中考數(shù)學(xué)-三角函數(shù)專題

-.z.三角函數(shù)1一．解答題〔共10小題〕1．如圖：一輛汽車在一個(gè)十字路口遇到紅燈剎車停下，汽車?yán)锏鸟{駛員看地面的斑馬線前后兩端的視角分別是∠DCA=30°和∠DCB=60°，如果斑馬線的寬度是AB=3米，駕駛員與車頭的距離是0.8米，這時(shí)汽車車頭與斑馬線的距離*是多少？2．一種拉桿式旅行箱的示意圖如下圖，箱體長AB=50cm，拉桿最大伸長距離BC=35cm，〔點(diǎn)A、B、C在同一條直線上〕，在箱體的底端裝有一圓形滾輪⊙A，⊙A與水平地面切于點(diǎn)D，AE∥DN，*一時(shí)刻，點(diǎn)B距離水平面38cm，點(diǎn)C距離水平面59cm．〔1〕求圓形滾輪的半徑AD的長；〔2〕當(dāng)人的手自然下垂拉旅行箱時(shí)，人感覺較為舒服，*人的手自然下垂在點(diǎn)C處且拉桿到達(dá)最大延伸距離時(shí)，點(diǎn)C距離水平地面73.5cm，求此時(shí)拉桿箱與水平面AE所成角∠CAE的大小〔準(zhǔn)確到1°，參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19〕．3．如圖，書桌上的一種新型臺(tái)歷和一塊主板AB、一個(gè)架板AC和環(huán)扣〔不計(jì)寬度，記為點(diǎn)A〕組成，其側(cè)面示意圖為△ABC，測得AC⊥BC，AB=5cm，AC=4cm，現(xiàn)為了書寫記事方便，須調(diào)整臺(tái)歷的擺放，移動(dòng)點(diǎn)C至C′，當(dāng)∠C′=30°時(shí)，求移動(dòng)的距離即CC′的長〔或用計(jì)算器計(jì)算，結(jié)果取整數(shù)，其中=1.732，=4.583〕4．*課桌生產(chǎn)廠家研究發(fā)現(xiàn)，傾斜12°～24°的桌面有利于學(xué)生保持軀體自然姿勢．根據(jù)這一研究，廠家決定將水平桌面做成可調(diào)節(jié)角度的桌面．新桌面的設(shè)計(jì)圖如圖1，AB可繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，在點(diǎn)C處安裝一根可旋轉(zhuǎn)的支撐臂CD，AC=30cm．〔1〕如圖2，當(dāng)∠BAC=24°時(shí)，CD⊥AB，求支撐臂CD的長；〔2〕如圖3，當(dāng)∠BAC=12°時(shí)，求AD的長．〔結(jié)果保存根號(hào)〕〔參考數(shù)據(jù)：sin24°≈0.40，cos24°≈0.91，tan24°≈0.46，sin12°≈0.20〕5．如圖1，*超市從底樓到二樓有一自動(dòng)扶梯，圖2是側(cè)面示意圖．自動(dòng)扶梯AB的坡度為1：2.4，AB的長度是13米，MN是二樓樓頂，MN∥PQ，C是MN上處在自動(dòng)扶梯頂端B點(diǎn)正上方的一點(diǎn)，BC⊥MN，在自動(dòng)扶梯底端A處測得C點(diǎn)的仰角為42°，求二樓的層高BC〔準(zhǔn)確到0.1米〕．〔參考數(shù)據(jù)：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90〕6．如圖1是一把折疊椅子，圖2是椅子完全翻開支穩(wěn)后的側(cè)面示意圖，其中AD和BC表示兩根較粗的鋼管，EG表示座板平面，EG和BC相交于點(diǎn)F，MN表示地面所在的直線，EG∥MN，EG距MN的高度為42cm，AB=43cm，CF=42cm，∠DBA=60°，∠DAB=80°．求兩根較粗鋼管AD和BC的長．〔結(jié)果準(zhǔn)確到0.1cm．參考數(shù)據(jù)：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，sin60°≈0.87，cos60°≈0.5，tan60°≈1.73〕7．*住宅小區(qū)的物業(yè)管理部門為解決住戶停車?yán)щy，將一條道路辟為停車場，停車位置如下圖．矩形ABCD是供一輛機(jī)動(dòng)車停放的車位，其中AB=5.4米，BC=2.2米，∠DCF=40°．請計(jì)算停車位所占道路的寬度EF〔結(jié)果準(zhǔn)確到0.1米〕．參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64cos40°≈0.77tan40°≈0.84．8．