高等數(shù)學教學的幾點思考與體會

高等數(shù)學教學的幾點考慮與體會〔〕:

摘要：作者根據(jù)近幾年教學經歷，從課程特點、學情特點、課時特點等方面討論了高等數(shù)學等高校公共數(shù)學課程與數(shù)學專業(yè)課程教學之間的一些差異。另外，作者介紹了自己在高等數(shù)學教學中的一點心得體會，以與大家交流。

關鍵詞：高等數(shù)學；課程特點；學情特點；課時特點；偏導數(shù)

本文引用格式：姜德爍.高等數(shù)學教學的幾點考慮與體會[J].教育現(xiàn)代化,2022,7(49):101-105.

SeveralThoughtsandConsiderationsonTeachingofAdvancedMathematics

JIANGDe-shuo

(SchoolofMathematicsandStatistics,BaiseUniversity,BaiseGuangxi)

Abstract:Accordingtotheteachingexperienceofauthorinrecentyears,wediscusssomedifferencesbetweenadvancedmathematicsteachingandMathspecializedcourseteachingfromtheviewofcoursecharacteristics，studentcharacteristics，classhourcharacteristicsandsoon.Besides,weintroducesomeexperienceintheteachingofadvancedmathematicsinordertomunicatewithreaders.

Keywords:Advancedmathematics;Coursecharacteristic;Studentcharacteristics;Classhourcharacteristics;Partialderivative

一引言

高等數(shù)學是大學里面的一門根底課程，在幾乎所有的理科專業(yè)，如物理、經濟學、計算機領域、以及工程設計、化學、生物學等均有涉及，應用非常廣泛。作者自工作以來，主講的大多為數(shù)學專業(yè)課程，近幾年開始講授高等數(shù)學之類的公共數(shù)學課程。通過幾年來的教學理論與總結，作者感覺到像高等數(shù)學之類的公共數(shù)學課程，與數(shù)學類專業(yè)課程相比，在課程特點以及教學教法上都還是有著很大區(qū)別的。因此教師在教學中對此要有清醒的認識，并做好充分的準備。不然，會在教學中走一些彎路，影響教學的效果。

高等數(shù)學的教學，無論是從內容的側重點，還是授課對象的知識根底來說，與一般的數(shù)學專業(yè)根底課程都有所不同，而且是有很大的不同。在教學中，我們就要針對這些特點，采取適宜的教學方法，以做到因材施教，從而到達進步教學效果的目的。下面，我們從幾個方面對此做一較為詳細的討論，以此來與大家交流、討論。如有缺乏之處，還請各位專家、讀者給予批評指正。

二課程特點

從課程的特點來看,高等數(shù)學側重于在理解概念的根底上,對知識的靈敏應用。至于理論的推導，那么不做過多的要求。因此，在教學過程中要抓住教材的這些內容作為重點來講解。在分配每章或每節(jié)的課時數(shù)時，也要考慮到這方面的因素。高等數(shù)學教學的一個顯著特點就是內容多，但課時緊。因此，在制定教學安排時，把握好這些特點是很重要的。

對于數(shù)學類的專業(yè)課程，如點集拓撲、微分幾何、實變函數(shù)等，它們的特點之一就是具有高度的抽象性、概括性。在這些課程中，不但許多的概念是如此，而且里面的定理和性質的證明都具有相當?shù)碾y度。這樣的問題很多，而詳細的實例由于時間和篇幅的原因，涉及的那么很少。因此學生在學習的時候往往會感到比擬枯燥，乏味。在文獻【1】中，我們對此也做了一定的討論，并給出了一些個人的看法和建議。在此不再贅述。對于高等數(shù)學來說，它的難點沒有那么多，重點在于相關的數(shù)學計算和應用。但是，對于里面的一些主要的概念、結論，如偏導數(shù)、全微分、重積分等等，也是要作為重點來處理的，要做到講解透徹、分析到位、層次清楚。雖然說重點是相關的計算與應用，但這些主要的概念還是要著重講一下的，只有這些概念及它們的背景講清楚了，學生學起來才感興趣、有勁頭。我們說，學以致用。不管是數(shù)學也好，其他的學科也好，它們之所以存在的根本原因，就在于能對我們的消費生活起到積極的作用，能為我們人類社會的開展效勞。數(shù)學當然也不例外。我們在教材中學到的數(shù)學知識，很多都起源于我們的消費理論，并且也會對我們人類的消費生活起到積極的推動作用。數(shù)學中的每一個概念，都可能聯(lián)絡著一些實際的問題。如，一元函數(shù)的導數(shù)反映的是變量的變化率問題〔運動物體的即時速度，切線的斜率等等〕；多元函數(shù)的偏導數(shù)反映的是函數(shù)對某一變量的變化率問題〔這其實也來源于一些實際的問題。如商品的價格與本錢、供給量、市場的需求量等都有關系。在有些時候，我們會考慮這樣的問題，即在本錢和供給量不變的情況下，價格對需求量的變化率，或者在價格和需求量不變的情況下，價格對供給量的變化率，這就涉及到偏導數(shù)〕；函數(shù)在一點處的微分或者全微分，反映的是在這一點處函數(shù)增量的主要局部〔可以用來進展近似計算〕；非負連續(xù)函數(shù)在有限閉區(qū)間上的定積分反映的是其所圍曲邊梯形的面積等等〔更多的可參閱文獻【2】，【3】以及其他一些高等數(shù)學教材、微積分教材等〕。理解了這些問題的背景，或者說來龍去脈，學生對這些概念才能有一個較為深化的認識和理解，學起來也更有興趣。在文獻【4】中，作者也討論了關于如何在高等數(shù)學教學中激發(fā)學生學習興趣的問題，有興趣的讀者可以查閱。

