大學(xué)畢業(yè)論文期望的性質(zhì)及其應(yīng)用教材

-I--I-簡述期望的性質(zhì)及其應(yīng)用數(shù)學(xué)期望是概率論課程中的一個重要概念，是隨機(jī)變量的重要數(shù)字特征之

一，數(shù)學(xué)期望在人們社會實踐中有重要并且廣泛的應(yīng)用。 本文首先介紹了數(shù)學(xué)期望的幾個定義和主要性質(zhì)，然后通過舉例說明數(shù)學(xué)期望在農(nóng)業(yè)、經(jīng)濟(jì)、 日常生活中以及在其他學(xué)科知識上的應(yīng)用，最后總結(jié)了數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用前景和發(fā)展方向。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)期望；隨機(jī)變量；多維隨機(jī)變量---簡述期望的性質(zhì)及其應(yīng)用第一章引言早起的埃及人為了忘記饑餓，經(jīng)常聚在一起玩一種游戲叫做“獵犬與胡狼”的游戲，實際上就是擲骰子游戲，相對面的數(shù)學(xué)之和是7的骰子大約產(chǎn)生于公元前1400年的埃及，骰子就是游戲中常用的隨機(jī)發(fā)生器，這類游戲也叫機(jī)會性游戲。17世紀(jì)中葉,人們開始對機(jī)會性游戲的數(shù)學(xué)規(guī)律進(jìn)行探討。通過人類的社會實踐和生產(chǎn)勞動，概率論同其他數(shù)學(xué)分支一樣在一定的社會條件下發(fā)展成為一種。智力積累。期望是概率論發(fā)展早期就形成的一個數(shù)字特征 ，也是概率論的一個重要內(nèi)容之一，也是其他諸如方差、高階矩陣等數(shù)字特征的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)期望領(lǐng)域在不斷的發(fā)展和成熟，通過對數(shù)學(xué)期望的定義和性質(zhì)的深刻理解 ，領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)期望在當(dāng)今乃至未來的重要作用。數(shù)學(xué)期望是概率論的一個重要且目前仍然非常活躍的領(lǐng)域,又是一門最有實用價值的數(shù)學(xué)理論，是社會實踐與生產(chǎn)中預(yù)測與決策的核心，已成為現(xiàn)代生活實踐中各種形式與數(shù)量關(guān)系強(qiáng)有力的工具。預(yù)測與決策問題很多都可以轉(zhuǎn)化成期望的運(yùn)算與求解，特別是經(jīng)濟(jì)的發(fā)展為期望開辟了廣泛的前景。本課題簡述了幾種期望的性質(zhì)運(yùn)算，通過列舉一些生產(chǎn)和生活中具有的重要意義的問題，加深對數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)及其作用的理解，結(jié)合現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)生活中出現(xiàn)的決策問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)進(jìn)行深入探討并解決問題。第二章數(shù)學(xué)期望在很多情況下，人們對隨機(jī)變量的研究往往需要知道的并不像隨機(jī)變量的分布那樣完全，只需知道關(guān)于它的特征值就夠了。數(shù)學(xué)期望是研究隨機(jī)變量總體取值的水平的一個重要的數(shù)字特征，反映的是隨機(jī)變量取值的平均數(shù)，它在理論和實際應(yīng)用中都很重要，人們可以直接或間接地利用數(shù)學(xué)期望來解決遇到的問題，是人們做出選擇的重要參考數(shù)據(jù)。2.1數(shù)學(xué)期望的定義定義1⑶離散型隨機(jī)變量X的一切可能值xi與對應(yīng)的概率P(X二為)的乘積的和叫做隨機(jī)變量X數(shù)學(xué)期望，記作E(X).