二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)

一、考點(diǎn)講解：1．二次函數(shù)的定義：形如（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的函數(shù)為二次函數(shù)．2．二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)：（1）二次函數(shù)y=ax2(a≠0）的圖象是一條拋物線，其頂點(diǎn)是原點(diǎn)，對(duì)稱軸是y軸；當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開口向上，頂點(diǎn)是最低點(diǎn)；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線開口向下，頂點(diǎn)是最高點(diǎn)；a越小，拋物線開口越大．（2）二次函數(shù)的圖象是一條拋物線．頂點(diǎn)為（－，），對(duì)稱軸x=－；當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開口向上，圖象有最低點(diǎn)，且x＞－，y隨x的增大而增大，x＜－，y隨x的增大而減??；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線開口向下，圖象有最高點(diǎn)，且x＞－，y隨x的增大而減小，x＜－，y隨x的增大而增大．（3）當(dāng)a＞0時(shí)，當(dāng)x=－時(shí)，函數(shù)有最小值；當(dāng)a＜0時(shí)，當(dāng)xx=－時(shí)，函數(shù)有最大值3．圖象的平移：將二次函數(shù)y=ax2(a≠0）的圖象進(jìn)行平移，可得到y(tǒng)=ax2＋c，y=a(x－h(huán))2，y=a(x－h(huán))2＋k的圖象．⑴將y=ax2的圖象向上(c＞0）或向下(c<0）平移|c|個(gè)單位，即可得到y(tǒng)=ax2＋c的圖象．其頂點(diǎn)是（0,c）形狀、對(duì)稱軸、開口方向與拋物線y=ax2相同．⑵將y=ax2的圖象向左（h<0）或向右(h＞0）平移|h|個(gè)單位，即可得到y(tǒng)=a(x－h(huán))2的圖象．其頂點(diǎn)是（h，0），對(duì)稱軸是直線x=h，形狀、開口方向與拋物線y=ax2相同．⑶將y=ax2的圖象向左（h<0）或向右(h＞0）平移|h|個(gè)單位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|個(gè)單位，即可得到y(tǒng)=a(x－h(huán))2+k的圖象，其頂點(diǎn)是（h，k），對(duì)稱軸是直線x=h，形狀、開口方向與拋物線y=ax2相同．二、針對(duì)性訓(xùn)練：1．已知直線y=x與二次函數(shù)y=ax2－2x－1的圖象的一個(gè)交點(diǎn)M的橫標(biāo)為1，則a的值為（）A、2 B、1C、3 D、 4 2．已知反比例函數(shù)y=EQ\F(k,x)的圖象在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而增大，則二次函數(shù)y=2kx2－x+k2的圖象大致為圖1－2－3中的（）3．已知二次函數(shù)的圖象如圖1－2－4所示，下列結(jié)論中①abc＞0；②b=2a；③a＋b＋c<0；④a+b+c＞0正確的個(gè)數(shù)是（）A．4B．3C．4．拋物線y=x2－ax＋5的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（－2，1）B．（－2，－1）C．（2，l）D．（2，－1）5．拋物線y=（x—5）+4的對(duì)稱軸是（）A．直線x=4B．直線x=－4C．直線x=5D．直線x=－56．二次函數(shù)圖象如圖l－2－5所示，則下列結(jié)論正確的（）A．a(chǎn)＞0，b＜0，c＞0B．a(chǎn)＜0，b＜0，c＞0C．a(chǎn)＜0，b＞0，c＜0D．a(chǎn)＜0，b＞0，c＞07．二次函數(shù)y=2（x－3）2+5的圖象的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（）A．開口向下，對(duì)稱軸x=－3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3,5）B．開口向下，對(duì)稱軸x＝3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，5）C．開口向上，對(duì)稱軸x=－3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－3,5)D．開口向上，對(duì)稱軸x=－3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－3,－5）8．二次函數(shù)圖象如圖l－2－6所示，則點(diǎn)（EQ\F(b,c)，a）在（）A．第一象限B第二象限C．第三象限D(zhuǎn)第四象限9．