專題八輔助線作法 2020春北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)習(xí)題課件

PPT課程:專題八輔助線作法主講老師:PPT課程:專題八輔助線作法1一、添加平行線，利用平行線性質(zhì)1．如圖，∠BED＝∠B＋∠D，猜想AB與CD有怎樣的位置關(guān)系，并說明理由．解：過點(diǎn)E作EF∥AB，∴∠B＝∠BEF，∵∠BED＝∠B＋∠D，∴∠BED＝∠BEF＋∠D，又∠BED＝∠BEF＋∠DEF，∴∠D＝∠DEF，∴CD∥EF，∴AB∥CD.一、添加平行線，利用平行線性質(zhì)解：過點(diǎn)E作EF∥AB，∴∠B22．如圖，已知AB∥CD，∠ABE＝110°，∠DCE＝36°，求∠BEC的大小．解：過E點(diǎn)作直線EF∥AB.∵AB∥CD，∴EF∥CD，∠ABE＋∠BEF＝180°，∴∠FEC＝∠DCE＝36°，∴∠BEC＝∠BEF＋∠FEC＝180°－∠ABE＋∠DCE＝180°－110°＋36°＝106°.2．如圖，已知AB∥CD，∠ABE＝110°，∠DCE＝3633．如圖為一臺(tái)燈示意圖，其中燈頭連接桿DE始終和桌面FG平行，燈腳AB始終和桌面FG垂直，(1)當(dāng)∠EDC＝∠DCB＝120°時(shí)，求∠CBA；(2)連桿BC，CD可以繞著B，C和D進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，燈頭E始終在D左側(cè)，設(shè)∠EDC，∠DCB，∠CBA的度數(shù)分別為α，β，γ，求α，β，γ之間的數(shù)量關(guān)系．3．如圖為一臺(tái)燈示意圖，其中燈頭連接桿DE始終和桌面FG平行45．如圖，AB＝AD，CB＝CD，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)．∵AB＝AC，∴∠BAC＝2∠CAE，∠AOE＝∠COD＝∠AOF＝60°，∴∠DCE＋∠CDE＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，7．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，CE垂直于BD，交BD的延長線于點(diǎn)E，(2)由(1)知：∠EDC＋∠PCD＝180°，4．如圖，已知AD，BC相交于點(diǎn)O，AB＝CD，AD＝CB.∴BE＝AB，F(xiàn)D＝AD，＝60°＋90°∴△ABD≌△CDB(SSS)，∴∠A＝∠C.∴∠EDC＋∠DCB－∠CBA∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠B＝∠D，又∠BED＝∠BEF＋∠DEF，∵CE⊥BD，∴∠BEC＝∠BEM＝90°，∴∠CBD＝90°－∠C，∠CAE＝90°－∠C，∴∠PCD＝180°－∠D＝60°，∠PCB＝120°－∠PCD＝60°，求證：CD＝AD＋BC.四、截長補(bǔ)短：一般地，當(dāng)所證結(jié)論為線段的和、差關(guān)系，且這兩條線段不在同一直線上時(shí)，通常可以考慮用截長補(bǔ)短的辦法：或在長線段上截取一部分使之與短線段相等；＝180°－∠ABE＋∠DCE二、圖中含有已知線段的兩個(gè)圖形顯然不全等時(shí)(或圖形不完整)，添加公共邊解：過點(diǎn)E作EF∥AB，∴∠B＝∠BEF，又∵AD∥BC，∴∠ADC＋∠BCD＝180°，解：(1)如圖，過C作CP∥DE，過B作BH∥FG.∵DE∥FG，∴PC∥FG，∴PC∥BH∴∠PCD＝180°－∠D＝60°，∠PCB＝120°－∠PCD＝60°，∴∠CBH＝∠PCB＝60°，又∵AB⊥FG，∴∠ABH＝∠FAB＝90°，∴∠CBA＝∠CBH＋∠ABH

