2019年第二十一屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初賽試卷初一組帶答案

第二十一屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初賽試卷（初一組）一、選擇題（每小題10分，共60分，以下每題的四個(gè)選項(xiàng)中，僅有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將表示正確答案的英文字母寫(xiě)在每題的圓括號(hào)內(nèi)．）代數(shù)和—lx2008+2X2007-3x2006+4x2005+L-1003x1006+1004x1005的個(gè)位數(shù)字是（）A.7B.8C.9D.0【答案】B【解析】只需考察每個(gè)組合的個(gè)位數(shù)的乘積，發(fā)現(xiàn)這2015個(gè)的組合中，個(gè)位數(shù)的乘積每十個(gè)一循環(huán)，觀察這個(gè)循環(huán)中的乘積和：—1x8+2x7—3x6+4x5—5x4+6x3—7x2+8x1—9x0+0x9=0，因此每個(gè)循環(huán)的個(gè)位數(shù)和為0，觀察最后循環(huán)外的幾個(gè)數(shù)的乘積和：—1x8+2x7—3x6+4x5=8。因此最后得到的個(gè)位數(shù)為8已知-1vavbv0，則下列不等式成立的是（）A.a<a3<ab2<abB.a<ab2<ab<a3C.avabvab2va3D.a3vab2vavab【答案】A【解析】a,a3,ab2,ab中易知只有ab>0,故ab最大，排除B,C；另外由于—1<a<0得a2<1，即a<a3，排除D，所以選A3.在數(shù)軸上，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別表示數(shù)a和b，且在原點(diǎn)O的兩則，若a—b2016,AO=2BO，則a+b=（）A.6048B.—6048C.+672D.0【答案】C【解析】由|a—b\=2016且A,B在0點(diǎn)兩側(cè)以及”|=2\b\知a,b的解有兩種可能性：21i.a>0,b<0則可解得a=3x2016=1344，b=—3x2016=—672，a+b=672ii.a<0,b>0同樣可得a+b=—672

4．如右圖所示，三角形ABC是直角三角形，Z4．如右圖所示，三角形ABC是直角三角形，ZABC=60o，若在直線AC或BC上取一點(diǎn)P，使得三角形PAB為等腰三角形，那么這樣的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】考察不同的等腰三角形的頂角：若P為頂角，則P必位于AB的中垂線上，而AB中垂線與直線AC,AB的交點(diǎn)有兩個(gè)，故這樣的等腰三角形有2個(gè)；若A為頂角，則AB為其中一條腰，將線段AB繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，與直線AC,AB的交點(diǎn)有三個(gè)，但是由于ZABC=60。，此旋轉(zhuǎn)后的直線與BC延長(zhǎng)線的交點(diǎn)與以P為頂點(diǎn)的一個(gè)三角形重合,故這樣不同的等腰三角形有2個(gè)；若B為頂角，同樣AB為其中一條腰，將線段AB繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，與直線AC,AB的交點(diǎn)同樣有三個(gè)，同樣與P為頂點(diǎn)的一個(gè)三角形重合，故不同的三角形只有2個(gè)；綜上這樣的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為6個(gè)。5．如右圖，乙是主河流甲的支流，水流流向如箭頭所示。主流和支流的水流速度相等，船在主流和支流中的靜水速度也相等。已知AC=CD，船從A處經(jīng)C開(kāi)往B處需用6小時(shí)，從B經(jīng)C到D需用8小時(shí)，從D經(jīng)C到B需用5小時(shí)。則船從B經(jīng)C到A，再?gòu)腁經(jīng)C到D需用（）小時(shí)。11用（）小時(shí)。11A.13-B.12-33答案】B解析】設(shè)AC=CD=a，CB=b,ab+=6v-sv+sab+=8v—sv—sab+-5v+sv+s由后兩個(gè)式子可以得到C.111D.10133靜水速度為v，水流速度為s。由題意得代入第一個(gè)式子化簡(jiǎn)得到b=2aa+b船從B經(jīng)C到A，再?gòu)腁經(jīng)C到D需用時(shí)：ba2a一.8521a+8bv++=(2a+b)+a=一sv+sv一sa+ba+ba+b將b=2a代入得到21a+8b21a+16a37a+ba+2a33

6．甲、乙、丙、丁四種商品的單價(jià)分別為2元，3元，5元和7元，現(xiàn)從中選購(gòu)了6件共花費(fèi)了36元。如果至少選購(gòu)了3種商品，則買了()件丁商品。A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】由于至少選購(gòu)了3中產(chǎn)品，故丁產(chǎn)品最多買4件，如果丁產(chǎn)品少于4件，則6件總花費(fèi)＜7x3+5x2+3xl=33元，矛盾，故丁必須買4件；同時(shí)如果丁買4件，丙與乙各買一件，總花費(fèi)正好是36元。綜上丁買了4件、填空題(每小題10分，共40分)7.如右圖，在平行四邊形ABCD中，AB二2AD，點(diǎn)O為平行四邊形內(nèi)一點(diǎn)，它到直線AB,BC,CD的距離分別為a,b,c,且它到AD和CD的距離相等，貝^a-b+c=?！敬鸢浮?【解析】考察平行四邊形的兩條高，AB為底邊的高為a+c，AD為底邊的高為b+c,由面積不變定理有S=AB\(a+c)=AD(b+c)，得b+c=2(a+c)，即2a+c—b=08．如右圖所示，韓梅家的左右兩側(cè)各擺了3盆花，韓梅每次按照以下規(guī)貝往家中搬一盆花：先選擇左側(cè)還是右側(cè)，然后搬該側(cè)離家最近的，要把所有的花搬到家里，共有種不同的搬花順序。答案】20解析】韓梅每次只能選擇搬左側(cè)或者右側(cè)的花，左側(cè)和右側(cè)分別只能選擇三次，我們將三個(gè)左和三個(gè)右組成的排列(例如：左左右左右右是一種排列)分別對(duì)應(yīng)一種搬花的順序，并且不同的排列對(duì)應(yīng)不同的搬花的順序。所以三個(gè)左和三個(gè)右組成的排列的個(gè)數(shù)與搬花順序的個(gè)數(shù)相同。故只需考慮所以三個(gè)左和三個(gè)右組成的排列的個(gè)數(shù)。對(duì)于這種排列只需要考慮在6個(gè)位置中選擇三個(gè)為左的個(gè)數(shù)，這樣的個(gè)數(shù)一共有C3=20。6

9.如右圖，在等腰梯形ABCD中，ABIICD,AB=6,CD=14,【答案】84【解析】ZAEC=90。,CE=CB，則AE2=.【答案】84【解析】DGFCAG=BF=h,CG=10,CF=4AC2=AG2+CG2=h2+100CE2=BC2=BF2+CF2=h2+16AE2=AC2-CE2=8410.已知四位數(shù)x是完全平方數(shù)，將其4個(gè)數(shù)字各加1后得到的四位數(shù)仍然是完全平方數(shù),貝yx=?！敬鸢浮?025【解析】設(shè)x=a2/