已知二次函數(shù)(a≠0）與一次函數(shù)y=kx+m(k≠0）的圖象相交于點(diǎn)A（－2，4）,B(8，2)，如圖1－2－7所示，能使y1＞y2成立的x取值范圍是_______10若二次函數(shù)的圖象如圖1－2－8，則ac_____0（“＜”“＞”或“=”）11直線y=x+2與拋物線y=x2+2x的交點(diǎn)坐標(biāo)為____．12閱讀材料：當(dāng)拋物線的解析式中含有字母系數(shù)時(shí)，隨著系數(shù)中的字母取值的不同，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)也將發(fā)生變化．例如：由拋物線①，有y=②，所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，2m－1），即當(dāng)m的值變化時(shí)，x、y的值隨之變化，因而y值也隨x值的變化而變化，將③代人④，得y=2x—1l⑤．可見，不論m取任何實(shí)數(shù)，拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)y和橫坐標(biāo)x都滿足關(guān)系式y(tǒng)=2x－1，回答問題：（1）在上述過程中，由①到②所用的數(shù)學(xué)方法是________，其中運(yùn)用了_________公式，由③④得到⑤所用的數(shù)學(xué)方法是______；（2）根據(jù)閱讀材料提供的方法，確定拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)x之間的關(guān)系式_________.13拋物線經(jīng)過第一、三、四象限，則拋物線的頂點(diǎn)必在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限14當(dāng)b＜0時(shí)，一次函數(shù)y=ax+b和二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c在同一坐標(biāo)系中的圖象大致是圖1－2－9中的（）考點(diǎn)2：二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系一、考點(diǎn)講解：1、a的符號(hào)：a的符號(hào)由拋物線的開口方向決定．拋物線開口向上，則a＞0；物線開口向下，則a＜0．2、b的符號(hào)出的符號(hào)由對(duì)稱軸決定，若對(duì)稱軸是y軸，則b=0；若拋物線的頂點(diǎn)在y軸左側(cè)，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)－＜0即＞0，則a、b為同號(hào)；若拋物線的頂點(diǎn)在y軸右側(cè)，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)－＞0，即＜0．則a、b異號(hào)．間“左同有異”．3．c的符號(hào)：c的符號(hào)由拋物線與y軸的交點(diǎn)位置確定．若拋物線交y軸于正半，則c＞0，拋物線交y軸于負(fù)半軸．則c＜0；若拋物線過原點(diǎn)，則c=0．4．△的符號(hào)：△的符號(hào)由拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)決定．若拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則△=0；有兩個(gè)交點(diǎn)，則△＞0．沒有交點(diǎn)，則△＜0．5、a+b+c與a－b+c的符號(hào)：a+b+c是拋物線(a≠0）上的點(diǎn)(1，a+b+c）的縱坐標(biāo)，a－b+c是拋物線(a≠0）上的點(diǎn)（－1，a－b＋c）的縱坐標(biāo)．根據(jù)點(diǎn)的位置，可確定它們的符號(hào).二、針對(duì)性訓(xùn)練：1．已知函數(shù)的圖象如圖1－2－11所示，給出下列關(guān)于系數(shù)a、b、c的不等式：①a＜0，②b＜0，③c＞0，④2a＋b＜0，⑤a＋b＋c＞0．其中正確的不等式的序號(hào)為___________-2．已知拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－1，則a＋c=_________.3．拋物線中，已知a：b：c=l：2：3，最小值為6，則此拋胸的解析式為____________4．已知二次函數(shù)的圖象開口向下，且與y軸的正半軸相交，請(qǐng)你寫出一個(gè)滿足條件的二次函數(shù)解析式：_______________.5．拋物線如圖1－2－12所示，則它關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線的解析式是___________.6．若拋物線過點(diǎn)(1，0)且其解析式中二次項(xiàng)系數(shù)為1，則它的解析式為___________．（任寫一個(gè)）7．已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)（－2，0），(x1，0)且1＜x1＜2，與y·軸正半軸的交點(diǎn)連點(diǎn)(0，2）的下方，下列結(jié)論：①a＜b＜0；②2a+c＞0；③4a+c<0，④2a－b+8．已知二次函數(shù)的圖象如圖1－2－13所示：（1）這個(gè)二次函數(shù)的解析式是y=__________．