如果隨機(jī)變量X只能取得有限個值X1,X2,,Xn,而取得這些值的概率分別是P(N),P(X2), ,P(Xn),則數(shù)學(xué)期望EarxeX)X2P(X2) XnP(Xn)n「XiPi如果隨機(jī)變量X可能取得可數(shù)無窮多個值而概率分別是XiXi,X2,,Xn,P(Xi),P(X2), ,P(Xn),,則數(shù)列期望E(X)是下列級數(shù)的和：E(X)二為p(Xi)X2P(X2) XnP(Xn)QO=送XP(Xi).i=1假定這級數(shù)是絕對收斂的，因而級數(shù)的和與各項的排列次數(shù)無關(guān)。定義2設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x),若積分 「xf(x)dx.絕對收斂,-be則稱積分.二xf(x)dx.的值為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為E(X).即E(X)=.；：xf(x)dx.定義3設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為p(x，yj),則隨機(jī)變量X與Y的數(shù)學(xué)期望分別定義如下:E(X)八、xp(Xi,yj),ijE(Y)=送送yp(Xi,yj).ij定義4設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y),則隨機(jī)變量X與Y的數(shù)學(xué)期望分別定義如下：E(X)[j?f(x,y)dxdy,E(Y)= ：：：yf(x,y)dxdy,假定反常積分是絕對收斂的。例1某工程隊計劃承包一項工程。若三天完成可獲利 8000元，四天完成可獲利5000元，五天完成要被罰款10000元。由以往經(jīng)驗知，該工程隊三天、四天、五天完成此項工程的概率分別為0.3、0.5、0.2，獲利金額的概率分布見下表。問，如果你是經(jīng)理，愿意承包這項工程嗎？x(元)80005000-10000P0.30.50.2解承包此項工程獲利的數(shù)學(xué)期望是：8000X0.3+5000X0.5-10000X0.2=2900元，就是說，雖然有被罰款的可能，但平均說來，承包這樣的工程是可以獲計算出利潤的。以上案例是對數(shù)學(xué)期望的定義直接應(yīng)用，計算出數(shù)學(xué)期望就知道答案了。在實際應(yīng)用中，依照數(shù)學(xué)期望的定義來求期望值是一種簡單和常用的方法，它為人們的選擇提供了可靠的運(yùn)算公式，并從中得出人們對事物所需要的期望值，防止了人們選擇的盲目性，為人們的選擇提供了指明燈。一維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望性質(zhì)從數(shù)學(xué)期望的定義出發(fā)，人們推理論證了期望所具有的一些性質(zhì)，這些性質(zhì)在應(yīng)用計算過程中提供了簡單可靠的方法，大大減少了運(yùn)算步驟和程序，在實際應(yīng)用中往往會用到這些性質(zhì)。性質(zhì)1⑶設(shè)C是常數(shù),則有E(C)二C.證把常數(shù)C看作一個隨機(jī)變量，它只能取得唯一的值C,取得這個值的概率顯然等于1。所以，E(c)二C1二C性質(zhì)2⑶設(shè)X是隨機(jī)變量，a,b是常數(shù),則有E(aXb)=aE(X)b.證若X是連續(xù)型隨機(jī)變量,且其密度函數(shù)為f(x).■fao "bo "boE(aXb)(axb)f(x)dx=axf(x)dxbf(x)dx=aE(x)b.J_￡3O J_￡3O當(dāng)X是離散型隨機(jī)變量的情形時，將上述證明的積分號改為求和號即。特別地,當(dāng)b=o時，得到E(aX)=aE(X).例1某銀行開展定期定額的有獎儲蓄，定期一年，定額60元。按規(guī)定10000個戶頭中，頭等獎一個，獎金500元；二等獎10個，各獎100元;三等獎100個各獎10元;四等獎1000個，各獎2元。某人買了五個戶頭，他期望得獎多少元？解因為任何一個戶頭得獎都是等可能的，我們先計算一個戶頭的得獎金數(shù)。依題意，x的分布列為：X5001001020P111188891000010001001010000所以，X的數(shù)學(xué)期望為:1111E(X)=泊500 100 10 2=0.45(兀)10000100010010即買5個戶頭的期望得獎數(shù)為E(5X)=5E(X)=50.45=2.25(元)。以上案例是對數(shù)學(xué)期望性質(zhì)2的應(yīng)用，從中看出從簡單的數(shù)學(xué)期望定義還不能滿足人們的要求，人們需要更為簡單方便的方法來計算期望值。多維隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)除一維隨機(jī)變量外，在現(xiàn)實生活中往往在一個事件中會出現(xiàn)多個隨機(jī)變量，期望值由這多個隨機(jī)變量的值來共同決定，那么研究多維隨機(jī)變量的性質(zhì)在求解數(shù)學(xué)期望也是很重要的。性質(zhì)3⑴：設(shè)％.是隨機(jī)變量,其中n=1,2,3…則有n nECXk)八E(Xk)

