(完整版)布朗運(yùn)動以及維納過程學(xué)習(xí)難點(diǎn)總結(jié)

1、引言布朗運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型就是維納過程。布朗運(yùn)動就是指懸浮粒子受到碰撞一直在做著不規(guī)則的運(yùn)動。我們現(xiàn)在用來表示運(yùn)動中一個微小粒子從時刻到時刻的位移的橫坐標(biāo)，并令。根據(jù)的理論，我們可以知道微粒之所以做這種運(yùn)動，是因?yàn)樵诿恳凰查g，粒子都會受到其他粒子對它的沖撞，而每次沖撞時粒子所受到的瞬時沖力的大小和方向都不同，又粒子的沖撞是永不停息的，所以粒子一直在做著無規(guī)則的運(yùn)動。故粒子在時間段上的位移，我們可把它看成是多個小位移的總和。我們根據(jù)中心極限定理，假設(shè)位移服從正態(tài)分布，那么在不相重疊的時間段內(nèi)，粒子碰撞時受到的沖力的方向和大小都可認(rèn)為是互不影響的，這就說明位移具有獨(dú)立的增量。此時微粒在某一個時段上位移的概率分布，我們便能認(rèn)為其僅僅與這一時間段的區(qū)間長度有關(guān)，而與初始時刻沒有關(guān)系，也就是說具有平穩(wěn)增量。2.維納過程2.1獨(dú)立增量過程維納過程是典型的隨機(jī)過程，屬于所謂的獨(dú)立增量過程，在隨機(jī)過程的理論和應(yīng)用中起著很重要的作用?，F(xiàn)在我們就來介紹獨(dú)立增量過程。定義：是二階矩過程，那么我們就稱為隨機(jī)過程在區(qū)間上的增量。若對任意的和任意的，個增量是相互獨(dú)立的，那么我們就稱為獨(dú)立增量過程。我們可以證明出在的條件下，獨(dú)立增量過程的有限維分布函數(shù)族可由增量的分布所確定。

如果對和與的分布是相同的，我們就稱增量具有平穩(wěn)性。那么這個時候，增量的分布函數(shù)只與時間差有關(guān)，而與和無關(guān)(令便可得出)。值得注意的是，我們稱獨(dú)立增量過程是齊次的，此時的增量具有平穩(wěn)性。2.2維納過程的定義給定二階矩過程{}，若滿足(i)具有獨(dú)立增量；

(ii)對t>,有增量；(iii)，則稱此過程是維納過程。由（ii）我們可得出維納過程增量的分布只依賴于時間差，故維納過程是齊次的獨(dú)立增量過程，并且也服從正態(tài)過程。事實(shí)上對任意個時刻（記），把寫成

我們由（i）—（iii）知，它們都是獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的和，由維正態(tài)變量的性質(zhì)可得出是維正態(tài)變量，即是正態(tài)過程。所以其分布依賴于它的期望函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)。由（ii），（iii）可知，,故維納過程的期望與方差函數(shù)為，，上式中叫做維納過程的參數(shù)，我們通過做實(shí)驗(yàn)得出數(shù)據(jù)值可估計出其大小。得自協(xié)方差函數(shù)為

2.3維納過程的特點(diǎn)（i）它是一個(馬爾科夫)過程。故未來推測所需的數(shù)據(jù)信息就是該過程的當(dāng)前數(shù)據(jù)值；（ii）維納過程具有獨(dú)立增量。即該過程在任意一個時間區(qū)間上變化的概率分布，與其在其他的時間區(qū)間上變化的概率無關(guān)；（iii）在任何有限時間上，維納過程的變化服從正態(tài)分布，其方差隨時間區(qū)間長度的增長而呈線性增加。2.4維納過程的性質(zhì)（1）基本性質(zhì)對,一維維納過程在時刻是一個隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)是：

這是因?yàn)楦鶕?jù)維納過程的定義得出當(dāng)時，能推出的分布：它的數(shù)學(xué)期望是零：

它的方差是：在維納過程的獨(dú)立增量的定義中，令，，，那么和都是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，并且故在兩不同時刻：???

