2022年秋高中數(shù)學(xué)第二章平面解析幾何2.3圓及其方程2.3.2圓的一般方程課件新人教B版選擇性必修第一冊(cè)

2.3.2圓的一般方程第二章課標(biāo)要求1.掌握?qǐng)A的一般方程及其特點(diǎn);2.能將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;3.能熟練地指出圓心的位置和半徑的大小;4.能根據(jù)某些具體條件,用待定系數(shù)法確定圓的方程,并能解決相關(guān)實(shí)際問(wèn)題;5.了解二元二次方程、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的一般方程之間的關(guān)系.內(nèi)容索引0102基礎(chǔ)落實(shí)?必備知識(shí)全過(guò)關(guān)重難探究?能力素養(yǎng)全提升03學(xué)以致用?隨堂檢測(cè)全達(dá)標(biāo)基礎(chǔ)落實(shí)?必備知識(shí)全過(guò)關(guān)知識(shí)點(diǎn)1

圓的一般方程圓的一般方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0,限制條件是

.

過(guò)關(guān)自診已知方程x2+y2+x+y+m=0表示一個(gè)圓,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

.

D2+E2-4F>0知識(shí)點(diǎn)2

方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的圖形

條件圖形D2+E2-4F<0不表示任何圖形D2+E2-4F=0表示一個(gè)點(diǎn)D2+E2-4F>0表示以

為圓心,以

為半徑的圓過(guò)關(guān)自診方程x3+xy2-2x2+2xy+2x=0表示的圖形是

.

答案

直線x=0或點(diǎn)(1,-1)

提示由題意,得x[(x-1)2+(y+1)2]=0,所以x=0或所以方程表示的圖形為直線x=0或點(diǎn)(1,-1).重難探究?能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一圓的一般方程角度1判斷圓的方程【例1】

若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圓,求實(shí)數(shù)m的取值范圍,并寫(xiě)出圓心坐標(biāo)和半徑.規(guī)律方法

1.判斷方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否表示圓的方法

2.對(duì)于圓的一般方程求參類(lèi)問(wèn)題,也要將其化為標(biāo)準(zhǔn)方程,再將其轉(zhuǎn)化為不等式(方程)的求解問(wèn)題.變式訓(xùn)練1若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圓,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(

)A.(-∞,1) B.(1,+∞)C.(-∞,0) D.(-∞,1]答案

A

解析

因?yàn)閤2+y2-4x+2y+5k=0表示圓,則16+4-4×5k>0,所以k<1.角度2求圓的一般方程【例2】

已知A(2,2),B(5,3),C(3,-1).(1)求△ABC的外接圓的一般方程;(2)若點(diǎn)M(a,2)在△ABC的外接圓上,求實(shí)數(shù)a的值.解(1)設(shè)△ABC外接圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,由題意,得

(2)由(1)知,△ABC的外接圓的方程為x2+y2-8x-2y+12=0.∵點(diǎn)M(a,2)在△ABC的外接圓上,∴a2+22-8a-2×2+12=0,即a2-8a+12=0,解得a=2或a=6.規(guī)律方法

應(yīng)用待定系數(shù)法求圓的方程時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題(1)如果由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需利用圓心坐標(biāo)或半徑列方程,一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,再用待定系數(shù)法求出a,b,r.(2)如果已知條件與圓心和半徑都無(wú)直接關(guān)系,一般采用圓的一般方程,再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D,E,F.變式探究若本例中將“點(diǎn)C(3,-1)”改為“圓C過(guò)A,B兩點(diǎn)且圓C關(guān)于直線y=-x對(duì)稱(chēng)”,其他條件不變,如何求圓C的方程?探究點(diǎn)二求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程問(wèn)題【例3】

如圖,已知線段AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)是(4,3),端點(diǎn)A在圓(x+1)2+y2=4上運(yùn)動(dòng),求線段AB的端點(diǎn)B的軌跡方程.解設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)是(x,y),點(diǎn)A的坐標(biāo)是(x0,y0).因?yàn)辄c(diǎn)C的坐標(biāo)是(4,3)且C是線段AB的中點(diǎn),所以