k=1 kz!性質(zhì)4⑷：設(shè)n維隨機(jī)變量(^上十…止n)的數(shù)學(xué)期望存在,則有線性性質(zhì)：對任意常數(shù)c(iT2…,n)有TOC\o"1-5"\h\zn nCT八CE(」i=1 i=1證(1)由R-S積分的性質(zhì)得n nECoi)「一：一「_：COXi)dF(X1，X2， Xn)i1 i=1

n□0oOoO八C ?xdF（Xi，X2，…，Xn）i4 _ _ _n=CiE「i）.性質(zhì)5⑷：若匕$2,…，仁相互獨立,則n nE（i【■iHilE（丿證僅證n=2并設(shè)「「2）為連續(xù)性的情形。設(shè)f（X1，X2）及f1（Xi），f2（X2）為「,2）及'「2的密度函數(shù)，有，：2的獨立性，有2-■EG2-■EG」oO=XlX2dF（Xi，x2）OOoO一:XX2f（Xi，X2）dXidX2oOcd■--X1X2f1（X1）f2（X2）dXldX2oO oO==X1f1（Xl）dXi=X2f2（X2）dX2二E（丿E（2）.12例1某人先寫了n封投向不同地址的信，再寫了這n個地址的信封，然后在每個信封內(nèi)隨意地裝入一封信，求信與地址配成對的個數(shù)X的期望.解首先定義n個隨機(jī)變量如下：XiXi=*1,第i封信配對成功

、0,第i圭寸信配對不成功（i=1,2 n）,則nTOC\o"1-5"\h\zX八Xi（i=1,2, ,n）.i=1配對試驗的樣本空間的樣本總點數(shù) 二n?（n-1K21二n!,而事件{Xi二1}={第i封信配對成功，而其他n-1封信隨意配}的樣本總點數(shù)=（n-1）!.1 1所以P{Xi-1}-,P{Xi=0}=1-.n n1 n n 1從而E(Xi) ,因此E(X)二ECXi)八E(Xi)二n1.n y $ n以上例題是配對問題，是對數(shù)學(xué)期望性質(zhì)3的實際應(yīng)用，通過運(yùn)用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)運(yùn)算，給出了事件的科學(xué)合理的解釋，使事實并不是想象中的那樣巧合。第三章數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用期望是人們對事物的提前勾畫出的一種標(biāo)準(zhǔn)，達(dá)到了這個標(biāo)準(zhǔn)就是達(dá)到了期望值。美好的愿望是人類生存的精神支柱， 為一個特定的目標(biāo)而奮斗，通過艱苦的努力去戰(zhàn)勝各種風(fēng)險，以致終于達(dá)到預(yù)先的期望。期望與風(fēng)險并存， 在社會實踐過程中人們從期望值來觀察風(fēng)險，分析風(fēng)險，以便作出正確的決策。在社會實踐中經(jīng)常要對事情的結(jié)果進(jìn)行預(yù)測， 數(shù)學(xué)期望在其中起到了不可替代的作用。 數(shù)學(xué)期望在社會經(jīng)濟(jì)生活中應(yīng)用十分廣泛，涉及農(nóng)業(yè)、經(jīng)濟(jì)、生活等諸多領(lǐng)域,例如決定生產(chǎn)批量問題、試驗決策問題、求職問題、民事糾紛問題等等 .3.1數(shù)學(xué)期望在農(nóng)業(yè)中的應(yīng)用在農(nóng)業(yè)投資的過程中，實現(xiàn)投資行為的途徑很多，可以確定相應(yīng)的多種投資方案。農(nóng)業(yè)生產(chǎn)受到自然環(huán)境、氣候、市場供需矛盾、農(nóng)民自身文化素質(zhì)等的嚴(yán)重影響。以前農(nóng)民種地全憑經(jīng)驗，靠天吃飯，以自給自足、滿足溫飽為目的，剩余農(nóng)產(chǎn)品用來交換的占極少數(shù)?