＝60°＋90°

＝150°，5．如圖，AB＝AD，CB＝CD，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中5(2)由(1)知：∠EDC＋∠PCD＝180°，∠PCB＝∠CBH，∠ABH＝90°，∴∠EDC＋∠DCB－∠CBA＝∠EDC＋∠PCD＋∠PCB－(∠CBH＋∠ABH)＝180°－90°＝90°，即α＋β－γ＝90°(2)由(1)知：∠EDC＋∠PCD＝180°，6二、圖中含有已知線段的兩個(gè)圖形顯然不全等時(shí)(或圖形不完整)，添加公共邊4．如圖，已知AD，BC相交于點(diǎn)O，AB＝CD，AD＝CB.求證：∠A＝∠C.證明：連接BD，在△ABD和△CDB中，∴△ABD≌△CDB(SSS)，∴∠A＝∠C.二、圖中含有已知線段的兩個(gè)圖形顯然不全等時(shí)(或圖形不完整)，7＝(∠ACB＋∠BAC)解：過點(diǎn)E作EF∥AB，∴∠B＝∠BEF，一、添加平行線，利用平行線性質(zhì)∴∠AOC＝∠DOE＝120°，解：過點(diǎn)E作EF∥AB，∴∠B＝∠BEF，(1)當(dāng)∠EDC＝∠DCB＝120°∴∠BEC＝∠BEF＋∠FEC5．如圖，AB＝AD，CB＝CD，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)．求證：CD＝AD＋BC.∴∠EDC＋∠DCB－∠CBA9．如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分別平分∠BAC，∠ACB，求證：AC＝AE＋CD.在△FDE和△ADE中，∵CE⊥BD，∴∠BEC＝∠BEM＝90°，又∠BED＝∠BEF＋∠DEF，∴△BEC≌△DFC(SAS)，∴CE＝CF.7．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，CE垂直于BD，交BD的延長線于點(diǎn)E，3．如圖為一臺(tái)燈示意圖，其中燈頭連接桿DE始終和桌面FG平行，燈腳AB始終和桌面FG垂直，＝(∠ACB＋∠BAC)∴△FCE≌△BCE(SAS)，∴∠1＝∠2，又E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，4．如圖，已知AD，BC相交于點(diǎn)O，AB＝CD，AD＝CB.四、截長補(bǔ)短：一般地，當(dāng)所證結(jié)論為線段的和、差關(guān)系，且這兩條線段不在同一直線上時(shí)，通?？梢钥紤]用截長補(bǔ)短的辦法：或在長線段上截取一部分使之與短線段相等；5．如圖，AB＝AD，CB＝CD，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)．求證：CE＝CF.證明：連接AC，在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠B＝∠D，又E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，∴BE＝AB，F(xiàn)D＝AD，∵AB＝AD，∴BE＝DF，在△BEC和△DFC中，

∴△BEC≌△DFC(SAS)，∴CE＝CF.＝(∠ACB＋∠BAC)5．如圖，AB＝AD，CB＝C8三、遇到等腰三角形，可作底邊上的高或延長加倍法(三線合一或?qū)φ?6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，垂足為D.求證：∠BAC