三學情特點

高等數(shù)學的教學，不但要把握它的課程特點，還要注意到它授課對象的特點。高等數(shù)學的授課對象，一般為非數(shù)學專業(yè)的學生。這些學生的一個顯著特點就是數(shù)學根底不是太好，對數(shù)學有一種天然的恐懼感和畏難情緒。提到數(shù)學，想到的就是一個難字。同樣的問題，對于數(shù)學專業(yè)的學生也許很簡單，但對于其它專業(yè)的學生來說，可能就變成了一個難點。如重積分的計算，在不同情形，有不同的計算公式。直角坐標系下如何計算，極坐標系下如何計算，都有相應的公式，計算的時候直接代入即可。假設是數(shù)學專業(yè)的學生，這是不需要花太多時間去說的。但對于非數(shù)學專業(yè)的學生，這就是要講的重點。要通過多種不同類型的例題來進展講解、演示，通過習題來進展訓練和強化。不然，學生很難掌握好。因此，初次接觸高等數(shù)學教學的教師一定要注意這一點。

四課時特點

關于這點，我們想拿出來單獨說一下。

對于高等數(shù)學來說，大學中的許多專業(yè)都會開設這樣的課程。但不同的專業(yè)，對該課程的要求是不同的。相應地，安排的課時也不盡一樣，有64課時的，有56課時的，還有的是70多課時的等等，不一而足。課時的多少，也決定了教學內容的差異。因此，教師需要根據(jù)所教專業(yè)，以及安排的課時數(shù)對課程內容作一定的取舍。假設這一點不能做好，做到位，就會給教學帶來不好的影響，甚至會出現(xiàn)一些問題。

舉個簡單的例子來說明一下。一節(jié)課假設需要2個學時可以講完，一章有8節(jié)課，那這一章講完就需要16個學時。但假設這一章只安排了8個學時的話，這時候就需要對教材內容做出一定的取舍了。顯然，假設用8個課時講這8節(jié)的話，每節(jié)根本上只能分到1個課時。而需要2個課時才能講完的內容，假設壓縮到1個課時，對學生來說承受起來是有很大難度的。長此以往，學生學的比擬費力，進而漸漸對這門課就失去了興趣。所以這是不可取的。這就要求教師根據(jù)專業(yè)特點和專業(yè)需求，選取主要內容、重點內容來講，不必要的就不要花太多時間去講了。要做到主次清楚，重點突出，這樣才能獲得良好的教學效果。

五一些心得體會

最后，我們說幾點教學中的心得體會，與大家分享。

第一，講課的時候，有時我們可以把內容作適當?shù)恼{整，這樣一方面可以節(jié)省課時，把時間用在主要內容的講解上。另一方面也可以把內容有機地交融在一起，起到較好的效果。如在講解多元函數(shù)偏導數(shù)時，講完定義之后，我們通常要舉一些詳細的實例，讓學生來看一下或感受一下怎么來求這個偏導數(shù)這些例子如何設計？這其實也是有一些技巧的。首先，我們可以按照課本上的例題來講，這是很自然的想法。但有時候，限于篇幅等原因，教材上往往只能給出局部例題。

這樣，教師就需要從課外參考書中或其它地方尋找一些相關的題目，再根據(jù)自己教學的需要來設計出一組習題〔當然這組習題要緊扣教材，還要層次清楚〕。通過這組習題的講解與訓練，讓學生純熟掌握偏導數(shù)求導這一知識點。

我們知道，課程的內容前后都是有關聯(lián)的。前面的知識是為了后面的作鋪墊，而后面的內容一般也與前面的有著千絲萬縷的聯(lián)絡。偏導數(shù)也不例外。后面在學習多元函數(shù)全微分、復合函數(shù)微分法、隱函數(shù)微分時，都會涉及到求偏導數(shù)這樣的問題〔參閱文獻【2】以及其它相關教材〕。因此，偏導數(shù)不但是本章一個重要的概念，而且是多元函數(shù)微積分的一個根底，是要重點講解、重點訓練的一個知識點。偏導數(shù)掌握好了，后面的內容學起來就容易多了。既然這樣，我們就想，為什么不可以把這些求偏導數(shù)的問題提早到前面，放在偏導數(shù)定義這一節(jié)來講呢？這樣，一方面可以通過這些例題讓學生熟悉并結實掌握偏導數(shù)的求解，另一方面，在后面的教學中，就不用再花太多時間在這些問題上了。而且，前面講過了，后面再遇到，學生自然就不會感到太陌生，承受起來就更容易一些。另外，通過這種方式也把教材內容有機地交融在了一起。一舉多得，何樂而不為呢？

