全等三角形的經(jīng)典模型(一)

三角形8級等腰直角三角形數(shù)學(xué)模型思路：3全等三角形的

經(jīng)典模型（一）三角形7級三角形9級O一三角形的經(jīng)典模漫畫釋義⑴利用特殊邊特殊角證題（AC=BC或90°,45。,45。）?如圖1；⑵常見輔助線為作高，利用三線合一的性質(zhì)解決問題.如圖2；⑶補全為正方形?如圖3，4.CABCD

CABCD圖1圖1求證明）⑵如果點M、N分別在線段AC、AB上移動，且在移動中保持AN二CM.試判斷AOMN的形狀，并證明你的結(jié)論.⑶如果點M、N分別在線段CA、AB的延長線上移動，且在移動中保持AN=CM，試判斷⑵中結(jié)論是否依然成立，如果是請給出證明.C【解析】（doa=ob=ocC⑵連接OA,*?*°A=OCZBAO=ZC=45°AN二CM???△ANOmCMO???ON=OM??ZNOA=ZMOC??ZNOA+ZBON=ZMOC+ZBON=90°??Z??ZNOM=90°???△OMN是等腰直角三角形⑶AONM依然為等腰直角三角形，證明：???ZBAC=90°,AB=AC,O為BC中點?.ZBAO=ZOAC=ZABC=ZACB=45°,???AO=BO=OC,??在△ANO和ACMO中，.?.△ANOMCMO(SAS)???ON=OM,ZAON=ZCOM,又-/ZCOM_ZAOM=90°,?△OMN為等腰直角三角形.【例2】兩個全等的含30。，60。角的三角板ADE和三角板ABC，如圖所示放置，E,A,C三點在一條直線上，連接bd,取BD的中點M，連接ME，MC?試判斷AEMC的形狀，并說明理由?【解析】MMC是等腰直角三角形?證明：連接AM■由題意，得「?△DAB為等腰直角三角形.??DM=MB,??MA=MB=DM,ZMDA=ZMAB=45。-?:ZMDE=ZMAC=105o,?:△EDM—△CAM-?:EM=MC,ZDME=ZAMC-又ZEMC=ZEMA+ZAMC=ZEMA+ZDME=90o-??CM丄EM，△EMC是等腰直角二角形.【例3】已知：如圖，△ABC中，AB=AC，ZBAC=90°°D是AC的中點，AF丄BD于E，交BC于F，連接DF．求證：ZADB=ZCDF-【解析】證法一：如圖，過點A作AN丄BC于N，交BD于M-?AB=AC，ZBAC=90°，?:Z3=ZDAM=45°-?Z?ZC=45°，??Z3=ZC-的延長線于C的延長線于C，e，AF丄BD，?:Z1+ZBAE=90°丁ZBAC=90°，?Z2+ZBAE=90°-?:Z1=Z2-在△ABM和NCAF中，????△ABM^△CAF???AM=CF-在△ADM和△CDF中，??△ADM^△CDF-??ZADB=ZCDF-證法二：如圖，作CM丄AC交AF*?'AF丄BD，?:Z3+Z2=90°，*?'ZBAC=90°，?:Z1+Z2=90°，?:Z1=Z3-在△ACM和MAD中，ACM竺ABAD-??ZM=ZADB，AD=CM???AD=DC，??CM=CD-在MMF和^CDF中，???△CMF^△CDF-??ZM=ZCDF??ZADB=ZCDF-

