高考熱點(diǎn)專題數(shù)列系列課件

高考熱點(diǎn)專題數(shù)列的綜合應(yīng)用高考熱點(diǎn)專題考點(diǎn)一等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問(wèn)題【考情分析】等差、等比數(shù)列相結(jié)合的問(wèn)題是高考考查的重點(diǎn)(1)綜合考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、等差(比)中項(xiàng)、等差(比)數(shù)列的性質(zhì).(2)重點(diǎn)考查基本量(即“知三求二”,解方程(組))的計(jì)算以及靈活運(yùn)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解決問(wèn)題.考點(diǎn)一等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問(wèn)題【典例1】(2019·湖南高考)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,|an+1-an|=pn,n∈N*.(1)若{an}是遞增數(shù)列,且a1,2a2,3a3成等差數(shù)列,求p的值.(2)若p=,且{a2n-1}是遞增數(shù)列,{a2n}是遞減數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.【典例1】(2019·湖南高考)已知數(shù)列{an}滿足a1=1【解題提示】(1)由{an}是遞增數(shù)列,去掉絕對(duì)值號(hào),求出前三項(xiàng),再利用a1,2a2,3a3成等差數(shù)列,得到關(guān)于p的方程即可求解.(2){a2n-1}是遞增數(shù)列,{a2n}是遞減數(shù)列,可以去掉絕對(duì)值號(hào),再利用疊加法求通項(xiàng)公式.【解題提示】(1)由{an}是遞增數(shù)列,去掉絕對(duì)值號(hào),求出前【規(guī)范解答】(1)因?yàn)閧an}是遞增數(shù)列,所以an+1-an=pn,又a1=1,a2=p+1,a3=p2+p+1,因?yàn)閍1,2a2,3a3成等差數(shù)列,所以4a2=a1+3a3,4p+4=1+3p2+3p+3,3p2=p,解得p=或p=0,當(dāng)p=0時(shí),an+1-an=0,與{an}是遞增數(shù)列矛盾,所以p=.【規(guī)范解答】(1)因?yàn)閧an}是遞增數(shù)列,所以an+1-an(2)因?yàn)閧a2n-1}是遞增數(shù)列,所以a2n+1-a2n-1>0,于是(a2n+1-a2n)+(a2n-a2n-1)>0①,由于,所以|a2n+1-a2n|<|a2n-a2n-1|②,由①②得(a2n-a2n-1)>0,所以a2n-a2n-1=③,因?yàn)閧a2n}是遞減數(shù)列,所以同理可得a2n+1-a2n<0,a2n+1-a2n=

④,(2)因?yàn)閧a2n-1}是遞增數(shù)列,所以a2n+1-a2n-高考熱點(diǎn)專題數(shù)列系列課件【規(guī)律方法】等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合問(wèn)題的解題策略(1)分析已知條件和求解目標(biāo),確定為最終解決問(wèn)題需要首先求解的中間問(wèn)題,如為求和需要先求出通項(xiàng)、為求出通項(xiàng)需要先求出首項(xiàng)和公差(公比)等,確定解題的順序.(2)注意細(xì)節(jié).在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問(wèn)題中,如果等比數(shù)列的公比不能確定,則要看其是否有等于1的可能,在數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題中第一項(xiàng)和后面的項(xiàng)能否用同一個(gè)公式表示等,這些細(xì)節(jié)對(duì)解題的影響也是巨大的.【規(guī)律方法】等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合問(wèn)題的解題策略提醒:在不能使用同一公式進(jìn)行計(jì)算的情況下要注意分類討論,分類解決問(wèn)題后還要注意結(jié)論的整合.提醒:在不能使用同一公式進(jìn)行計(jì)算的情況下要注意分類討論,分類【變式訓(xùn)練】(2019·南昌模擬)已知{an}是單調(diào)遞增的等差數(shù)列,首項(xiàng)a1=3,前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,首項(xiàng)b1=1,且a2b2=12,S3+b2=20.(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.(2)令cn=Sncos(anπ)(n∈N*),求{cn}的前n項(xiàng)和Tn.【變式訓(xùn)練】(2019·南昌模擬)已知{an}是單調(diào)遞增的等【解析】(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,數(shù)列{bn}的公比為q,則a2b2=(3+d)q=12,S3+b2=3a2+b2=3(3+d)+q=9+3d+q=20,3d+q=11,q=11-3d,則(3+d)(11-3d)=33+2d-3d2=12,即3d2-2d-21=0,(3d+7)(d-3)=0.因?yàn)閧an}是單調(diào)遞增的等差數(shù)列,所以d>0,所以d=3,q=2,an=3+(n-1)×3=3n,bn=2n-1.【解析】(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,數(shù)列{bn}的公比為(2)由(1)知①當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),Tn=c1+c2+c3+…+cn=-S1+S2-S3+S4-…-Sn-1+Sn=a2+a4+a6+…+an=6+12+18+…+3n=(2)由(1)知②當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，Tn=Tn-1-Sn=②當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，【加固訓(xùn)練】1.(2015·宜春模擬)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a3=8,a5+a7=160,{an}的前n項(xiàng)和為Sn.(1)求an.(2)若數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=(-1)n·n(n∈N+),求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和Tn.【加固訓(xùn)練】1.(2015·宜春模擬)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比為q,由a3=8,a5+a7=160,得a1q2=8,a1q4+a1q6=160,解得a1=2,q=2.所以an=a1·qn-1=2n.(2)因?yàn)閎n=(-1)n·n,an=2n,所以an·bn=n·(-2)n,所以Tn=1·(-2)+2·(-2)2+3·(-2)3+…+n·(-2)n,-2Tn=1·(-2)2+2·(-2)3+3·(-2)4+…+(n-1)·(-2)n+n·(-2)n+1,【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比為q,由a相減可得3Tn=(-2)+(-2)2+(-2)3+…+(-2)n-n·(-2)n+1=

-n·(-2)n+1

相減可得3Tn=(-2)+(-2)2+(-2)3+…+(-22.(2019·寧波模擬)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=an+1=

