概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第2章

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第2章隨機(jī)變量●2.1隨機(jī)變量的定義●2.2離散型隨機(jī)變量●2.3連續(xù)型隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的分布函數(shù)●2.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布

一、隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生

在實(shí)際問題中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用數(shù)量來表示，由此就產(chǎn)生了隨機(jī)變量的概念.

1、有些試驗(yàn)結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一個(gè)數(shù)）.

例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；

九月份廣州的最高溫度；每天從廣州下火車的人數(shù)；昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)；2、對(duì)有些試驗(yàn)而言，其結(jié)果未必是數(shù)量化的。如拋擲硬幣出正面或反面，檢查產(chǎn)品是正品或次品等等。但我們可以引進(jìn)一個(gè)變量來表示它的各種結(jié)果。也就是說，把試驗(yàn)結(jié)果數(shù)值化。這種對(duì)應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種實(shí)值函數(shù).ω.ξ(ω)R定義

若變量ξ在隨機(jī)試驗(yàn)中，隨著試驗(yàn)結(jié)果的不同而隨機(jī)地取各種不同的數(shù)值，而且對(duì)取每個(gè)數(shù)值或每個(gè)確定范圍內(nèi)的值都有一定的概率，

稱這種定義在樣本空間上的實(shí)值函數(shù)為隨量機(jī)變說明：隨機(jī)變量與普通函數(shù)的主要區(qū)別有幾點(diǎn)：（1）普通函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)集，而隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的（樣本空間的元素不一定是實(shí)數(shù)）。（2）隨機(jī)變量的取值有一定的概率。引入隨機(jī)變量以后，隨機(jī)事件就可以通過隨機(jī)變量來表示，隨機(jī)變量將聯(lián)系著隨機(jī)試驗(yàn)中的各個(gè)事件，反映試驗(yàn)的全部結(jié)果。隨機(jī)變量是研究隨機(jī)試驗(yàn)的有效工具。而表示隨機(jī)變量所取的值時(shí),一般采用小寫字母x,y,z等.隨機(jī)變量通常用希臘字母ξ,η等表示

例如，從某一學(xué)校隨機(jī)選一學(xué)生，測(cè)量他的身高.我們可以把可能的身高看作隨機(jī)變量ξ,然后我們可以提出關(guān)于ξ的各種問題.

如

P(ξ>1.7)=？P(ξ≤1.5)=?P(1.5<ξ<1.7)=?有了隨機(jī)變量,隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件，就可以通過隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來.二、引入隨機(jī)變量的意義如：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)某電話交換臺(tái)收到的呼叫次數(shù)用ξ表示，它是一個(gè)隨機(jī)變量.事件“收到不少于1次呼叫”

{ξ1}“沒有收到呼叫”

{ξ=0}可見，隨機(jī)事件這個(gè)概念實(shí)際上是包容在隨機(jī)變量這個(gè)更廣的概念內(nèi).也可以說，隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象，而隨機(jī)變量則是一種動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)，就象數(shù)學(xué)分析中常量與變量的區(qū)別那樣.隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件.引入隨機(jī)變量后，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究，就由對(duì)事件及事件概率的研究擴(kuò)大為對(duì)隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究.事件及事件概率隨機(jī)變量及其取值規(guī)律三、隨機(jī)變量的分類

如“取到次品的個(gè)數(shù)”.隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量所有取值可以逐個(gè)一一列舉例如，“電視機(jī)的壽命”.全部可能取值不僅無窮多，而且還不能一一列舉，而是充滿一個(gè)區(qū)間.

從中任取3個(gè)球取到的白球數(shù)ξ是一個(gè)隨機(jī)變量可能取的值是0,1,2取每個(gè)值的概率為例1且四、離散型隨機(jī)變量的分布其中

(k=1,2,…)滿足：

k=1,2,…（1）（2）

定義1：設(shè)xk(k=1,2,…)是離散型隨機(jī)變量ξ所取的一切可能值，稱

k=1,2,…為離散型隨機(jī)變量ξ的概率函數(shù)或分布律，也稱概率分布.用這兩條性質(zhì)判斷一個(gè)函數(shù)是否是概率函數(shù)例2設(shè)10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品，隨機(jī)地從中抽取產(chǎn)品，每次取一件，直到取到正品為止。求抽取次數(shù)ξ的分布，（1）每次取出是次品就不放回去；（2）每次取出是次品仍放回去。解

（1）

ξ可能取值為1、2、3、4

它的分布為

ξP1234(2)ξ的取值為1、2、3、……它的分布為k=1、2、3、…幾何分布五常見的幾種分布1、兩點(diǎn)分布（0--1分布）定義

如果隨機(jī)變量ξ只可能取0和1兩個(gè)值，其概率分布為：P(ξ=1）=p,P(ξ=0)=1-p(0<p<1),則稱ξ服從參數(shù)為p的0—1分布。