【例4】如圖，等腰直角△abc中，AC=BC，上ACB=90°，P為△ABC內(nèi)部一點，滿足解析】PB=PC，AP=AC，求證：ZBCP=15。-解析】ACBD，連接DP，△ADP是等邊二角形，上DAP=60。ZBAD=45°，??ZBAP=15°，ZPAC=30°，??ZACP=75°，??ZBCP=15°-【探究對象】等腰直角三角形添補成正方形的幾種常見題型在解有關(guān)等腰直角三角形中的一些問題，若遇到不易解決或解法比較復(fù)雜時，可將等腰直角三角形引輔助線轉(zhuǎn)化成正方形，再利用正方形的一些性質(zhì)來解，常?？梢云鸬交y為易的效果，從而順利地求解。例4為求角度的應(yīng)用，其他應(yīng)用探究如下：【探究一】證角等【備選1】如圖，RtAABC中，ZBAC=90°，AB=AC，M為AC中點，連結(jié)BM，作AD丄BM交BC于點D，連結(jié)DM，求證：ZAMB=ZCMD.【解析】作等腰Rt^ABC關(guān)于BC對稱的等腰RtABFC，延長AD交CF于點N，???AN丄BM，由正方形的性質(zhì)，可得AN=BM,易證RtAABM9R弋、CAN,AZAMB=ZCND,CN=AM,?.?M為AC中點，???CM二CN,VZ1=Z2，可證得△CMD^ACND,.\ZCND=ZCMD,???ZAMB=ZCMD.【探究二】判定三角形形狀【備選2】如圖，RtAABC中，ZBAC=90°,AB=AC,AD=CE,AN丄BD于點M,延長BD交NE的延長線于點F,試判定ADEF的形狀．【解析】作等腰RtAABC關(guān)于BC對稱的等腰RtABHC,可知四邊形ABHC為正方形，延長AN交HC于點K,???AK丄BD，可知AK=BD，易證：R弋\ABD^R弋\CAK，.\ZADB=ZCKN，CK=AD，?.?AD=EC，???CK二CE，易證△CKN^ACEN，AZCKN=ZCEN，易證ZEDF二ZDEF，???△DEF為等腰三角形.【探究三】利用等積變形求面積【備選3】如圖，RtAABC中，ZA=90°,AB=AC,D為BC上一點，

DE〃AC,DF〃AB,且BE=4,CF=3,求?詭.矩形FAE【解析】作等腰Rt^ABC關(guān)于BC的對稱的等腰RtAGCB，可知四邊形ABGC為正方形，分別延長FD、ED交BG、CG于點N、M，可知DN=EB=4，DM=FC=3，由正方形對稱性質(zhì)，可知S矩形=S矩形=DM?DN=34=12.矩形DFAE矩形DMGN【探究四】求線段長【備選4】如圖，AABC中，AD丄BC于點D,ZBAC=45°,BD=3,CD=2,求AD的長．【分析】此題若用面積公式結(jié)合勾股定理再列方程組求解是可以的，但解法太繁瑣，本題盡管已知條件不是等腰直角三角形，但???ZBAC=45°，若分別以AB、AC為對稱軸作RtAADB的對稱直角三角形和RtAADC的對稱直角三角形，這樣就出現(xiàn)兩邊相等且夾角為90°的圖形，滿足等腰直角三角形的條件，然后再引輔助線使之轉(zhuǎn)化為正方形．【解析】以AB為軸作RtAADB的對稱的RtAAEB，再以AC為軸作RtAADC的對稱的RtAAFC.可知BE=BD=3，F(xiàn)C=CD=2，延長EB、FC交點G,VZBAC=45°,由對稱性，可得ZEAF=90°，且AE=AD=AF,易證四邊形AFGE為正方形，且邊長等于AD，設(shè)AD=x，則BG=x-3，CG=x-2，在RtABCG中，由勾股定理，得(%—2)2+(x-3)2=52，解得x=6，即AD=6.【探究五】求最小值【備選5】如圖，RtAABC中，ZACB=90°,AC=BC=4,M為AC的中點，P為斜邊AB上的動點，求PM+PC的最小值.【解析】將原圖形通過引輔助線化歸為正方形，即作RtAACB關(guān)于AB對稱的RtAADB，可知四邊形ACBD為正方形，連接CD，可知點C關(guān)于AB的對稱點D，連接MD交AB于點P，連接CP，則PM+PC的值為最小，最小值為：PM+PC二DM「4W=用■

