線性化后運動方程組得x1’=θ’=x2x2’==x1-FX3’=x’=x4x4’=x’’=-x1+F故空間狀態(tài)方程如下：X’==+FY==+0F用MATLAB將狀態(tài)方程轉化成傳遞函數(shù)，取M=2kgm=0.1kgl=0.5m代入得>>A=[0100;20.58000;0001;-0.49000]>>B=[0;-1;0;0.5]>>C=[1000;0010]>>D=[0;0]>>[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1);>>[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1)num=

0-0.0000-1.0000000-0.00000.5000-0.0000-9.8000den=

1.00000-20.580000

由上可以得出角度對力F的傳遞函數(shù)：位移X對外力F的傳遞函數(shù)：用MATLAB的Simulink仿真系統(tǒng)進行建模1、沒校正之前的θ-F控制系統(tǒng)由于未加進控制環(huán)節(jié)，故系統(tǒng)輸出發(fā)散加進控制環(huán)節(jié)，實現(xiàn)時域的穩(wěn)定控制給系統(tǒng)加入PID控制，設置系統(tǒng)穩(wěn)定值為0，給系統(tǒng)一個初始干擾沖擊信號采用試湊法不斷調(diào)整PID參數(shù)，使系統(tǒng)達到所需的控制效果當系統(tǒng)Kp=-100，Ti=Td=0時輸出如下：不斷地調(diào)整參數(shù)，最后得到穩(wěn)定的響應Kp=-1000，Ti=1，Td=-40時可見調(diào)整好參數(shù)后，系統(tǒng)基本達到穩(wěn)定，凈差基本為0，超調(diào)較小，響應時間較小。再微調(diào)后，得到最終的響應曲線響應時間較小，Tp=0.2s時域達到穩(wěn)定后，進行離散化分析離散模型系統(tǒng)控制框圖如下當Kp=-100，Ti=0，Td=0時輸出：發(fā)散，需加大Kp、增加Ti、Td控制Kp=-100，Ti=-2，Td=-1000時輸出：仍需要調(diào)節(jié)PID，由圖可知超調(diào)仍大，響應時間稍長，故微增加Kp、Ti、Td反復試湊PID參數(shù)后，得到較好的響應曲線如下（Kp=-110，Ti=-4，Td=-1500時）可見調(diào)整好參數(shù)后，系統(tǒng)基本達到穩(wěn)定，凈差基本為0，超調(diào)較小，響應時間較小。再微調(diào)后，得到最終的響應曲線響應時間較小，Tp=0.5s。至此，離散域的控制順利實現(xiàn)位移—角度控制系統(tǒng)框圖（此部分為加分部分，可不做）由于時間關系，此環(huán)節(jié)未能順利完成，深感遺憾！實驗總結與分析本實驗，從數(shù)學建模到仿真系統(tǒng)的搭建，再到加進控制環(huán)節(jié)進行實時控制，最后得出結果的過程中，參考了大量的資料，通過對比整合，設計出了適合自己的一套實驗方法：倒立擺數(shù)學模型推導部分：首先用牛頓—歐拉方法建立數(shù)學模型，接著用動態(tài)系統(tǒng)空間狀態(tài)方程法導出狀態(tài)方程系數(shù)矩陣，然后用MATLAB對數(shù)學模型進行從狀態(tài)空間到傳遞函數(shù)的變換（包括傳遞函數(shù)的拉氏變換與Z變換），得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型。接著根據(jù)數(shù)學建模得出的傳遞函數(shù)進行系統(tǒng)模型的搭建，在Simulink軟件上進行系統(tǒng)仿真，采用最為廣泛的PID控制算法，先用連續(xù)系統(tǒng)的設計方法設計出模擬控制器，然后在滿足一定條件下，對其進行離散化處理，(采用加零階保持器的Z變換法)形成數(shù)字控制器。接著進行PID參數(shù)整定，利用試湊法,根據(jù)PID控制器各組成環(huán)節(jié)對系統(tǒng)性能的影響，從一組初始PID參數(shù)開始反復試湊，直至獲得，滿意的控制效果。此實驗中，系統(tǒng)的控制非常穩(wěn)定，性能較好。由實驗中可知，倒立擺系統(tǒng)是一個非線性的較復雜的不穩(wěn)定系統(tǒng)，故要滿足穩(wěn)定性要求，就得對系統(tǒng)進行線性化近似和穩(wěn)定控制。本實驗中，在做了線性化和加進控制調(diào)整后，系統(tǒng)達到了良好的穩(wěn)定狀態(tài)。當然，這只是一個理想模型，在實際應用中情況會更加復雜，穩(wěn)定性也更難獲得。不過，通過實驗，我們至少掌握了簡單控制的基本方法，并得到了預期的實驗效果。通過本實