，F(xiàn)代農(nóng)民文化素質(zhì)較高，能根據(jù)氣象資料、 市場供需情況等組織生產(chǎn)，勞動收入有大幅度提高， 并逐步向產(chǎn)業(yè)化方向發(fā)展。如何選擇較為科學(xué)的投資評價方法，通過對多種投資方案進(jìn)行對比分析， 以便得出較為科學(xué)、合理的決策，是農(nóng)業(yè)投資決策中的一個重要的研究課題。 數(shù)學(xué)是人們在生產(chǎn)實踐、科學(xué)試驗中總結(jié)經(jīng)驗、加工提煉、抽象升華而發(fā)展起來的一門科學(xué)。因此，將數(shù)學(xué)應(yīng)用于農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，必將對農(nóng)民種植起著積極的指導(dǎo)作用。 期望是人們對不同時間不同區(qū)域種植某種農(nóng)作物收益來進(jìn)行預(yù)測， 根據(jù)農(nóng)作物的自身特點與外界條件以及市場的正確預(yù)估， 提前做好工作，則會使收益達(dá)到最大化或者損失達(dá)到最小。數(shù)學(xué)期望的形成與發(fā)展為農(nóng)業(yè)的生產(chǎn)做出了不可替代的作用。案列1某農(nóng)場主根據(jù)以往經(jīng)驗，擬投資3個項目：生產(chǎn)玉米、大豆和芝麻，其收益都與市場狀態(tài)有關(guān)。若把未來市場劃分為優(yōu)、良、差三個等級，根據(jù)市場調(diào)查研究,其發(fā)生的概率分別為0.3,0.5,02生產(chǎn)玉米的收益X（萬元）分別為9,7,-2時,對應(yīng)的P值分別為0.3,0.5,0.2 ；生產(chǎn)大豆的收益P（萬元）分別為11,4,-3時，對應(yīng)的P值分別為0.3,0.5,0.2;生產(chǎn)的芝麻收益Z（萬元）分別為12,4，-5時，對應(yīng)的P值分別為0.3,0.5,0.2。請問該農(nóng)場是生產(chǎn)哪種農(nóng)產(chǎn)品所收到的收益最大？解：由案例的信息我們可以分別得到生產(chǎn)玉米、大豆和芝麻的收益期望值分別為

E(X) XE(X) XiPX=5.8i4萬元3萬元萬元e(y)八yipyi=4.7萬元萬元i43E(Z)八ZiPZi=5.5i4從數(shù)學(xué)期望來看，生產(chǎn)玉米的收益最大，生產(chǎn)大豆的收益最小，所以此農(nóng)場可以優(yōu)先選擇種植玉米，其次選擇種植芝麻，再次選擇種植大豆。探討了數(shù)學(xué)期望在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的一些簡單應(yīng)用，從中可以體會出數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于農(nóng)業(yè)生產(chǎn)有益之處。隨著農(nóng)業(yè)產(chǎn)業(yè)化和現(xiàn)代化的發(fā)展，農(nóng)業(yè)生產(chǎn)對數(shù)學(xué)的依賴會越來越密切。3.2數(shù)學(xué)期望在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)生活中，有許多問題都可以直接或間接的利用數(shù)學(xué)期望來解決。數(shù)學(xué)期望無論從計劃還是從決策觀點看都是至關(guān)重要的，在經(jīng)濟(jì)活動中，數(shù)學(xué)期望為決策者做出最優(yōu)決策提供重要的理論依據(jù)。數(shù)學(xué)期望可以小到用在企業(yè)根據(jù)市場確定產(chǎn)量，進(jìn)行人、財、物的合理分配；消費者根據(jù)自己的有限收入決定其對商品的需求量。大到對國民經(jīng)濟(jì)和社會的發(fā)展目標(biāo)、戰(zhàn)略重點、戰(zhàn)略步驟、戰(zhàn)略措施等重大經(jīng)濟(jì)問題進(jìn)行預(yù)測。不論是廠家的生產(chǎn)還是商家的銷售 ，總是追求利潤的最大化,供大于求或供不應(yīng)求都不利于獲得最大利潤。但供應(yīng)量和需求量又不是預(yù)先知道的。理性的廠家或商家往往根據(jù)過去的數(shù)據(jù)（概率），用數(shù)學(xué)期望結(jié)合微積分的有關(guān)知識，制定最佳的生產(chǎn)或銷售策略。