明；若不成立，請說明理由EDBC1④明；若不成立，請說明理由EDBC1④【解析】（DtAB丄BD,ED丄BD--ZB=ZD=90°在△ABC與ACDE中?△ABC^△CDE(SAS)??Z1=ZE-Z2+ZE=90°?ZACE=90°，即AC丄CE⑵圖①②③④四種情形中，結(jié)論永遠(yuǎn)成立，證明方法與⑴完

全類似，只要證明△abc^△CpE

-ZACB=ZCED1??ZCED+ZDCE二90。-ZDCE+ZACB二90。111???AC丄￥典題精練【例5】正方形ABCD中，點A、B的坐標(biāo)分別為（0,10），（【例5】正方形ABCD中，點第一象限.求正方形邊長及頂點c的坐標(biāo).（計算應(yīng)用：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于邊的平方.）【解析】過點C作CG丄x軸于G，過B作BE丄y軸于E，并反向延長交CG于F點A、B的坐標(biāo)分別為（0,10）,（8,4）xBE=8，AE=6，?:AB=10x???四邊形ABCD是正方形，???AB二BC??°Z1+Z3=90。Z2+Z3=90。?：Z1=Z2??ZAEB=ZBFC=90。.?.△AEB^ABFC???CF二BE=8，BF=AE=6???CG=12EF=14???C（14，12），正方形的邊長為10【點評】此題中三垂直1’]模型：【例6】如圖所示，在直角梯形abcd中，ZABC=90。，AD〃BC，AB=BC，E是AB的中點，CE丄BD-

⑴求證：be=ad；⑵求證：ac是線段ed的垂直平分線；⑶△DBC是等腰三角形嗎？請說明理由【解析】⑴丁ZAEC=90。，BD丄EC，EB??ZECB+ZDBC=90°,ZABD+ZDBC=90。，??ZECB=ZABD，EB*?*ZABC=ZDAB=90°，AB=BC，????△bad^△CBE，??AD=BE-(2)Te是AB中點，?：EB=EA由⑴得：AD=BE，?:AE=AD*?*AD〃BC，?:ZCAD=ZACB=45。，由等腰三角形的性質(zhì)，得：EM=MD,AM丄DE?ZBAC=45由等腰三角形的性質(zhì)，得：EM=MD,AM丄DE即AC是線段ED的垂直平分線.⑶ADBC是等腰二角形，CD=BD由⑵得：cd=CE，由⑴得：CE=BD??早竺日亜二為彫??CD=BD，??△DBC疋等腰—角形■【例7】⑴如圖1，AABC是等邊三角形，D、E分別是AB、BC上的點，且BD=CE，連接AE、CD相交于點P.請你補全圖形，并直接寫出ZAPD的度數(shù)二；⑵如圖2，RtAABC中,ZB=90°，M、N分別是AB、BC上的點，且AM二BC、BM=CN，連接AN、CM相交于點P.請你猜想ZAPM=。，并寫出你的推理過程.（2013平谷一模）［解析】⑴圖略，60°⑵45°證明：作AE丄AB且ae=CN=BM可證△eam-△mbc??ME??ME=MC，ZAME=乙BCM.訓(xùn)練1.解析】*?*ZCMB+ZMCB=90。,?：ZCMB+ZAME=90。.?ZEMC=90°.?:△EMC是等腰直角二角形，ZMCE=45°.又\AEC^△CAN(SAS)??ZECA=ZNAC.EC〃AN.ZAPM=ZECM=45°.?思維拓展訓(xùn)練（選TM"*#+已知：如圖，△abc中，AC=BC，ZACB=90°，D是AC上一點,AE丄BD的延長線于E,并且ae=1BD，求證：BD平分ZABC.2長AE交BC的延長線于FCE?.?BE丄AF,ZACB=90°??ZFAC=ZDBCB在厶AFC和ABDC中，.?.△AFC^△BDC(ASA).AF=BD又丁AE=1BD2.1…AE=-AF=EF2.BE是AF的中垂線.BA=BF.BD平分ZABC訓(xùn)練2.已知，在正方形ABCD中，E在BD上，DG丄CE于G,DG交AC于F.求證：OE=OF【解析】tabcd是正方形???OD=OC乙DOC=90。?*DG丄CE?:ZDGC=90。D??乙DOC=ZDGC?ZOFD=ZGFC??ZODF=ZECO???在^DOF和^COE中，???△D0F$AC0E(ASA)?OE=OF訓(xùn)練3.【解析】已知：如圖，△abc中，AB=AC，ZBAC=90°°D是訓(xùn)練3.【解析】AF丄BE于G?求證：DH=DF，e，AB=AC，ZBAC=90°，D是BC的中點???AD二BD二CD,AD丄BC??ZADB=90。AF丄BE??ZAGH=90。??ZDBE=ZDAF???在厶BDH和AADF中，.??△BDH$AADF(ASA)?DH=DF訓(xùn)練4如圖’已知矩形ABCD中，E是AD上的一點，F(xiàn)是AB上的一點，?EF丄EC，且EF=EC,DE=4cm，矩形ABCD的周長為32cm，求AE的長．【解析】在RtAAEF和RtADEC中，VEFICE,.\ZFEC=90°,.\ZAEF+ZDEC=90°ZECD+ZDEC=90°,