另外，在講解的時候，我們可以考慮分層次進展。對于求偏導數(shù)，可先從一般較簡單的二元函數(shù)入手，讓學生掌握求偏導數(shù)的根本方法。在此根底上，再進一步，講解一些較簡單的復合函數(shù)的偏導數(shù)。最后，在學生已經較好地掌握了偏導數(shù)的求法之后，可以給出一些較復雜的函數(shù)〔可以是二次復合函數(shù)、三元函數(shù)等等〕，求它們的偏導數(shù)，以到達穩(wěn)固、加深的目的。下面是我們設計的一組習題，請各位專家、讀者多予指導。

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第一組:(1)-(3)，是由根本初等函數(shù)〔參文獻【2】，第12頁〕經過有限次四那么運算得到的一些較為簡單的二元初等函數(shù)〔參閱文獻【3】，第52-53頁〕。第二組:(4)-(6)，是一些較為簡單的二元復合函數(shù)。由于相當一局部初等函數(shù)都涉及到函數(shù)的復合，因此把復合函數(shù)求偏導的方法單獨拿出來講解一下是很有必要的。第三組:(7)-(9)，是一些較復雜的多元函數(shù)，目的是借此加深穩(wěn)固。在實際教學中，可根據(jù)課時的安排做適當?shù)恼{整。如學時不允許，可每一組講一到兩個，剩下的讓學生作為練習。

第三，要注重概念的講解與實際問題的結合。對于許多讀者來說，數(shù)學之所以顯得很抽象、枯燥，往往是由于只從形式上去對待，從理論的角度進展分析、推演，而無視了與實際問題的結合。不與實際問題相結合，就很難弄清楚問題的來龍去脈，不知道它是用來做什么的，有什么用。這樣，心里就總是有個結，有疑問。這是我們要特別注意的一點。作為教師，我們要替學生把這個結解開，這樣學生學起來才更有勁頭。實際上，很多概念都是有一定的實際背景的，與消費生活有著親密的聯(lián)絡。比方，在講多元函數(shù)微分學和積分學時，一個根本性的概念就是多元函數(shù)。我們?yōu)槭裁匆芯慷嘣瘮?shù)？這就是一個不能回避的問題。只有把它弄清楚了，后面的一系列問題才有了源頭。

我們知道，函數(shù)是反響量與量之間關系的一個概念。比方，一天中的溫度是隨時間變化而變化的，在不同的時間，溫度就可能不同。因此，我們可以把溫度看作時間的函數(shù)。再比方，物體做自由落體運動時，其速度v是隨時間t的變化而變化的。一般地，當初速度為0時，它們之間存在這樣的函數(shù)關系：vgt，其中g為重力加速度。類似地，物體下落的高度h也與時間t之間有著一定的關系，即h1gt2。像上述這些問題，它們有一個共同點，即其中一個量是隨另一個量的變化而變化的。但也有另外的一些情形。如市場上商品的價格，它與商品的本錢、市場的需求量、產品的供給量等都有關系。還有，電流產生的熱量與電壓、電流強度、時間等都有關系。像商品的價格、電流產生的熱量等等這樣的量，它們不僅僅依賴于某一個量，而是與2個、3個甚至更多的量都有關系。要描繪這些量的變化規(guī)律，僅用以前學過的一元函數(shù)是不夠的，這就需要引入新的概念，即多元函數(shù)。通過這些詳細例子，學生可以真切體會到多元函數(shù)的由來及對其研究的必要性。這對接下來的學習是很有益的。

另外，高等數(shù)學中有些概念確實是比擬復雜，概括性比擬強的。對于初學者來說，假設沒有教師的講解，或者講解不得法，理解起來就會比擬困難。對坐標的曲線積分就是如此，它是一個相當抽象、不易于理解的概念。我們先來看一下這個概念(參閱文獻【3】及以下列圖1)。

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看到這樣的概念時，我們通常會感到一頭霧水，摸不著頭腦。對學生來說，更是不容易了該如何講呢？這就要回到問題的根源。我們知道，這樣的概念實際上來源于物理上的變力做功等問題。像這樣的概念，包括之前學過的定積分、重積分等，它們實際上都是在對一些實際問題的分析、處理中歸納總結得來的。對于這些概念，假設不和詳細的問題相結合，只看概念本身的話，是非常難以理解的。因此，教師在講解的時候，要實在做到與詳細問題相結合，在對詳細問題的分析、解決中順其自然的引出該概念。這樣，學生承受起來就會容易得多了，而且會聽得津津有味，興趣倍增。因此，在講解的時候可以把重點放在變