,n∈N*.(1)求證:數(shù)列{-1}為等比數(shù)列.(2)記Sn=若Sn<100,求最大正整數(shù)n.(3)是否存在互不相等的正整數(shù)m,s,n,使m,s,n成等差數(shù)列,且am-1,as-1,an-1成等比數(shù)列?如果存在,請(qǐng)給出證明;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.2.(2019·寧波模擬)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=【解析】(1)由an+1=可得所以又≠0，所以-1≠0(n∈N*)所以數(shù)列{-1}為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.【解析】(1)由an+1=可得若Sn＜100，則n+1-＜100，所以滿足條件的最大正整數(shù)n為99.若Sn＜100，則n+1-＜100，(3)假設(shè)存在滿足條件的m,s,n,則m+n=2s,(am-1)(an-1)=(as-1)2,因?yàn)閍n=所以化簡(jiǎn),得3m+3n=2·3s.因?yàn)?m+3n≥2·=2·3s,當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)等號(hào)成立,這與m,s,n互不相等矛盾,所以假設(shè)不成立,即不存在滿足條件的m,s,n.(3)假設(shè)存在滿足條件的m,s,n,則m+n=2s,(am-考點(diǎn)二數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題【考情分析】數(shù)列與函數(shù)的特殊關(guān)系,決定了數(shù)列與函數(shù)交匯命題的自然性,是高考命題的易考點(diǎn),主要考查方式有:(1)以函數(shù)為載體,考查函數(shù)解析式的求法,或者利用函數(shù)解析式給出數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列前n項(xiàng)和的計(jì)算方法(2)根據(jù)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)這一特點(diǎn)命題,考查利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)確定數(shù)列的單調(diào)性、最值或解決某些恒成立問(wèn)題考點(diǎn)二數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題【典例2】(2018·沈陽(yáng)模擬)已知函數(shù)f(x)=,數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=f(),n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)令Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1,求Tn.(3)令bn=(n≥2),b1=3,Sn=b1+b2+…+bn,若Sn<對(duì)一切n∈N*成立,求最小正整數(shù)m.【典例2】(2018·沈陽(yáng)模擬)已知函數(shù)f(x)=【解題提示】(1)由已知得an+1與an的關(guān)系從而獲解.(2)利用等差數(shù)列的性質(zhì)及裂項(xiàng)相消法去求解.(3)利用裂項(xiàng)相消法先求出Sn,再把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題.【解題提示】(1)由已知得an+1與an的關(guān)系從而獲解.【規(guī)范解答】(1)因?yàn)樗詛an}是以為公差的等差數(shù)列.又a1=1,所以an=(2)Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1=a2(a1-a3)+a4(a3-a5)+…+a2n(a2n-1-a2n+1)=-

(a2+a4+…+a2n)【規(guī)范解答】(1)因?yàn)?3)當(dāng)n≥2時(shí)，bn=又b1=3=所以Sn=b1+b2+…+bn因?yàn)镾n=對(duì)一切n∈N*成立且所以即m≥2014.所以最小正整數(shù)m=2014.(3)當(dāng)n≥2時(shí)，bn=【規(guī)律方法】1.數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1)已知函數(shù)條件,解決數(shù)列問(wèn)題,此類問(wèn)題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖像研究數(shù)列問(wèn)題.【規(guī)律方法】(2)已知數(shù)列條件,解決函數(shù)問(wèn)題,解決此類問(wèn)題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對(duì)式子化簡(jiǎn)變形.另外,解題時(shí)要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系,靈活運(yùn)用函數(shù)的思想方法求解,在問(wèn)題的求解過(guò)程中往往會(huì)遇到遞推數(shù)列,因此掌握遞推數(shù)列的常見(jiàn)解法有助于該類問(wèn)題的解決.(2)已知數(shù)列條件,解決函數(shù)問(wèn)題,解決此類問(wèn)題一般要充分利用2.解決數(shù)列與函數(shù)綜合問(wèn)題的注意點(diǎn)(1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù),其定義域是正整數(shù)集,而不是某個(gè)區(qū)間上的連續(xù)實(shí)數(shù),所以它的圖像是一群孤立的點(diǎn).(2)轉(zhuǎn)化以函數(shù)為背景的條件時(shí),應(yīng)注意題中的限制條件,如函數(shù)的定義域,這往往是非常容易忽視的問(wèn)題.(3)利用函數(shù)的方法研究數(shù)列中相關(guān)問(wèn)題時(shí),應(yīng)準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù),注意數(shù)列中相關(guān)限制條件的轉(zhuǎn)化.2.解決數(shù)列與函數(shù)綜合問(wèn)題的注意點(diǎn)【變式訓(xùn)練】(2015·成都模擬)已知二次函數(shù)f(x)=x2-ax+a(a>0,x∈R),不等式f(x)≤0的解集有且只有一個(gè)元素,設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=f(n)(n∈N*),(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.【變式訓(xùn)練】(2015·成都模擬)已知二次函數(shù)f(x)=x2【解析】(1)由已知得x2-ax+a≤0的解集有且只有一個(gè)元素,所以Δ=(-a)2-4a=0,即a2-4a=0,又因?yàn)閍>0,所以a=4,所以f(x)=x2-4x+4,從而Sn=f(n)=n2-4n+4,當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=1-4+4=1;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-5.【解析】(1)由已知得x2-ax+a≤0的解集有且只有一個(gè)元高考熱點(diǎn)專題數(shù)列系列課件【加固訓(xùn)練】設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,當(dāng)x<0時(shí)f(x)>1,且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y).(1)求f(0),判斷并證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性.(2)數(shù)列{an}滿足a1=f(0),且f(an+1)=(n∈N*),數(shù)列{bn}滿足bn=an-8.①求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;②求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn的最小值及相應(yīng)的n的值.【加固訓(xùn)練】設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,當(dāng)x<0時(shí)f(x)>【解析】(1)x,y∈R,f(x+y)=f(x)·f(y),x<0時(shí),f(x)>1,令x=-1,y=0,則f(-1)=f(-1)f(0),因?yàn)閒(-1)>1,所以f(0)=1.若x>0,則f(x-x)=f(0)=f(x)f(-x),故f(x)=∈(0,1),故x∈R,f(x)>0,任取x1<x2,f(x2)=f(x1+x2-x1)=f(x1)f(x2-x1),【解析】(1)x,y∈R,因?yàn)閤2-x1>0,所以0<f(x2-x1)<1,所以f(x2)<f(x1),故f(x)在R上是減函數(shù).(2)①a1=f(0)=1,f(an+1)==f(2+an),由f(x)單調(diào)性an+1=an+2.故{an}是等差數(shù)列,所以an=2n-1.②bn=2n-9,Tn=n2-8n,當(dāng)n=4時(shí),(Tn)min=-16.因?yàn)閤2-x1>0,所以0<f(x2-x1)<1,考點(diǎn)三數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題【考情分析】數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題是高考考查的熱點(diǎn).考查方式主要有三種:(1)判斷數(shù)列問(wèn)題中的一些不等關(guān)系,如比較數(shù)列中的項(xiàng)的大小關(guān)系等.(2)以數(shù)列為載體,考查不等式的恒成立問(wèn)題,求不等式中的參數(shù)的取值范圍等.(3)考查與數(shù)列問(wèn)題有關(guān)的不等式的證明問(wèn)題.考點(diǎn)三數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題【典例3】(2018·上海高考)已知數(shù)列{an}滿足an≤an+1≤3an,n∈N*,a1=1.(1)若a2=2,a3=x,a4=9,求x的取值范圍.(2)設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列,Sn=a1+a2+…+an,Sn≤Sn+1≤3Sn,n∈N*,求q的取值范圍.(3)若a1,a2,…成等差數(shù)列,且a1+a2+…+ak=1000,求正整數(shù)k的最大值,以及k取最大值時(shí)相應(yīng)數(shù)列a1,a2,…的公差.【典例3】(2018·上海高考)已知數(shù)列{an}滿足an【解題提示】(1)根據(jù)a2≤a3≤3a2,a3≤a4≤3a3可求得x的范圍.(2)需對(duì)q分類討論,若q=1,易得符合題意,若q≠1時(shí),再通過(guò)放縮法解不等式組即得結(jié)論.(3)k=1000,d=0是一組解時(shí),kmax≥1000,根據(jù)an≤an+1≤3an,可得d≥,然后根據(jù)a1+a2+…+ak=1000,得到關(guān)于d的關(guān)系式,而d≥,從而得到關(guān)于k的不等式,解此不等式即得.【解題提示】(1)根據(jù)a2≤a3≤3a2,a3≤a4【規(guī)范解答】(1)依題意,a2≤a3≤3a2,所以≤x≤6;又a3≤a4≤3a3,所以3≤x≤27;綜上可得:3≤x≤6.【規(guī)范解答】(1)依題意,a2≤a3≤3a2,所以≤(2)由已知得，an=qn-1,又a1≤a2≤3a1，所以≤q≤3,當(dāng)q=1時(shí)，Sn=n,Sn≤Sn+1≤3Sn,即≤n+1≤3n,成立.當(dāng)1<q≤3時(shí)，Sn=,Sn≤Sn+1≤3Sn,(2)由已知得，an=qn-1,又a1≤a2≤3a1，因?yàn)閝>1,故3qn+1-qn-2=qn(3q-1)-2>2qn-2>0,對(duì)于不等式qn+1-3qn+2≤0,令n=1,得q2-3q+2≤0,解得1≤q≤2,又當(dāng)1<q≤2時(shí),q-3<0,所以qn+1-3qn+2=qn(q-3)+2≤q(q-3)+2=(q-1)(q-2)≤0成立,所以1<q≤2,當(dāng)≤q<1時(shí),Sn=Sn≤Sn+1≤3Sn,因?yàn)閝>1,故3qn+1-qn-2=qn(3q-1)-2>2所以此不等式即3q-1≥0,q-3<0,所以3qn+1-qn-2=qn(3q-1)-2<2qn-2<0,qn+1-3qn+2=qn(q-3)+2≥q(q-3)+2=(q-1)(q-2)>0,所以≤q<1時(shí),不等式恒成立,綜上,q的取值范圍為≤q≤2.所以此不等式即(3)設(shè)公差為d,顯然,當(dāng)k=1000,d=0時(shí),是一組符合題意的解,故kmax≥1000,當(dāng)k≥2時(shí),則由已知得≤1+(k-1)d≤3[1+(k-2)d],