（2）當(dāng)x=_______時(shí)，y=3；（3）根據(jù)圖象回答：當(dāng)x______時(shí)，y＞0．9．二次函數(shù)的圖象如圖1－2－14所示，則下列關(guān)于a、b、c間的關(guān)系判斷正確的是（）A．a(chǎn)b＜0B、bc＜0C．a(chǎn)+b＋c＞0D．a(chǎn)－b十c＜010已知二次函數(shù)，那么它的圖象如圖1－2－15大致為（）11．拋物線＞0）的頂點(diǎn)在x軸上方的條件是（）A．b2－4ac＜0B．b2－4ac＞0C．b2－412二次函數(shù)⑴y=3x2；⑵y=EQ\F(2,3)x2；⑶y=EQ\F(4,3)x2的圖象的開口大?。╉樞驊?yīng)為（）A．（1）＞（2）＞（3）B．（1）＞（3）＞（2）C．（2）＞（3）＞（1）D．（2）＞（1）＞（3）13若二次函數(shù)，當(dāng)x取x1，x2（x1，≠x2）時(shí)，函數(shù)值相等，則當(dāng)x?。▁1+x2）時(shí)，函數(shù)值為（）A．a(chǎn)+cB．a(chǎn)－cC．－cD．c考點(diǎn)3：二次函數(shù)解析式求法一、考點(diǎn)講解：1．二次函數(shù)的三種表示方法：⑴表格法：可以清楚、直接地表示出變量之間的數(shù)值對(duì)應(yīng)關(guān)系；⑵圖象法：可以直觀地表示出函數(shù)的變化過程和變化趨勢(shì)；⑶表達(dá)式：可以比較全面、完整、簡(jiǎn)潔地表示出變量之間的關(guān)系．2．二次函數(shù)表達(dá)式的求法：⑴若已知拋物線上三點(diǎn)坐標(biāo)，可利用待定系數(shù)法求得；⑵若已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程，則可采用頂點(diǎn)式：其中頂點(diǎn)為(h，k)對(duì)稱軸為直線x=h；⑶若已知拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)或交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則可采用交點(diǎn)式：,其中與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（x1，0），（x2，0）二、針對(duì)性訓(xùn)練：1．二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（－3，2），（2，7），（0，－1），求其解析式．2．已知拋物線的對(duì)稱軸為直線x=－2，且經(jīng)過點(diǎn)（－l，－1），（－4，0）兩點(diǎn)．求拋物線的解析式．3．已知拋物線與x軸交于點(diǎn)（1，0）和(2，0)且過點(diǎn)(3，4)，求拋物線的解析式．4．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（0，1）B(2，－1）兩點(diǎn)．（1）求b和c的值；(2）試判斷點(diǎn)P（－1，2）是否在此拋物線上？5．已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象如圖1－2－25所示，請(qǐng)你求出這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式，并求出頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸方程．6．已知拋物線過三點(diǎn)（－1，－1）、（0，－2）、（1，l）．（1）求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）寫出它的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）這個(gè)函數(shù)有最大值還是最小值？這個(gè)值是多少？7．當(dāng)x=4時(shí)，函數(shù)的最小值為－8，拋物線過點(diǎn)（6，0）．求：（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸；（2）函數(shù)的表達(dá)式；（3）x取什么值時(shí)，y隨x的增大而增大；x取什么值時(shí)，y隨x增大而減?。?．在ΔABC中，∠ABC＝90○，點(diǎn)C在x軸正半軸上，點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B在y軸正半軸上(圖1－2－26所示），若tan∠BAC=EQ\F(1,2)，求經(jīng)過A、B、C點(diǎn)的拋物線的解析式．9．已知：如圖1－2－27所示，直線y=－x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、C，拋物線y=－x2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)B、C，點(diǎn)A是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P在直線BC上，且SΔPAC=EQ\F(1,2)SΔPAB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．