太陽能是可再生的綠色環(huán)保能源，太陽能熱水器是最常見的一種太陽能應(yīng)用方式，如圖是*地一個(gè)屋頂太陽能熱水器的安裝截面圖．房屋的金頂?shù)妊鰽BC中，屋面傾角∠B=21.8°，太陽能真空管MN=1.8m，可伸縮支架MA⊥BC，安裝要求安裝地區(qū)的正午太陽光線垂直照射真空管MN．該地正午時(shí)直立于水平地面的0.8m長測桿影長0.6m，求符合安裝要求的支架MA的長度．〔參考數(shù)據(jù)：tan21.8°=0.4，tan53.13°=，sin53.13°=，tan36.87°=，cos36.87°=〕9．如圖是一種躺椅及其簡化構(gòu)造示意圖，扶手AB與座板CD都平行于地面，靠背DM與支架OE平行，前支架OE與后支架OF分別與CD交于點(diǎn)G和點(diǎn)D，AB與DM交于點(diǎn)N，量得∠EOF=90°，∠ODC=30°，ON=40cm，EG=30cm．〔1〕求兩支架落點(diǎn)E、F之間的距離；〔2〕假設(shè)MN=60cm，求躺椅的高度〔點(diǎn)M到地面的距離，結(jié)果取整數(shù)〕．〔參考數(shù)據(jù)：sin60°=，cos60°=，tan60°=≈1.73，可使用科學(xué)計(jì)算器〕10．圖1是小明利用廢棄的鋼條焊接成的創(chuàng)意書架，現(xiàn)將其構(gòu)造簡化成圖2所示的圖形，制作過程為：首先將兩根鋼條OA和OB焊接成∠AOB=45°，OB=70cm，BC=EF=HG=IJ=60cm，焊接點(diǎn)E、G、I分別為BC、EF、HG的中點(diǎn)，鋼條KL、CD的長均為30cm，所有在點(diǎn)C，E，G，I，K焊接處的相鄰兩根鋼條互相垂直．〔1〕求證：L，J所在直線與直線OA平行；〔2〕求書架的高度．〔結(jié)果保存一位小數(shù)，〕三角函數(shù)1參考答案與試題解析一．解答題〔共10小題〕1．如圖：一輛汽車在一個(gè)十字路口遇到紅燈剎車停下，汽車?yán)锏鸟{駛員看地面的斑馬線前后兩端的視角分別是∠DCA=30°和∠DCB=60°，如果斑馬線的寬度是AB=3米，駕駛員與車頭的距離是0.8米，這時(shí)汽車車頭與斑馬線的距離*是多少？【分析】根據(jù)角的度數(shù)，易求得∠BAC=∠BCA=30°，由此得BC=AB=3米；可在Rt△CBF中，根據(jù)BC的長和∠CBF的余弦值求出BF的長，進(jìn)而由*=BF﹣EF求得汽車車頭與斑馬線的距離．【解答】解：如圖：延長AB．∵CD∥AB，∴∠CAB=30°，∠CBF=60°；∴∠BCA=60°﹣30°=30°，即∠BAC=∠BCA；∴BC=AB=3米；Rt△BCF中，BC=3米，∠CBF=60°；∴BF=BC=1.5米；故*=BF﹣EF=1.5﹣0.8=0.7米．答：這時(shí)汽車車頭與斑馬線的距離*是0.7米．【點(diǎn)評(píng)】此題考察俯角的定義，要求學(xué)生能借助俯角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．2．一種拉桿式旅行箱的示意圖如下圖，箱體長AB=50cm，拉桿最大伸長距離BC=35cm，〔點(diǎn)A、B、C在同一條直線上〕，在箱體的底端裝有一圓形滾輪⊙A，⊙A與水平地面切于點(diǎn)D，AE∥DN，*一時(shí)刻，點(diǎn)B距離水平面38cm，點(diǎn)C距離水平面59cm．〔1〕求圓形滾輪的半徑AD的長；〔2〕當(dāng)人的手自然下垂拉旅行箱時(shí)，人感覺較為舒服，*人的手自然下垂在點(diǎn)C處且拉桿到達(dá)最大延伸距離時(shí)，點(diǎn)C距離水平地面73.5cm，求此時(shí)拉桿箱與水平面AE所成角∠CAE的大小〔準(zhǔn)確到1°，參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19〕．【分析】〔1〕作BH⊥AF于點(diǎn)G，交DM于點(diǎn)H，則△ABG∽△ACF，設(shè)圓形滾輪的半徑AD的長是*cm，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，即可列方程求得*的值；〔2〕求得CF的長，然后在直角△ACF中，求得sin∠CAF，即可求得角的度數(shù)．【解答】解：〔1〕作BH⊥AF于點(diǎn)G，交DM于點(diǎn)H．則BG∥CF，△ABG∽△ACF．設(shè)圓形滾輪的半徑AD的長是*cm．則=，即=，解得：*=8．