3.2.1確定生產(chǎn)批量問題生產(chǎn)批量問題是物流企業(yè)進(jìn)行生產(chǎn)決策經(jīng)常遇到的。 選擇何種方案，多少產(chǎn)量直接關(guān)系到企業(yè)成本的控制，收益的高低，這些問題都是關(guān)系到企業(yè)管理和運(yùn)營的重大問題，同時也困擾很多管理者。簡易可行的解決方法就是利用期望收益最大的原則進(jìn)行方案選擇：即進(jìn)行備選方案的收益（或損失）比較，選擇收益（或損失）最大（最?。┑姆桨浮０咐?某企業(yè)為了確定今后5年內(nèi)各種服裝的生產(chǎn)批量，為了及早做好產(chǎn)前的各項準(zhǔn)備工作，根據(jù)以往的銷售統(tǒng)計資料及市場調(diào)查預(yù)測， 未來市場銷售路好、中、差的概率分別為0.3，0.5，0.2。若按大、中、小三種不同生產(chǎn)批量投產(chǎn)，今后5年不不同的銷售狀態(tài)下的益損值如下：表1市場銷售概率表分析：雖然益損值x的分布未知，但由于它的數(shù)學(xué)期望表示平均值，在三

種狀態(tài)下的平均值是可求的，故可用它作為評判的標(biāo)準(zhǔn)， 下面我們計算三個批量的益損值的數(shù)學(xué)期望。E(xJ=0.3180.5120.2(-2)=10.6E(x2)=0.3100.5150.210=12.5E(X3)=O.360.580.28=7.4由此可見，中批量生產(chǎn)的益損均值最大，故應(yīng)選擇中批量生產(chǎn)較為合適。3.2.2最佳進(jìn)貨量問題商場要進(jìn)某種商品，作為商場而言，必定要考慮準(zhǔn)備多少貨源，既能滿足市場需求，又不會產(chǎn)生積壓，使資金使用最佳、收益最優(yōu)。案例3為迎接新年購置年貨購物狂潮，某大型超市需對某種酒水進(jìn)行大量購置存貨。根據(jù)以往經(jīng)驗，這種酒水的市場需求量X(t)服從(500,800)上的均勻分布。每售出一箱此種酒水，超市可獲利50元;若銷售不出去，則超市每箱虧損10元。問該超市應(yīng)該對這種酒水存貨多少箱才能使平均收益最大？解析：設(shè)該大型超市購置此種酒水m箱,則有500豈m<800,設(shè)丫為在購m箱此種酒水條件下的收益額(元 )，則收益額丫和酒水需求量X的函數(shù)關(guān)系為Y=f(X).有所設(shè)條件知，當(dāng)X一m時，則此mt酒水全部售出，獲利50m;當(dāng)X5時，則售出X,獲利50m,還有(m-X)箱賣不出去，獲利-10(m-X),因此共獲利60X-10m,故有：f(X)50m; f(X)50m; >m60X—10m;Xcm由定理可得:ME(Y)=耗f(x)p(x)dx-M x800 1f(x)dx500 3001300~800 m禮50mdx+[oo(60x-10m)dx和-m21500m-500)根據(jù)極值定理,易知當(dāng)m=750箱時,能使E(Y)達(dá)到最大值,即該超市應(yīng)購置此種酒水750箱。3.3數(shù)學(xué)期望在日常生活中的應(yīng)用人們在日常生活中總會遇到一些難以決斷的事情， 這些讓人猶豫不決的事往往受一些不確定因素的影響，使得事物發(fā)展的結(jié)果難以預(yù)料。那么，生活中怎樣避劣選優(yōu)，科學(xué)決策，最大限度地降低決策的風(fēng)險，果斷、巧妙地抓住成功的機(jī)遇呢？數(shù)學(xué)期望就是用來平衡人們極大的利益欲望和極小化的風(fēng)險這對矛盾問題使結(jié)果朝人們所期望的方向發(fā)展。期望在日常生活中運(yùn)用廣泛，在決定做某事之前，都會估計事情的成功率或者獲利的多少，其中家庭投資就是期望的很好應(yīng)用。案列3設(shè)想某人在求職過程中得到了兩個公司的面試通知 ，假定每個公司有三種不同的職位:極好的，工資年薪6萬;好的,工資年薪4萬;一般的,工資年薪2.5萬。估計能得到這些職位的概率為0.2、0.3、0.4,有0.1的可能得不到任何職位。由于每家公司都要求在面試時表態(tài)接受或拒絕所提供職位 ，那么,應(yīng)遵循什么策略應(yīng)答呢？極端的情況是很好處理的，如提供極好的職位或沒工作，當(dāng)然不用做決定了。對于其他情況，我們的方案是，采取期望受益最大的原則。先考慮現(xiàn)在進(jìn)行的是最后一次面試，工資數(shù)學(xué)期望值為：E（A）=40.230.3-2.50.400.1=2.7力‘。