10四邊形DEFH為△ABC的內(nèi)接矩形(圖1－2－28)，AM為BC邊上的高，DE長(zhǎng)為x，矩形的面積為y，請(qǐng)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并判斷它是不是關(guān)于x的二次函數(shù).考點(diǎn)4：根據(jù)二次函數(shù)圖象解一元二次方程的近似解一、考點(diǎn)講解：1．二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：（1）一元二次方程就是二次函數(shù)當(dāng)函數(shù)y的值為0時(shí)的情況．（2）二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)有三種情況：有兩個(gè)交點(diǎn)、有一個(gè)交點(diǎn)、沒有交點(diǎn)；當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是當(dāng)y=0時(shí)自變量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根．（3）當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸沒有交點(diǎn)時(shí)，則一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根．二、針對(duì)性訓(xùn)練：1．已知函數(shù)y=kx2－7x—7的圖象和x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是（）2．直線y=3x—3與拋物線y=x2－x+1的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A．0B．1C．3．函數(shù)的圖象如圖l－2－30，那么關(guān)于x的方程的根的情況是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根D．無實(shí)數(shù)根4．二次函數(shù)的圖象如圖l－2－31所示，則下列結(jié)論成立的是（）A．a(chǎn)＞0，bc＞0，△＜0B.a＜0，bc＞0，△＜0C．a(chǎn)＞0，bc＜0，△＜0D.a＜0，bc＜0，△＞05．函數(shù)的圖象如圖l－2－32所示，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．a(chǎn)＞0B．b2－4ac＞0C、的兩根之和為負(fù)D、的兩根之積為正6．不論m為何實(shí)數(shù)，拋物線y=x2－mx＋m－2（）A．在x軸上方B．與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)C．與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)D．在x軸下方7．畫出函數(shù)y=x2－2x－3的圖象，利用圖象回答：（1）方程x2－2x－3=0的解是什么？（2）b取什么值時(shí)，函數(shù)值大于0？（3）b取什么值時(shí)，函數(shù)值小于0？8．已知二次函數(shù)y=x2－x—6·（1）求二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）畫出函數(shù)圖象；（3）觀察圖象，指出方程x2－x—6=0的解；（4）求二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積考點(diǎn)5：用二次函數(shù)解決實(shí)際問題一、考點(diǎn)講解：1．二次函數(shù)的應(yīng)用：（1）二次函數(shù)常用來解決最優(yōu)化問題，這類問題實(shí)際上就是求函數(shù)的最大（小）值；（2）二次函數(shù)的應(yīng)用包括以下方面：分析和表示不同背景下實(shí)際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系；運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問題中的最大（?。┲担?．解決實(shí)際問題時(shí)的基本思路：（1）理解問題；（2）分析問題中的變量和常量；（3）用函數(shù)表達(dá)式表示出它們之間的關(guān)系；（4）利用二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解；（5）檢驗(yàn)結(jié)果的合理性，對(duì)問題加以拓展等．二、針對(duì)性訓(xùn)練：1．小王家在農(nóng)村，他家想利用房屋側(cè)面的一面墻，圍成一個(gè)矩形豬圈（以墻為長(zhǎng)人現(xiàn)在已備足可以砌10米2．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組幾名同學(xué)到某商場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，一種純牛奶進(jìn)價(jià)為每箱40元，廠家要求售價(jià)在40～70元之間，若以每箱50元銷售平均每天銷售90箱，價(jià)格每降低1元平均每天可多銷售3箱．老師要求根據(jù)以上資料，解答下列問題，你能做到嗎？⑴寫出平均每天銷售量y（箱）與每箱售價(jià)社元）之間的函