當(dāng)k≥1000時(shí),不等式即所以d的取值范圍為d≥(3)設(shè)公差為d,顯然,當(dāng)k=1000,d=0時(shí),是一組符合a1+a2+…+ak=k+=1000,所以k≥1000時(shí)，解得1000≤k≤1000+所以k≤1999,所以k的最大值為1999，此時(shí)公差a1+a2+…+ak=k+=1000,【規(guī)律方法】數(shù)列中不等式的處理方法(1)函數(shù)方法:即構(gòu)造函數(shù),通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性、極值等得出關(guān)于正實(shí)數(shù)的不等式,通過(guò)對(duì)關(guān)于正實(shí)數(shù)的不等式特殊賦值得出數(shù)列中的不等式.(2)放縮方法:數(shù)列中不等式可以通過(guò)對(duì)中間過(guò)程或者最后的結(jié)果放縮得到.(3)比較方法:作差或者作商比較.(4)數(shù)學(xué)歸納法:使用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.【規(guī)律方法】數(shù)列中不等式的處理方法【變式訓(xùn)練】(2017·廣東高考)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn滿足

-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*.(1)求a1的值.(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(3)證明:對(duì)一切正整數(shù)n,有

【變式訓(xùn)練】(2017·廣東高考)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an【解題提示】(1)可直接令n=1.(2)用n表示出Sn,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)求解.(3)先對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行放縮再裂項(xiàng)相消整理求和.【解題提示】(1)可直接令n=1.【解析】(1)令n=1,則S1=a1,-(12+1-3)S1-3(12+1)=0,即+a1-6=0,解得a1=2或a1=-3(舍去).(2)-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,可以整理為(Sn+3)[Sn-(n2+n)]=0,因?yàn)閿?shù)列{an}中,an>0,所以Sn≠-3,只有Sn=n2+n.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n,而a1=2,符合an=2n,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n(n∈N*).【解析】(1)令n=1,則S1=a1,-(12+1-3高考熱點(diǎn)專題數(shù)列系列課件【加固訓(xùn)練】1.(2019·貴陽(yáng)模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足Sn=an-n(n∈N*).(1)求證:數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列.(2)令bn=log3(a1+1)+log3(a2+1)+…+log3(an+1),對(duì)任意n∈N*,是否存在正整數(shù)m,使恒成立?若存在,求出m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【加固訓(xùn)練】1.(2019·貴陽(yáng)模擬)已知數(shù)列{an}的前n【解析】(1)當(dāng)n=1時(shí),S1=a1=a1-1,解得a1=2,當(dāng)n≥2時(shí),由Sn=an-n得Sn-1=an-1-n+1.兩式相減得,Sn-Sn-1=an-an-1-1,即an=3an-1+2(n≥2),則an+1=3(an-1+1).又a1+1=2+1=3,故數(shù)列{an+1}是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列.【解析】(1)當(dāng)n=1時(shí),S1=a1=a1-1,解得a1(2)由(1)知an+1=3×3n-1=3n.所以bn=log3(a1+1)+log3(a2+1)+…+log3(an+1)=1+2+…+n=(2)由(1)知an+1=3×3n-1=3n.由對(duì)任意n∈N*恒成立，得2(1-)≥，即m≤對(duì)任意n∈N*恒成立,因?yàn)椋詍≤4.又因?yàn)閙∈N*，所以m=1,2,3,4.由對(duì)任意n∈N*恒成立，得2.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,已知a1+a4=-,且對(duì)于任意的n∈N+,有Sn,Sn+2,Sn+1成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)已知bn=n(n∈N+),記Tn=若(n-1)2≤m(Tn-n-1)對(duì)于n≥2恒成立,求實(shí)數(shù)m的最小值.2.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,已知a1+【解析】(1)設(shè)公比為q,因?yàn)镾1,S3,S2成等差數(shù)列,所以2S3=S1+S2,所以2a1(1+q+q2)=a1(2+q),得q=-又a1+a4=a1(1+q3)=所以a1=所以an=a1qn-1=【解析】(1)設(shè)公比為q,(2)因?yàn)閎n=n,an=所以=n·2n,所以Tn=1·2+2·22+3·23+…+n·2n,①2Tn=1·22+2·23+3·24+…+(n-1)·2n+n·2n+1,②①-②得-Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1,所以Tn=-(-n·2n+1)=(n-1)·2n+1+2.若(n-1)2≤m(Tn-n-1)對(duì)于n≥2恒成立,(2)因?yàn)閎n=n,an=則(n-1)2≤m[(n-1)·2n+1+2-n-1],(n-1)2≤m(n-1)·(2n+1-1),所以m≥令f(n)=,f(n+1)-f(n)=

