微積分學課件：1-2 數列極限

第二節(jié)數列的極限一、數列極限的定義二、收斂數列的性質三、數列極限存在的準則“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：——劉徽概念的引入正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積2、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”

一、數列的定義例如注意：數列對應著數軸上一個點列.可看作一動點在數軸上依次取數列的極限n=19n=32n=42n=50問題:1)當n

無限增大時,xn

是否無限接近于某一確定的數值?如果是,如何確定?2)“無限接近”意味著什么?如何用數學語言刻劃它.通過演示實驗的觀察:隨著n的增加，1/n會越來越小。例如

我們可用兩個數之間的“距離”來刻化兩個數的接近程度.只要n無限增大，xn就會與1無限靠近。引入符號和N來刻化無限靠近和無限增大。如果數列沒有極限,就說數列是發(fā)散的.其中注意：1、極限的ε—N定義，它用兩個動態(tài)指標ε和N刻畫了極限的實質，用|xn－a|＜ε定量地刻畫了xn與a之間的距離任意小，即任給ε＞0標志著“要多小”的要求，用n

＞N表示n充分大。這個定義有三個要素：正數ε、自然數N、不等式|xn－a|＜ε(n

＞N)２、定義中的ε具有二重性：一是ε的任意性，二是ε的相對固定性。ε的二重性體現了xn逼近a時要經歷一個無限的過程（這個無限過程通過ε的任意性來實現），但這個無限過程又要一步步地實現，而且每一步的變化都是有限的（這個有限的變化通過ε的相對固定性來實現）。３、定義中的N是一個特定的項數，與給定的ε有關。重要的是它的存在性,它是在ε相對固定后才能確定的，且由|xn－a|＜ε來選定，一般說來,ε越小,N越大，但須注意，對于一個固定的ε,合乎定義要求的N不是唯一的。用定義驗證xn以a為極限時,關鍵在于設法由給定的ε,求出一個相應的N,使當n

＞N時,不等式|xn－a|＜ε成立。在實際的應用中，N僅是下標的一個界限，因此，N可以是實數。在證明極限時ε,n,N之間的邏輯關系如下圖所示|xn－a|＜εn

＞N4、定義中的不等式|xn－a|＜ε(n

＞N)是指下面一串不等式都成立，而對則不要求它們一定成立都落在a點的ε鄰域因而在這個鄰域之外至多能有數列中的有限個點

這就表明數列xn所對應的點列除了前面有限個點外都能凝聚在點a的任意小鄰域內，同時也表明數列xn中的項到一定程度時變化就很微小，呈現出一種穩(wěn)定的狀態(tài)，這種穩(wěn)定的狀態(tài)就是人們所稱謂的“收斂”。數列極限的幾何意義使得N項以后的所有項證(1)：數列{an}收斂，且極限為a，不妨設改變了前k項，得到數列{bn}.即：{an}：a1a2…ak,ak+1,..,an…定理:改變數列的有限項，不改變數列的收斂性與極限。{bn}：b1b2…bk,ak+1,..,an…(2)：數列{an}不收斂，若假設數列{bn}收斂.則數列{an}可看成數列{bn}改變了有限項后得到的數列.由(1)知：數列{an}收斂,與假設矛盾．所以{bn}發(fā)散．數列極限的定義未給出求極限的方法.例證所以,注意：直接法例*

證明

(k＞0常數)

證:直接法（不妨設ε＜1）注在論證極限問題時，都可以假設ε＜1，因為若對小于1的ε已經得到項數指標N，則對于大于1的ε上述項數指標N仍合乎定義要求。例證若q=0則上式顯然成立下證q≠0的情形直接法例證所以,說明:常數列的極限等于同一常數.小結:用定義證明數列極限存在時,關鍵是從主要不等式出發(fā),由>0,找到使主要不等式成立的N(并不在乎N是否最小).直接法

利用定義驗證數列極限，有時遇到的不等式|xn－a|＜ε不易考慮，往往采用把|xn－a|放大的方法。若能放大到較簡單的式子，就較容易從一個比較簡單的不等式去尋找項數指標N．放大的原則：①放大后的式子較簡單②放大后的式子以0為極限則當n

＞N時，有例：證明證明放大法例證放大法證法一：則當n

＞N時，有直接法證法二：則當n

＞N時，有放大法證：則當n

＞N時，有放大法[分析]直接證明較困難，采用反證法由數列極限的幾何意義，

在a的任一ε鄰域內聚集著xn中的無窮多個點，而在該鄰域之外至多有xn中的有限個點定理：如果數列收斂,那么它的極限唯一.二、數列極限的性質１、數列極限的唯一性故收斂數列極限唯一.證

用反證法.假設同時有且由定義,取取使得當時,恒有(2)當時,恒有(3)當時,(2)式及(3)式會同時成立.但由(2)式有由(3)式有這是不可能的.

２、數列極限的有界性例如,數列有界無界數列證注意：有界性是數列收斂的必要條件.推論無界數列必定發(fā)散.由定義,對于則使得當時恒有于是,當時,取故數列是有界的.

定理(收斂數列的有界性)

如果數列收斂,那么數列一定有界.定理:證明:３、數列極限的保號性定理(保號性）定理(保號不等式)收斂數列的四則運算注意：數列極限的四則運算前提是兩個數列的極限存在，并可把它推廣到有限項極限的四則運算，但不能推廣到無限項．證：則當n

＞N時，有例：證明證：原式由即得所證.三、極限存在準則1.夾逼準則證上兩式同時成立,例解由夾逼定理得解例求極限[分析]要用夾逼定理，須進行放縮不能這樣用夾逼定理，例求極限解：注意到分子成等差數列解例求極限除最大的一個外,其余的均取為零.2、子數列的收斂性注意：例如，所謂子數列是指：數列中任意抽取無限多項并保持這些項在原數列{xn}中的先后次序，這樣得到的一個數列稱為原數列{xn}的子數列（或子列）.定理(收斂數列與子數列間的關系）

數列{xn}收斂于a的充要條件是它的任一子數列也收斂,且極限也是a.證必要性.設數列是數列的任一子數列.使時,恒有.取則當時,充分性.若數列的任一子數列都收斂且極限相等，由于本身就是的一個子列，故收斂．

證明：數列是發(fā)散的.定理：數列{xn}發(fā)散的充要條件是{xn}中有兩個子數列的極限存在但不相等，或有一個子數列的極限不存在.常用兩個子數列極限存在但不相等來判斷一個數列發(fā)散．３、單調有界定理存在數列按上確界的定義任給事實上,極限,,0,e>{n}{=ax的就是下面證明記有上確界,列}.sup{}nnxax{}為有上界的遞增數列．證：不妨設nx由確界原理,數(單調有界定理)在實數系中單調