工程力學(xué)材料力學(xué)第12章動量矩定理課件

第12章動量矩

定理本章重點：質(zhì)點系動量矩的概念及計算，轉(zhuǎn)動慣量的概念，質(zhì)點系相對于固定點的動量矩定理，剛體繞定軸轉(zhuǎn)動微分方程及其應(yīng)用。?第12章動量矩定理本章重點：質(zhì)點系動量11．質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩(角動量)質(zhì)點Q對點O的動量矩的定義§12-1質(zhì)點和剛體的動量矩?1．質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩(角動量)質(zhì)點Q對點O的動量矩的定義2單位：kg·m2/s質(zhì)點對z軸的動量矩是質(zhì)點的動量在Oxy平面的投影(mv)xy對O點的矩。是代數(shù)量，從z軸正向看，逆時針為正，順時針為負。質(zhì)點的動量對坐標(biāo)軸的矩?單位：kg·m2/s質(zhì)點對z軸的動量矩3對點的動量矩對軸的動量矩即

質(zhì)點系的動量矩?對點的動量矩對軸的動量矩即質(zhì)點系的動量矩?4(1)剛體平移的動量矩可將全部質(zhì)量集中于質(zhì)心，作為一個質(zhì)點來計算。2.剛體的動量矩?(1)剛體平移的動量矩可將全部質(zhì)量集中于質(zhì)心，作為一個質(zhì)點5(2)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動量矩轉(zhuǎn)動慣量單位：kg·m2

轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動時慣性的度量。質(zhì)量是剛體移動時慣性的度量。2.剛體的動量矩?(2)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動量矩轉(zhuǎn)動慣量單位：kg·m2轉(zhuǎn)6教材P213表12－1列出了簡單均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動慣量1)回轉(zhuǎn)半徑（慣性半徑）的概念

或3.剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量?教材P213表12－1列出了簡單均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動慣量1)回轉(zhuǎn)72)平行軸定理式中：zC軸為過質(zhì)心且與z軸平行的軸，d為z軸與zC軸之間的距離。即：剛體對于任一軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于剛體對通過質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積。3.剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量?2)平行軸定理式中：zC軸為過質(zhì)心且與z軸8桿OA由鉸鏈O與地面連接，它對軸O的轉(zhuǎn)動慣量為JO；一高為h、質(zhì)量為m1的均質(zhì)矩形板沿軸x以速度v平移，并推動桿OA繞軸O轉(zhuǎn)動；一質(zhì)量為m2的質(zhì)點E以相對速度vr在板上運動。試求系統(tǒng)運動到圖示位置時對軸O（軸z）的動量矩。例12-1?桿OA由鉸鏈O與地面連接，它對軸O的轉(zhuǎn)動慣量為JO9解：1

、LZ(OA)2、LZ(板)用點的合成運動求ω例12-1續(xù)?解：1、LZ(OA)2、LZ(板)用點的合成運動求ω例103、LZ(E)結(jié)果：例12-1續(xù)?3、LZ(E)結(jié)果：例12-1續(xù)?11鐘擺簡化如圖所示。已知均質(zhì)細桿和均質(zhì)圓盤的質(zhì)量都為m，圓盤半徑R，桿長3R，求擺對通過懸掛點O并垂直于圖面的z軸的轉(zhuǎn)動慣量。

例12-2解：

查表得：

根據(jù)平行軸定理

?鐘擺簡化如圖所示。已知均質(zhì)細桿和均質(zhì)圓盤的質(zhì)量都12

1．質(zhì)點的動量矩定理設(shè)O為定點，有：其中：

(O為定點)

§12-2動量矩定理?

1．質(zhì)點的動量矩定理設(shè)O為定點，有：其中：(O為定點)13投影式：因此稱為質(zhì)點的動量矩定理：質(zhì)點對某定點的動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用力對同一點的矩。質(zhì)點的動量矩定理?投影式：因此稱為質(zhì)點的動量矩定理：質(zhì)點對某定點的動量矩對時14得由于對第i個質(zhì)點有：對n個質(zhì)點有：2.質(zhì)點系的動量矩定理?得由于對第i個質(zhì)點有：對n個質(zhì)點有：2.質(zhì)點系的動量15投影式：注意：內(nèi)力不能改變質(zhì)點系的動量矩。稱為質(zhì)點系的動量矩定理：質(zhì)點系對某定點O的動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的外力對于同一點之矩的矢量和。2.質(zhì)點系的動量矩定理?投影式：注意：內(nèi)力不能改變質(zhì)點系的動量矩。稱為質(zhì)點系的動量矩16已知：m1，r，k，m2，R，解：選系統(tǒng)為研究對象,受力分析如圖例12-3求：彈簧被拉長s時，重物m2的加速度a2

