2023版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第二章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第八講函數(shù)與方程課件

第八講函數(shù)與方程課標(biāo)要求考情分析1.結(jié)合學(xué)過(guò)的函數(shù)圖象，了解函數(shù)零點(diǎn)與方程解的關(guān)系.2.結(jié)合具體連續(xù)函數(shù)及其圖象的特點(diǎn)，了解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并會(huì)畫(huà)程序框圖，能借助計(jì)算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性1.利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理或函數(shù)的圖象，判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)或求相關(guān)參數(shù)的范圍，是高考的熱點(diǎn).2.題型以選擇、填空題為主，也可和導(dǎo)數(shù)等知識(shí)交匯出現(xiàn)解答題，中高檔難度1.函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的概念對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，把使f(x)＝0

的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn).(2)函數(shù)零點(diǎn)與方程解的關(guān)系方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn).(3)函數(shù)零點(diǎn)存在定理

如果函數(shù)y＝f(x)滿足：①在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線；②f(a)·f(b)<0；則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的解.Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸的交點(diǎn)(x1,0)，(x2,0)(x1,0)無(wú)交點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)2102.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系【名師點(diǎn)睛】

(1)若函數(shù)f(x)(圖象是連續(xù)不斷的)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)“點(diǎn)”，而是方程f(x)＝0的實(shí)根.圖2-8-1

(2)由函數(shù)y＝f(x)(圖象是連續(xù)不斷的)在閉區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)不一定能推出f(a)·f(b)<0，如圖2-8-1所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)的充分不必要條件.題組一走出誤區(qū)1.若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象為連續(xù)不斷的一條曲線，則下列說(shuō)法正確的是()

A.若f(a)f(b)>0，不存在實(shí)數(shù)c∈(a，b)使得f(c)＝0 B.若f(a)f(b)>0，有可能存在實(shí)數(shù)c∈(a，b)使得f(c)＝0

C.若f(a)f(b)<0，存在且只存在一個(gè)實(shí)數(shù)c∈(a，b)使得f(c)＝0 D.若f(a)f(b)<0，有可能不存在實(shí)數(shù)c∈(a，b)使得f(c)＝0

答案：B

題組二走進(jìn)教材

2.(教材改編題)函數(shù)

f(x)的圖象如圖2-8-2所示，它與x軸有4個(gè)不同的公共點(diǎn).給出下列四個(gè)區(qū)間，不能用二分法)圖2-8-2求出函數(shù)f(x)零點(diǎn)的區(qū)間是( A.[－2.1，－1] B.[1.9,2.3] C.[4.1,5] D.[5,6.1]

答案：Bx－10123f(x)－0.6773.0115.4325.9807.651g(x)－0.5303.4514.8905.2416.892

3.(教材改編題)已知函數(shù)f(x)與g(x)的圖象在R上不間斷，由下表知函數(shù)y＝f(x)－g(x)在下列區(qū)間內(nèi)一定有零點(diǎn)的是()A.(－1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)答案：B題組三真題展現(xiàn)4.(2019年全國(guó)Ⅲ)函數(shù)

f(x)＝2sinx－sin2x在[0,2π]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.2B.3C.4D.5答案：B

考點(diǎn)一函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判定[例1](1)設(shè)

f(x)＝lnx＋x－2，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的)區(qū)間為( A.(0,1) C.(2,3)B.(1,2)D.(3,4)解析：因?yàn)閥＝lnx與y＝x－2在(0，＋∞)上都單調(diào)遞增，所以f(x)＝lnx＋x－2在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又f(1)＝ln1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln2>0，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理，可知函數(shù)f(x)＝lnx＋x－2有唯一零點(diǎn)，且零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi).答案：B

圖2-8-3答案：(1,2)【題后反思】確定函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法

(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn).(2)數(shù)形結(jié)合法：通過(guò)作出函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來(lái)判斷.【變式訓(xùn)練】1.若a<b<c，則函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c))＋(x－c)(x－a)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間( A.(a，b)和(b，c)內(nèi) B.(－∞，a)和(a，b)內(nèi) C.(b，c)和(c，＋∞)內(nèi) D.(－∞，a)和(c，＋∞)內(nèi)

答案：AA.(0,1)C.(2,3)B.(1,2)D.(3,4)答案：B

考點(diǎn)二確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)1.函數(shù)f(x)＝2x＋x3－2在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A.0B.1C.2D.3

解析：∵f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1<0，且函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增且連續(xù)， ∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有且只有1個(gè)零點(diǎn).

答案：B2.函數(shù)f(x)＝3x|lnx|－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(

)A.1B.2C.3D.4圖D12答案：B圖D13答案：3【題后反思】函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定有下列幾種方法(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).

(2)函數(shù)零點(diǎn)存在定理：利用該定理不僅要求函數(shù)在[a，b]上是連續(xù)的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).

(3)作出兩個(gè)函數(shù)圖象，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有幾個(gè)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).考點(diǎn)三根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)通性通法：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)有三種常用方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍.(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決.(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.[例2](1)(2021年宜賓期末)已知函數(shù)f(x)＝lnx＋ax在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是________.解析：令x2－1－(4＋x)≥1，得x≤－2或x≥3，令x2－1－(4＋x)<1，得－2<x<3，作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖2-8-4所示.函數(shù)y＝f(x)＋k有3個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝－k有3個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)圖象可得－1<－k≤2，即－2≤k<1.答案：D圖2-8-4

【變式訓(xùn)練】答案：1g(x)＝f(x)－x－a有且只有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值可以是()A.－1B.0C.1D.2解析：根據(jù)題意，作出f(x)的圖象如圖D14所示：圖D14令g(x)＝0，得f(x)＝x＋a，所以要使函數(shù)g(x)＝f(x)－x－a有且只有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以只需函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝x＋a有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，根據(jù)圖象可得實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－1，＋∞).故選BCD.答案：BCD

⊙數(shù)形結(jié)合法求解函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題解析：∵f(x)為偶函數(shù)，故f(2－x)＝f(x－2)，∴f(x＋2)＝f(x－2)，故f(x)的周期為4，象如圖2-8-5所示，圖2-8-5

∵f(x)－loga(x＋2)＝0有3個(gè)不同的解，

∴f(x)的圖象與y＝loga(x＋2)的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，答案：B【反思感悟】

直觀想象是指借助幾何直觀想象和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想過(guò)程.函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，可以通過(guò)作圖分析圖象的特征、圖象間的關(guān)系解決.【高分訓(xùn)練】1.(2021年衡水中學(xué)調(diào)研)方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的)解的個(gè)數(shù)是( A.1 C.3B.2D.4解析：(數(shù)形結(jié)合法)∵a>0，∴a2＋1>1.