微積分學(xué)課件：1-2 數(shù)列極限

第二節(jié)數(shù)列的極限一、數(shù)列極限的定義二、收斂數(shù)列的性質(zhì)三、數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1、割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒崭拍畹囊胝呅蔚拿娣e正十二邊形的面積正形的面積2、截丈問(wèn)題：“一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不竭”

一、數(shù)列的定義例如注意：數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取數(shù)列的極限n=19n=32n=42n=50問(wèn)題:1)當(dāng)n

無(wú)限增大時(shí),xn

是否無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?2)“無(wú)限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它.通過(guò)演示實(shí)驗(yàn)的觀察:隨著n的增加，1/n會(huì)越來(lái)越小。例如

我們可用兩個(gè)數(shù)之間的“距離”來(lái)刻化兩個(gè)數(shù)的接近程度.只要n無(wú)限增大，xn就會(huì)與1無(wú)限靠近。引入符號(hào)和N來(lái)刻化無(wú)限靠近和無(wú)限增大。如果數(shù)列沒(méi)有極限,就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的.其中注意：1、極限的ε—N定義，它用兩個(gè)動(dòng)態(tài)指標(biāo)ε和N刻畫(huà)了極限的實(shí)質(zhì)，用|xn－a|＜ε定量地刻畫(huà)了xn與a之間的距離任意小，即任給ε＞0標(biāo)志著“要多小”的要求，用n

＞N表示n充分大。這個(gè)定義有三個(gè)要素：正數(shù)ε、自然數(shù)N、不等式|xn－a|＜ε(n

＞N)２、定義中的ε具有二重性：一是ε的任意性，二是ε的相對(duì)固定性。ε的二重性體現(xiàn)了xn逼近a時(shí)要經(jīng)歷一個(gè)無(wú)限的過(guò)程（這個(gè)無(wú)限過(guò)程通過(guò)ε的任意性來(lái)實(shí)現(xiàn)），但這個(gè)無(wú)限過(guò)程又要一步步地實(shí)現(xiàn)，而且每一步的變化都是有限的（這個(gè)有限的變化通過(guò)ε的相對(duì)固定性來(lái)實(shí)現(xiàn)）。３、定義中的N是一個(gè)特定的項(xiàng)數(shù)，與給定的ε有關(guān)。重要的是它的存在性,它是在ε相對(duì)固定后才能確定的，且由|xn－a|＜ε來(lái)選定，一般說(shuō)來(lái),ε越小,N越大，但須注意，對(duì)于一個(gè)固定的ε,合乎定義要求的N不是唯一的。用定義驗(yàn)證xn以a為極限時(shí),關(guān)鍵在于設(shè)法由給定的ε,求出一個(gè)相應(yīng)的N,使當(dāng)n

＞N時(shí),不等式|xn－a|＜ε成立。在實(shí)際的應(yīng)用中，N僅是下標(biāo)的一個(gè)界限，因此，N可以是實(shí)數(shù)。在證明極限時(shí)ε,n,N之間的邏輯關(guān)系如下圖所示|xn－a|＜εn

＞N4、定義中的不等式|xn－a|＜ε(n

＞N)是指下面一串不等式都成立，而對(duì)則不要求它們一定成立都落在a點(diǎn)的ε鄰域因而在這個(gè)鄰域之外至多能有數(shù)列中的有限個(gè)點(diǎn)

這就表明數(shù)列xn所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)列除了前面有限個(gè)點(diǎn)外都能凝聚在點(diǎn)a的任意小鄰域內(nèi)，同時(shí)也表明數(shù)列xn中的項(xiàng)到一定程度時(shí)變化就很微小，呈現(xiàn)出一種穩(wěn)定的狀態(tài)，這種穩(wěn)定的狀態(tài)就是人們所稱(chēng)謂的“收斂”。數(shù)列極限的幾何意義使得N項(xiàng)以后的所有項(xiàng)證(1)：數(shù)列{an}收斂，且極限為a，不妨設(shè)改變了前k項(xiàng)，得到數(shù)列{bn}.即：{an}：a1a2…ak,ak+1,..,an…定理:改變數(shù)列的有限項(xiàng)，不改變數(shù)列的收斂性與極限。{bn}：b1b2…bk,ak+1,..,an…(2)：數(shù)列{an}不收斂，若假設(shè)數(shù)列{bn}收斂.則數(shù)列{an}可看成數(shù)列{bn}改變了有限項(xiàng)后得到的數(shù)列.由(1)知：數(shù)列{an}收斂,與假設(shè)矛盾．所以{bn}發(fā)散．?dāng)?shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例證所以,注意：直接法例*

證明

(k＞0常數(shù))