。設(shè)塔輪該瞬時的角速度為ω，則解得：?已知：m1，r，k，m2，R，解：選系統(tǒng)為研究對象,受力17若，則常矢量；若，則常量。3．動量矩守恒定律?若，則18主動力：約束力：即：或或與相似§12-3剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的微分方程?主動力：約束力：即：或或與19已知：，求。解：由上式可見，只有當(dāng)定滑輪勻速轉(zhuǎn)動（包括靜止）或雖非勻速轉(zhuǎn)動，但可忽略J時，F(xiàn)1、F2才相等。例12-5?已知：，求。解：20已知：，求：1.ω；2.Mf解：因為系統(tǒng)外力對z軸的矩為零，故系統(tǒng)對z軸動量矩守恒。例12-61.選系統(tǒng)為研究對象2.選輪2為研究對象積分?已知：，求：1.ω；2211．對質(zhì)心的動量矩由于得其中如圖，以質(zhì)心C為原點，取平移坐標(biāo)系Cx’y’z’。質(zhì)點系相對質(zhì)心C為的動量矩為：§12-4質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理質(zhì)點系相對質(zhì)心的動量矩，無論是以相對速度計算還是以絕對速度計算，其結(jié)果都相同。?1．對質(zhì)心的動量矩由于得其中如圖，以質(zhì)心C為原點，取平移坐標(biāo)22質(zhì)點系對任一點O的動量矩：質(zhì)點系相對于任意定點的動量矩?質(zhì)點系對任一點O的動量矩：質(zhì)點系相對于任意定點的動量矩?23結(jié)論質(zhì)點系對任一點O的動量矩等于集中于系統(tǒng)質(zhì)心的動量對O點的動量矩，與質(zhì)點系相對于質(zhì)心動量矩的矢量和。質(zhì)點系相對于任意定點的動量矩?結(jié)質(zhì)點系對任一點O的動量矩等于集中于24由于即2相對質(zhì)心的動量矩定理?由于即2相對質(zhì)心的動量矩定理?25質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理：質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的外力對質(zhì)心的主矩。該定理在形式上與質(zhì)點系相對于固定點的動量矩定理完全一樣。提示質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理?質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理：質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩對時間26或剛體的平面運動選質(zhì)心為基點，可分為隨質(zhì)心的平移和相對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動，則剛體平面運動微分方程是質(zhì)心運動定理和相對于質(zhì)心的動量矩定理?！?2-5剛體的平面運動微分方程?或剛體的平面運動選質(zhì)心為基點，可分為隨質(zhì)心的27以上各組均稱為剛體平面運動微分方程。應(yīng)用時一般用投影式：剛體的平面運動微分方程?以上各組均稱為剛體平面運動微分方程。應(yīng)用時一般用投影式：剛體28例12-8已知：l，m，θ=60°。求：1.

αAB；2.FA解：繩子剛被剪斷，桿AB作平面運動，受力如圖，根據(jù)平面運動微分方程

補充運動學(xué)方程

在y軸方向投影

?例12-8已知：l，m，θ=60°。求：1.αAB；2.29例12-9已知：如圖r，m，m1。求：1.

aA；2.FAB；3.FS2解：分別以A、B、C為研究對象?例12-9已知：如圖r，m，m1。求：1.aA；2.F30例12-9續(xù)（1）其中根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動微分方程

其中（2）?例12-9續(xù)（1）其中根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動微分方程其中（2）?31例12-9續(xù)（3）整理得根據(jù)平面運動微分方程