＝2∠CBD.解：過A作AE⊥BC于E，∵AB＝AC，∴∠BAC＝2∠CAE，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝∠AEC＝90°，∴∠CBD＝90°－∠C，∠CAE＝90°－∠C，∴∠CBD＝∠CAE，∴∠BAC＝2∠CBD.三、遇到等腰三角形，可作底邊上的高或延長加倍法(三線合解：過97．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，CE垂直于BD，交BD的延長線于點(diǎn)E，求證：BD＝2CE.證明：延長BA和CE交于點(diǎn)M，∵CE⊥BD，∴∠BEC＝∠BEM＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠MBE＝∠CBE，在△BME和△BCE中7．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝10∴△BME≌△BCE(ASA)，∴EM＝EC＝MC，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠MAC＝90°，BA＝AC，∴∠ABD＋∠BDA＝90°，∵∠BEC＝90°，∴∠ACM＋∠EDC＝90°，∵∠BDA＝∠EDC，∴∠ABE＝∠ACM，在△ABD和△ACM中∴△ABD≌△ACM(ASA)，∴DB＝MC，∴BD＝2CE.∴△BME≌△BCE(ASA)，∴EM＝EC＝MC，11四、截長補(bǔ)短：一般地，當(dāng)所證結(jié)論為線段的和、差關(guān)系，且這兩條線段不在同一直線上時(shí)，通常可以考慮用截長補(bǔ)短的辦法：或在長線段上截取一部分使之與短線段相等；或?qū)⒍叹€段延長使其與長線段相等四、截長補(bǔ)短：一般地，當(dāng)所證結(jié)論為線段的和、差關(guān)系，且這兩條128．如圖，AD∥BC，點(diǎn)E在線段AB上，∠ADE＝∠CDE，∠DCE＝∠ECB.求證：CD＝AD＋BC.證明：在CD上截取CF＝BC，連接EF，在△FCE和△BCE中，∴△FCE≌△BCE(SAS)，∴∠1＝∠2，又∵AD∥BC，∴∠ADC＋∠BCD＝180°，∴∠DCE＋∠CDE＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＋∠4＝90°，∴∠3＝∠4，8．如圖，AD∥BC，點(diǎn)E在線段AB上，∠ADE＝∠CDE，13在△FDE和△ADE中，∴△FDE≌△ADE(ASA)，∴DF＝DA，∵CD＝CF＋DF，∴CD＝AD＋BC.在△FDE和△ADE中，149．如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分別平分∠BAC，∠ACB，求證：AC＝AE＋CD.證明：在AC上取AF＝AE，連接OF，∵AD平分∠BAC，∴∠EAO＝∠FAO，在△AEO與△AFO中，∴△AEO≌△AFO(SAS)，∴∠AOE＝∠AOF，9．如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分別平分15∵AD，CE分別平分∠BAC，∠ACB，∴∠ECA＋∠DAC＝∠ACB＋∠BAC＝(∠ACB＋∠BAC)＝(180°－∠B)＝60°，則∠AOC＝180°－∠ECA－∠DAC＝120°，∴∠AOC＝∠DOE＝120°，∠AOE＝∠COD＝∠AOF＝60°，則∠COF＝60°，∴∠COD＝∠COF，∵AD，CE分別平分∠BAC，∠ACB，16∴在△FOC與△DOC中，∴△FOC≌△DOC(ASA)，∴DC＝FC，∵AC＝AF＋FC，∴AC＝AE＋CD.∴在△FOC與△DOC中，17謝謝！謝謝！18PPT課程:專題八輔助線作法主講老師:PPT課程:專題八輔助線作法19一、添加平行線，利用平行線性質(zhì)1．如圖，∠BED＝∠B＋∠D，猜想AB與CD有怎樣的位置關(guān)系，并說明理由．解：過點(diǎn)E作EF∥AB，∴∠B＝∠BEF，∵∠BED＝∠B＋∠D，∴∠BED＝∠BEF＋∠D，又∠BED＝∠BEF＋∠DEF，∴∠D＝∠DEF，∴CD∥EF，∴AB∥CD.一、添加平行線，利用平行線性質(zhì)解：過點(diǎn)E作EF∥AB，∴∠B202．如圖，已知AB∥CD，∠ABE＝110°，∠DCE＝36°，求∠BEC的大?。猓哼^E點(diǎn)作直線EF∥AB.∵AB∥CD，∴EF∥CD，∠ABE＋∠BEF＝180°，∴∠FEC＝∠DCE＝36°，∴∠BEC＝∠BEF＋∠FEC＝180°－∠ABE＋∠DCE＝180°－110°＋36°＝106°.2．如圖，已知AB∥CD，∠ABE＝110°，∠DCE＝36213．如圖為一臺(tái)燈示意圖，其中燈頭連接桿DE始終和桌面FG平行，燈腳AB始終和桌面FG垂直，(1)當(dāng)∠EDC＝∠DCB＝120°時(shí)，求∠CBA；(2)連桿BC，CD可以繞著B，C和D進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，燈頭E始終在D左側(cè)，設(shè)∠EDC，∠DCB，∠CBA的度數(shù)分別為α，β，γ，求α，β，γ之間的數(shù)量關(guān)系．3．如圖為一臺(tái)燈示意圖，其中燈頭連接桿DE始終和桌面FG平行225．如圖，AB＝AD，CB＝CD，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)．∵AB＝AC，∴∠BAC＝2∠CAE，∠AOE＝∠COD＝∠AOF＝60°，∴∠DCE＋∠CDE＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，7．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，CE垂直于BD，交BD的延長線于點(diǎn)E，(2)由(1)知：∠EDC＋∠PCD＝180°，4．如圖，已知AD，BC相交于點(diǎn)O，AB＝CD，AD＝CB.∴BE＝AB，F(xiàn)D＝AD，＝60°＋90°∴△ABD≌△CDB(SSS)，∴∠A＝∠C.∴∠EDC＋∠DCB－∠CBA∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠B＝∠D，又∠BED＝∠BEF＋∠DEF，∵CE⊥BD，∴∠BEC＝∠BEM＝90°，∴∠CBD＝90°－∠C，∠CAE＝90°－∠C，∴∠PCD＝180°－∠D＝60°，∠PCB＝120°－∠PCD＝60°，求證：CD＝AD＋BC.四、截長補(bǔ)短：一般地，當(dāng)所證結(jié)論為線段的和、差關(guān)系，且這兩條線段不在同一直線上時(shí)，通常可以考慮用截長補(bǔ)短的辦法：或在長線段上截取一部分使之與短線段相等；＝180°－∠ABE＋∠DCE二、圖中含有已知線段的兩個(gè)圖形顯然不全等時(shí)(或圖形不完整)，添加公共邊解：過點(diǎn)E作EF∥AB，∴∠B＝∠BEF，又∵AD∥BC，∴∠ADC＋∠BCD＝180°，解：(1)如圖，過C作CP∥DE，過B作BH∥FG.∵DE∥FG，∴PC∥FG，∴PC∥BH∴∠PCD＝180°－∠D＝60°，∠PCB＝120°－∠PCD＝60°，∴∠CBH＝∠PCB＝60°，又∵AB⊥FG，∴∠ABH＝∠FAB＝90°，∴∠CBA＝∠CBH＋∠ABH