說明:隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間只包含兩個(gè)樣本點(diǎn)，都可以定義一個(gè)具有0—1分布的隨機(jī)變量,用0—1分布來描述它。

例如檢查產(chǎn)品的質(zhì)量是否合格，嬰兒的性別是男是女；拋擲硬幣出現(xiàn)正反面等等。例3100件產(chǎn)品中，有98件是正品，2件次品，現(xiàn)從中隨機(jī)地抽取一件，可以定義隨機(jī)變量ξ如下這時(shí)隨機(jī)變量ξ的概率分布為：

P(ξ=1）=0.98,P(ξ=0)=0.02服從的就是0--1分布引例設(shè)生男孩的概率為p,生女孩的概率為q=1-p，令ξ表示隨機(jī)抽查出生的4個(gè)嬰兒中“男孩”的個(gè)數(shù).我們來求ξ的概率分布.

將試驗(yàn)E在相同條件下重復(fù)進(jìn)行n次，如果將第i次試驗(yàn)的結(jié)果記為Ai(i=1,2,…n)，總有A1，A2，…，An相互獨(dú)立，即每次試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)都不依賴于其它各次試驗(yàn)的結(jié)果，則稱這n次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的。伯努利試驗(yàn)

n

次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)稱作

n

重貝努里試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱伯努利試驗(yàn)或伯努利概型。

擲骰子：“擲出4點(diǎn)”，“未擲出4點(diǎn)”

射擊：“中10環(huán)”，“未中10環(huán)”

抽驗(yàn)產(chǎn)品：“抽到正品”,“抽到次品”設(shè)重復(fù)地進(jìn)行

n

次獨(dú)立試驗(yàn)，每次試驗(yàn)“成功”的概率都是p,“失敗”的概率是

q=1-p

。一般地，設(shè)在一次試驗(yàn)中只有兩個(gè)互逆的結(jié)果：,形象地把兩個(gè)互逆結(jié)果叫做“成功”和“失敗”。如：定義設(shè)隨機(jī)變量ξ表示n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A

發(fā)生的次數(shù)，p為一次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率，若

ξ的分布律為則稱隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布，記為ξ~B(n,p)說明

(1)二項(xiàng)分布的背景是伯努利概型；

(2)n=1時(shí)的二項(xiàng)分布就是0—1分布.二項(xiàng)分布（2）不難驗(yàn)證：（1）將試驗(yàn)

E

在相同條件下獨(dú)立地進(jìn)行

n

次，記

X

為

n

次獨(dú)立試驗(yàn)中A出現(xiàn)的次數(shù)。描述第i

次試驗(yàn)的隨機(jī)變量記作Xi,則Xi

～

B(1,p)，且X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立(隨機(jī)變量相互獨(dú)立的嚴(yán)格定義將在第三章講述)。則有X=X1+X2+…

+Xn

.(1)某工廠每天用水量保持正常的概率為3/4，則最近6天內(nèi)用水量保持正常的天數(shù)(2)設(shè)有9個(gè)工人間歇地使用電力，每個(gè)工人在1小時(shí)內(nèi)平均有12分鐘需要電力。若各個(gè)工人相互獨(dú)立地工作，則在單位時(shí)間內(nèi)需要用電的工人數(shù)ξ～B（9，0.2)ξ～B（6，0.75)練習(xí)例4某射手每次射擊中靶的概率為0.8,求射擊10發(fā)子彈命中5發(fā)的概率。解設(shè)射擊10次命中的次數(shù)ξ則ξ～B(10,0.8)那么命中5發(fā)的概率為泊松(Poisson)分布定義如果隨機(jī)變量ξ的分布律為則稱ξ服從參數(shù)為λ的泊松分布，記作ξ～P(λ)（2）（1）解:例5:

某一城市每天發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)

X

服從參數(shù)為0.8的泊松分布。求該城市一天內(nèi)發(fā)生

3

次以上火災(zāi)的概率?！?.0474.P{X≥3}=1-P{X<3}=1-(P{X=0}+P{X=1}+P{X=2})查表得出歷史上，泊松分布是作為二項(xiàng)分布的近似，于1837年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入的。二項(xiàng)分布與泊松分布的關(guān)系泊松定理:對(duì)二項(xiàng)分布

B(n,p),當(dāng)

n充分大,p又很小時(shí),對(duì)任意固定的非負(fù)整數(shù)

k，有近似公式

連續(xù)型隨機(jī)變量所有可能取值充滿一個(gè)區(qū)間,對(duì)這種類型的隨機(jī)變量,不能象離散型隨機(jī)變量那樣,以指定它取每個(gè)值概率的方式,去給出其概率分布,而是通過給出所謂概率密度函數(shù)的方式.密度函數(shù)的定義隨機(jī)變量，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)都有的概率密度或密度函數(shù)。則稱是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，稱函數(shù)為設(shè)在內(nèi)是非負(fù)可積函數(shù)，為一密度函數(shù)的幾何意義密度函數(shù)的性質(zhì)1.2.（非負(fù)性）（歸一性）3.連續(xù)型隨機(jī)變量的充要條件稱A為幾乎不可能事件，B為幾乎必然事件.由P(A)=0,不能推出由P(B)=1,不能推出

B=Ω而“”并非不可能事件“”并非必然事件于是，4.對(duì)f(x)的進(jìn)一步理解

若x是

f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則：若忽略高階無窮小，有：在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類似.