其中（4）運動學(xué)補充方程

（5）?例12-9續(xù)（3）整理得根據(jù)平面運動微分方程其中（4）32例12-9續(xù)解聯(lián)立方程，得?例12-9續(xù)解聯(lián)立方程，得?33憐惜生命，勿忘安全。11月-2211月-22Monday,November7,2022無論是看得見，還是看不見的地方，都要徹底打掃干凈。00:22:0300:22:0300:2211/7/202212:22:03AM多看一眼，安全保險。多防一步，少出事故。11月-2200:22:0300:22Nov-2207-Nov-22礁石終究要暴露，麻痹掩蓋隱患早晚要傷人。00:22:0300:22:0300:22Monday,November7,2022事故只是表面的現(xiàn)象，隱患才是危險的敵人。11月-2211月-2200:22:0300:22:03November7,2022一絲之差，優(yōu)劣分家。2022年11月7日12:22上午11月-2211月-22革除馬虎之心，提升品質(zhì)之源。07十一月202212:22:03上午00:22:0311月-22整頓——提高工作效率。十一月2212:22上午11月-2200:22November7,2022自我檢驗不放松，質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)記心中。2022/11/70:22:0300:22:0307November2022百盡竿頭，更進一步。12:22:03上午12:22上午00:22:0311月-22只做企業(yè)需要做的事，而不是只做自己喜歡做的事。11月-2211月-2200:2200:22:0300:22:03Nov-22容忍危險等于作法自斃，謹(jǐn)慎行事才能安然無恙。2022/11/70:22:03Monday,November7,2022萬人防火不算多，一人失火了不得。11月-222022/11/70:22:0311月-22謝謝大家！憐惜生命，勿忘安全。11月-2211月-22Wednesda34第12章動量矩

定理本章重點：質(zhì)點系動量矩的概念及計算，轉(zhuǎn)動慣量的概念，質(zhì)點系相對于固定點的動量矩定理，剛體繞定軸轉(zhuǎn)動微分方程及其應(yīng)用。?第12章動量矩定理本章重點：質(zhì)點系動量351．質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩(角動量)質(zhì)點Q對點O的動量矩的定義§12-1質(zhì)點和剛體的動量矩?1．質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩(角動量)質(zhì)點Q對點O的動量矩的定義36單位：kg·m2/s質(zhì)點對z軸的動量矩是質(zhì)點的動量在Oxy平面的投影(mv)xy對O點的矩。是代數(shù)量，從z軸正向看，逆時針為正，順時針為負。質(zhì)點的動量對坐標(biāo)軸的矩?單位：kg·m2/s質(zhì)點對z軸的動量矩37對點的動量矩對軸的動量矩即

質(zhì)點系的動量矩?對點的動量矩對軸的動量矩即質(zhì)點系的動量矩?38(1)剛體平移的動量矩可將全部質(zhì)量集中于質(zhì)心，作為一個質(zhì)點來計算。2.剛體的動量矩?(1)剛體平移的動量矩可將全部質(zhì)量集中于質(zhì)心，作為一個質(zhì)點39(2)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動量矩轉(zhuǎn)動慣量單位：kg·m2

轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動時慣性的度量。質(zhì)量是剛體移動時慣性的度量。2.剛體的動量矩?(2)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動量矩轉(zhuǎn)動慣量單位：kg·m2轉(zhuǎn)40教材P213表12－1列出了簡單均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動慣量1)回轉(zhuǎn)半徑（慣性半徑）的概念

或3.剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量?教材P213表12－1列出了簡單均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動慣量1)回轉(zhuǎn)412)平行軸定理式中：zC軸為過質(zhì)心且與z軸平行的軸，d為z軸與zC軸之間的距離。即：剛體對于任一軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于剛體對通過質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積。3.剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量?2)平行軸定理式中：zC軸為過質(zhì)心且與z軸42桿OA由鉸鏈O與地面連接，它對軸O的轉(zhuǎn)動慣量為JO；一高為h、質(zhì)量為m1的均質(zhì)矩形板沿軸x以速度v平移，并推動桿OA繞軸O轉(zhuǎn)動；一質(zhì)量為m2的質(zhì)點E以相對速度vr在板上運動。試求系統(tǒng)運動到圖示位置時對軸O（軸z）的動量矩。例12-1?桿OA由鉸鏈O與地面連接，它對軸O的轉(zhuǎn)動慣量為JO43解：1

、LZ(OA)2、LZ(板)用點的合成運動求ω例12-1續(xù)?解：1、LZ(OA)2、LZ(板)用點的合成運動求ω例443、LZ(E)結(jié)果：例12-1續(xù)?3、LZ(E)結(jié)果：例12-1續(xù)?45鐘擺簡化如圖所示。已知均質(zhì)細桿和均質(zhì)圓盤的質(zhì)量都為m，圓盤半徑R，桿長3R，求擺對通過懸掛點O并垂直于圖面的z軸的轉(zhuǎn)動慣量。

例12-2解：

查表得：

根據(jù)平行軸定理

?鐘擺簡化如圖所示。已知均質(zhì)細桿和均質(zhì)圓盤的質(zhì)量都46

1．質(zhì)點的動量矩定理設(shè)O為定點，有：其中：

(O為定點)

§12-2動量矩定理?

