專題：直角三角形存在性問題

-.z.直角三角形存在性問題方法提煉：●找點"兩個定點，求作直角三角形〞，可借用"兩線一圓法〞找到第三個頂點的位置；●直角三角形存在性問題探討1.先假設結論成立，根據(jù)直角頂點的不確定性，分情況討論2.方法一：畫出具體圖形，依托直角，作"橫平豎直〞輔助線，造"一線三直角〞，利用相似列方程解方法二：引入一個字母，用它表示出三角形的三邊，再分類談論，利用勾股定理列方程求解；例1：如圖在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，點P是菱形外部的一點，假設以點P、A、C為頂點的三角形是直角三角形，則P、D兩點間的最短距離為.例2.如圖，拋物線與*軸交于A、B兩點〔點A在點B的左側〕，與y軸交于點C．〔1〕求點A、B的坐標；〔2〕假設直線l過點E〔4，0〕，M為直線l上的動點，當以A、B、M為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，求直線l的解析式．例3.如圖，二次函數(shù)y＝*2＋b*＋c圖像經過原點和點A〔2，0〕，直線AB與拋物線交于點B，且∠BAO＝45°．〔1〕求二次函數(shù)解析式及其頂點C的坐標；〔2〕在直線AB上是否存在點D，使得△BCD

為直角三角形．假設存在，求出點D的坐標，假設不存在，說明理由．例4.〔2017年.〕如圖，拋物線y=a*2+b*+c與*軸交于兩點A〔﹣4，0〕和B〔1，0〕，與y軸交于點C〔0，2〕，動點D沿△ABC的邊AB以每秒2個單位長度的速度由起點A向終點B運動，過點D作*軸的垂線，交△ABC的另一邊于點E，將△ADE沿DE折疊，使點A落在點F處，設點D的運動時間為t秒．〔1〕求拋物線的解析式和對稱軸；〔2〕是否存在*一時刻t，使得△EFC為直角三角形？假設存在，求出t的值；假設不存在，請說明理由；●針對性演練：1、如圖，二次函數(shù)y=*2+b*+c的圖象與*軸交于A，B兩點，與y軸交于點P，頂點為C〔1，-2〕．〔1〕求此函數(shù)的關系式；〔2〕作點C關于*軸的對稱點D，順次連接A，C，B，D．假設在拋物線上存在點E，使直線PE將四邊形ABCD分成面積相等的兩個四邊形，求點E的坐標；〔3〕在〔2〕的條件下，拋物線上是否存在一點F，使得△PEF是以P為直角頂點的直角三角形？假設存在，求出點F的坐標及△PEF的面積；假設不存在，請說明理由．2、如圖，直線y=-*+3與*軸，y軸分別相交于點B，點C，經過B，C兩點的拋物線y=a*2+b*+c與*軸的另一交點為A，頂點為P，且對稱軸是直線*=2?！?〕求點A的坐標；〔2〕求該拋物線的函數(shù)表達式；〔3〕請問在拋物線上是否存在點Q，使得以點B、C、Q為頂點的三角形為直角三角形？假設存在，請求出點Q的坐標；假設不存在，請說明理由.3、如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點D，BC=10cm，AD=8cm．點P從點B出發(fā)，在線段BC上以每秒3cm的速度向點C勻速運動，與此同時，垂直于AD的直線m從底邊BC出發(fā)，以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移，分別交AB、AC、AD于E、F、H，當點P到達點C時，點P與直線m同時停頓運動，設運動時間為t秒〔t＞0〕．〔1〕當t=2時，連接DE、DF，求證：四邊形AEDF為菱形；〔2〕在整個運動過程中，所形成的△PEF的面積存在最大值，當△PEF的面積最大時，求線段BP的長；〔3〕是否存在*一時刻t，使△PEF為直角三角形？假設存在，請求出此時刻t的值；假設不存在，請說明理答案：例1，PC的最小值為1〔1〕A(-4,0)、B〔2,0〕方法一、作CF⊥L1，CF=，CE=，AC:，平移AC可得L1L2，再根據(jù)D的橫坐標為*=-1，可求D點坐標。方法二：設AC與對稱軸交于點G，G()，設D的坐標可設為〔-1，y〕，則D1G=，DG=由S△ACD=S△ABC，可求出y的值，繼而求出D點坐標。D的坐標為、如答圖2，以AB為直徑作⊙F，圓心為F．要想以A、B、M為頂點所作的三角形有且只有3個時，過點E的直線與⊙F相切。過E點作⊙F的切線，這樣的切線有2條．連接FM，過M作MN⊥*軸于點N．M在第一象限，M〔〕，；M在第三象限，M〔〕，例3?！?〕，C〔1，-1〕〔2〕方法一；AB：，設D〔*,-*+2〕,B〔-1,3〕，C〔1，-1〕，可求出△BCD三邊長，分兩類通過勾股定理計算可求出D點坐標；∠BCD=90°時，D，∠BDC=90°時，*=2,*=-1〔舍去〕，D〔2,0〕方法二：直線AB：，直線BC：假設∠BCD=90°時，CD：，將CD與AB關系式聯(lián)立，可求出點D的坐標∠BDC=90°時，CD：，將CD與AB關系式聯(lián)立，可求出點D的坐標例4答案：〔1〕，對稱軸AD=DF=2t，OF=4-4t，D〔2t-4,0〕，，E〔2t-4，t〕①∠EFC=90°，△DEF≌△OFC，列比例式，可求出t=；②∠FEC=90°，△AEF為等腰直角三角形，DE=AF,t=2t，t=0〔舍去〕③∠ACF=90°，針對性演練答案：1、〔1〕將頂點〔1,2〕代入得，得可證四邊形ACBD為菱形，所以PE必過對稱中心M，P〔0，-1〕，M〔1,0〕，可求PE：，與聯(lián)立可求E點坐標〔3,2〕〔3〕方法一：作FG⊥y軸于G，證△FGP≌△POM，OM=OP，可得PG=GF,即*=0〔舍去〕,*=1，F(xiàn)〔1，-2〕方法二：P〔0，-1〕，E〔3,2〕，F(xiàn)三點坐標，可表示出