則圓形滾輪的半徑AD的長是8cm；〔2〕CF=73.5﹣8=65.5〔m〕．則sin∠CAF==≈0.77，則∠CAF=50°．【點(diǎn)評(píng)】此題考察了三角函數(shù)的根本概念，主要是正弦概念及運(yùn)算，關(guān)鍵把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題加以計(jì)算．3．如圖，書桌上的一種新型臺(tái)歷和一塊主板AB、一個(gè)架板AC和環(huán)扣〔不計(jì)寬度，記為點(diǎn)A〕組成，其側(cè)面示意圖為△ABC，測得AC⊥BC，AB=5cm，AC=4cm，現(xiàn)為了書寫記事方便，須調(diào)整臺(tái)歷的擺放，移動(dòng)點(diǎn)C至C′，當(dāng)∠C′=30°時(shí)，求移動(dòng)的距離即CC′的長〔或用計(jì)算器計(jì)算，結(jié)果取整數(shù)，其中=1.732，=4.583〕【分析】過點(diǎn)A′作A′D⊥BC′，垂足為D，先在△ABC中，由勾股定理求出BC=3cm，再解Rt△A′DC′，得出A′D=2cm，C′D=2cm，在Rt△A′DB中，由勾股定理求出BD=cm，然后根據(jù)CC′=C′D+BD﹣BC，將數(shù)據(jù)代入，即可求出CC′的長．【解答】解：過點(diǎn)A′作A′D⊥BC′，垂足為D．在△ABC中，∵AC⊥BC，AB=5cm，AC=4cm，∴BC=3cm．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C移動(dòng)至C′時(shí)，A′C′=AC=4cm．在△A′DC′中，∵∠C′=30°，∠A′DC′=90°，∴A′D=A′C′=2cm，C′D=A′D=2cm．在△A′DB中，∵∠A′DB=90°，A′B=5cm，A′D=2cm，∴BD==cm，∴CC′=C′D+BD﹣BC=2+﹣3，∵=1.732，=4.583，∴CC′=2×1.732+4.583﹣3≈5．故移動(dòng)的距離即CC′的長約為5cm．【點(diǎn)評(píng)】此題考察了解直角三角形的應(yīng)用，難度適中，關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題加以計(jì)算．4．*課桌生產(chǎn)廠家研究發(fā)現(xiàn)，傾斜12°～24°的桌面有利于學(xué)生保持軀體自然姿勢．根據(jù)這一研究，廠家決定將水平桌面做成可調(diào)節(jié)角度的桌面．新桌面的設(shè)計(jì)圖如圖1，AB可繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，在點(diǎn)C處安裝一根可旋轉(zhuǎn)的支撐臂CD，AC=30cm．〔1〕如圖2，當(dāng)∠BAC=24°時(shí)，CD⊥AB，求支撐臂CD的長；〔2〕如圖3，當(dāng)∠BAC=12°時(shí)，求AD的長．〔結(jié)果保存根號(hào)〕〔參考數(shù)據(jù)：sin24°≈0.40，cos24°≈0.91，tan24°≈0.46，sin12°≈0.20〕【分析】〔1〕利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出sin24°=，進(jìn)而求出即可；〔2〕利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出sin12°=，進(jìn)而求出DE，AE的長，即可得出AD的長．【解答】解：〔1〕∵∠BAC=24°，CD⊥AB，∴sin24°=，∴CD=ACsin24°=30×0.40=12cm；∴支撐臂CD的長為12cm；〔2〕過點(diǎn)C作CE⊥AB，于點(diǎn)E，當(dāng)∠BAC=12°時(shí)，∴sin12°==，∴CE=30×0.20=6cm，∵CD=12，∴DE=，∴AE==12cm，∴AD的長為〔12+6〕cm或〔12﹣6〕cm．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考察了解直角三角形的應(yīng)用，熟練利用三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．5．如圖1，*超市從底樓到二樓有一自動(dòng)扶梯，圖2是側(cè)面示意圖．