3.維納過程的應(yīng)用3.1股票價格的行為模式我們經(jīng)常應(yīng)用的假設(shè)是股價服從擴(kuò)散過程，且大部分情況下都是幾何布朗運(yùn)動。在此條件下，任一時期的復(fù)合收益率是服從正態(tài)分布的。由于正態(tài)分布滿足加法的封閉性，所以不管股票的套利組合是什么樣的，它都依然服從正態(tài)分布。如果我們假設(shè)風(fēng)險行為減到零，那么股票收益率的分布同樣也是服從正態(tài)分布的。(i)經(jīng)典的假設(shè)理論我們先來介紹隨機(jī)游走模型，其表達(dá)式為：

（1）其中：，表示時刻和時刻的股票價格，表示均值為，方差為的獨(dú)立正態(tài)分布。股票價格模型我們一般情況下用維納過程來表達(dá)，而隨機(jī)游走模型所解釋的股價波動走勢，從本質(zhì)上來說，其實(shí)就是一個漂移率為的擴(kuò)散過程。如果我們令是股價關(guān)于時間的函數(shù)，那么得隨機(jī)游走模型：

（2）上式中表示標(biāo)準(zhǔn)維納過程。然而，事實(shí)上它僅解釋了股價的波動率，僅僅是我們理想情形下的模型。漂移率為也就是說，在未來任何一個時刻，股價的均值等于其當(dāng)前值。如果我們設(shè)時間區(qū)間長度為年，在前一年的股價條件不發(fā)生變化的情形下，那么該年度的股價就等于前一年度的股價均值，在此種情況下，持股人就很難做到持股時間大于年，這顯然與現(xiàn)實(shí)生活中的情況不相符。況且我們有充分理由認(rèn)為，由于上市公司在不斷的經(jīng)營擴(kuò)大，所賺取的利潤也在不斷的增長，所以從長遠(yuǎn)來看，公司的股價應(yīng)該呈現(xiàn)出逐漸增長的走勢，故漂移率是不可能為零的。那么我們通過一個一般化的維納過程就能來解釋股票的價格行為（當(dāng)然該一般化的維納過程的期望漂移率和方差率是定值），然而由于持股人想要來自股票的期望百分比收益不依賴于股票價格，因此假設(shè)期望漂移率為一個常數(shù)也是不合乎常理的。現(xiàn)在我們假設(shè)期望漂移率為股票價格的比例，并且其為一個定值，也就是說股價的期望漂移率為，恒等于一個自然數(shù)，在幾何條件下，它的解釋就是股票的期望收益率。在此假設(shè)下，經(jīng)過時間后，的增長均值為，即，其中表示期望算子。當(dāng)方差率為時，則微分形式的模型：可得，式中的表示股票的最初價格，由此可看出，當(dāng)方差率為時，股價的利率為，以連續(xù)復(fù)利的方式增長。然而現(xiàn)實(shí)生活中，股價的方差率一般是不可能為零的，因此合乎常理的假設(shè)應(yīng)該是股票的百分比收益率的方差不發(fā)生變化。若我們令股價比例變化的方差率為，經(jīng)過后，股價比例變化的方差為，那么事實(shí)上股價真正變化的方差為，所以得到股價波動走勢的模型：

（3）上式中表示標(biāo)準(zhǔn)維納過程。我們用隨機(jī)分析的理論來說，這就是過程。其中，稱作漂移系數(shù)，稱作擴(kuò)散系數(shù)。方程能夠在一定程度上描述股票價格行為。我們常把稱為股價波動率，把稱為股價的預(yù)期收益率。下面我們先來介紹一下隨機(jī)分析理論中的引理：設(shè)是關(guān)于兩次連續(xù)可導(dǎo)，關(guān)于一次可導(dǎo)的函數(shù)，為滿足隨機(jī)微分方程的擴(kuò)散過程，故可得到隨機(jī)變量函數(shù)的微分形式

（4）如果我們定義，由則有

（5）上式說明服從一般化的維納過程，當(dāng)變量表示股價時，我們可看出股價服從對數(shù)正態(tài)分布。現(xiàn)在我們將式寫成增量形式，則有股票收益過程為

(6)并且令，表示股票的期收益率，為獨(dú)立的維納過程