所以f(n)為減函數(shù),所以f(n)≤f(2)=

.所以m≥

.則(n-1)2≤m[(n-1)·2n+1+2-n-1],考點(diǎn)四數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題【考情分析】此類試題一般圍繞著現(xiàn)實(shí)生活中的人口的增長(zhǎng)、產(chǎn)量的增加、成本的降低、存貸款利息的計(jì)算、分期付款等客觀背景進(jìn)行設(shè)置,它不僅涉及數(shù)列中的基本知識(shí)和方法,還往往涉及其他學(xué)科的知識(shí)和常識(shí)考點(diǎn)四數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題【典例4】(2015·蘇州模擬)某商店投入81萬(wàn)元經(jīng)銷某種紀(jì)念品,經(jīng)銷時(shí)間共60天,市場(chǎng)調(diào)研表明,該商店在經(jīng)銷這一產(chǎn)品期間第n天的利潤(rùn)an=(單位:萬(wàn)元,n∈N*).為了獲得更多的利潤(rùn),商店將每天獲得的利潤(rùn)投入到次日的經(jīng)營(yíng)中,記第n天的利潤(rùn)率bn=【典例4】(2015·蘇州模擬)某商店投入81萬(wàn)元經(jīng)銷某種紀(jì)(1)求b1,b2的值.(2)求第n天的利潤(rùn)率bn.(3)該商店在經(jīng)銷此紀(jì)念品期間,哪一天的利潤(rùn)率最大?并求該日的利潤(rùn)率.(1)求b1,b2的值.【解題提示】(1)根據(jù)利潤(rùn)an和利潤(rùn)率bn的定義求值.(2)分1≤n≤20和21≤n≤60兩種情況求解.(3)根據(jù)(2)的結(jié)論,利用單調(diào)性或基本不等式求解.【解題提示】(1)根據(jù)利潤(rùn)an和利潤(rùn)率bn的定義求值.【規(guī)范解答】(1)當(dāng)n=1時(shí)，b1=;當(dāng)n=2時(shí)，b2=(2)當(dāng)1≤n≤20時(shí)，a1=a2=a3=…=an-1=an=1，所以bn=當(dāng)21≤n≤60時(shí)，所以第n天的利潤(rùn)率【規(guī)范解答】(1)當(dāng)n=1時(shí)，b1=;當(dāng)n=2時(shí)，b2(3)當(dāng)1≤n≤20時(shí)，bn=是遞減數(shù)列，此時(shí)bn的最大值為b1=當(dāng)21≤n≤60時(shí),bn=(當(dāng)且僅當(dāng)n=，即n=40時(shí)，“=”成立).又因?yàn)樗援?dāng)n=40時(shí)，(bn)max=所以該商店在經(jīng)銷此紀(jì)念品期間，第40天的利潤(rùn)率最大，且該日的利潤(rùn)率為(3)當(dāng)1≤n≤20時(shí)，bn=是遞減數(shù)列，此時(shí)b【規(guī)律方法】解答數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的步驟(1)確定模型類型:理解題意,看是哪類數(shù)列模型,一般有等差數(shù)列模型、等比數(shù)列模型、簡(jiǎn)單的遞推數(shù)列模型.基本特征見(jiàn)下表:數(shù)列模型基本特征等差數(shù)列均勻增加或者減少等比數(shù)列指數(shù)增長(zhǎng),常見(jiàn)的是增產(chǎn)率問(wèn)題、存款復(fù)利問(wèn)題簡(jiǎn)單遞推數(shù)列指數(shù)增長(zhǎng)的同時(shí)又均勻減少.如年收入增長(zhǎng)率為20%,每年年底要拿出a(常數(shù))作為下年度的開(kāi)銷,即數(shù)列{an}滿足an+1=1.2an-a【規(guī)律方法】解答數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的步驟數(shù)列模型基本特征等差數(shù)(2)準(zhǔn)確解決模型:解模就是根據(jù)數(shù)列的知識(shí),求數(shù)列的通項(xiàng)、數(shù)列的和、解方程(組)或者不等式(組)等,在解模時(shí)要注意運(yùn)算準(zhǔn)確.(3)給出問(wèn)題的回答:實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題最后要把求解的數(shù)學(xué)結(jié)果化為對(duì)實(shí)際問(wèn)題的答案,在解題中不要忽視了這點(diǎn).提醒:一般地,涉及遞增率或遞減率要用等比數(shù)列,涉及依次增加或減少要用等差數(shù)列,有的問(wèn)題是可以通過(guò)轉(zhuǎn)化得到等差或等比數(shù)列的,注意之間的聯(lián)系.(2)準(zhǔn)確解決模型:解模就是根據(jù)數(shù)列的知識(shí),求數(shù)列的通項(xiàng)、數(shù)【變式訓(xùn)練】從經(jīng)濟(jì)效益出發(fā),某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè),并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè).根據(jù)規(guī)劃,2015年度投入800萬(wàn)元,以后每年投入將比上年減少,2015年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)估計(jì)收入400萬(wàn)元,由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用,預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加.(1)設(shè)n年內(nèi)(2015年為第一年)總投入為an萬(wàn)元,旅游業(yè)總收入為bn萬(wàn)元,寫(xiě)出表達(dá)式.(2)至少經(jīng)過(guò)幾年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入?【變式訓(xùn)練】從經(jīng)濟(jì)效益出發(fā),某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè),并【解析】(1)第一年投入為800萬(wàn)元,第二年投入為800(1-)萬(wàn)元,…,第n年的投入為800(1-)n-1萬(wàn)元,所以,n年內(nèi)的總投入為:an=800+800(1-)+…+800(1-)n-1=4000-4000()n.【解析】(1)第一年投入為800萬(wàn)元,第一年旅游業(yè)收入為400萬(wàn)元,第二年旅游業(yè)收入為400(1+)萬(wàn)元,…,第n年旅游業(yè)收入為400(1+)n-1萬(wàn)元,所以,n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為bn=400+400(1+)+…+400(1+)n-1=1600()n-1600.第一年旅游業(yè)收入為400萬(wàn)元,第二年旅游業(yè)收入為400(1+(2)設(shè)經(jīng)過(guò)n年旅游業(yè)的總收入超過(guò)總投入,由此bn-an>0,即1600()n-1600-4000+4000()n>0,化簡(jiǎn)得2()n+5()n-7>0,設(shè)()n=x,代入上式,得5x2-7x+2>0,解此不等式,得x<或x>1(舍去),即()n<,由此得n≥5.故至少經(jīng)過(guò)5年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入.(2)設(shè)經(jīng)過(guò)n年旅游業(yè)的總收入超過(guò)總投入,由此bn-an>0【加固訓(xùn)練】1.某軟件公司新開(kāi)發(fā)一款學(xué)習(xí)軟件,該軟件把學(xué)科知識(shí)設(shè)計(jì)為由易到難共12關(guān)的闖關(guān)游戲.為了激發(fā)闖關(guān)熱情,每闖過(guò)一關(guān)都獎(jiǎng)勵(lì)若干慧幣(一種網(wǎng)絡(luò)虛擬幣).該軟件提供了三種獎(jiǎng)勵(lì)方案:第一種,每闖過(guò)一關(guān)獎(jiǎng)勵(lì)40慧幣;第二種,闖過(guò)第一關(guān)獎(jiǎng)勵(lì)4慧幣,以后每一關(guān)比前一關(guān)多獎(jiǎng)勵(lì)4慧幣;第三種,闖過(guò)第一關(guān)獎(jiǎng)勵(lì)0.5慧幣,以后每一關(guān)比前一關(guān)獎(jiǎng)勵(lì)翻一番(即增加1倍).游戲規(guī)定:闖關(guān)者須于闖關(guān)前任選一種獎(jiǎng)勵(lì)方案.【加固訓(xùn)練】1.某軟件公司新開(kāi)發(fā)一款學(xué)習(xí)軟件,該軟件把學(xué)科知(1)設(shè)闖過(guò)n(n∈N,且n≤12)關(guān)后三種獎(jiǎng)勵(lì)方案獲得的慧幣依次為An,Bn,Cn,試求出An,Bn,Cn的表達(dá)式.(2)如果你是一名闖關(guān)者,為了得到更多的慧幣,你應(yīng)如何選擇獎(jiǎng)勵(lì)方案?(1)設(shè)闖過(guò)n(n∈N,且n≤12)關(guān)后三種獎(jiǎng)勵(lì)方案獲得的慧【解析】(1)第一種獎(jiǎng)勵(lì)方案闖過(guò)各關(guān)所得慧幣構(gòu)成常數(shù)列,所以An=40n,第二種獎(jiǎng)勵(lì)方案闖過(guò)各關(guān)所得慧幣構(gòu)成首項(xiàng)是4,公差也為4的等差數(shù)列,所以Bn=4n+×4=2n2+2n,第三種獎(jiǎng)勵(lì)方案闖過(guò)各關(guān)所得慧幣構(gòu)成首項(xiàng)是0.5,公比為2的等比數(shù)列,【解析】(1)第一種獎(jiǎng)勵(lì)方案闖過(guò)各關(guān)所得慧幣構(gòu)成常數(shù)列,(2)令A(yù)n>Bn,即40n>2n2+2n,解得0<n<19,因?yàn)閚∈N,且n≤12,所以An>Bn恒成立.令A(yù)n>Cn,即40n>(2n-1),可得n<10,所以當(dāng)n<10時(shí),An最大;當(dāng)10≤n≤12時(shí),Cn>An,綜上,若你是一名闖關(guān)者,當(dāng)你能沖過(guò)的關(guān)數(shù)小于10時(shí),應(yīng)選用第一種獎(jiǎng)勵(lì)方案;當(dāng)你能沖過(guò)的關(guān)數(shù)大于等于10時(shí),應(yīng)選用第三種獎(jiǎng)勵(lì)方案.(2)令A(yù)n>Bn,即40n>2n2+2n,解得0<n<192.一企業(yè)的某產(chǎn)品每件利潤(rùn)100元,在未做電視廣告時(shí),日銷售量為b件.當(dāng)對(duì)產(chǎn)品做電視廣告后,記每日播n次時(shí)的日銷售量為an(n∈N*)件,調(diào)查發(fā)現(xiàn):每日播一次則日銷售量a1件在b件的基礎(chǔ)上增加件,每日播二次則日銷售量a2件在每日播一次時(shí)日銷售量a1件的基礎(chǔ)上增加件…,每日播n次,該產(chǎn)品的日銷售an件在每日播n-1次時(shí)的日銷售量an-1件的基礎(chǔ)上增加件.合同約定:每播一次企業(yè)需支付廣告費(fèi)2b元.2.一企業(yè)的某產(chǎn)品每件利潤(rùn)100元,在未做電視廣告時(shí),日銷售(1)試求出an與n的關(guān)系式.(2)該企業(yè)為了獲得扣除廣告費(fèi)后的日利潤(rùn)最大,求每日電視廣告需播多少次.(1)試求出an與n的關(guān)系式.【解析】(1)由題意，電視廣告日播k次時(shí)，該產(chǎn)品的日銷售量ak滿足ak=ak-1+(k∈N*,a0=b),所以，該產(chǎn)品每日銷售量an(件)與電視廣告播放量n(次/日)的關(guān)系式為an=b(2-)(n∈N*).【解析】(1)由題意，電視廣告日播k次時(shí)，該產(chǎn)品的日銷售量a(2)該企業(yè)每日播放電視廣告n次時(shí)獲利為Cn=100b(2-)-2bn=100b(2-0.02n-)(n∈N*).因?yàn)镃n-Cn-1=100b(-0.02)≥0即2n≤50,n∈N*,所以n≤5(n∈N*),因?yàn)镃n+1-Cn=100b(-0.02)≤0?2n≥25?n≥5,所以n=5.所以要使該產(chǎn)品每日獲得的利潤(rùn)最大，則每日電視廣告需播5次.(2)該企業(yè)每日播放電視廣告n次時(shí)獲利為高考熱點(diǎn)專題數(shù)列的綜合應(yīng)用高考熱點(diǎn)專題考點(diǎn)一等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問(wèn)題【考情分析】等差、等比數(shù)列相結(jié)合的問(wèn)題是高考考查的重點(diǎn)(1)綜合考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、等差(比)中項(xiàng)、等差(比)數(shù)列的性質(zhì).(2)重點(diǎn)考查基本量(即“知三求二”,解方程(組))的計(jì)算以及靈活運(yùn)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解決問(wèn)題.考點(diǎn)一等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問(wèn)題【典例1】(2019·湖南高考)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,|an+1-an|=pn,n∈N*.(1)若{an}是遞增數(shù)列,且a1,2a2,3a3成等差數(shù)列,求p的值.(2)若p=,且{a2n-1}是遞增數(shù)列,{a2n}是遞減數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.【典例1】(2019·湖南高考)已知數(shù)列{an}滿足a1=1【解題提示】(1)由{an}是遞增數(shù)列,去掉絕對(duì)值號(hào),求出前三項(xiàng),再利用a1,2a2,3a3成等差數(shù)列,得到關(guān)于p的方程即可求解.(2){a2n-1}是遞增數(shù)列,{a2n}是遞減數(shù)列,可以去掉絕對(duì)值號(hào),再利用疊加法求通項(xiàng)公式.【解題提示】(1)由{an}是遞增數(shù)列,去掉絕對(duì)值號(hào),求出前【規(guī)范解答】(1)因?yàn)閧an}是遞增數(shù)列,所以an+1-an=pn,又a1=1,a2=p+1,a3=p2+p+1,因?yàn)閍1,2a2,3a3成等差數(shù)列,所以4a2=a1+3a3,4p+4=1+3p2+3p+3,3p2=p,解得p=或p=0,當(dāng)p=0時(shí),an+1-an=0,與{an}是遞增數(shù)列矛盾,所以p=.【規(guī)范解答】(1)因?yàn)閧an}是遞增數(shù)列,所以an+1-an(2)因?yàn)閧a2n-1}是遞增數(shù)列,所以a2n+1-a2n-1>0,于是(a2n+1-a2n)+(a2n-a2n-1)>0①,由于,所以|a2n+1-a2n|<|a2n-a2n-1|②,由①②得(a2n-a2n-1)>0,所以a2n-a2n-1=③,因?yàn)閧a2n}是遞減數(shù)列,所以同理可得a2n+1-a2n<0,a2n+1-a2n=