自動(dòng)扶梯AB的坡度為1：2.4，AB的長度是13米，MN是二樓樓頂，MN∥PQ，C是MN上處在自動(dòng)扶梯頂端B點(diǎn)正上方的一點(diǎn)，BC⊥MN，在自動(dòng)扶梯底端A處測得C點(diǎn)的仰角為42°，求二樓的層高BC〔準(zhǔn)確到0.1米〕．〔參考數(shù)據(jù)：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90〕【分析】延長CB交PQ于點(diǎn)D，根據(jù)坡度的定義即可求得BD的長，然后在直角△CDA中利用三角函數(shù)即可求得CD的長，則BC即可得到．【解答】解：延長CB交PQ于點(diǎn)D．∵M(jìn)N∥PQ，BC⊥MN，∴BC⊥PQ．∵自動(dòng)扶梯AB的坡度為1：2.4，∴．設(shè)BD=5k米，AD=12k米，則AB=13k米．∵AB=13米，∴k=1，∴BD=5米，AD=12米．在Rt△CDA中，∠CDA=90゜，∠CAD=42°，∴CD=AD?tan∠CAD≈12×0.90≈10.8米，∴BC≈5.8米．答：二樓的層高BC約為5.8米．【點(diǎn)評(píng)】此題考察仰角和坡度的定義，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．6．如圖1是一把折疊椅子，圖2是椅子完全翻開支穩(wěn)后的側(cè)面示意圖，其中AD和BC表示兩根較粗的鋼管，EG表示座板平面，EG和BC相交于點(diǎn)F，MN表示地面所在的直線，EG∥MN，EG距MN的高度為42cm，AB=43cm，CF=42cm，∠DBA=60°，∠DAB=80°．求兩根較粗鋼管AD和BC的長．〔結(jié)果準(zhǔn)確到0.1cm．參考數(shù)據(jù)：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，sin60°≈0.87，cos60°≈0.5，tan60°≈1.73〕【分析】作FH⊥AB于H，DQ⊥AB于Q，如圖2，F(xiàn)H=42cm，先在Rt△BFH中，利用∠FBH的正弦計(jì)算出BF≈48.28，則BC=BF+CF=≈90.3〔cm〕，再分別在Rt△BDQ和Rt△ADQ中，利用正切定義用DQ表示出BQ和AQ，得BQ=，AQ=，則利用BQ+AQ=AB=43得到+=43，解得DQ≈56.999，然后在Rt△ADQ中，利用sin∠DAQ的正弦可求出AD的長．【解答】解：作FH⊥AB于H，DQ⊥AB于Q，如圖2，F(xiàn)H=42cm，在Rt△BFH中，∵sin∠FBH=，∴BF=≈48.28，∴BC=BF+CF=48.28+42≈90.3〔cm〕；在Rt△BDQ中，∵tan∠DBQ=，∴BQ=，在Rt△ADQ中，∵tan∠DAQ=，∴AQ=，∵BQ+AQ=AB=43，∴+=43，解得DQ≈56.999，在Rt△ADQ中，∵sin∠DAQ=，∴AD=≈58.2〔cm〕．答：兩根較粗鋼管AD和BC的長分別為58.2cm、90.3cm．【點(diǎn)評(píng)】此題考察了解直角三角形的應(yīng)用：將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題〔畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題〕．根據(jù)題目特點(diǎn)選用適當(dāng)銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問題的答案，再轉(zhuǎn)化得到實(shí)際問題的答案．7．*住宅小區(qū)的物業(yè)管理部門為解決住戶停車?yán)щy，將一條道路辟為停車場，停車位置如下圖．矩形ABCD是供一輛機(jī)動(dòng)車停放的車位，其中AB=5.4米，BC=2.2米，∠DCF=40°．請計(jì)算停車位所占道路的寬度EF〔結(jié)果準(zhǔn)確到0.1米〕．參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64cos40°≈0.77tan40°≈0.84．【分析】在直角三角形中，利用三角函數(shù)關(guān)系，由角度和邊求得ED和DF，而求得EF的長．