???ZAEF二ZECD.又ZFAE=ZEDC=90°.EF=EC???RtAAEF^R弋、DCE.???AE二CD.?AD=AE+4．?.?矩形ABCD的周長為32cm,?2（AE+AE+4）=32．解得AE=6cm解得AE=6cm．題型一等腰直角三角形模型鞏固練習(xí)【練習(xí)1】如圖，△ACB'AECD均為等腰直角三角形，則圖中與abdc全等的三角形為.【解析】AAEC【練習(xí)2】如圖，已知只也abc中ZACB=90°，AC=BC，D是BC的中點,CE丄AD，垂足為E-BF//AC，交CE的延長線于點F-求證:AC=2BF-【解析】丁ZACB=90°，BF/AC，-Z-ZACD=ZCBF=90°ZADC+ZCAD=90°-丁CE丄AD，二ZFCB+ZADC=90°，?:ZCAD=ZFCB-又丁AC=CB，二△ADC^△CFB-二DC=FB-丁D是BC的中點，

二BC=2BF，即AC=2BF-題型二三垂直模型鞏固練習(xí)D【練習(xí)3】已知：如圖，四邊形ABCD是矩形（AD〉A(chǔ)B）,點E在BC上,且AE=AD,DF丄AE，垂足為F.請?zhí)角驞F與AB有何數(shù)量關(guān)系？寫出你所得到的結(jié)論并給予證明．D【解析】經(jīng)探求，結(jié)論是：DF=AB.證明如下：???四邊形ABCD是矩形，ZB=90。,AD〃BC,?：ZDAF二ZAEB.?/DF丄AE,???ZAFD=90。,?AE=AD，?**△ABE^△DFA-?AB=DF．【練習(xí)4】如圖，△ABC中，AC=BC，ZBCA=90°°D是AB上任意一點,AE丄CD交CD延長線于E，BF丄CD于F?求證：EF=BF-AE?【解析】根據(jù)條件，ZACE、ZCBF都與ZBCF互余，??ZACE=ZCBF-在△ACE和MBF中，AC=CB，ZAEC=ZCFB=90°，△ACE^△CBF-貝UCE=BF，AE=CF，??EF=CE-CF=BF-AE-【練習(xí)5】四邊形ABCD是正方形.⑴如圖1,點G是BC邊上任意一點（不與B、C兩點重合）,連接AG,作BF丄AG于點F,DE丄AG于點E.求證：AABF^△DAE；⑵在⑴中，線段EF與AF、BF的等量關(guān)系是（直接寫出結(jié)論即可,不需要證明）；⑶如圖2,點G是CD邊上任意一點（不與C、D兩點重合），連接AG，作BF丄AG于點F,DE丄AG于點E.那么圖中全等三角形是,線段EF與AF、BF的等量關(guān)系是（直接寫出結(jié)論即可，不需要證明）./r