④,(2)因?yàn)閧a2n-1}是遞增數(shù)列,所以a2n+1-a2n-高考熱點(diǎn)專題數(shù)列系列課件【規(guī)律方法】等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合問(wèn)題的解題策略(1)分析已知條件和求解目標(biāo),確定為最終解決問(wèn)題需要首先求解的中間問(wèn)題,如為求和需要先求出通項(xiàng)、為求出通項(xiàng)需要先求出首項(xiàng)和公差(公比)等,確定解題的順序.(2)注意細(xì)節(jié).在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問(wèn)題中,如果等比數(shù)列的公比不能確定,則要看其是否有等于1的可能,在數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題中第一項(xiàng)和后面的項(xiàng)能否用同一個(gè)公式表示等,這些細(xì)節(jié)對(duì)解題的影響也是巨大的.【規(guī)律方法】等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合問(wèn)題的解題策略提醒:在不能使用同一公式進(jìn)行計(jì)算的情況下要注意分類討論,分類解決問(wèn)題后還要注意結(jié)論的整合.提醒:在不能使用同一公式進(jìn)行計(jì)算的情況下要注意分類討論,分類【變式訓(xùn)練】(2019·南昌模擬)已知{an}是單調(diào)遞增的等差數(shù)列,首項(xiàng)a1=3,前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,首項(xiàng)b1=1,且a2b2=12,S3+b2=20.(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.(2)令cn=Sncos(anπ)(n∈N*),求{cn}的前n項(xiàng)和Tn.【變式訓(xùn)練】(2019·南昌模擬)已知{an}是單調(diào)遞增的等【解析】(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,數(shù)列{bn}的公比為q,則a2b2=(3+d)q=12,S3+b2=3a2+b2=3(3+d)+q=9+3d+q=20,3d+q=11,q=11-3d,則(3+d)(11-3d)=33+2d-3d2=12,即3d2-2d-21=0,(3d+7)(d-3)=0.因?yàn)閧an}是單調(diào)遞增的等差數(shù)列,所以d>0,所以d=3,q=2,an=3+(n-1)×3=3n,bn=2n-1.【解析】(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,數(shù)列{bn}的公比為(2)由(1)知①當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),Tn=c1+c2+c3+…+cn=-S1+S2-S3+S4-…-Sn-1+Sn=a2+a4+a6+…+an=6+12+18+…+3n=(2)由(1)知②當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，Tn=Tn-1-Sn=②當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，【加固訓(xùn)練】1.(2015·宜春模擬)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a3=8,a5+a7=160,{an}的前n項(xiàng)和為Sn.(1)求an.(2)若數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=(-1)n·n(n∈N+),求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和Tn.【加固訓(xùn)練】1.(2015·宜春模擬)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比為q,由a3=8,a5+a7=160,得a1q2=8,a1q4+a1q6=160,解得a1=2,q=2.所以an=a1·qn-1=2n.(2)因?yàn)閎n=(-1)n·n,an=2n,所以an·bn=n·(-2)n,所以Tn=1·(-2)+2·(-2)2+3·(-2)3+…+n·(-2)n,-2Tn=1·(-2)2+2·(-2)3+3·(-2)4+…+(n-1)·(-2)n+n·(-2)n+1,【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比為q,由a相減可得3Tn=(-2)+(-2)2+(-2)3+…+(-2)n-n·(-2)n+1=