1．質(zhì)點的動量矩定理設(shè)O為定點，有：其中：(O為定點)47投影式：因此稱為質(zhì)點的動量矩定理：質(zhì)點對某定點的動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用力對同一點的矩。質(zhì)點的動量矩定理?投影式：因此稱為質(zhì)點的動量矩定理：質(zhì)點對某定點的動量矩對時48得由于對第i個質(zhì)點有：對n個質(zhì)點有：2.質(zhì)點系的動量矩定理?得由于對第i個質(zhì)點有：對n個質(zhì)點有：2.質(zhì)點系的動量49投影式：注意：內(nèi)力不能改變質(zhì)點系的動量矩。稱為質(zhì)點系的動量矩定理：質(zhì)點系對某定點O的動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的外力對于同一點之矩的矢量和。2.質(zhì)點系的動量矩定理?投影式：注意：內(nèi)力不能改變質(zhì)點系的動量矩。稱為質(zhì)點系的動量矩50已知：m1，r，k，m2，R，解：選系統(tǒng)為研究對象,受力分析如圖例12-3求：彈簧被拉長s時，重物m2的加速度a2

。設(shè)塔輪該瞬時的角速度為ω，則解得：?已知：m1，r，k，m2，R，解：選系統(tǒng)為研究對象,受力51若，則常矢量；若，則常量。3．動量矩守恒定律?若，則52主動力：約束力：即：或或與相似§12-3剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的微分方程?主動力：約束力：即：或或與53已知：，求。解：由上式可見，只有當(dāng)定滑輪勻速轉(zhuǎn)動（包括靜止）或雖非勻速轉(zhuǎn)動，但可忽略J時，F(xiàn)1、F2才相等。例12-5?已知：，求。解：54已知：，求：1.ω；2.Mf解：因為系統(tǒng)外力對z軸的矩為零，故系統(tǒng)對z軸動量矩守恒。例12-61.選系統(tǒng)為研究對象2.選輪2為研究對象積分?已知：，求：1.ω；2551．對質(zhì)心的動量矩由于得其中如圖，以質(zhì)心C為原點，取平移坐標(biāo)系Cx’y’z’。質(zhì)點系相對質(zhì)心C為的動量矩為：§12-4質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理質(zhì)點系相對質(zhì)心的動量矩，無論是以相對速度計算還是以絕對速度計算，其結(jié)果都相同。?1．對質(zhì)心的動量矩由于得其中如圖，以質(zhì)心C為原點，取平移坐標(biāo)56質(zhì)點系對任一點O的動量矩：質(zhì)點系相對于任意定點的動量矩?質(zhì)點系對任一點O的動量矩：質(zhì)點系相對于任意定點的動量矩?57結(jié)論質(zhì)點系對任一點O的動量矩等于集中于系統(tǒng)質(zhì)心的動量對O點的動量矩，與質(zhì)點系相對于質(zhì)心動量矩的矢量和。質(zhì)點系相對于任意定點的動量矩?結(jié)質(zhì)點系對任一點O的動量矩等于集中于58由于即2相對質(zhì)心的動量矩定理?由于即2相對質(zhì)心的動量矩定理?59質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理：質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的外力對質(zhì)心的主矩。該定理在形式上與質(zhì)點系相對于固定點的動量矩定理完全一樣。提示質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理?質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理：質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩對時間60或剛體的平面運動選質(zhì)心為基點，可分為隨質(zhì)心的平移和相對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動，則剛體平面運動微分方程是質(zhì)心運動定理和相對于質(zhì)心的動量矩定理?！?2-5剛體的平面運動微分方程?或剛體的平面運動選質(zhì)心為基點，可分為隨質(zhì)心的61以上各組均稱為剛體平面運動微分方程。應(yīng)用時一般用投影式：剛體的平面運動微分方程?以上各組均稱為剛體平面運動微分方程。應(yīng)用時一般用投影式：剛體62例12-8已知：l，m，θ=60°。求：1.

αAB；2.FA解：繩子剛被剪斷，桿AB作平面運動，受力如圖，根據(jù)平面運動微分方程

補充運動學(xué)方程

在y軸方向投影

?例12-8已知：l，m，θ=60°。求：1.αAB；2.63例12-9已知：如圖r，m，m1。求：1.

aA；2.FAB；3.FS2解：分別以A、B、C為研究對象?例12-9已知：如圖r，m，m1。求：1.aA；2.F64例12-9續(xù)（1）其中根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動微分方程

其中（2）?例12-9續(xù)（1）其中根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動微分方程其中（2）?65例12-9續(xù)（3）整理得根據(jù)平面運動微分方程

其中（4）運動學(xué)