【解答】解：由題意知∠DFC=90°，∠DEA=90°∠DCF=40°又∵ABCD是矩形∴AB=CD=5.4米BC=AD=2.2米且∠ADC=90°∵∠DCF+∠CDF=90°且∠ADE+∠CDF=90°∴∠DCF=∠ADE=40°在Rt△DCF中，sin∠DCF=DF=CDsin∠DCF=5.4×sin40°≈5.4×0.64=3.456在Rt△DAE中，COS∠ADE=DE=ADcos∠ADE=2.2×cos40°≈2.2×0.77=1.694EF=DE+DF≈3.456+1.694=5.2∴停車位所占道路寬度EF約為5.2米．【點(diǎn)評(píng)】此題考察三角函數(shù)關(guān)系的利用，正弦和余弦的靈活利用，而求得．8．太陽能是可再生的綠色環(huán)保能源，太陽能熱水器是最常見的一種太陽能應(yīng)用方式，如圖是*地一個(gè)屋頂太陽能熱水器的安裝截面圖．房屋的金頂?shù)妊鰽BC中，屋面傾角∠B=21.8°，太陽能真空管MN=1.8m，可伸縮支架MA⊥BC，安裝要求安裝地區(qū)的正午太陽光線垂直照射真空管MN．該地正午時(shí)直立于水平地面的0.8m長測桿影長0.6m，求符合安裝要求的支架MA的長度．〔參考數(shù)據(jù)：tan21.8°=0.4，tan53.13°=，sin53.13°=，tan36.87°=，cos36.87°=〕【分析】如圖，DE=0.8，EF=0.6，則DF=1，作DQ⊥DF交EF于Q，即使太陽光線垂直于DQ，利用等角的余角相等得到∠Q=∠EDF，在Rt△EDF中，利用三角函數(shù)的定義得到cos∠EDF=0.8，sin∠EDF=0.6，再根據(jù)相似的判定易得△MNH∽△DQE，則∠MNH=∠Q，在Rt△MNH中，根據(jù)三角函數(shù)的定義可計(jì)算出NH=1.44，MH=1.08；則在Rt△ANH中，利用正切的定義計(jì)算出AH=0.576，然后利用MA=MH﹣AH進(jìn)展計(jì)算即可．【解答】解：如圖，DE=0.8，EF=0.6，則DF=1，作DQ⊥DF交EF于Q，∴∠Q=∠EDF，在Rt△EDF中，cos∠EDF===0.8，sin∠EDF==0.6，∵△MNH∽△DQE，∴∠MNH=∠Q，在Rt△MNH中，∵cos∠MNH==0.8，sin∠MNH==0.6，∴NH=0.8×1.8=1.44，MH=0.6×1.8=1.08，在Rt△ANH中，∵tan∠ANH=tan21.8°=，∴AH=1.44×0.4=0.576，∴MA=MH﹣AH=1.08﹣0.576=0.504〔m〕．答：符合安裝要求的支架MA的長度為0.504米．【點(diǎn)評(píng)】此題考察了解直角三角形的應(yīng)用：將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題〔畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題〕，根據(jù)題目特點(diǎn)選用適當(dāng)銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問題的答案，再轉(zhuǎn)化得到實(shí)際問題的答案．9．如圖是一種躺椅及其簡化構(gòu)造示意圖，扶手AB與座板CD都平行于地面，靠背DM與支架OE平行，前支架OE與后支架OF分別與CD交于點(diǎn)G和點(diǎn)D，AB與DM交于點(diǎn)N，量得∠EOF=90°，∠ODC=30°，ON=40cm，EG=30cm．〔1〕求兩支架落點(diǎn)E、F之間的距離；〔2〕假設(shè)MN=60cm，求躺椅的高度〔點(diǎn)M到地面的距離，結(jié)果取整數(shù)〕．〔參考數(shù)據(jù)：sin60°=，cos60°=，tan60°=≈1.73，可使用科學(xué)計(jì)算器〕【分析】〔1〕利用平行線分線段成比例定理得出，利用平行四邊形的判定與性質(zhì)進(jìn)而求出即可；〔2〕利用四邊形ONHE是平行四邊形，進(jìn)而得出NH=OE=50cm，∠MHF=∠E=60°，利用MP=110sin60°求出即可．【解答】解：〔1〕連接EF．∵CD平行于地面，∴GD∥EF．∴．又∵AB∥EF，∴AB∥CD．而OE∥DM，則四邊形OGDN是平行四邊形．∴OG=DN，GD=ON．∵ON=40cm，∠EOF=90°，∠ODC=30°，∴GD=40cm，OG=GD=20cm，又EG=30cm，即，得EF=100cm．〔2〕延長MD交EF于點(diǎn)H，過點(diǎn)M作MP⊥EF于點(diǎn)P．∵四邊形ONHE是平行四邊形，∴NH=OE=50cm，∠MHF=∠E=60°．由于MN=60cm，∴MH=110cm．在Rt△MHP中，MP=MH?sin∠MHP，即MP=110sin60°