-n·(-2)n+1

相減可得3Tn=(-2)+(-2)2+(-2)3+…+(-22.(2019·寧波模擬)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=an+1=

,n∈N*.(1)求證:數(shù)列{-1}為等比數(shù)列.(2)記Sn=若Sn<100,求最大正整數(shù)n.(3)是否存在互不相等的正整數(shù)m,s,n,使m,s,n成等差數(shù)列,且am-1,as-1,an-1成等比數(shù)列?如果存在,請(qǐng)給出證明;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.2.(2019·寧波模擬)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=【解析】(1)由an+1=可得所以又≠0，所以-1≠0(n∈N*)所以數(shù)列{-1}為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.【解析】(1)由an+1=可得若Sn＜100，則n+1-＜100，所以滿足條件的最大正整數(shù)n為99.若Sn＜100，則n+1-＜100，(3)假設(shè)存在滿足條件的m,s,n,則m+n=2s,(am-1)(an-1)=(as-1)2,因?yàn)閍n=所以化簡(jiǎn),得3m+3n=2·3s.因?yàn)?m+3n≥2·=2·3s,當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)等號(hào)成立,這與m,s,n互不相等矛盾,所以假設(shè)不成立,即不存在滿足條件的m,s,n.(3)假設(shè)存在滿足條件的m,s,n,則m+n=2s,(am-考點(diǎn)二數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題【考情分析】數(shù)列與函數(shù)的特殊關(guān)系,決定了數(shù)列與函數(shù)交匯命題的自然性,是高考命題的易考點(diǎn),主要考查方式有:(1)以函數(shù)為載體,考查函數(shù)解析式的求法,或者利用函數(shù)解析式給出數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列前n項(xiàng)和的計(jì)算方法(2)根據(jù)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)這一特點(diǎn)命題,考查利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)確定數(shù)列的單調(diào)性、最值或解決某些恒成立問(wèn)題考點(diǎn)二數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題【典例2】(2018·沈陽(yáng)模擬)已知函數(shù)f(x)=,數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=f(),n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)令Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1,求Tn.(3)令bn=(n≥2),b1=3,Sn=b1+b2+…+bn,若Sn<對(duì)一切n∈N*成立,求最小正整數(shù)m.【典例2】(2018·沈陽(yáng)模擬)已知函數(shù)f(x)=【解題提示】(1)由已知得an+1與an的關(guān)系從而獲解.(2)利用等差數(shù)列的性質(zhì)及裂項(xiàng)相消法去求解.(3)利用裂項(xiàng)相消法先求出Sn,再把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題.【解題提示】(1)由已知得an+1與an的關(guān)系從而獲解.【規(guī)范解答】(1)因?yàn)樗詛an}是以為公差的等差數(shù)列.又a1=1,所以an=(2)Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1=a2(a1-a3)+a4(a3-a5)+…+a2n(a2n-1-a2n+1)=-