證:直接法（不妨設(shè)ε＜1）注在論證極限問(wèn)題時(shí)，都可以假設(shè)ε＜1，因?yàn)槿魧?duì)小于1的ε已經(jīng)得到項(xiàng)數(shù)指標(biāo)N，則對(duì)于大于1的ε上述項(xiàng)數(shù)指標(biāo)N仍合乎定義要求。例證若q=0則上式顯然成立下證q≠0的情形直接法例證所以,說(shuō)明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結(jié):用定義證明數(shù)列極限存在時(shí),關(guān)鍵是從主要不等式出發(fā),由>0,找到使主要不等式成立的N(并不在乎N是否最小).直接法

利用定義驗(yàn)證數(shù)列極限，有時(shí)遇到的不等式|xn－a|＜ε不易考慮，往往采用把|xn－a|放大的方法。若能放大到較簡(jiǎn)單的式子，就較容易從一個(gè)比較簡(jiǎn)單的不等式去尋找項(xiàng)數(shù)指標(biāo)N．放大的原則：①放大后的式子較簡(jiǎn)單②放大后的式子以0為極限則當(dāng)n

＞N時(shí)，有例：證明證明放大法例證放大法證法一：則當(dāng)n

＞N時(shí)，有直接法證法二：則當(dāng)n

＞N時(shí)，有放大法證：則當(dāng)n

＞N時(shí)，有放大法[分析]直接證明較困難，采用反證法由數(shù)列極限的幾何意義，

在a的任一ε鄰域內(nèi)聚集著xn中的無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，而在該鄰域之外至多有xn中的有限個(gè)點(diǎn)定理：如果數(shù)列收斂,那么它的極限唯一.二、數(shù)列極限的性質(zhì)１、數(shù)列極限的唯一性故收斂數(shù)列極限唯一.證

用反證法.假設(shè)同時(shí)有且由定義,取取使得當(dāng)時(shí),恒有(2)當(dāng)時(shí),恒有(3)當(dāng)時(shí),(2)式及(3)式會(huì)同時(shí)成立.但由(2)式有由(3)式有這是不可能的.

２、數(shù)列極限的有界性例如,數(shù)列有界無(wú)界數(shù)列證注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散.由定義,對(duì)于則使得當(dāng)時(shí)恒有于是,當(dāng)時(shí),取故數(shù)列是有界的.

定理(收斂數(shù)列的有界性)

如果數(shù)列收斂,那么數(shù)列一定有界.定理:證明:３、數(shù)列極限的保號(hào)性定理(保號(hào)性）定理(保號(hào)不等式)收斂數(shù)列的四則運(yùn)算注意：數(shù)列極限的四則運(yùn)算前提是兩個(gè)數(shù)列的極限存在，并可把它推廣到有限項(xiàng)極限的四則運(yùn)算，但不能推廣到無(wú)限項(xiàng)．證：則當(dāng)n

＞N時(shí)，有例：證明證：原式由即得所證.三、極限存在準(zhǔn)則1.夾逼準(zhǔn)則證上兩式同時(shí)成立,例解由夾逼定理得解例求極限[分析]要用夾逼定理，須進(jìn)行放縮不能這樣用夾逼定理，例求極限解：注意到分子成等差數(shù)列解例求極限除最大的一個(gè)外,其余的均取為零.2、子數(shù)列的收斂性注意：例如，所謂子數(shù)列是指：數(shù)列中任意抽取無(wú)限多項(xiàng)并保持這些項(xiàng)在原數(shù)列{xn}中的先后次序，這樣得到的一個(gè)數(shù)列稱(chēng)為原數(shù)列{xn}的子數(shù)列（或子列）.定理(收斂數(shù)列與子數(shù)列間的關(guān)系）

數(shù)列{xn}收斂于a的充要條件是它的任一子數(shù)列也收斂,且極限也是a.證必要性.設(shè)數(shù)列是數(shù)列的任一子數(shù)列.使時(shí),恒有.取則當(dāng)時(shí),充分性.若數(shù)列的任一子數(shù)列都收斂且極限相等，由于本身就是的一個(gè)子列，故收斂．

證明：數(shù)列是發(fā)散的.定理：數(shù)列{xn}發(fā)散的充要條件是{xn}中有兩個(gè)子數(shù)列的極限存在但不相等，或有一個(gè)子數(shù)列的極限不存在.常用兩個(gè)子數(shù)列極限存在但不相等來(lái)判斷一個(gè)數(shù)列發(fā)散．３、單調(diào)有界定理存在數(shù)列按上確界的定義任給事實(shí)上,極限,,0,e>{n}{=ax的就是下面證明記有上確界,列}.sup{}nnxax{}為有上界的遞增數(shù)列．證：不妨設(shè)nx由確界原理,數(shù)(單調(diào)有界定理)在實(shí)數(shù)系中單調(diào)