＝60°＋90°

＝150°，5．如圖，AB＝AD，CB＝CD，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中23(2)由(1)知：∠EDC＋∠PCD＝180°，∠PCB＝∠CBH，∠ABH＝90°，∴∠EDC＋∠DCB－∠CBA＝∠EDC＋∠PCD＋∠PCB－(∠CBH＋∠ABH)＝180°－90°＝90°，即α＋β－γ＝90°(2)由(1)知：∠EDC＋∠PCD＝180°，24二、圖中含有已知線段的兩個(gè)圖形顯然不全等時(shí)(或圖形不完整)，添加公共邊4．如圖，已知AD，BC相交于點(diǎn)O，AB＝CD，AD＝CB.求證：∠A＝∠C.證明：連接BD，在△ABD和△CDB中，∴△ABD≌△CDB(SSS)，∴∠A＝∠C.二、圖中含有已知線段的兩個(gè)圖形顯然不全等時(shí)(或圖形不完整)，25＝(∠ACB＋∠BAC)解：過點(diǎn)E作EF∥AB，∴∠B＝∠BEF，一、添加平行線，利用平行線性質(zhì)∴∠AOC＝∠DOE＝120°，解：過點(diǎn)E作EF∥AB，∴∠B＝∠BEF，(1)當(dāng)∠EDC＝∠DCB＝120°∴∠BEC＝∠BEF＋∠FEC5．如圖，AB＝AD，CB＝CD，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)．求證：CD＝AD＋BC.∴∠EDC＋∠DCB－∠CBA9．如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分別平分∠BAC，∠ACB，求證：AC＝AE＋CD.在△FDE和△ADE中，∵CE⊥BD，∴∠BEC＝∠BEM＝90°，又∠BED＝∠BEF＋∠DEF，∴△BEC≌△DFC(SAS)，∴CE＝CF.7．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，CE垂直于BD，交BD的延長線于點(diǎn)E，3．如圖為一臺(tái)燈示意圖，其中燈頭連接桿DE始終和桌面FG平行，燈腳AB始終和桌面FG垂直，＝(∠ACB＋∠BAC)∴△FCE≌△BCE(SAS)，∴∠1＝∠2，又E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，4．如圖，已知AD，BC相交于點(diǎn)O，AB＝CD，AD＝CB.四、截長補(bǔ)短：一般地，當(dāng)所證結(jié)論為線段的和、差關(guān)系，且這兩條線段不在同一直線上時(shí)，通?？梢钥紤]用截長補(bǔ)短的辦法：或在長線段上截取一部分使之與短線段相等；5．如圖，AB＝AD，CB＝CD，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)．求證：CE＝CF.證明：連接AC，在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠B＝∠D，又E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，∴BE＝AB，F(xiàn)D＝AD，∵AB＝AD，∴BE＝DF，在△BEC和△DFC中，

∴△BEC≌△DFC(SAS)，∴CE＝CF.＝(∠ACB＋∠BAC)5．如圖，AB＝AD，CB＝C26三、遇到等腰三角形，可作底邊上的高或延長加倍法(三線合一或?qū)φ?6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，垂足為D.求證：∠BAC

＝2∠CBD.解：過A作AE⊥BC于E，∵AB＝AC，∴∠BAC＝2∠CAE，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝∠AEC＝90°，∴∠CBD＝90°－∠C，∠CAE＝90°－∠C，∴∠CBD＝∠CAE，∴∠BAC＝2∠CBD.三、遇到等腰三角形，可作底邊上的高或延長加倍法(三線合解：過277．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，CE垂直于BD，交BD的延長線于點(diǎn)E，求證：BD＝2CE.證明：延長BA和CE交于點(diǎn)M，∵CE⊥BD，∴∠BEC＝∠BEM＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠MBE＝∠CBE，在△BME和△BCE中7．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝28∴△BME≌△BCE(ASA)，∴EM＝EC＝MC，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠MAC＝90°，BA＝AC，∴∠ABD＋∠BDA＝90°，∵∠BEC＝90°，∴∠ACM＋∠EDC＝90°，∵∠BDA＝∠EDC，∴∠ABE＝∠ACM，在△ABD和△ACM中∴△ABD≌△ACM(ASA)，∴DB＝MC，∴BD＝2CE.∴△BME≌△BCE(ASA)，∴EM＝EC＝MC，29四、截長補(bǔ)短：一般地，當(dāng)所證結(jié)論為線段的和、差關(guān)系，且這兩條線段不在同一直線上時(shí)，通?？梢钥紤]用截長補(bǔ)短的辦法：或在長線段上截取一部分使之與短線段相等；或?qū)⒍叹€段延長使其與長線段相等四、截長補(bǔ)短：一般地，當(dāng)所證結(jié)論為線段的和、差關(guān)系，且這兩條308．如圖，AD∥BC，點(diǎn)E在線段A