(a2+a4+…+a2n)【規(guī)范解答】(1)因?yàn)?3)當(dāng)n≥2時(shí)，bn=又b1=3=所以Sn=b1+b2+…+bn因?yàn)镾n=對(duì)一切n∈N*成立且所以即m≥2014.所以最小正整數(shù)m=2014.(3)當(dāng)n≥2時(shí)，bn=【規(guī)律方法】1.數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1)已知函數(shù)條件,解決數(shù)列問(wèn)題,此類問(wèn)題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖像研究數(shù)列問(wèn)題.【規(guī)律方法】(2)已知數(shù)列條件,解決函數(shù)問(wèn)題,解決此類問(wèn)題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對(duì)式子化簡(jiǎn)變形.另外,解題時(shí)要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系,靈活運(yùn)用函數(shù)的思想方法求解,在問(wèn)題的求解過(guò)程中往往會(huì)遇到遞推數(shù)列,因此掌握遞推數(shù)列的常見(jiàn)解法有助于該類問(wèn)題的解決.(2)已知數(shù)列條件,解決函數(shù)問(wèn)題,解決此類問(wèn)題一般要充分利用2.解決數(shù)列與函數(shù)綜合問(wèn)題的注意點(diǎn)(1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù),其定義域是正整數(shù)集,而不是某個(gè)區(qū)間上的連續(xù)實(shí)數(shù),所以它的圖像是一群孤立的點(diǎn).(2)轉(zhuǎn)化以函數(shù)為背景的條件時(shí),應(yīng)注意題中的限制條件,如函數(shù)的定義域,這往往是非常容易忽視的問(wèn)題.(3)利用函數(shù)的方法研究數(shù)列中相關(guān)問(wèn)題時(shí),應(yīng)準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù),注意數(shù)列中相關(guān)限制條件的轉(zhuǎn)化.2.解決數(shù)列與函數(shù)綜合問(wèn)題的注意點(diǎn)【變式訓(xùn)練】(2015·成都模擬)已知二次函數(shù)f(x)=x2-ax+a(a>0,x∈R),不等式f(x)≤0的解集有且只有一個(gè)元素,設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=f(n)(n∈N*),(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.【變式訓(xùn)練】(2015·成都模擬)已知二次函數(shù)f(x)=x2【解析】(1)由已知得x2-ax+a≤0的解集有且只有一個(gè)元素,所以Δ=(-a)2-4a=0,即a2-4a=0,又因?yàn)閍>0,所以a=4,所以f(x)=x2-4x+4,從而Sn=f(n)=n2-4n+4,當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=1-4+4=1;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-5.【解析】(1)由已知得x2-ax+a≤0的解集有且只有一個(gè)元高考熱點(diǎn)專題數(shù)列系列課件【加固訓(xùn)練】設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,當(dāng)x<0時(shí)f(x)>1,且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y).(1)求f(0),判斷并證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性.(2)數(shù)列{an}滿足a1=f(0),且f(an+1)=(n∈N*),數(shù)列{bn}滿足bn=an-8.①求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;②求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn的最小值及相應(yīng)的n的值.【加固訓(xùn)練】設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,當(dāng)x<0時(shí)f(x)>【解析】(1)x,y∈R,f(x+y)=f(x)·f(y),x<0時(shí),f(x)>1,令x=-1,y=0,則f(-1)=f(-1)f(0),因?yàn)閒(-1)>1,所以f(0)=1.若x>0,則f(x-x)=f(0)=f(x)f(-x),故f(x)=∈(0,1),故x∈R,f(x)>0,任取x1<x2,f(x2)=f(x1+x2-x1)=f(x1)f(x2-x1),【解析】(1)x,y∈R,因?yàn)閤2-x1>0,所以0<f(x2-x1)<1,所以f(x2)<f(x1),故f(x)在R上是減函數(shù).(2)①a1=f(0)=1,f(an+1)==f(2+an),由f(x)單調(diào)性an+1=an+2.故{an}是等差數(shù)列,所以an=2n-1.②bn=2n-9,Tn=n2-8n,當(dāng)n=4時(shí),(Tn)min=-16.因?yàn)閤2-x1>0,所以0<f(x2-x1)<1,考點(diǎn)三數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題【考情分析】數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題是高考考查的熱點(diǎn).考查方式主要有三種:(1)判斷數(shù)列問(wèn)題中的一些不等關(guān)系,如比較數(shù)列中的項(xiàng)的大小關(guān)系等.(2)以數(shù)列為載體,考查不等式的恒成立問(wèn)題,求不等式中的參數(shù)的取值范圍等.(3)考查與數(shù)列問(wèn)題有關(guān)的不等式的證明問(wèn)題.考點(diǎn)三數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題【典例3】(2018·上海高考)已知數(shù)列{an}滿足an≤an+1≤3an,n∈N*,a1=1.(1)若a2=2,a3=x,a4=9,求x的取值范圍.(2)設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列,Sn=a1+a2+…+an,Sn≤Sn+1≤3Sn,n∈N*,求q的取值范圍.(3)若a1,a2,…成等差數(shù)列,且a1+a2+…+ak=1000,求正整數(shù)k的最大值,以及k取最大值時(shí)相應(yīng)數(shù)列a1,a2,…的公差.【典例3】(2018·上海高考)已知數(shù)列{an}滿足an【解題提示】(1)根據(jù)a2≤a3≤3a2,a3≤a4≤3a3可求得x的范圍.(2)需對(duì)q分類討論,若q=1,易得符合題意,若q≠1時(shí),再通過(guò)放縮法解不等式組即得結(jié)論.(3)k=1000,d=0是一組解時(shí),kmax≥1000,根據(jù)an≤an+1≤3an,可得d≥,然后根據(jù)a1+a2+…+ak=1000,得到關(guān)于d的關(guān)系式,而d≥,從而得到關(guān)于k的不等式,解此不等式即得.【解題提示】(1)根據(jù)a2≤a3≤3a2,a3≤a4【規(guī)范解答】(1)依題意,a2≤a3≤3a2,所以≤x≤6;又a3≤a4≤3a3,所以3≤x≤27;綜上可得:3≤x≤6.【規(guī)范解答】(1)依題意,a2≤a3≤3a2,所以≤(2)由已知得，an=qn-1,又a1≤a2≤3a1，所以≤q≤3,當(dāng)q=1時(shí)，Sn=n,Sn≤Sn+1≤3Sn,即≤n+1≤3n,成立.當(dāng)1<q≤3時(shí)，Sn=,Sn≤Sn+1≤3Sn,(2)由已知得，an=qn-1,又a1≤a2≤3a1，因?yàn)閝>1,故3qn+1-qn-2=qn(3q-1)-2>2qn-2>0,對(duì)于不等式qn+1-3qn+2≤0,令n=1,得q2-3q+2≤0,解得1≤q≤2,又當(dāng)1<q≤2時(shí),q-3<0,所以qn+1-3qn+2=qn(q-3)+2≤q(q-3)+2=(q-1)(q-2)≤0成立,所以1<q≤2,當(dāng)≤q<1時(shí),Sn=Sn≤Sn+1≤3Sn,因?yàn)閝>1,故3qn+1-qn-2=qn(3q-1)-2>2所以此不等式即3q-1≥0,q-3<0,所以3qn+1-qn-2=qn(3q-1)-2<2qn-2<0,qn+1-3qn+2=qn(q-3)+2≥q(q-3)+2=(q-1)(q-2)>0,所以≤q<1時(shí),不等式恒成立,綜上,q的取值范圍為≤q≤2.所以此不等式即(3)設(shè)公差為d,顯然,當(dāng)k=1000,d=0時(shí),是一組符合題意的解,故kmax≥1000,當(dāng)k≥2時(shí),則由已知得≤1+(k-1)d≤3[1+(k-2)d],

當(dāng)k≥1000時(shí),不等式即所以d的取值范圍為d≥(3)設(shè)公差為d,顯然,當(dāng)k=1000,d=0時(shí),是一組符合a1+a2+…+ak=k+=1000,所以k≥1000時(shí)，解得1000≤k≤1000+所以k≤1999,所以k的最大值為1999，此時(shí)公差a1+a2+…+ak=k+=1000,【規(guī)律方法】數(shù)列中不等式的處理方法(1)函數(shù)方法:即構(gòu)造函數(shù),通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性、極值等得出關(guān)于正實(shí)數(shù)的不等式,通過(guò)對(duì)關(guān)于正實(shí)數(shù)的不等式特殊賦值得出數(shù)列中的不等式.(2)放縮方法:數(shù)列中不等式可以通過(guò)對(duì)中間過(guò)程或者最后的結(jié)果放縮得到.(3)比較方法:作差或者作商比較.(4)數(shù)學(xué)歸納法:使用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.【規(guī)律方法】數(shù)列中不等式的處理方法【變式訓(xùn)練】(2017·廣東高考)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn滿足