那么在進(jìn)行第一次面試時，我們可以認(rèn)為，如果接受一般的值位，期望工資為2.5萬,但若放棄（可到下一家公司碰運(yùn)氣）,期望工資為2.7萬,因此可選擇只接受極好的和好的職位。如果此人接到了三份這樣的面試通知，又應(yīng)如何決策呢？最后一次面試，工資的期望值仍為2.7萬。第二次面試的期望值可由下列數(shù)據(jù)求知:極好的職位，工資4萬;好的，工資3萬;一般的，工資2.5萬;沒工作（接受第三次面試）,2.7萬。期望值為：E（A2）=40.230.32.50.42.70.1=3.05萬。這樣，對于三次面試應(yīng)采取的行動是：第一次只接受極好的職位，否則進(jìn)行第二次面試；第二次面試可接受極好的和好的職位，否則進(jìn)行第三次面試；第三次面試則接受任何可能提供的職位。這一策略下工資總的期望值為 4X0.2+3.05X0.8=3.24萬。故此在求職時收到多份面試通知時，應(yīng)用期望受益最大的原則不僅提高就業(yè)機(jī)會，同時可提高工資的期望值。案例4 設(shè)某人用10萬元進(jìn)行為期一年的投資，有兩種投資方案：一是購買股票；二是存入銀行獲取利息。買股票的收益取決于經(jīng)濟(jì)形勢，若經(jīng)濟(jì)形勢好可獲利4萬元，形勢中等可獲利1萬,形勢不好要損失2萬元。如果存入銀行，假設(shè)利率為8%,可得利息8000元,又設(shè)經(jīng)濟(jì)形勢好、中、差的概率分別為30%50%20%試問應(yīng)選擇哪一種方案可使投資的效益較大？比較兩種投資方案獲利的期望大小：購買股票的獲利期望是E(A)"0.310.5(-2)0.2=1.3(萬元),存入銀行的獲利期望是e(a2)=0.8(萬元)，由于e(a)?e(a),所以購買股票的期望收益比存入銀行的期望收益大，應(yīng)采用購買股票的方案?？傊?，求職、投資等都帶有一定的隨機(jī)性，運(yùn)用數(shù)學(xué)期望這一隨機(jī)變量的總體特征來預(yù)計收益或決策投資是比較客觀的。3.4數(shù)學(xué)期望在其他學(xué)科知識的應(yīng)用數(shù)學(xué)不是一門孤立的學(xué)科，應(yīng)融入各學(xué)科組成的大知識之中。數(shù)學(xué)期望作為數(shù)學(xué)中一個重要的內(nèi)容，也和其它知識與學(xué)科具有或多或少的聯(lián)系知識，因此數(shù)學(xué)期望應(yīng)與其他知識與學(xué)科之間是相互開放、相互作用、彼此關(guān)聯(lián)。例1數(shù)學(xué)期望在《經(jīng)濟(jì)預(yù)測與決策》的應(yīng)用經(jīng)濟(jì)預(yù)測與決策是以準(zhǔn)確的調(diào)查統(tǒng)計資料和經(jīng)濟(jì)信息為依據(jù)， 從經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的歷史、現(xiàn)狀及其規(guī)律性出發(fā)，運(yùn)用科學(xué)的方法，對經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象未來發(fā)展前景的測定，根據(jù)測定的結(jié)果進(jìn)行實施的一系列過程。總體來說，經(jīng)濟(jì)預(yù)測就是對未來可能發(fā)生的經(jīng)濟(jì)事件的設(shè)想，進(jìn)而為決策服務(wù)， 為決策提供多種選擇。對經(jīng)濟(jì)的預(yù)測往往是需要得出事件的期望值，因而數(shù)學(xué)期望在《經(jīng)濟(jì)預(yù)測與決策》中起著不可代替的作用。例2數(shù)學(xué)期望在積分中值定理的運(yùn)用積分中值定理在數(shù)學(xué)分析中占有重要作用， 數(shù)學(xué)期望給出了積分中值定理證明的概率解釋，使積分中值定理更易被理解。(積分第一中值定理)若函數(shù)f(x)在a,b〕上連續(xù),則在a,b］上至少存在一點b,使得.f(x)dx=f()(b-a).a證設(shè)隨機(jī)變量X服從a,b1上的均勻分布,則設(shè)隨機(jī)變量X服從'a.bl上的［丄均勻分布,則X的密度函數(shù)為P(x)=二b-a，a：：：x:b;［o,其他.丫二f(X)1b 1b則容易計算，E(Y) f(x)dx.由此可以看到 f(x)dx是隨機(jī)變量