,所以x0=8-x,y0=6-y.①因?yàn)辄c(diǎn)A在圓(x+1)2+y2=4上運(yùn)動(dòng),所以點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程(x+1)2+y2=4,把①代入②,得(8-x+1)2+(6-y)2=4,整理得(x-9)2+(y-6)2=4,所以點(diǎn)B的軌跡方程為(x-9)2+(y-6)2=4.規(guī)律方法

與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題可結(jié)合圓的有關(guān)性質(zhì)解決,解決的方法可以是直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)代入法等.(1)直接法:根據(jù)題設(shè),建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo),并找出動(dòng)點(diǎn)所滿足的關(guān)系式;(2)定義法:當(dāng)所列出的關(guān)系式符合圓的定義時(shí),可利用定義寫(xiě)出點(diǎn)的軌跡方程;(3)相關(guān)點(diǎn)代入法:若動(dòng)點(diǎn)P(x,y)因?yàn)橐阎獔A上的另一動(dòng)點(diǎn)Q(x1,y1)而運(yùn)動(dòng),且x1,y1可用x,y表示,則將Q點(diǎn)的坐標(biāo)代入已知圓的方程,求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.變式訓(xùn)練2已知點(diǎn)P在圓C:x2+y2-8x-6y+21=0上運(yùn)動(dòng),求線段OP(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的中點(diǎn)M的軌跡方程.解(方法一)設(shè)點(diǎn)M(x,y),點(diǎn)P(x0,y0),(方法二)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),連接OC,PC,取線段OC的中點(diǎn)A,連接MA.圓C的方程可化為(x-4)2+(y-3)2=4,圓心C(4,3),|CP|=2,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為如圖所示,在△OCP中,M,A分別是OP,OC的中點(diǎn),則|MA|=|CP|,即|MA|=1.又當(dāng)O,C,P三點(diǎn)共線時(shí),|MA|=1,所以點(diǎn)M的軌跡是以A為圓心,1為半徑的圓,探究點(diǎn)三求圓關(guān)于點(diǎn)(直線)對(duì)稱(chēng)的圓【例4】

試求圓C:x2+y2-x+2y=0關(guān)于直線l:x-y+1=0對(duì)稱(chēng)的曲線C'的方程.解(方法一)設(shè)P'(x,y)為所求曲線C'上任意一點(diǎn),P'關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P(x0,y0),則P(x0,y0)在圓C上.所以(y-1)2+(x+1)2-(y-1)+2(x+1)=0,化簡(jiǎn),得x2+y2+4x-3y+5=0,即曲線C'的方程是x2+y2+4x-3y+5=0.(方法二)特殊對(duì)稱(chēng)圓C關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)圖形仍然是圓,且半徑不變,故只需求圓心C',圓心規(guī)律方法

1.求圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)關(guān)于點(diǎn)P(x0,y0)對(duì)稱(chēng)的圓的方程,首先要找出圓心C(a,b)關(guān)于點(diǎn)P(x0,y0)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),得到對(duì)稱(chēng)圓的圓心,半徑不變,即得所求圓的方程.2.求圓關(guān)于直線mx+ny+p=0(m2+n2≠0)對(duì)稱(chēng)的圓的方程,只需求出圓心關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),得到對(duì)稱(chēng)圓的圓心,半徑不變,即得所求圓的方程.變式訓(xùn)練3求圓x2+y2+2x-2y+1=0關(guān)于直線x-y+3=0對(duì)稱(chēng)的圓的方程.學(xué)以致用?隨堂檢測(cè)全達(dá)標(biāo)1.若圓的一般方程為x2+y2+6x+6=0,則該圓的圓心和半徑分別是(

)答案

D2.已知圓的方程是x2+y2-2x+6y+8=0,那么經(jīng)過(guò)圓心的一條直線的方程是(

)A.2x-y+1=0 B.2x+y+1=0C.2x-y-1=0 D.2x+y-1=0答案B

解析

圓心坐標(biāo)為(1,-3),檢驗(yàn)知直線2x+y+1=0過(guò)圓心(1,-3).3.如果x2+y2-2x+y+k=0是圓的方程,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

.

4.已知圓的方程為x2+y2-2x=0,點(diǎn)P(x,y)在圓上,則2x2+y2的最大值為

,最小值為

.

答案