它表示隨機(jī)變量取值于的概率近似等于.均勻分布若隨機(jī)變量具有密度函數(shù)則稱服從區(qū)間上的均勻分布，記為對(duì)任意實(shí)數(shù)c,d(a<c<d<b)，都有指數(shù)分布若隨機(jī)變量具有密度函數(shù)則稱服從以參數(shù)為的指數(shù)分布.例6電子元件的壽命

(年)服從參數(shù)為3的指數(shù)分布求該電子元件壽命超過2年的概率.解：正態(tài)分布若隨機(jī)變量具有密度函數(shù)其中為一實(shí)數(shù)，則稱服從以為參數(shù)的正態(tài)分布，記為當(dāng)時(shí)，密度函數(shù)為此時(shí)，稱服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為一般正態(tài)分布可以通過變換化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的性質(zhì)(3)圖象特點(diǎn)是“兩頭小，中間大，左右對(duì)稱”.

(1)單峰對(duì)稱,

μ決定了圖形的中心位置正態(tài)分布有兩個(gè)特性：密度曲線關(guān)于直線x=對(duì)稱(2)決定了圖形中峰的陡峭程度.越大，曲線越平坦，越小，曲線越陡峻。

———|——>x設(shè)

ξ

是一個(gè)r.v，稱為ξ

的分布函數(shù).記作ξ～

F(x)

或Fξ(x).如圖，分布函數(shù)F(x)的值就表示ξ落在區(qū)間的概率.分布函數(shù)定義

問：在上式中，ξ,x

皆為變量.二者有什么區(qū)別？x起什么作用？F(x)是不是概率？

ξ是隨機(jī)變量(如ξ表示電子元件的壽命等）,x是參變量（如x為3.5（年），4.8

（年）

……）F(x)是r.v

ξ取值不大于

x

的概率.

由定義，對(duì)任意實(shí)數(shù)x1<x2，隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)間（x1,x2]的概率為：P{x1<ξx2

}=P{ξx2}-P{ξx1}=F(x2)-F(x1)

分布函數(shù)是一個(gè)普通的函數(shù)，正是通過它，我們可以用數(shù)學(xué)分析的工具來研究隨機(jī)變量.(1)F(x)非降，即若x1<x2，則F(x1)F(x2);(3)F()=F(x)=0

(4)F(x)右連續(xù)，即

如果一個(gè)函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個(gè)r.vξ

的分布函數(shù).也就是說，性質(zhì)(1)--(4)是鑒別一個(gè)函數(shù)是否是某r.v的分布函數(shù)的充分必要條件.F()=F(x)=1分布函數(shù)的性質(zhì)(2)1.已知分布列(律)求分布函數(shù)例7已知，求F(x).當(dāng)0x<1時(shí)，

F(x)=P(ξ

x)=P(ξ=0)=F(x)=P(ξ

x)解:當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)(x)=P(ξ

x)=0離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)當(dāng)1x<2時(shí)，

F(x)=P(ξ=0)+P(ξ=1)=+=當(dāng)x2時(shí)，

F(x)=P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)=1故注意右連續(xù)設(shè)離散型r.vξ

的分布律是：P(ξ=xk

)=pk

,

k=1,2,3,…則

F(x)=P(ξ

x)=

可見F(x)是ξ取諸值xk（

xk

）的概率之和下面我們從圖形上來看一下.方法歸納:(已知分布列(律)求分布函數(shù))概率函數(shù)圖分布函數(shù)圖畫分布函數(shù)圖

不難看出，F(xiàn)(x)的圖形是階梯狀的圖形，在

x=0，1，2處有跳躍，其躍度分別等于P(ξ=0),P(ξ=1),P(ξ=2).2.已知分布函數(shù)求分布列(律)例8已知離散型隨機(jī)變量ξ的分布函數(shù)如下:試求ξ的分布列

正態(tài)分布的分布函數(shù)設(shè)ξ~,ξ的分布函數(shù)是的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用

和

表示：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)書末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算查表.表中給的是x>0時(shí),Φ0(x)的值.當(dāng)x<0時(shí)正態(tài)分布表~N(0,1)

(1)若ξ

～N(0,1),若(2)(2)例9例10例如，已知圓柱截面直徑的分布，求截面面積的分布。一、隨機(jī)變量函數(shù)定義設(shè)是定義在隨機(jī)變量的一切可能值的集合上，若對(duì)于

的每一可能值

，有隨機(jī)變量的一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，則稱為

的函數(shù)，記為二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例11求的分布列.

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