-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*.(1)求a1的值.(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(3)證明:對(duì)一切正整數(shù)n,有

【變式訓(xùn)練】(2017·廣東高考)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an【解題提示】(1)可直接令n=1.(2)用n表示出Sn,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)求解.(3)先對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行放縮再裂項(xiàng)相消整理求和.【解題提示】(1)可直接令n=1.【解析】(1)令n=1,則S1=a1,-(12+1-3)S1-3(12+1)=0,即+a1-6=0,解得a1=2或a1=-3(舍去).(2)-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,可以整理為(Sn+3)[Sn-(n2+n)]=0,因?yàn)閿?shù)列{an}中,an>0,所以Sn≠-3,只有Sn=n2+n.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n,而a1=2,符合an=2n,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n(n∈N*).【解析】(1)令n=1,則S1=a1,-(12+1-3高考熱點(diǎn)專題數(shù)列系列課件【加固訓(xùn)練】1.(2019·貴陽(yáng)模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足Sn=an-n(n∈N*).(1)求證:數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列.(2)令bn=log3(a1+1)+log3(a2+1)+…+log3(an+1),對(duì)任意n∈N*,是否存在正整數(shù)m,使恒成立?若存在,求出m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【加固訓(xùn)練】1.(2019·貴陽(yáng)模擬)已知數(shù)列{an}的前n【解析】(1)當(dāng)n=1時(shí),S1=a1=a1-1,解得a1=2,當(dāng)n≥2時(shí),由Sn=an-n得Sn-1=an-1-n+1.兩式相減得,Sn-Sn-1=an-an-1-1,即an=3an-1+2(n≥2),則an+1=3(an-1+1).又a1+1=2+1=3,故數(shù)列{an+1}是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列.【解析】(1)當(dāng)n=1時(shí),S1=a1=a1-1,解得a1(2)由(1)知an+1=3×3n-1=3n.所以bn=log3(a1+1)+log3(a2+1)+…+log3(an+1)=1+2+…+n=(2)由(1)知an+1=3×3n-1=3n.由對(duì)任意n∈N*恒成立，得2(1-)≥，即m≤對(duì)任意n∈N*恒成立,因?yàn)?，所以m≤4.又因?yàn)閙∈N*，所以m=1,2,3,4.由對(duì)任意n∈N*恒成立，得2.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,已知a1+a4=-,且對(duì)于任意的n∈N+,有Sn,Sn+2,Sn+1成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)已知bn=n(n∈N+),記Tn=若(n-1)2≤m(Tn-n-1)對(duì)于n≥2恒成立,求實(shí)數(shù)m的最小值.2.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,已知a1+【解析】(1)設(shè)公比為q,因?yàn)镾1,S3,S2成等差數(shù)列,所以2S3=S1+S2,所以2a1(1+q+q2)=a1(2+q),得q=-又a1+a4=a1(1+q3)=所以a1=所以an=a1qn-1=【解析】(1)設(shè)公比為q,(2)因?yàn)閎n=n,an=所以=n·2n,所以Tn=1·2+2·22+3·23+…+n·2n,①2Tn=1·22+2·23+3·24+…+(n-1)·2n+n·2n+1,②①-②得-Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1,所以Tn=-(-n·2n+1)=(n-1)·2n+1+2.若(n-1)2≤m(Tn-n-1)對(duì)于n≥2恒成立,(2)因?yàn)閎n=n,an=則(n-1)2≤m[(n-1)·2n+1+2-n-1],(n-1)2≤m(n-1)·(2n+1-1),所以m≥令f(n)=,f(n+1)-f(n)=

所以f(n)為減函數(shù),所以f(n)≤f(2)=

.所以m≥

.則(n-1)2≤m[(n-1)·2n+1+2-n-1],考點(diǎn)四數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題【考情分析】此類試題一般圍繞著現(xiàn)實(shí)生活中的人口的增長(zhǎng)、產(chǎn)量的增加、成本的降低、存貸款利息的計(jì)算、分期付款等客觀背景進(jìn)行設(shè)置,它不僅涉及數(shù)列中的基本知識(shí)和方法,還往往涉及其他學(xué)科的知識(shí)和常識(shí)考點(diǎn)四數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題【典例4】(2015·蘇州模擬)某商店投入81萬(wàn)元經(jīng)銷某種紀(jì)念品,經(jīng)銷時(shí)間共60天,市場(chǎng)調(diào)研表明,該商店在經(jīng)銷這一產(chǎn)品期間第n天的利潤(rùn)an=(單位:萬(wàn)元,n∈N*).為了獲得更多的利潤(rùn),商店將每天獲得的利潤(rùn)投入到次日的經(jīng)營(yíng)中,記第n天的利潤(rùn)率bn=【典例4】(2015·蘇州模擬)某商店投入81萬(wàn)元經(jīng)銷某種紀(jì)(1)求b1,b2的值.(2)求第n天的利潤(rùn)率bn.(3)該商店在經(jīng)銷此紀(jì)念品期間,哪一天的利潤(rùn)率最大?并求該日的利潤(rùn)率.(1)求b1,b2的值.【解題提示】(1)根據(jù)利潤(rùn)an和利潤(rùn)率bn的定義求值.(2)分1≤n≤20和21≤n≤60兩種情況求解.(3)根據(jù)(2)的結(jié)論,利用單調(diào)性或基本不等式求解.【解題提示】(1)根據(jù)利潤(rùn)an和利潤(rùn)率bn的定義求值.【規(guī)范解答】(1)當(dāng)n=1時(shí)，b1=;當(dāng)n=2時(shí)，b2=(2)當(dāng)1≤n≤20時(shí)，a1=a2=a3=…=an-1=an=1，所以bn=當(dāng)21≤n≤60時(shí)，所以第n天的利潤(rùn)率【規(guī)范解答】(1)當(dāng)n=1時(shí)，b1=;當(dāng)n=2時(shí)，b2(3)當(dāng)1≤n≤20時(shí)，bn=是遞減數(shù)列，此時(shí)bn的最大值為b1=當(dāng)21≤n≤60時(shí),bn=(當(dāng)且僅當(dāng)n=，即n=40時(shí)，“=”成立).又因?yàn)樗援?dāng)n=40時(shí)，(bn)max=所以該商店在經(jīng)銷此紀(jì)念品期間，第40天的利潤(rùn)率最大，且該日的利潤(rùn)率為(3)當(dāng)1≤n≤20時(shí)，bn=是遞減數(shù)列，此時(shí)b【規(guī)律方法】解答數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的步驟(1)確定模型類型:理解題意,看是哪類數(shù)列模型,一般有等差數(shù)列模型、等比數(shù)列模型、簡(jiǎn)單的遞推數(shù)列模型.基本特征見(jiàn)下表:數(shù)列模型基本特征等差數(shù)列均勻增加或者減